Trabalho de Cálculo Numérico

Prévia do material em texto

Trabalho de Cálculo Numérico – GA 
 
Trabalho 1 
Questão 1 
Na engenharia ambiental (uma área especializada da engenharia 
civil), a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de 
oxigênio C (mg/L) em um rio a jusante de um descarga de esgoto: 
𝐶 = 10 − 20(𝑒−0,15𝑥 − 𝑒−0,5𝑥) 
onde 𝑥 é a distância a jusante em quilômetros. Determinar a 
distância a jusante em que o nível de oxigênio é de 5 mg/L com 
um erro de 0,1%. Usar o Método de Newton. 
 
Questão 2 
Em uma placa plana com as laterais aquecidas a diferentes 
temperaturas, o Método de Liebmann é usado para determinar a 
temperatura no interior da placa. Por exemplo, na placa 
apresentada na Figura (1) é possível determinar a temperatura em 
cada um dos pontos (i; j) usado essa metodologia, sintetizada na 
equação quando 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3} 
 
𝑇𝑖𝑗 =
𝑇𝑖+1,𝑗 + 𝑇𝑖−1,𝑗 + 𝑇𝑖,𝑗+1 + 𝑇𝑖,𝑗−1
4
 
 
 
Conforme a Figura, 𝑇0𝑗 = 75°𝐶, 𝑇𝑖0 = 0°𝐶, 𝑇4𝑗 = 50 e 𝑇𝑖4 =
100°𝐶 . Use o método de Método de Liebmann para determinar 
a temperatura no interior dessa placa. 
 
Trabalho: 
1) Escrever o sistema na matricial. 
2) Resolver o sistema pelos Métodos da Eliminação Gaussiana e de 
Gauss-Seidel, casos seja possível. Caso seja possível resolver por 
Gauss-Seidel, o critério de parada é o erro de 0,1%. Comparar 
com o método da eliminação gaussiana 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho 2 
Questão 1 
A potência de saída de uma célula solar varai com a tensão que 
ela fornece. A saída 𝑉𝑚𝑝 para a qual a potência de saída é máxima 
é dada pela equação: 
 
𝑒
𝑞𝑉𝑚𝑝
𝑘𝐵𝑇 (1 +
𝑞𝑉𝑚𝑝
𝑘𝐵𝑇
) = 𝑒
𝑞𝑉𝑂𝐶
𝑘𝐵𝑇 
sendo 𝑉𝑂𝐶 a tensão do circuito, T é a temperatura em Kelvin, 𝑞 =
1,6022 × 10−19𝐶 é a carga de um elétron, 𝑘𝐵 = 1,3806 ×
10−23𝐽/𝑘 é a constante de Boltzmann. Use o método de Newton 
para determinar 𝑉𝑚𝑝 se 𝑉𝑂𝐶 = 0,5𝑉 e 𝑇 = 297𝐾, com erro de 
0,1%. 
Questão 2 
Um engenheiro elétrico supervisiona a produção de três tipos de 
componentes elétricos. Três tipos de material – metal, plástico e 
borracha – são necessários para a produção. As quantidades 
necessárias para a produção de cada componente são: 
 
Se um total de 3,89; 0,095 e 0,282kg de metal, plástico e borracha, 
respectivamente, estiver disponível a cada dia, quantos 
componentes poderão ser produzidos por dia? 
Resolver pelo método de Eliminação Gaussiana e se possível pelo 
método de Gauss-Seidel. Caso seja possível resolver por Gauss-
Seidel, use como o critério de parada o erro de 0,01%. 
 
 
 
Trabalho 3 
Questão 1 
Um modelo simplificado para a suspensão de um automóvel 
consiste em uma massa 𝑚, uma mola com constante estática 𝑘 e 
um amortecedor com constante de amortecimento 𝑐, conforme 
mostra a figura. 
 
Uma estrada esburacada pode ser modelada assumindo que a 
roda se mova para e para baixo de acordo com a equação 
𝑦 = 𝑌𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
A partir da solução dessa equação, o movimento do carro (massa) 
para cima e para baixo é dada por 
𝑥 = 𝑋 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙) 
A razão entre a amplitude X e Y é dada por: 
𝑋
𝑌
= √
𝑚𝑐𝜔3
𝑘(𝑘 − 𝑚𝜔2) + (𝜔𝑐)2
 
No caso em que 
𝑚 = 2000𝑘𝑔 
𝑘 = 500𝑘𝑁/𝑚 
𝑐 = 38 ∗ 103 
Determine a frequência 𝜔 se 
𝑋
𝑌
= 0,2. Use o método de Newton 
com erro de até 0,1%. 
Questão 2 
Um engenheiro supervisiona a produção de quatro tipos de 
computadores. Existem quatro espécies de recursos necessários à 
produção: Mão de obra, metais, plásticos e componentes 
eletrônicos. A quantidade destes recursos, necessária para 
produzir cada computador são: 
 
Considere um consumo de 504h de mão de obra, 1970 kg de 
metais, 970 kg de plástico e 601 componentes. Determinar o 
número de computadores (número inteiro) de cada tipo 
produzido por dia. 
Trabalho: 
1) Escrever o sistema na matricial. 
2) Resolver o sistema pelos Métodos da Eliminação Gaussiana e de 
Gauss-Seidel, casos seja possível. Caso seja possível resolver por 
Gauss-Seidel, o critério de parada é o erro de 0,1%. Comparar 
com o método da eliminação gaussiana. 
 
 
 
 
Trabalho 4 
Questão 1 
1) Uma viga em balanço sustenta uma carga distribuída conforme 
a figura. 
 
A deflexão 𝑦 da linha central da viga em função da posição 𝑥 é 
dada pela equação 
𝑦 =
𝑤0𝐿
3𝜋4𝐸𝐼
(48𝐿3 cos (
𝜋𝑥
2𝐿
) − 48𝐿3 + 3𝜋3𝐿𝑥2 − 𝜋3𝑥3) 
sendo 𝐿 = 3𝑚 o comprimento da viga, 𝐸 = 70𝐺𝑃𝑎 o módulo de 
elasticidade, 𝐼 = 52,9 × 10−6𝑚4 o momento de inércia e 𝑤0 =
15𝑘𝑁/𝑚. 
Use o método de Newton para determinar a posição da viga em 
que a deflexão é de 9mm. Considere um erro máximo de 0,1%. 
 
Questão 2 
Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 
4800, 5810 e 5690m³, areia, cascalho fino e cascalho grosso, 
respectivamente, para terminar a construção. Existem três minas 
onde esses materiais podem ser obtidos. A composição dessas 
minas é: 
 
Quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para 
atender às necessidades do engenheiro? 
Trabalho: 
1) Escrever o sistema na matricial. 
2) Resolver o sistema pelos Métodos da Eliminação Gaussiana e de 
Gauss-Seidel, casos seja possível. Caso seja possível resolver por 
Gauss-Seidel, o critério de parada é o erro de 0,1%. Comparar 
com o método da eliminação gaussiana. 
 
 
 
 
 
 
Trabalho 5 
Questão 1 
A compra de um computador servidor para a E-empresa por 
R$20000,00 sem entrada, mas com parcelas de R$5000,00 por 
ano durante 5 anos. Qual a taxa de juros que a E-empresa está 
pagando? A expressão que relaciona o valor presente (P), 
pagamentos anuais (A), número de anos (n) e a taxa de juros (i) é 
𝐴 =
𝑃𝑖(1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 
Resolva o problema pelos métodos de Newton e Bissecção com 
erro máximo de 0,1%. 
 
Questão 2 
Uma equipe de três paraquedistas ligados por uma corda de 
peso desprezível é lançada em queda livre a uma 
velocidade de 𝑣 = 5𝑚/𝑠. 
Considere os dados: 
 
O sistema linear resultante permite determinar as tensões 
R e T e a aceleração da equipe: 
 
Considerar 𝑔 = 9,81𝑚/𝑠2. 
Trabalho: 
1) Escrever o sistema matricial. 
2) Resolver o sistema pelos Métodos da Eliminação Gaussiana e 
de Gauss-Seidel, caso seja possível. Em caso afirmativo, use como 
critério de parada o erro de 0,1%. Comparar os resultados.