Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário Cálculo Diferencial

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1. Pergunta 1
/1
Comumente são usadas funções polinomiais para descrever o custo que uma indústria tem para produzir determinado bem de consumo, e o valor derivado dessa função C(x), em x = a, é chamado de custo marginal para produzir um número ‘a’ de produtos, que representa a taxa em que o custo varia de acordo com o número de itens produzidos. 
 
Considerando a função custo C(x)=0,001x³+8x, em reais, o que foi exposto acima e seus conhecimentos sobre a derivadas e taxas de variação, analise as afirmativas a seguir, e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) O custo marginal tem, para a função custo, o mesmo significado que a aceleração de um corpo tem para a função velocidade do mesmo. 
 
II. ( ) O custo marginal para x = 2000 é igual a R$ 1208/item. 
 
III. ( ) O custo marginal para x = 2000 pode ser obtido pela aproximação C(2001) – C(2000). 
 
IV. ( ) A derivada de C(x) não pode assumir valores negativos. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
 F, V, V, F.    
2. Incorreta: 
 V, F, F, V. 
3. 
 F, V, F, V. 
4. 
 V, V, V, F. 
5. 
 V, F, V, V. 
Resposta correta
2. Pergunta 2
/1
 A estudo de taxas de variação tem importantes aplicações em fenômenos físicos, como o do movimento de corpos, o do escoamento de líquidos, o do fluxo de campos magnéticos, entre outros. 
 
Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre o significado das taxas de variação e sua relação com o estudo do Cálculo, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. O limite de , quando h -> 0, é conhecido como a derivada da função f em x=a, caso a função seja diferenciável nesse ponto. 
 
II. Encontrando a derivada da função em um ponto P(a,f(a)), para encontrar uma equação da reta tangente é possível substituir as coordenadas dos pontos e o valor da derivada na equação da reta, que pode ser escrita como y−f(a)=f’(a)(x−a). 
 
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma taxa de variação da função no ponto que representa o ângulo de inclinação da reta tangente à função nesse mesmo ponto. 
 
IV. A reta tangente af(x), que passa pelo ponto P(a,f(a)), tem inclinação igual a f’(a), que é a derivada de f(x), onde x=a. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II e IV. 
2. 
 I, II e III. 
3. 
 II e III.   
4. 
I, II e IV.  
Resposta correta
5. Incorreta: 
 I, e IV. 
3. Pergunta 3
/1
As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos em física ocorre no estudo das velocidades instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, velocidade (que é a taxa de variação da posição) e aceleração (que é a taxa de variação da velocidade). 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites laterais coincidirem. 
 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g’(a)=(3a+1)². 
 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua velocidade quando t=2 é de -10m/s. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
 F, F, V, V.  
Resposta correta
2. 
 F, F, V, F.  
3. 
 V, F, F, V.
4. 
 F, V, F, V.    
5. 
V, V, F, F. 
4. Pergunta 4
/1
As regras de derivação permitem uma manipulação algébrica mais rápida das expressões, tornando-se ferramentas importantes para o estudo do Cálculo Diferencial.  
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados a respeito da regra de derivação da diferença entre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função f(x)=x²−x−1 é f’(x)=2x−1. 
 
II. ( ) A regra é aplicável às funções algébricas e não algébricas. 
 
III. (  ) A função trigonométrica f(x)=cosx−2senx não é diferenciável pela regra de derivação da diferença entre funções. 
 
IV. ( ) Essa regra é representada pela relação [f(x)−g(x)]’=f’(x)–g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
 V, F, F, F. 
2. 
 V, F, V, V. 
3. 
 V, V, F, V. 
Resposta correta
4. 
 V, V, V, F.  
5. 
 F, F, V, V.   
5. Pergunta 5
/1
Algumas expressões algébricas não podem ser derivadas pelas regras de derivação convencionais, como é o caso das chamadas funções implícitas.  
 
Considerando essas informações, e utilizando seus conhecimentos sobre esse tipo de função e suas derivadas, é correto afirmar que a derivada da função  é: 
 
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1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Resposta correta
6. Pergunta 6
/1
Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre dois grupos: aquelas que são diretas e aquelas que são inversas. As funções inversas referem-se ao arco seno, arco cosseno, arco tangente, entre outros. Cada uma dessas funções possui uma derivada particular, que seguem as suas propriedades específicas. 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir: 
I. Dada f(x)=sen−1 x, tem se que 
II. sen−1x ≠ arcsen x. 
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. 
IV. Dada f(x)=cos−1x tem-se que 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
 I e III.  
2. 
 I e IV. 
Resposta correta
3. 
 I e II. 
4. 
 II, III e IV.     
5. 
 II e III. 
7. Pergunta 7
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O estudo das funções polinomiais é muito importante devido a uma série de aplicações que possui na vida real, como em funções que modelam custos de mercadorias, contas de energia e água, movimento de corpos e etc. 
Dessa forma, considerando a importância dessas funções e seus conhecimentos sobre a regra da derivada da potência de base x, analise as afirmativas a seguir. 
I. A derivada de uma função constante sempre é igual a zero. 
II. Dada uma função f(x)=xn, sua derivada é f’(x)=(n−1)xn−1. 
III. A derivada de uma função vezes uma constante é igual à derivada da função vezes a derivada da constante. 
IV. Dada a função f(x)=5(x³+2x²+5x), f’(x)=5(3x²+4x+5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I e IV. 
Resposta correta
2. 
 II e IV. 
3. 
 I, II, e IV. 
4. 
 I, II e III. 
5. 
II e III.    
8. Pergunta 8
/1
Diversas são as regras de derivação, que podem variar conforme a categoria da função, algébrica ou não, ou até mesmo por estarem explícitas ou não. Entre essas regras de derivação, há a regra do quociente. 
Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir: 
I. Essa regra considera funções racionais. 
II. Essa regra não considera funções algébricas. 
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a zero. 
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)–f(x)g’(x)]/[g(x)]2. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. Incorreta: 
 III e IV    
2. 
 II e IV. 
3. 
 I e IV. 
Resposta correta
4. 
 I e III. 
5. 
 I e II. 
9. Pergunta 9
/1
O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve como ferramenta nas diferentes ciências. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmações a seguir, referentes às suas aplicações. 
 
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de custos de produção. 
 
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta tangente nesses pontos é horizontal. 
 
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de objetos em queda livre. 
 
IV. Consegue-se mensurar a área soba curva de uma função com base em sua derivada. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
 I e IV. 
2. 
 I, III e IV. 
3. 
 II, III e IV.    
4. 
 II e III. 
5. 
 I, II e III. 
Resposta correta
10. Pergunta 10
/1
As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de raio unitário, e relacionam-se entre si de diversas maneiras. A tangente, por exemplo, é a razão entre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos dentro desse círculo trigonométrico. Compreender e manipular suas derivadas é fundamental para o desenvolvimento dos estudos de Cálculo Diferencial e Integral.  
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. (  ) A função trigonométrica f(x)=5cosx tem como derivada −5senx. 
II. ( ) A função f(x)=sen(cosx) é uma função trigonométrica composta, que pode ser derivada pela regra da cadeia. 
III. ( ) As derivadas de f(x)=cosxe g(x)=senx são iguais a, respectivamente, f’(x)=senx e g’(x)=cosx. 
IV. ( ) A função f(x)=sen(3x)+1 tem sua derivada definida por f’(x)=cos(3x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 V, V, F, V. 
2. 
 V, F, V, V.  
3. 
 F, F, V, F.    
4. 
 V, V, F, F. 
Resposta correta
5. 
 F, F, V, F.