Trabalho Aplicado II - PDF

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PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
 
CALCULO IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO APLICADO 
 
Graduação em Engenharia Aeronáutica 
 
Professora: Neila M. 
 
 
 
 
 
 
Camile Strzykalski 
Henrique Mourão 
Luis Eduardo Sette 
Simone Musa 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2020 
Usuario
Realce
Usuario
Realce
PARTE I 
 
QUESTÃO 05: 
∫ 𝑌3 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 
 
𝑐
, C é o arco da parábola 𝑥 = 1 − 𝑦2 𝑑𝑒 (0, −1) a (0,1). 
 
∫ 𝑌3 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 
 
𝑐
= ∫ [𝑦3(−2𝑦) + (1 − 𝑦2)2] 𝑑𝑦 = ∫ (−𝑦4 − 2𝑦2 + 1)𝑑𝑦 
1
−1
1
−1
 
 
[−
1
5
𝑦5 −
2
3
3
+ 𝑦]
−1
1
= −
1
5
−
2
3
+ 1 −
1
5
−
2
3
+ 1 =
4
15
 
 
QUESTÃO 09: 
∫ 𝐹 . 𝑑𝑟
 
𝐶
, onde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑧𝒊 + 𝑥𝑧 𝒋 + (𝑥 + 𝑦) 𝒌 e 𝐶 é dado por 𝑟(𝑡) = 𝑡2 𝒊 + 𝑡3 𝒋 − 𝑡 𝒌, 
0 ≤ 𝑡 ≤ 1. 
 
𝐹(𝑟(𝑡)) = 𝑒−1 𝒊 + 𝑡2(−𝑡) 𝒋 + (𝑡2 + 𝑡3) 𝒌 
 
𝑟′(𝑡) = 2𝑡 𝒊 + 3𝑡2 𝒋 − 𝒌 
 
∫ 𝐹 . 𝑑𝑟 = ∫ (2𝑡𝑒−𝑡 − 3𝑡5 − (𝑡2 + 𝑡3))𝑑𝑡 =
1
0
 
𝐶
 [−2𝑡𝑒−𝑡 − 2𝑒−1 −
1
2
𝑡6 −
1
3
𝑡3 −
1
4
𝑡4]
0
1
= 
 
∫ 𝐹 . 𝑑𝑟 = 
 
𝐶
11
12
−
4
𝑐
 
 
QUESTÃO 14: 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑦 𝒊 + (𝑥𝑒𝑦 + 𝑒𝑧)𝒋 + 𝑦𝑒𝑧 𝒌 , C é o segmento de reta que liga (0,2,0) a 
(4,0,3). 
 
𝐹 = 0 
 
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦𝑒𝑧 
 
∫ 𝐹 . 𝑑𝑟 = 𝑓 (4,0,3) − 𝑓(0,2,0) = 4 − 2 = 2 
 
𝐶
 
 
QUESTÃO 15: 
Verifique que o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑦
 
𝐶
, onde C consiste parábola 𝑦 = 𝑥2 de (−1,1) a (1,1) e no segmento 
de reta de (1,1)𝑎 (−1,1). 
 
𝐶1 = 𝑟(𝑡) = 𝑡 𝒊 + 𝑡2 𝒋 − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 
 
𝐶2 = 𝑟(𝑡) = −𝑡 𝒊 + 𝒋 − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 
 
 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑦 = ∫ (𝑡5 − 2𝑡5) 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡 𝑑𝑡 
1
−1 
= [−
1
6
𝑡6]
−1
1
+ [
1
2𝑡2
]
−1
1
= 0 
1
−1
 
𝐶
 
 
 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑦 = ∫ ∫ [
𝜕
𝜕𝑥
(−𝑥2𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥𝑦2)] 𝑑𝑎 = ∫ ∫ (−2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦) 𝑑𝐴 = 
 
𝐷
 
𝐷
 
 
𝐶
 
 
∫ ∫ − 4𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ [−2𝑥𝑦2]
𝑦=𝑥2
𝑦=1 𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥5 − 2𝑥)𝑑𝑥 = [
1
3
𝑥6 − 𝑥2]
−1
1
= 0 
1
−1
1
−1
1
𝑥2
1
−1
 
 
 
QUESTÃO 27: 
∫ ∫ 𝑧 𝑑𝑠 
 
𝑆
, onde S é a parte do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 que está abaixo do plano 𝑧 = 4. 
 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 
 
0 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 𝑟𝑥 𝑋 𝑟𝑦 = 2𝑥 𝒊 − 2𝑦 𝒋 + 𝒌 
 
∫ ∫ 𝑧 𝑑𝑠 = ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)√4𝑥2 + 4𝑦2 + 1 
 
𝑥2+𝑦2≤4
 𝑑𝐴
 
𝐶
 
 
∫ ∫ 𝑟3√1 + 4𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝜃 =
12
0
2𝜋
0
 𝜋(391 √17 + 1) 
 
 
 
 
QUESTÃO 31: 
Verifique se o teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥2 𝒊 + 𝑦2 𝒋 + 𝑧2 𝒌 , onde S é a parte d paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 que está acima do 
plano 𝑥𝑦 e 𝑆 tem orientação ascendente. 
 
𝐹 = 0 
 
∫ ∫ 𝐹 . 𝑑𝑠 = 0 
 
𝑆
 
 
𝐶 ∶ 𝑟(𝑡) = cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
 
∮ 𝐹 𝑑𝑟 = ∫ (− cos2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 cos 𝑡 ) 𝑑𝑡 = 
2𝜋
0
 
 
𝐶
[
1
3
cos3 𝑡 +
1
3
𝑠𝑒𝑛3𝑡] 0
2𝜋 = 0 
 
QUESTÃO 36: 
Calcule o fluxo para fora de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥 𝒊 +𝑦 𝒋+ 𝑧 𝒌 
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
3
2
 , através do elipsoide 4𝑥2 + 9𝑦2 +
2𝑧2 = 36 
 
∫ ∫ 𝐹 . 𝑛2 𝑑𝑠 = − ∫ ∫ 𝐹 . (−𝑛1)𝑑𝑠 + ∫ ∫ ∫ 𝐹 𝑑𝑣 
 
𝐸
 
𝑆1
 
 
𝑆2
 
 
𝐹 =
𝑟
|𝑟|3
 
 
𝐹 = ∇ . (|𝑟|−3𝑟) = |𝑟|−3(∇ . 𝑟) + 𝑟 (∇|𝑟|−3 = |𝑟|−3(3) + 𝑟 (−3|𝑟|−4(𝑟|𝑟|−1) = 0 
 
𝐹 . 𝑛1 =
𝑟
|𝑟|3
 .
𝑟
|𝑟|
= |𝑟|−2 = 1 
 
∫ ∫ 𝐹 . 𝑛2 𝑑𝑠 
 
𝑆2
= ∫ ∫ 𝑑𝑠 + ∫ ∫ ∫ 0 𝑑𝑣 = 4𝜋(1)2 = 4𝜋
 
𝐸
 
𝑆1
 
 
 
 
 
PARTE II 
 
AVALIAÇÃO: 
A disciplina de Cálculo é interessante assim como o curso de Engenharia, porém, 
entendo que falta mais estímulo por parte da instituição e dos docentes no processo 
de aprendizagem, já que esse processo leva a atividades repetitivas e desgastantes, 
como listas de exercícios e testes que nem sempre reforçam o conteúdo ministrado 
e muito menos conduzem ao aprendizado real e de modo prático. 
De fato, para piorar, principalmente o modelo “remoto” de ensino tornou o 
aprendizado torturante para o aluno e muito mais desestimulante em relação ao 
Curso e à universidade. 
Minha sugestão é de que se busque produzir uma atividade cognitiva diferenciada, 
tanto no processo de fixação do conteúdo das disciplinas (não só das exatas, mas 
também de outras do conteúdo curricular) como também, no processo de percepção 
das relações matemáticas com o dia a dia. 
Precisamos produzir uma atividade mental no processo de ensino que permita ao 
aluno relacionar a aplicação do conteúdo ministrado em sala com sua vida diária, 
com o seu cotidiano. Um processo de aprendizado que permita e possibilite ao aluno 
ampliar sua visão de mundo, e do modo como ele se relaciona com o mundo e tudo 
que o cerca.