Semana 21_8 ano_Raiz quadrada não-exata

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ESCOLA MUNICIPAL JOÃO KOPKE
CONTEÚDO DE APOIO PARA ATIVIDADE CRÉDITO – 8º ano – 2020 
SEMANA 21 - Professor: Josemar Maiworm
RAIZ QUADRADA NÃO-EXATA
Caro(a) aluno(a), ao longo da Semana 21 das atividades do Educa em Casa, revisitamos o conceito de raiz quadrada e, nas nossas interações, aproveitamos para estender o conceito para definir a raiz cúbica. Vamos relembrar rapidamente.
· A raiz quadrada de , isto é, , pois devemos encontrar um número que multiplicado por ele mesmo duas vezes (lembre-se que na potenciação o termo quadrado indica o expoente 2) é igual ao valor presente na raiz. Assim, . Por isso que .
· A raiz cúbica de , pois devemos encontrar um número que multiplicado por ele mesmo três vezes (lembre-se que na potenciação o termo cubo – origem do termo cúbico – indica o expoente 3) é igual ao valor presente na raiz. Assim, . Por isso que .
Agora que já dominamos o conceito de raiz quadrada e cúbica podemos aprofundar no assunto. Uma pergunta interessante é: será que sempre existe raiz quadrada de um número natural (deixemos os números negativos para outro momento)? Pelo conceito, sabemos calcular , pois , mas qual deve ser o valor de Estou certo que você já deve ter concluído que esse valor “não existe”, pois não existe um “número” multiplicado por ele mesmo duas vezes que resulte em 10. 
Observe que coloquei os termos “não existe” e “número” entre aspas, pois a veracidade da afirmativa depende de que tipo de número estamos falando. De fato, se buscamos um número natural ou número inteiro o valor não existe, porém se pensarmos em um outro tipo de número, será que esse valor realmente não existe? 
Antes de responder a essa pergunta, vamos definir dois tipos de raízes: as exatas e não-exatas. Chamaremos de raiz, no caso pode ser quadrada ou cúbica, exata apenas se o resultado for um número inteiro, por exemplo, é exata, pois o resultado é 3 e este valor é um número inteiro. As demais raízes cujo resultado não é um número inteiro, como o caso da , chamaremos de raiz não-exata.
Voltemos ao nosso questionamento, existe ? Já sabemos que o resultado não é um número inteiro, ou seja, é uma raiz não-exata. As raízes não-exatas fazem parte de um novo conjunto numérico, chamado de Conjunto dos Número Irracionais . Não confunda com o Conjunto dos Número Racionais , estes são todos os números que podem ser representados na forma de fração, fato que não conseguimos fazer com as raízes não-exatas.
Uma característica muito interessante dos Números Irracionais é que estes apresentam representação decimal (vulgo número com vírgula) infinita (não tem fim) não-periódica (não existe um padrão de repetição na parte decimal).
Veja o valor da raiz quadrada de 10:
Veja que é um número decimal infinito não-periódico (não existe um padrão de repetição na parte decimal – depois da vírgula. Mesmo que tivéssemos 1000 casas decimais ou mais, não veríamos um padrão).
Então como se calcula um raiz não-exata, já que o número é infinito não-periódico? 
De fato, não calculamos o valor, pois é infinito não-periódico, porém, para questões práticas, podemos encontrar uma aproximação, por exemplo, podemos dizer que é aproximadamente , ou seja, (usamos o símbolo para representar “aproximadamente a”).
Para definir um valor aproximado de uma raiz não-exata podemos utilizar aquilo que conseguimos calcular: as raízes exatas! Veja abaixo:
Vamos seguir com a . 
Observe que raiz quadrada exata anteriormente mais próxima que conseguimos calcular é , e posteriormente mais próxima é .
Pela lógica, se está entre e , então podemos considerar que está entre e . Visualize:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	O valor de deve estar entre 3 e 4
Mas qual seria a melhor aproximação, ou ? Perceba que o está mais próximo do que o , então podemos considerar que, por eliminação, é a melhor aproximação. Para organizar as ideias, chamemos esse valor de 1ª aproximação. 
Será que podemos melhor essa aproximação? É claro! Para fazer, vamos olhar novamente para relação entre raiz quadrada e potência ao quadrado. Sabemos que , pois . Como temos uma igualdade, podemos reescrever a relação :
Veja que apenas passamos o termo 4, que estava multiplicando, para o outro lado da igualdade. Lembre-se que esse “passar” inverte a operação, ou seja, passa a ser divisão. Vamos usar esse mesmo raciocínio para melhorar nossa aproximação de . Até aqui podemos escrever que (1ª aproximação). Seguindo o raciocínio, então . Veja que não podemos escrever , pois essa igualdade seria falsa! Vamos resolver a equação :
Perceba que , temos um número decimal infinito, porém ele é periódico, pois na parte decimal o número 3 se repete infinitamente. Porém, não é um número irracional, pelo contrário, é racional (nitidamente pode ser representado como uma fração, ou seja, a definição de número racional). Vale a pena recordar que os números irracionais têm representação decimal infinita não-periódica, como o caso das raízes não-exatas.
Retornando, temo que (utilizar duas casas decimais é o suficiente) é a nossa 2ª aproximação. Veja que agora temos duas aproximações: e . Perceba que uma é menor que o valor de referência e a outra é maior. Veja:
	1ª aproximação
	
	2ª aproximação
	
	
	
	
	
	3,33
Mas qual valor utilizar? Nem a 1ª, nem a 2ª. Vamos utilizar a média aritmética das aproximações! A média aritmética é obtida pela divisão entre a soma de um conjunto de valores e o número de elementos desse conjunto, ou seja, nosso conjunto tem dois elementos: o e o . Assim a soma será . A partir dessa soma, calculamos a média aritmética, isto é, nossa 3ª aproximação:
 
Por fim, temo uma excelente aproximação para . Compare que o valor que encontramos é bem próximo de 
Vamos ao resumo do processo (na Matemática chamamos de algoritmo) para determinar uma aproximação para uma raiz quadrada não-exata:
APROXIMAÇÃO DE UMA RAIZ QUADRADA NÃO-EXATA
1ª etapa: Determine a raiz quadrada exata anteriormente mais próxima da raiz não-exata; 
2ª etapa: Determine a raiz quadrada exata posteriormente mais próxima da raiz não-exata;
3ª etapa: Determine a 1ª aproximação – o resultado raiz quadrada exata que está mais próxima da raiz quadrada não-exata que queremos calcular;
4ª etapa: Determine a 2ª aproximação – divida o radicando da raiz não-exata (número que está dentro da raiz) pela 1ª aproximação;
5ª etapa: Determine a 3ª aproximação – some a 1ª e a 2ª aproximação e divida por 2;
6ª etapa: Utilize a 3ª aproximação como aproximação da raiz quadrada não-exata.
 
Vamos utilizar as etapas acima pata calcular algumas raízes quadradas não-exatas:
EXEMPLO 1
· 
1ª etapa: raiz quadrada exata anteriormente mais próxima = ;
2ª etapa: raiz quadrada exata posteriormente mais próxima = ;
3ª etapa: 1ª aproximação – o resultado raiz quadrada exata que está mais próxima = (49 está mais próximo de 50 do que 64);
4ª etapa: 2ª aproximação – divida o radicando da raiz não-exata (número que está dentro da raiz) pela 1ª aproximação = 
5ª etapa: 3ª aproximação – some a 1ª e a 2ª aproximação e divida por 2 = 
6ª etapa: 
Veja que a aproximação que obtemos na etapa 6 é bem próxima ao valor de 
EXEMPLO 2
· 
1ª etapa: raiz quadrada exata anteriormente mais próxima = ;
2ª etapa: raiz quadrada exata posteriormente mais próxima = ;
3ª etapa: 1ª aproximação – o resultado raiz quadrada exata que está mais próxima = 5 (25 está mais próximo de 28 do que 36);
4ª etapa: 2ª aproximação – divida o radicando da raiz não-exata (número que está dentro da raiz) pela 1ª aproximação = 
5ª etapa: 3ª aproximação – some a 1ª e a 2ª aproximação e divida por 2 = 
6ª etapa: 
Veja que a aproximação que obtemos na etapa 6 é bem próxima ao valor de 
Agora é sua vez!!!
Determine uma aproximação para as seguintes raízes não-exatas:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
RAIZ QUADRADA 
NÃO
-
EXATA
 
Ca
r
o
(a)
 
aluno
(a)
, ao longo da 
Semana 21 das atividades do Educa em Cas
a, revisitamos o 
conceito de raiz quadrada e, n
as noss
as interações, 
aproveitamos 
para 
estender o con
ceito para 
definir 
a raizcúbica. Vamos 
re
le
mbrar r
apidamente
.
 
·
 
A 
raiz 
quadrada 
de 
64
, isto é
, 
?
64
=
8
, po
is 
dev
emos encontrar um número que 
multip
licado por ele mesmo 
duas veze
s (lembre
-
se que na 
potenciação
 
o t
ermo 
quadr
a
do indica
 
o 
expoente
 
2
) é igual 
a
o
 
valor 
presente na raiz. Assim, 
8
·
8
=
8
2
=
64
. 
 
P
or isso que 
?
64
=
8
.
 
·
 
A 
raiz cúbica 
de 
?
27
3
=
3
, pois 
dev
emos encontrar um número que multip
licado por 
ele mesmo 
três
 
veze
s (lembre
-
se que na 
potenciação
 
o t
ermo 
c
ubo 
–
 
origem 
do termo 
c
úbico 
–
 
indica
 
o 
expoente
 
3
)
 
é igual 
ao
 
valor 
presente na raiz. Assim, 
3
·
3
·
3
=
3
3
=
9
. 
 
P
or isso que
 
?
27
3
=
3
.
 
Agora 
que já dom
inamos o conceito de raiz quadrada e cúbica
 
podemos a
profund
ar no ass
unto. 
Uma pergunta interessante
 
é: 
será qu
e sempre existe
 
raiz quadrada de um n
úmero natural
 
(
deixemos 
os números
 
negativos para outro momento)?
 
Pelo 
conceito, sabem
os calcular 
?
9
=
3
, p
ois 
3
·
3
=
3
2
=
9
, mas qual deve ser o valor de 
?
10
?
 
Estou ce
r
to que você 
já 
deve ter conclu
ído 
que 
esse va
lor
 
“
não e
xiste
”
, pois não existe
 
um 
“
número
”
 
multiplicado po
r ele mesm
o duas vezes que 
resulte em 10. 
 
Observe que coloquei os termos 
“
não existe
”
 
e 
“
número
”
 
e
ntre aspas
, 
pois
 
a 
v
eracidade da 
afirmativa depende de que tipo
 
de número estamos falando. De fato
, 
s
e b
us
camos um 
número 
natura
l 
N
=
{
??
,
??
,
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,
??
,
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,
…
}
 
ou número inteiro 
Z
=
{
…
,
-
??
,
-
??
,
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,
??
,
??
,
…
}
 
o valor não existe, 
porém se
 
pensarmos 
em
 
um outro tipo de número
, será que esse 
valor
 
realmente 
não
 
existe?
 
 
Antes de responder a essa pergunta, vamos definir d
ois tipos de raízes: as exatas e não
-
exatas. 
Chamaremos de raiz, no caso pode ser qu
adrada ou cúbica, 
ex
ata apenas se 
o resultado
 
for um 
número inte
iro
, por exemp
lo, 
?
??
 
é exat
a
,
 
pois o resultado é 3
 
e este 
valor é um número inte
iro. 
As 
demais raízes cujo resultado não é 
um n
úmero i
nteiro
, 
como o 
caso da 
?
????
, 
chama
remos de 
ra
iz não
-
exata
.
 
ESCOLA 
MUNICIPAL JOÃO KOPKE
 
CONTEÚDO DE APOIO PARA ATIVIDADE CRÉDITO 
–
 
8
º ano 
–
 
2020 
 
SEMANA 21 
-
 
Professor: Josemar Maiworm
 
 
 
 
 
 
 
RAIZ QUADRADA NÃO-EXATA 
Caro(a) aluno(a), ao longo da Semana 21 das atividades do Educa em Casa, revisitamos o 
conceito de raiz quadrada e, nas nossas interações, aproveitamos para estender o conceito para definir 
a raiz cúbica. Vamos relembrar rapidamente. 
 A raiz quadrada de 64, isto é, 64=8, pois devemos encontrar um número que 
multiplicado por ele mesmo duas vezes (lembre-se que na potenciação o termo 
quadrado indica o expoente 2) é igual ao valor presente na raiz. Assim, 8·8=8
2
=
64. Por isso que 64=8. 
 A raiz cúbica de 27
3
=3, pois devemos encontrar um número que multiplicado por 
ele mesmo três vezes (lembre-se que na potenciação o termo cubo – origem do termo 
cúbico – indica o expoente 3) é igual ao valor presente na raiz. Assim, 3·3·3=3
3
=
9. Por isso que 27
3
=3. 
Agora que já dominamos o conceito de raiz quadrada e cúbica podemos aprofundar no assunto. 
Uma pergunta interessante é: será que sempre existe raiz quadrada de um número natural 
(deixemos os números negativos para outro momento)? Pelo conceito, sabemos calcular 9=3, pois 
3·3=3
2
=9, mas qual deve ser o valor de 10? Estou certo que você já deve ter concluído que 
esse valor “não existe”, pois não existe um “número” multiplicado por ele mesmo duas vezes que 
resulte em 10. 
Observe que coloquei os termos “não existe” e “número” entre aspas, pois a veracidade da 
afirmativa depende de que tipo de número estamos falando. De fato, se buscamos um número 
natural N={??,??,??,??,??,…} ou número inteiro Z={…,-??,-??,??,??,??,…} o valor não existe, 
porém se pensarmos em um outro tipo de número, será que esse valor realmente não existe? 
Antes de responder a essa pergunta, vamos definir dois tipos de raízes: as exatas e não-exatas. 
Chamaremos de raiz, no caso pode ser quadrada ou cúbica, exata apenas se o resultado for um 
número inteiro, por exemplo, ?? é exata, pois o resultado é 3 e este valor é um número inteiro. As 
demais raízes cujo resultado não é um número inteiro, como o caso da ????, chamaremos de 
raiz não-exata. 
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