Lista 06 - Equações diferenciais - Camile Strzykalski

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – PUC-MG 
Departamento de Matemática e Estatística 
Métodos Numéricos – Cálculo Numérico 
Nome: Camile Xavier Strzykalski 
 
PASSO 0,01 PARA ESSA LISTA 
 
1) Dada à equação diferencial y' -x -y = 0, y (0) =1, calcular y (1) usando h=0,2. 
Resolução: 
Y’=X+Y 
 
 
Resposta: Y(1)=3,4366 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Resolver o PVI (problema de valor inicial) y’ – sen(xy) = x – y + 3, y(1,3) = 0,371 e 
1,1 < x < 1,6, com h = 0,1. 
Resolução: 
Y’= X-Y+3+SEN(X*Y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Resolver o PVI, com 5 pontos: 
 
y y x x
y
' sen
( )
 




 tg
 , h = 0,1
2
0 1
 
 
 
Resolução: 
Y’=sen2*x-y*tgx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Repita o exercício acima para: 
 
 








1,0 , pontos 5
 1)0(
01'1 22
h
y
yyx
 
 
Resolução: 
Y’= -y²-1/(x²+1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Revolver o P.V.I. abaixo: 
 5,0;01,0
1)0(
2)0(
22 2









xmalhaehcom
y
y
yyxy
 
 
Resolução: 
Y’=Z => Y’’=Z’ 
 
Z’ = 2*x + y^2 – 2*Z Z(0)=1 
Y’=Z Y(0)=2 
 
 
 
6) Revolver o P.V.I. abaixo: 
 0,1;0,02,0
1)1(
2)1(
)cos()(sen 22









xmalhaehcom
y
y
yyxy
 
 
Resolução: 
Y’=Z Y’’=Z’ 
 
Z’= sin^2(x) + cos (y^2) – Z Z(1)=1 
Y’=Z Y(1)=2 
 
 
 
 
7) Revolver o P.V.I: 
  )(5,1;11,0
1)1(
3)1(
2)1(
2
xyexmalhaehcom
y
y
y
yxy












 
 
Resolução: 
Y’=Z => Y’’=Z’ => Y’’’=Z’’ 
 
Z’’=X + 2 – Z Z(1)=3 Z’(1)= -1 
Z’=W => Z’’=W’ 
 
W’= X + 2 – W W(1)=-1 
Z’=W Z(1)=3 
Y’=Z Y(1)=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Resolver o sistema de P.V.I.´s abaixo: 
)();(]6,1;1[1,0
2)1(;2
3)1(;
2
xzxyexmalhaehcom
zyxz
yzyxy








 
 
Resolução: 
Y’=X + Y + Z 
 
Z’= 2 + X + Y^2 
 
 
 
9) Seja y o número de bactérias de uma colônia. Sabendo-se que a taxa de crescimento da população é 
proporcional ao número de bactérias e no instante T = 0 há 2000 bactérias na colônia, calcular o 
número de bactérias quando T = 1. Dados: y’ = y; y(0) = 2000 e h = 0,1. 
 
 
 
Resposta: Y(T=1) = 5436,5637 
 
 
 
 10) Resolva o sistema de equações diferenciais: 
 
 
 2,0 ;0,0 1,0 ,)( ),(
10)0( ,5
)0(
 , 275
0)0( ,4
)0(
 , 075
2
2
2
2










tmalhattytx
y
dt
dy
x
dt
dy
dt
yd
x
dt
dx
y
dt
dx
dt
xd
11) Uma quantidade de 10 kg de material é lançada em um recipiente contendo 60 kg de água. A concentração da 
solução, c , em percentagem, a qualquer instante t é expressa como: 
  )4100)(14200(
3
.1212,160 cc
k
dt
dc
c 





 sendo k o coeficiente de transferência de massa, igual a 0,0589 
e com a condição inicial t = 0 e c = 0. 
Calcule a concentração em: 
a) t = 1,2; b) t = 1,4 c) t = 1,6 com h = 0,10 . 
 
Resolução: 
Y’=(0,0589/3) * (200 – 14*C) * (100-4*C) / (60-1,1212*C) 
 
Respostas: 
a) C (1,2) = 5,7042 
b) C (1,4) = 6,3508 
c) C (1,6) = 6,9374 
 
 
12) A corrente i num circuito LR num instante t qualquer depois que a chave é ligada em t = 0 pode ser expressa 
pela equação: LRiwtE
dt
di
/))sen((  (Usar h=t=0,1) 
Onde E = 50 volts, L = 1 henry , w = 300 , R = 50 ohms e a condição inicial é i = 0 para t = 0 . Complete a tabela 
i 0 0,1462 -0,1163 0,0754 
t 0 0,2 0,4 0,6