AOL3 CALCULO DIFERENCIAL ATIVIDADE

Prévia do material em texto

1. Pergunta 1
Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre dois grupos: aquelas que são diretas e aquelas que são inversas. As funções inversas referem-se ao arco seno, arco cosseno, arco tangente, entre outros. Cada uma dessas funções possui uma derivada particular, que seguem as suas propriedades específicas. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir: 
I. Dada f(x)=sen−1x, tem se que
II. sen−1x ≠arcsenx. 
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. 
 
IV. Dada f(x)=cos−1x tem-se que 
Está correto apenas o que se afirma em: 
1. 
 I e III.  
2. 
 I e II. 
3. 
 II e III. 
4. 
 I e IV. 
Resposta correta
5. 
 II, III e IV.     
2. Pergunta 2
As regras de derivação permitem uma manipulação algébrica mais rápida das expressões, tornando-se ferramentas importantes para o estudo do Cálculo Diferencial.  
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados a respeito da regra de derivação da diferença entre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função f(x)=x²−x−1 é f’(x)=2x−1. 
 
II. ( ) A regra é aplicável às funções algébricas e não algébricas. 
 
III. (  ) A função trigonométrica f(x)=cosx−2senx não é diferenciável pela regra de derivação da diferença entre funções. 
 
IV. ( ) Essa regra é representada pela relação [f(x)−g(x)]’=f’(x)–g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
1. 
 V, V, V, F.  
2. 
 V, F, F, F. 
3. 
 F, F, V, V.   
4. 
 V, V, F, V. 
Resposta correta
5. 
 V, F, V, V. 
3. Pergunta 3
Em ciências exatas e áreas correlatas utilizamos constantemente as funções para modelar situações nas quais é possível prever o comportamento de uma variável em função de outras. Sendo assim, é comum uma função ser expressa como a multiplicação de duas ou mais funções, de forma que é interessante, então, dominar a técnica da regra da derivada do produto de duas funções. 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a regra da derivada do produto de duas funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) Em todos os casos de derivação do produto de funções é necessário utilizar a regra da derivada do produto de duas funções. 
 
II. ( ) Sendo f(x)=ex e g(x)=x, a derivada de h(x)=f(x)g(x) é h’(x)=(ex)(1+x). 
 
III. ( ) Sendo i(x)=sen(x) e j(x)=cos(x), a derivada de k(x)=i(x)j(x) no ponto (0,0) é k’(0)=0. 
 
IV. ( ) f(x)g(x) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
1. 
F, V, F, V. 
Resposta correta
2. 
 V, F, F, V. 
3. 
 V, F, V, F. 
4. 
 F, F, F, V. 
5. 
 F, V, V, F.     
4. Pergunta 4
Entender a mecânica clássica e como utilizá-la para compreender e modelar o dia a dia é um dos trabalhos que realiza o engenheiro. O estudo das derivadas é imprescindível para o estudante de engenharia nesse sentido, pois com ela o estudo dos movimentos se torna mais significativo.  
Suponha que um objeto se move seguindo a lei horária s(t)=sen(8t)+t−2. Somado a isso, sabe-se que a velocidade é determinada pela derivada de uma equação horária, e a aceleração é determinada pela derivada da função velocidade. 
 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos de derivação, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A função que descreve a velocidade dessa partícula é dada por v(t)=8cos(8t)+1. 
 
II. É impossível determinar a derivada da velocidade. 
 
III. A função que descreve a aceleração dessa partícula é a(t)=−64sen(8t). 
 
IV. A função velocidade é uma função polinomial. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
1. 
 II e IV.  
2. 
 I e III. 
Resposta correta
3. 
 II e III.   
4. 
 I, II e IV.  
5. 
 I, II, III.  
5. Pergunta 5
Diversas são as regras de derivação, que podem variar conforme a categoria da função, algébrica ou não, ou até mesmo por estaren explícitas ou não. Entre essas regras de derivação, há a regra do quociente. 
 
Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Essa regra considera funções racionais. 
 
II. Essa regra não considera funções algébricas. 
 
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a zero. 
 
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)–f(x)g’(x)]/[g(x)]2. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
1. 
 III e IV    
2. 
 I e IV. 
Resposta correta
3. 
 I e III. 
4. 
 I e II. 
5. 
 II e IV. 
6. Pergunta 6
O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve como ferramenta nas diferentes ciências. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmações a seguir, referentes às suas aplicações. 
 
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de custos de produção. 
 
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta tangente nesses pontos é horizontal. 
 
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de objetos em queda livre. 
 
IV. Consegue-se mensurar a área sob a curva de uma função com base em sua derivada. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
1. 
 I, II e III. 
Resposta correta
2. 
 I e IV. 
3. 
 II e III. 
4. 
 I, III e IV. 
5. 
 II, III e IV.    
7. Pergunta 7
 A estudo de taxas de variação tem importantes aplicações em fenômenos físicos, como o do movimento de corpos, o do escoamento de líquidos, o do fluxo de campos magnéticos, entre outros. 
 
Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre o significado das taxas de variação e sua relação com o estudo do Cálculo, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. O limite de , quando x≥h, é conhecido como a derivada da função f em x=a, caso a função seja diferenciável nesse ponto. 
 
II. Encontrando a derivada da função em um ponto P(a,f(a)), para encontrar uma equação da reta tangente é possível substituir as coordenadas dos pontos e o valor da derivada na equação da reta, que pode ser escrita como y−f(a)=f’(a)(x−a). 
 
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma taxa de variação da função no ponto que representa o ângulo de inclinação da reta tangente à função nesse mesmo ponto. 
 
IV. A reta tangente af(x), que passa pelo ponto P(a,f(a)), tem inclinação igual a f’(a), que é a derivada de f(x), onde x=a. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
1. 
II e IV. 
2. 
I, II e IV.  
Resposta correta
3. 
 II e III.   
4. 
 I, e IV. 
5. 
 I, II e III. 
8. Pergunta 8
Comumente são usadas funções polinomiais para descrever o custo que uma indústria tem para produzir determinado bem de consumo, e o valor derivado dessa função C(x), em x = a, é chamado de custo marginal para produzir um número ‘a’ de produtos, que representa a taxa em que o custo varia de acordo com o número de itens produzidos. 
 
Considerando a função custo C(x)=0,001x³+8x, em reais, o que foi exposto acima e seus conhecimentos sobre a derivadas e taxas de variação, analise as afirmativas a seguir, e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) O custo marginal tem, para a função custo, o mesmo significado que a aceleração de um corpo tem para a função velocidade do mesmo. 
 
II. ( ) O custo marginal para x = 2000 é igual a R$ 1208/item. 
 
III. ( ) O custo marginal para x = 2000 pode ser obtido pela aproximação C(2001) – C(2000). 
 
IV. ( ) A derivada de C(x) não pode assumir valores negativos. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1. 
 V, F, F, V. 
2. 
 V, F, V, V. 
Resposta correta
3. 
 V, V, V, F. 
4. 
 F, V, F, V. 
5. 
 F, V, V, F.    
9. Pergunta 9
O estudo de formas geométricas e seus gráficos, como parábolas, hipérboles e elipses, é muito importante para a disciplina de Cálculo, já que diversos fenômenos naturais são descritospor equações dessas formas. Considere, então, a parábola f(x)=x²+8 e a hipérbole g(x)=3/x.  
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre o significado da taxa de variação de uma função, é correto afirmar que: 
1. 
nenhuma das funções possui taxa de variação em x=0.   
2. 
para x>0, a taxa de variação de f(x) será sempre positiva, e a de g(x) também. 
3. 
para x>0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa. 
Resposta correta
4. 
para x<0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa. 
5. 
para x=0, a taxa de variação de f(x) é nula, assim como a de g(x). 
10. Pergunta 10
As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos em física ocorre no estudo das velocidades instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, velocidade (que é a taxa de variação da posição) e aceleração (que é a taxa de variação da velocidade). 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites laterais coincidirem. 
 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g’(a)=(3a+1)². 
 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua velocidade quando t=2 é de -10m/s. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
1. 
 F, V, F, V.    
2. 
V, V, F, F. 
3. 
 F, F, V, F.  
4. 
 V, F, F, V.
5. 
 F, F, V, V.  
Resposta correta