Avaliação do Tempo de Risco

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AVALIAÇÃO DO 
TEMPO E RISCO
Programa de Pós-Graduação EAD
UNIASSELVI-PÓS
Autoria: Magnus dos Reis
CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, no 1.040, Bairro Benedito
Cx. P. 191 - 89.130-000 – INDAIAL/SC
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Reitor: Prof. Hermínio Kloch
Diretor UNIASSELVI-PÓS: Prof. Carlos Fabiano Fistarol
Equipe Multidisciplinar da Pós-Graduação EAD: 
Carlos Fabiano Fistarol
Ilana Gunilda Gerber Cavichioli
Cristiane Lisandra Danna
Norberto Siegel
Camila Roczanski
Julia dos Santos
Ariana Monique Dalri
Bárbara Pricila Franz
Marcelo Bucci
Revisão de Conteúdo: Bárbara Pricila Franz
Revisão Gramatical: Equipe Produção de Materiais
Diagramação e Capa: 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Copyright © UNIASSELVI 2018
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
 UNIASSELVI – Indaial.
R375a
 Reis, Magnus dos
 Avaliação do tempo e risco. / Magnus dos Reis – Indaial: 
UNIASSELVI, 2018.
 132 p.; il.
 
 ISBN 978-85-53158-15-7
 1.Administração financeira – Brasil. II. Centro Universitário Leon-
ardo Da Vinci.
CDD 658.15 
Magnus dos Reis
Doutor em Economia Aplicada pelo Programa 
de Pós-Graduação em Economia da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (PPGE/UFRGS). Possui 
graduação em Ciências Econômicas pela Universidade 
do Vale do Rio dos Sinos (UNISINOS), com ênfase em 
Economia e Finanças, e mestrado em Economia pela 
Universidade do Vale do Rio dos Sinos (PPGE/UNISINOS), 
área de Concentração, Organização Industrial e Economia 
Internacional. Tem experiência na área de Economia 
Internacional, modelos matemáticos e Econometria. Autor 
de diversos artigos publicados nas principais revistas 
de economia do país (Estudos Econômicos – USP, 
Revista Brasileira de Economia – FGV e Pesquisa e 
Planejamento Econômico – IPEA). Profissionalmente, 
atua há mais de 10 anos como pequeno empresário 
do setor industrial, sendo responsável pelas áreas 
financeira, fiscal e coordenação de equipes.
Sumário
APRESENTAÇÃO ..........................................................................07
CAPÍTULO 1
Valor do Dinheiro no Tempo ......................................................09
CAPÍTULO 2
Risco e Retorno ..........................................................................57
CAPÍTULO 3
Avaliações ...................................................................................105
APRESENTAÇÃO
A teoria que trata do valor do dinheiro no tempo é um dos conceitos 
fundamentais da administração financeira, isso porque as decisões de consumo 
e de investimento envolvem custos e benefícios com diferentes prazos e riscos. 
Nesse contexto, é indispensável que o administrador tenha amplo conhecimento da 
matemática financeira, mais especificamente, ele deverá dominar os conceitos e os 
cálculos de valor presente e futuro para tomar decisões que maximizem sua renda 
ou receita. O primeiro capítulo deste livro trata justamente sobre isso, ao apresentar 
como as técnicas de composição e desconto são utilizadas para calcular o valor 
presente e futuro de quantias individuais, anuidades e séries mistas. 
 
Diferentemente, no segundo capítulo serão estudadas as relações entre 
risco e retorno de um ativo. Você perceberá que deve existir uma recompensa por 
correr risco, a qual é chamada de prêmio pelo risco. De modo geral, quanto maior 
for o risco, maior deverá ser o retorno potencial exigido pelo investidor, dada a 
aversão natural do ser humano ao risco. Os riscos podem ser divididos em dois 
tipos, o sistemático e não sistemático. O risco sistemático afeta todos os ativos da 
economia de alguma forma, por outro lado, o não sistemático afeta, no máximo, 
um número pequeno de ativos. Para mitigar o risco não sistemático, pode-se 
utilizar o princípio da diversificação, por meio da composição de uma carteira de 
ativos diversificados. 
 
Após essas discussões, duas teorias de precificação de ativos foram 
apresentadas, o modelo de formação de preços de ativos (CAPM) e a Teoria 
de Arbitragem (APT). Enquanto que o modelo CAPM mede a sensibilidade do 
ativo frente às flutuações da carteira de mercado, a teoria APT consiste em um 
modelo de múltiplos fatores que podem levar em conta diversas fontes de risco 
da economia. Dessa forma, o modelo CAPM pode ser considerado uma versão 
restrita do modelo APT. 
 
Encerrada a apresentação das teorias de precificação de ativos, o restante 
do livro mensura o preço dos títulos de empresas e do governo, além das ações. 
Apesar de existir algumas variações nos cálculos, tanto os títulos quanto as 
ações utilizam os conceitos de valor do dinheiro no tempo, mais especificamente, 
utilizam-se os cálculos de valor presente nos fluxos de caixa projetados, com o 
objetivo de encontrar seu preço. O livro termina apresentando os principais títulos 
do governo brasileiro que são ofertados e comercializados nos mercados.
CAPÍTULO 1
Valor do Dinheiro no Tempo
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capitulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
� Compreender o papel do valor do dinheiro no tempo.
�	Apresentar as ferramentas de cálculo necessárias para realizar análises de 
valor presente e futuro de diferentes séries de fluxo de caixa.
�	Determinar o valor futuro de um investimento feito hoje.
�	Calcular o valor presente de um montante a ser recebido no futuro.
�	Apontar a taxa de juros (crescimento) de uma série de fluxo de caixa.
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 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
11
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Contextualização
A maioria das decisões financeiras envolve custos e benefícios distribuídos 
em diferentes prazos, de modo que, conhecer o valor do dinheiro no tempo é 
um conceito fundamental na administração financeira. Em qualquer tomada de 
decisão, os administradores necessitarão avaliar cuidadosamente o impacto 
de longo prazo sobre os fluxos de caixa previstos, de diferentes alternativas de 
investimento. Dessa forma, não somente os conhecimentos dos conceitos de 
valor presente e futuro serão extremamente importantes para que o administrador 
tome a decisão mais correta, mas também o domínio da matemática financeira 
será fundamental. 
Além disso, através do domínio dos conceitos de valor presente, de valor 
futuro e das ferramentas de cálculo que serão apresentadas no capítulo, o 
administrador financeiro será capaz de mensurar o valor presente e futuro de 
fluxos de caixa com datas distintas e, a partir disso, combinar, comparar e avaliar 
todas as opções de investimento disponíveis no mercado, de modo a maximizar o 
preço da ação de uma empresa, ou, se for o caso, maximizar sua própria riqueza. 
O restante do capítulo foi organizado da seguinte forma: a primeira seção 
aprofunda o conceito de valor do dinheiro no tempo. A segunda seção apresenta 
o conceito e as fórmulas de cálculo do valor futuro, enquanto, na seção seguinte, 
a abordagem adotada na segunda seção é mantida, porém estuda-se o valor 
presente. Outras abordagens relacionadas ao valor do dinheiro no tempo, que 
são muito úteis para um administrador financeiro, são discutidas na quarta seção. 
As últimas duas seções oferecem os conceitos e os cálculos de taxa de juros e 
algumas aplicações de problemas financeiros para a HP12C, respectivamente, 
além de uma consideração final sobre o tema.
Introdução ao Valor do Dinheiro no 
Tempo
Uma tarefa importante do administrador financeiro ou investidor é avaliar 
e comparar diversas opções de investimento. Existe uma variedade de tipos de 
investimento, sendo que os principais são os fundos, os títulos do governo, os 
depósitos com renda fixa, a poupança e o mercado de ações. Entretanto, essas 
opções apresentam diferentes condições em termos de prazo, rentabilidade, 
carência e riscos. Assim, as escolhas feitas pelo administrador têm consequências 
importantes sobre a riqueza, uma vez queimpactam na distribuição de entradas 
e saídas de caixa ao longo do tempo. Por isso, as pessoas reconhecem 
explicitamente o valor do dinheiro no tempo. 
12
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
O valor do dinheiro no tempo surge do fato que mais vale ter um real hoje do 
que tê-lo no futuro. Alguns dos motivos para que exista essa preferência revelada 
são os seguintes: 
i. Juros.
ii. Inflação.
iii. Risco.
Se você tiver uma quantia hoje e aplicá-la em uma das opções de investimento 
disponíveis, então você terá a quantia inicial mais um plus decorrente dos juros do 
período, portanto, o investidor terá um ganho para abrir mão do consumo presente. 
Por outro lado, a inflação faz com que o dinheiro perca poder de compra no futuro. 
Por exemplo, se você possuir apenas 100 reais e um determinado bem custar 
exatamente o valor hoje, no futuro ele poderá estar sendo vendido por 110 reais, 
logo a inflação não permitiria que o bem fosse comprado no futuro considerando 
a mesma quantia disponível no presente. Ainda, uma vez que o futuro é incerto e 
em muitas das opções de investimento há riscos envolvidos, determinam também 
que exista uma diferença no valor do dinheiro hoje e no futuro.
São os juros, a inflação e o risco que determinam a magnitude da diferença 
entre o valor do dinheiro agora e o dinheiro mais tarde. Assim, para compreender 
finanças, será necessário estudar o valor do dinheiro no tempo considerando 
duas visões do valor: o valor futuro e o valor presente, além das ferramentas 
necessárias de cálculo usadas para encontrar os valores e os tipos básicos de 
séries de fluxos de caixa, como será apresentado no decorrer do capítulo.
a) Valor Futuro versus Valor Presente
Um administrador financeiro pode tomar suas decisões de investimento tanto 
pela análise do valor presente quanto do valor futuro. Muito embora essas técnicas 
sejam diferentes, elas conduzem para uma mesma decisão. A diferença entre as 
técnicas de valor presente e futuro é que a primeira delas mede os fluxos de caixa 
no início da vida de um investimento, enquanto a segunda avalia no final. Mais 
especificamente, o valor futuro se refere à quantia monetária que um investimento 
alcançará em determinada data futura, dada uma taxa de juros. Por outro lado, o 
valor presente corresponde à quantia monetária atual que determinado investimento 
futuro teria. Assim, o valor presente é o inverso do valor futuro. 
Para facilitar a compreensão do conceito de valor futuro e presente, é 
útil valer-se de uma linha de tempo. A linha do tempo é desenhada no sentido 
horizontal e inicia da esquerda para a direita, no período zero e vai até o último 
período futuro da série de fluxo de caixa. Ainda, em cada período há uma linha 
e um valor que representa o montante recebido/dispendido naquele tempo. Se a 
13
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
linha estiver abaixo do ponto, então ela representa uma saída e, caso contrário, 
uma entrada no fluxo de caixa. A Figura 1 representa os fluxos monetários de 
um determinado investimento com prazo de maturação de cinco anos, além do 
dispêndio inicial feito no período zero.
Uma série de fluxo de caixa é um conjunto de saídas e/ou 
entradas de valores nominais que se encontram dispostos em 
períodos de tempo ao longo de um fluxo de caixa. Determinados 
valores podem ser constantes ou variáveis e, além disso, eles podem 
ter uma periodicidade não uniforme. 
Figura 1 – Linha de tempo
$ 5.000
1 2 3 4 50
$ 6.000 $ 7.000
$ 8.000 $ 9.000
$ 15.000
Fonte: O autor.
Os condicionantes apresentados anteriormente fazem com que o dinheiro 
tenha um valor diferente em cada período de tempo, os fluxos de caixa devem 
ser medidos em uma mesma data para que as decisões sejam tomadas. De 
modo geral, a data escolhida é a final ou inicial da série, conforme destaca 
Gitman (2005). Porém, por tomarem a decisão na data zero, os administradores 
financeiros costumam utilizar com mais frequência a técnica do valor presente. 
Para encontrar o valor presente e o valor futuro, devemos utilizar as técnicas 
de composição e desconto, respectivamente. Em relação à composição, Gitman 
(2005, p. 130) afirma que:
A técnica do valor futuro emprega o processo de composição 
para determinar o valor futuro de cada fluxo de caixa no final do 
prazo do investimento e, em seguida, adiciona esses valores 
para determinar o valor futuro do investimento. 
14
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Por outro lado, considerando a técnica do desconto, Gitman (2005, p. 130) 
sugere que:
Alternativamente, a técnica do valor presente utiliza o processo 
de desconto para determinar o valor presente de cada fluxo de 
caixa na data zero e depois soma esses valores para descobrir 
o valor do investimento hoje. 
Ainda, para facilitar o entendimento, os conceitos apresentados podem 
ser representados utilizando uma linha de tempo. A aplicação das técnicas de 
composição e desconto são ilustradas através de uma linha de tempo apresentada 
na Figura 2.
Figura 2 – Ilustração da composição e do desconto
Fonte: Gitman (2005).
Observando a Figura 2, fica claro que o processo de composição é um 
processo contrário ao processo de desconto, porém isso será demonstrado com 
mais rigor durante o capítulo. A seguir, você verá as ferramentas de cálculos 
necessárias para encontrar o valor presente e futuro do dinheiro.
b) Ferramentas de cálculo
De modo geral, os cálculos financeiros envolvem técnicas matemáticas 
avançadas. Entretanto, podemos utilizar tabelas financeiras, calculadoras financeiras 
(HP 12C) e planilhas dinâmicas em computadores para facilitar essa tarefa. 
15
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
As tabelas financeiras apresentam fatores de valor presente e futuro que 
tornam os cálculos financeiros mais fáceis. De acordo com Gitman (2005), 
usualmente as tabelas financeiras dispõem em suas colunas as taxas de juros 
e, em suas linhas, o número de períodos. A Tabela 1 apresenta um exemplo 
de tabela financeira com fatores de juros compostos, de valor futuro, para uma 
unidade monetária em i por cento e para t períodos.
Tabela 1 – Tabela financeira para composição
1% 2% 3% 4% 5% 6% ...
1 1,01000 1,02000 1,03000 1,04000 1,05000 1,06000 ...
2 1,02010 1,04040 1,06090 1,08160 1,10250 1,12360 ...
3 1,03030 1,06121 1,09273 1,12486 1,15763 1,19102 ...
4 1,04060 1,08243 1,12551 1,16986 1,21551 1,26248 ...
5 1,05101 1,10408 1,15927 1,21665 1,27628 1,33823 ...
6 1,06152 1,12616 1,19405 1,26532 1,34010 1,41852 ...
... ... ... ... ... ... ...
Fonte: O autor.
Para ilustrar como essa tabela é útil, suponha que você queira aplicar R$ 
1.400,00 em um título do governo no qual paga 6% de juros ao ano. Qual seria o 
montante que você teria no final de cinco anos? Localizando na Tabela 1, a coluna 
correspondente a 6% de taxa de juros. Na linha, contando um período de 5 anos, 
obtemos o fator de 1,33823. Conhecendo o fator, responder essa pergunta é muito 
fácil, basta multiplicar o valor a ser aplicado pelo fator encontrado, como segue:
VF VP FCt i t= × ,
VF xt =1 400 00 1 33823. , ,
VFt =1 873 52. ,
Sendo:
VFt é o valor futuro no final do período t.
VP é o valor presente ou montante inicial.
FCi,t é o fator de composição para a taxa de juros i e para o período t.
i é a taxa de juros.
t é o período.
16
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Logo, o valor após cinco anos seria de R$ 1.873,52.
No entanto, é possível que, em determinado momento, você não encontre 
na tabela financeira exatamente o fator que você procura, ou ainda, você pode 
não ter acesso às tabelas financeiras no momento do cálculo. Por exemplo, se 
no caso anterior a taxa de juros fosse de 12% ao ano, não seria possível localizar 
na tabela 1 o fator correspondente a essa taxa, impossibilitando a realização do 
cálculo. Assim, é útil conhecer a origem dos fatores. Para encontrar qualquer fator 
de composição, inclusive os que foram apresentados na tabela, pode-se utilizar a 
seguinte fórmula:FC ii t
t
,
( )= +1
Sendo:
FCi,té o fator de composição para a taxa de juros i e para o período t. 
i é a taxa de juros.
t é o período.
No exemplo anterior foi utilizado o fator 1,33823. Perceba 
que ele pode ser encontrado da seguinte forma:
A mesma lógica vale para qualquer outro fator não apresentado 
na Tabela 1. Se você tem uma opção de investimento que oferece 
uma taxa de juros de 25% ao ano e o número de períodos for de 10 
anos, então o fator será de:
FC6,5 0,06= +( )1
5
FC ii t
t
, ( )= +1
FC6,5 1,338823=
FC25,10
10
= +( )1 0 25,
FC25,10 9,313323=
17
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Partindo da mesma lógica, pode-se construir uma tabela com fatores de juros 
de valor presente para uma unidade monetária, descontando em i por cento e 
para t períodos, utilizando a seguinte fórmula:
FD
i
i t t, =
+( )
1
1
Sendo:
FDi,t é o fator de desconto para a taxa de juros i e para o período t. 
i é a taxa de juros.
t é o período.
Observe que FDi,t é o inverso de FCi,t, de modo que, a partir da Tabela 1, 
pode-se construir uma tabela com os fatores de valor presente ao inverter cada 
número contido na tabela. A tabela 2 apresenta alguns dos fatores de desconto.
Tabela 2 – Tabela financeira para desconto
1% 2% 3% 4% 5% 6% ...
1 0,99010 0,98039 0,97087 0,96154 0,95238 0,94340 ...
2 0,98030 0,96117 0,94260 0,92456 0,90703 0,89000 ...
3 0,97059 0,94232 0,91514 0,88900 0,86384 0,83962 ...
4 0,96098 0,92385 0,88849 0,85480 0,82270 0,79209 ...
5 0,95147 0,90573 0,86261 0,82193 0,78353 0,74726 ...
6 0,94205 0,88797 0,83748 0,79031 0,74622 0,70496 ...
... ... ... ... ... ... ... ...
Fonte: O autor.
Ainda, há várias outras tabelas que podem ser construídas considerando 
casos de movimentações financeiras mais complexas. Perceba que as duas 
tabelas apresentadas possuem fatores para os casos de apenas uma aplicação, 
ou seja, você aplica o valor apenas uma vez. No entanto, existem situações 
que envolvem uma série de recebimento/pagamentos. Em determinados casos, 
também é possível construir tabelas financeiras, sendo que a lógica de construção 
é praticamente a mesma das tabelas para quantias individuais.
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 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Se você tiver interesse nessas tabelas mais complexas, veja as 
tabelas A-3 e A-4 no apêndice do livro:
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 
10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
Se você tiver interesse em alguns exemplos de como calcular o 
valor presente e futuro por meio de planilhas no Excel, veja:
ROSS, Stephen A. WESTERFIELD; Randolph W. JORDAN; 
Bradford D., LAMB, Roberto. Fundamentos de administração 
financeira. 9. ed. Porto Alegre, AMGH Editora Ltda., 2013.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 
10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
Uma ferramenta mais útil que as tabelas financeiras é utilizar calculadoras 
financeiras, tal como a HP 12C. O administrador financeiro, depois que estudar as 
diversas funções dessa calculadora, poderá fazer uso de várias rotinas financeiras 
já previamente programadas na calculadora. Essas programações predefinidas 
facilitam muito os cálculos financeiros mais rotineiros. Considerando isso, na 
sequência do livro serão apresentados vários exemplos de como calcular o valor 
presente e futuro utilizando determinado modelo de calculadora. 
Por fim, podemos construir planilhas dinâmicas em computadores 
(software Excel). Assim como as calculadoras, essas planilhas já possuem 
diversas programações financeiras prontas. As planilhas financeiras podem 
ser consideradas mais úteis que as duas opções anteriores, especialmente se 
a planilha for produzida de forma dinâmica. Se construída da maneira correta, 
a planilha permite fazer uma análise de sensibilidade, ou seja, avaliar como os 
resultados se modificariam se uma das variáveis fosse alterada, por exemplo, se 
os juros de uma aplicação financeira passassem de 5% para 8%. 
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Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
c) Tipos básicos de séries de fluxo de caixa
Existem três principais tipos de séries de fluxo de caixa, a saber: i) quantia 
individual, ii) anuidade e iii) série mista. A quantia individual é um montante único 
que uma pessoa/empresa tem ou espera ter em uma data futura. É o caso de um 
indivíduo poupador que possui R$ 10.000,00 e irá aplicar determinado valor ou, 
ainda, quando o indivíduo irá receber R$ 10.000,00 daqui a dois anos. Por outro 
lado, a anuidade tem como principal característica a uniformidade na série de 
fluxos de caixa. É o caso de um indivíduo que irá receber, nos próximos 7 anos, R$ 
20.000,00 por ano. A mesma lógica valeria, caso fossem pagamentos a receber. 
Diferentemente, uma série mista apresenta fluxos de caixa não uniformes. No tipo 
de série apresentado não é possível estabelecer nenhum tipo de padrão em seus 
fluxos, tanto em termos de valores, quanto em períodos. A Tabela 3 apresenta um 
exemplo dos três tipos de séries.
Tabela 3 – Exemplos de séries de fluxo de caixa
Período Quantia individual Anuidade Série Mista
0 R$10.000,00 - -R$8.000,00
1 - R$20.000,00 R$14.000,00
2 - R$20.000,00 -
3 - R$20.000,00 -
4 - R$20.000,00 R$15.000,00
5 - R$20.000,00 -
6 - R$20.000,00 -
7 - R$20.000,00 R$4.000,00
8 - R$20.000,00 R$9.000,00
Fonte: O autor
Ademais, deve-se salientar que há três tipos de anuidades: a ordinária, a 
vencida e a perpetuidade. Na anuidade ordinária, o fluxo de caixa ocorre sempre 
no final de cada período, enquanto que, na vencida, a lógica é contrária, ou 
seja, o vencimento se dá no início do período. Comparativamente, mesmo que 
uma anuidade ordinária tenha o mesmo número de períodos e valores que uma 
anuidade vencida, além de terem uma mesma taxa de juros, a vencida terá um 
valor mais alto do que a ordinária. 
A situação ocorre porque a anuidade vencida receberá antes os fluxos 
monetários e renderão juros por mais tempo que a anuidade ordinária. Assim, 
tanto para fins de valor presente e de valor futuro, uma anuidade vencida sempre 
terá um valor maior que uma anuidade ordinária. A Tabela 4 apresenta exemplos 
de anuidades ordinária e vencida com os mesmos valores e prazos, objetivando 
evidenciar a diferença entre elas.
20
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Tabela 4 – Anuidade ordinária e vencida
Período Ordinária Vencida
0 R$ 0,00 R$ 1.000,00
1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
3 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
4 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
5 R$ 1.000,00 R$ 0,00
Total R$ 5.000,00 R$ 5.000,00
Fonte: O autor.
Fica evidente que, na anuidade vencida, o valor começa a ser recebido antes. 
Por fim, no que diz respeito à perpetuidade, ela tem como característica marcante 
o fato de possuir vencimentos regulares e com duração infinita, como será mais 
detalhado na sequência do capítulo. 
Valor Futuro
O valor futuro é o montante total que uma determinada quantia de dinheiro 
terá no futuro caso essa quantia seja aplicada em algum ativo financeiro por certo 
período de tempo, remunerando o capital através de uma taxa de juros. Entretanto, 
antes de apresentar os cálculos de valor futuro para uma quantia individual, para 
uma anuidade e para uma série mista, devemos conhecer os conceitos de juros 
simples e juros compostos. Ainda, muito embora o mercado financeiro usualmente 
utilize a taxa de juros percentual, é necessário colocá-la na forma fracionária para 
efetuar os cálculos financeiros. Isso é bastante trivial de ser feito, entretanto a Tabela 
5 apresenta alguns exemplos de juros na forma percentual e seus respectivos juros 
na forma fracionária. Perceba que isso já havia sido feito nos exemplos anteriores, 
uma vez que foram apresentadas duas taxas de juros na forma percentual, 25% e 
6%, utilizado 0,25 e 0,06, respectivamente, nos cálculos. 
Tabela 5 – Forma percentual e fracionária
Forma percentual Forma fracionária
0,1% 0,1/100 = 0,001
1,0% 1/100 = 0,010
1,5% 1,5/100 = 0,015
10,0% 10/100 = 0,100
Fonte: O autor.21
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Não obstante, pode-se ilustrar a relação entre o valor futuro e o número de 
períodos considerando diferentes taxas de juros e uma determinada quantia, 
conforme foi realizado no Gráfico 1. 
Gráfico 1 – Relações de valor futuro
Fonte: Gitman (2005).
No Gráfico 1, o eixo vertical mensura o valor futuro de uma unidade monetária 
e o eixo horizontal o número de períodos. As linhas sinalizadas com percentuais, 
em seu final, indicam a taxa juros utilizada para obter os respectivos valores de 
cada linha. Para construir o gráfico, o valor inicial estipulado foi de uma unidade 
monetária ($). Observe que, quanto maior for a taxa de juros, maior será o valor 
futuro. Da mesma forma, quanto maior for o período de acumulação, maior será o 
valor futuro do montante aplicado. Dado que o valor futuro de uma quantia pode 
ser obtido considerando duas composições distintas, através dos juros simples 
e dos juros compostos, os conceitos foram apresentados, respectivamente, nas 
duas subseções a seguir.
a) Juros simples
Segundo Samanez (2001), juros são a remuneração cobrada pelo capital. 
O regime de juros simples calcula os juros de uma operação financeira sempre 
considerando o mesmo montante inicial. Dessa forma, não há capitalização 
porque os juros de um determinado período não são adicionados ao montante 
22
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
inicial, de modo que a base de cálculo para os juros é sempre a mesma quantia 
estabelecida inicialmente. Assim, no regime de juros simples o capital crescerá 
a uma taxa linear, da mesma forma que a taxa de juros também apresentará um 
comportamento linear em relação ao tempo. 
b) Juros compostos
Diferentemente, o regime de juros compostos parte da ideia de deixar um 
montante e todos seus juros acumulados decorrentes de uma operação financeira 
por mais de um período de tempo, reinvestindo os juros a cada período, conforme 
destacaram Ross et al. (2013). Determinado processo também é conhecido 
como capitalização composta, de modo que ganhamos juros sobre juros, logo o 
crescimento do montante inicial é mais rápido no regime de juros compostos 
comparado ao regime de juros simples. Ainda, no regime de juros compostos, o 
dinheiro inicial cresce exponencialmente em progressão geométrica na medida em 
que o tempo passa, enquanto que no caso dos juros simples o crescimento é linear. 
Uma vez que no regime de juros simples os juros não são reinvestidos, pois 
a cada período o ganho recebido de juros é calculado apenas sobre o montante 
inicial de modo que os juros serão sempre os mesmos independentemente do 
período, a aplicação do regime de juros simples no sistema financeiro é muito 
limitada, sendo indicada apenas em um contexto não inflacionário e de curtíssimo 
prazo, conforme destacou Samanez (2001). Em virtude disso, os cálculos de 
valor presente e valor futuro apresentados no livro que está sendo estudado 
consideraram apenas o regime de juros compostos. 
c) As equações de valor futuro
Iniciando pelo caso mais simples, utilizando uma quantia individual com 
composição anual, pode se derivar a equação do valor futuro a partir do seguinte 
exemplo. Considere que você guardou R$ 1.000,00 em uma poupança e deseja 
aplicar essa quantia em fundo que rende 10% ao ano. Qual quantia você teria 
após um ano? 
Perceba que a resposta dessa pergunta envolve calcular o valor futuro da 
quantia presente. A fórmula do cálculo de valor futuro (VF) é dada por:
 1
1000,00 1 0,1
 1000,00 1
VF VP i
VF R
VF R
= × +( )
= × +( )
= ×
$
$ ,,1
 1100,00VF R= $
23
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Sendo: as notações seguem as mesmas definidas anteriormente. Caso o 
montante fosse aplicado por mais um ano e a taxa de juros fosse mantida, você 
acumularia:
Em três anos:
Em t períodos:
Generalizando, podemos substituir os valores pelas variáveis taxa de juros, 
número de períodos e valor inicial. No caso apresentado, R$ 1.000,00 é o valor 
presente (VP) ou valor inicial, e a taxa de juros, que no exemplo é 0,10 ou 10%, é 
representa por i, de tal modo que a fórmula geral do valor futuro, para t períodos e 
taxa de juros i, pode ser representada por:
Perceba que (1 + i )t é o fator de composição (FCi,t) para a taxa de juros 
i e para o período t, que foi anteriormente apresentado. Conhecida a equação 
que determina o valor futuro de uma quantia individual, parte-se agora para as 
situações financeiras que envolvem uma anuidade.
VF R
VF R
= × +( ) × +( )
= ×( )×
$
$
1000,00 1 0,1 1 0,1
 1000,00 1,1 11,1
 1000,00 1,1 1,1
 1000,00 1
VF R
VF R
= × ×( )
= ×
$
$ ,,1
 1210,00
( )
=
2
VF R$
VF R
VF R
= × +( )× +( ) × +( )
=
$
$
1000,00 1 0,1 1 0,1 1 0,1
 10000,00 1,1 1,1 1,1
 1000,00 1,1 1,1 1,1
× ×( )×
= × × ×(VF R$ ))
= ×( ) 1000,00 1,1
 
VF R$
3
 1331,00VF R= $
VF R= × +( )× +( )×⋅⋅⋅× +( ) × +( )$1000,00 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1
 1000,00 1,1 1,1 1,1 1,1
 
VF R= × × ×⋅⋅⋅×( )×$
 1000,00 1,1 1,1 1,1
 
VF R= × × ×⋅⋅⋅×( )$
 1000,00 1,1VF R
t
= ×( )$
VF VP it
t
= ×( )1 + 
24
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Para compreender o raciocínio do cálculo de uma anuidade ordinária, foi 
utilizado o exemplo de Gitman (2005). Suponha que você receberá uma indenização 
com depósitos anuais de R$ 1.000,00 no final de cada ano durante os próximos 5 
anos. Para valorizar o dinheiro, você o colocaria em uma aplicação que rende 7% 
de juros ao ano. Dito isso, qual montante você terá no final do 5º ano? 
A Figura 3 ilustra a lógica do cálculo que será empregado para responder 
essa pergunta. Observe que, quando completar 1 ano, você receberia a primeira 
parcela dos R$ 1.000,00. O montante ficaria aplicado e rendendo juros durante 
os próximos quatros anos. Já no segundo ano, você receberia mais R$ 1.000,00 
e renderia juros de três períodos. Portanto, no terceiro período os juros seriam 
sobre dois anos de aplicação, enquanto que no quarto sobre apenas um e, no 
quinto, não haveria juros, apenas o principal (R$ 1.000,00). 
Ainda, a Figura 3 demonstra o valor futuro que cada parcela terá, acrescida 
dos juros no quinto ano, assim como o montante final, que foi arredondado para 
R$ 5.751,00. Perceba que os valores futuros de cada um dos montantes aplicados 
podem ser obtidos, simplesmente, por meio da equação de valor futuro para uma 
quantia individual.
Figura 3 – Linha de tempo para valor futuro
Fonte: Gitman (2005).
Considere, por exemplo, o cálculo do valor futuro do primeiro montante 
recebido, como segue: 
 1 + 
1.000,00 1 0,07
 1.00
VF VP i
VF R
VF R
t
t
= ×( )
= × +( )
=
$
$
4
00,00 1,3108
 1.310,80
×
=VF R$
25
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Entretanto, o cálculo individual de cada parcela é bastante trabalhoso, 
especialmente quando a série de fluxos de caixa for muito longa. Felizmente, para 
facilitar os cálculos, há uma fórmula geral que proporciona maior agilidade. Definindo 
VFAOt como o valor futuro de uma anuidade ordinária de T anos, PMT representa 
o montante a ser aplicado anualmente no final de cada ano, e T é o período final da 
série de pagamentos, sendo que, para o caso geral, t = 1,2,...,T representa o valor 
futuro de uma anuidade ordinária quando os juros são compostos anualmente a i% 
durante T períodos, podendo ser obtido da seguinte fórmula:
Primeiramente, observe que 1
-1
+( )=∑ i
t
t
T
1 representa o fator de composição 
de valor futuro apresentado, comumente, em tabelas financeiras para cálculos de 
anuidades ordinárias (FCAOi,t). Considerando determinado fator, a fórmula pode 
ser alternativamente expressa por:
Aplicando a fórmula sem o fator no exemplo anterior, obtemos:
O valor futuro, para a anuidade ordinária em questão, é de R$ 5.750,70. 
O valoré ligeiramente diferente do apresentado anteriormente exclusivamente 
por questões de arredondamento dos números durante o processo de cálculo. 
Utilizando uma calculadora HP 12C, por exemplo, o valor encontrado para o 
exemplo seria de R$ 5.750,74, sendo irrelevante essas pequenas diferenças.
VFAO PMT it
t
t
T
= × +( )
=
∑ 1 -1
1
VFAO PMT FCAOt i= × ,t
 1
1000,00 1 0,07
-1
1
1
VFAO PMT i
VFAO
t
t
t
T
t
t
T t
= × +( )
= × +( )
=
=
−
∑
∑
1
VFAOt = × ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +
−
1000,00 1,07 1,07 1,07 1,07
1-1 2-1 4-1
1 07
3 1
, (( )


= × ( ) + ( ) + (
5-1
0 1
 1000,00 1,07 1,07VFAOt 1 07, )) + ( )


= ×
3
1,07
 1000,00 1,0000 + 1,07000 + 1
4
VFAOt ,,1449 + 1,2250 + 1,3108
 
( )
 1000,00 5,7507
 
VFAOt = ×( )
 5750,70VFAOt =
26
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
 No caso de uma anuidade vencida, será necessário fazer um ajuste no fator 
de composição porque cada fluxo de caixa dela rende juros por um ano a mais 
que uma anuidade ordinária. Após o ajuste, pode-se encontrar o valor futuro de 
uma anuidade vencida (VFAVt) de forma muito fácil. Para obter o fator de valor 
futuro de uma anuidade vencida (FCAVi,t), basta adicionar um ano a mais de juros 
a cada fluxo de caixa da anuidade. Isso pode ser feito, matematicamente falando, 
multiplicando o fator de composição de valor futuro de uma anuidade ordinária 
(FCAOi,t) por ( 1 + i), como segue:
Isso implica:
Ou:
Logo:
O resultado encontrado afirma que o valor futuro da anuidade vencida é de 
R$ 6.153,25 e, como já havia sido previamente comentado, o valor futuro de uma 
anuidade vencida é superior ao valor futuro de uma anuidade ordinária. 
Entretanto, muitas vezes, os administradores financeiros se deparam com 
séries mistas. A lógica do cálculo do valor futuro dessas séries é semelhante à 
apresentada para uma anuidade, a diferença é que os fluxos de caixa apresentam 
valores desiguais na série mista. Assim, o método de cálculo do valor futuro de uma 
série mista parte da ideia de estimar o valor futuro de cada fluxo individualmente, 
considerando suas respectivas datas futuras de recebimento. Após, somam-se 
todos os fluxos acrescidos dos seus respectivos juros e obtém-se o valor futuro de 
uma série mista (VFSMt).
 
A Tabela 6 apresenta o cálculo do valor futuro de um exemplo de série de 
fluxo de caixa mista com 8 períodos. Os valores obtidos na última coluna foram 
encontrados utilizando a fórmula do valor futuro de uma quantia individual, ou 
seja, VFt= VP x (1 + i)t e considerando uma taxa de juros de 7% ao ano.
FCAV FCAO ii t i t, ,= ×( )1+ 
VFAV PMT FCAVt i t= × ,
VFAV PMT FCAO it i t= × ×( ), 1+ 
 1+ 
1000,00 5,7507 1 + 0,07
VFAV PMT FCAO i
VFAV
t i t
t
= × ×( )
= × ×( )
,
 6153,25VFAVt =
27
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Tabela 6 – Cálculo do valor futuro de uma série mista de fluxos de caixa
Período Fluxo de Caixa N° de anos de Rendimento Valor Futuro
1 R$11.000,00 7 R$17.663,60
2 R$8.000,00 6 R$12.005,84
3 R$17.000,00 5 R$23.843,38
4 R$6.000,00 4 R$7.864,78
5 R$12.000,00 3 R$14.700,52
6 R$11.000,00 2 R$12.593,90
7 R$20.000,00 1 R$21.400,00
8 R$15.000,00 0 R$15.000,00
Valor futuro da Série Mista: R$125.072,02
Fonte: O autor.
Observe que cada fluxo de caixa foi levado para um valor futuro, exceto o 
último recebimento, pois o objetivo era encontrar o valor futuro da série no oitavo 
(último) período. Visualize também que, em termos proporcionais, quanto mais 
cedo o dinheiro for aplicado, maior é o valor futuro, uma vez que se acumulam 
mais juros. Finalmente, o valor futuro da série mista é de R$ 125.072,02. 
Após demonstrar o conceito de valor futuro e derivar suas equações de 
cálculo para quantias individuais, anuidades ordinárias e vencidas, além de uma 
série mista, a próxima seção, mantendo a mesma abordagem utilizada para 
apresentar as técnicas de valor futuro, tratará do valor presente.
Valor Presente
De acordo com Gitman (2005), o valor presente de uma quantia a ser 
recebida no futuro é calculado pela soma monetária atual equivalente à quantia 
futura dada, levando em consideração a taxa de retorno que poderia ser obtida 
com a aplicação do dinheiro disponível hoje. Intuitivamente, deve-se pensar o 
valor presente se questionando e sabendo que, se você tem uma determinada 
quantia hoje, logo você poderia obter i % de juros aplicando-a. Então, qual é o 
máximo que você estaria disposto a pagar hoje pela oportunidade de obter o valor 
futuro dessa mesma quantia em dinheiro somente daqui a t períodos?
O Gráfico 2 apresenta o comportamento que o valor presente de uma unidade 
monetária ($) tem na medida em que a taxa de juros (i %) varia e o número de 
períodos aumenta (t). Para isso, o gráfico foi estabelecido de modo que o eixo 
vertical mede o valor futuro de uma unidade monetária ($), enquanto o eixo 
28
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
horizontal indica o número de períodos. As cinco linhas representam diferentes 
taxas de juros, sendo informado, ao final de cada uma delas, suas respectivas 
taxas de juros. 
A partir da análise visual do Gráfico 2, fica claro que, quanto maior for a taxa 
de juros, menor será o valor presente do dinheiro. Ademais, quanto maior for o 
período de acumulação, menor será o valor presente. Essas conclusões podem 
ser generalizadas, de como que, a taxa de juros e o número de períodos sempre 
têm uma relação inversa com o valor presente do dinheiro, independentemente se 
formos considerar quantias individuais, anuidades ou séries mistas.
Gráfico 2 – Relações de valor presente
Fonte: Gitman (2005).
Por fim, quando as equações de valor presente forem apresentadas, o que 
ocorrerá logo na sequência, um bom teste para verificar se o leitor adquiriu um 
certo domínio sobre o assunto é tentar reproduzir o Gráfico 2 a partir de uma 
planilha no Excel. 
a) Taxa de desconto
O cálculo do valor presente envolve um processo de desconto de quantias 
monetárias com vencimento no futuro. A técnica de desconto é um processo 
inverso ao método de composição. O desconto busca encontrar o valor presente 
29
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
de uma quantia futura considerando que existe a oportunidade de obter certo 
rendimento sobre o dinheiro. Além disso, a taxa de desconto também é conhecida 
como taxa de retorno, retorno exigido, custo de capital ou, ainda, como custo de 
oportunidade. Buscando uma definição do termo, “a taxa de desconto é a taxa 
usada para calcular o valor presente de fluxos de caixa futuros” (ROSS et al., 
2013, p. 134). 
b) As equações de valor presente
Para encontrar a equação do valor presente de uma quantia individual, 
retome a equação de valor futuro considerando o mesmo tipo de série de fluxo de 
caixa, ou seja, retome a equação para quantias individuais, como segue:
Sendo: as notações seguem as mesmas definidas anteriormente. Dividindo 
ambos os lados da equação por 1 + i
t( ) , resulta em:
Logo:
Observe que 1 1/ +( )


i
t
 é o fator de desconto para a taxa de juros i e para 
o período t, denotado por FDi,t, que foi apresentado anteriormente na primeira 
seção do capítulo. Considerando o fator de desconto, a fórmula acima pode ser, 
alternativamente, escrita como:
Para tornar o cálculo ilustrativo, considere que você deseja saber o valor 
presente de R$ 5.500,00 que serão recebidos somente daqui a 6 anos. O custo 
de oportunidade do dinheiro, no caso apresentado, a taxa de desconto é de 5% 
ao ano. Substituindo os valores do exemplo na fórmula de valor presente, tem-se:
 
VF VP it
t
= ×( )1 + 
VF
i
VP i
i
t
t
t
t
1 + 
1 + 
1 + ( )
=
×( )
( )
VP
VF
i
VF
i
t
t t t= ( )
= ×
( )







1 + 
1
1 + 
VP VF FDt t i t= × ,
30
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Assim, o valor presente da quantia individual futura é de R$ 4.104,18, um 
valor bem inferioraos R$ 5.500,00 sugerido. 
De forma semelhante ao caso de uma quantia individual, o método de cálculo 
do valor presente de uma anuidade consiste em encontrar o valor presente de 
uma série de fluxos de caixa futuros. Lembrando que a principal característica 
de uma anuidade é que ela possui fluxos de caixa com valores iguais e com uma 
mesma periodicidade. Iniciando pelo caso de uma anuidade ordinária, utilizou-se 
o exemplo de Gitman (2005) para facilitar o entendimento do cálculo, uma vez que 
ele apresentou uma linha de tempo muito interessante para entender a lógica por 
trás do cálculo. Imagine que lhe foi oferecido uma anuidade ordinária formada por 
fluxos de caixa de R$ 700,00, ao final de cada ano, durante os próximos cinco 
anos. Ainda, assuma que seu custo de oportunidade é de, no mínimo, 8% ao ano. 
Dessa forma, qual o valor máximo que você estaria disposto a pagar por essa 
anuidade ordinária?
Antes de apresentar a equação de cálculo, a Figura 4 apresenta uma linha 
de tempo com os fluxos de caixa projetados para os próximos cinco períodos, 
conforme foi apresentado por Gitman (2005). As setas abaixo dos fluxos 
periódicos retornam ao período zero e apresentam os valores presentes de 
cada um dos fluxos. Primeiramente, observe que, na medida em que o período 
de tempo aumenta, portanto, quanto mais tempo você demorar para receber o 
dinheiro, maior é o tamanho do desconto. Mais especificamente, enquanto que no 
primeiro período o desconto foi de apenas R$ 51,20, no quinto período ele foi de 
R$ 223,30. 
VP VF
it t t
= ×
( )








1
1+
VP
VP
t
t
= ×
+( )








=
5500 00
6
,
1
1 0,05
 4104,18
31
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Figura 4 – Linha de tempo para valor presente
Fonte: Gitman (2005).
Ademais, note que o valor presente dessa anuidade ordinária é dado pela 
soma dos cinco fluxos de caixa descontados. Portanto, uma vez que cada um 
dos fluxos descontados pode ser obtido facilmente através do cálculo individual 
de valor presente de cada fluxo da série, pode-se encontrar o valor presente de 
uma anuidade utilizando a fórmula de valor presente para quantias individuais já 
apresentadas. 
No entanto, há uma maneira mais rápida de fazer os cálculos. Definindo 
VPAOt como sendo o valor presente de uma anuidade ordinária de T anos, PMT 
representando o montante a ser recebido no final de cada período e T é o período 
final da série de recebimentos para t = 1,2,...,T, o valor presente de uma anuidade 
ordinária, descontada uma taxa i % durante T períodos, pode ser encontrado 
através da seguinte fórmula:
Primeiramente, vale destacar que 1/ 1 + 
1
i t
t
T ( )=∑ representa o fator de 
desconto de valor presente apresentado, comumente, em tabelas financeiras para 
cálculos de anuidades ordinárias (FDAOi,t). Considerando o determinado fator, a 
fórmula pode ser alternativamente expressa por:
VPAO PMT
it tt
T
= ×
+( )=∑
1
11
VPAO PMT FDAOt i t= × ,
32
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Obtendo o valor presente para o exemplo em análise, encontra-se:
A resolução da equação encontrou um valor presente da ação ordinária de 
R$ 2.794,82, um valor que difere do anterior apresentado apenas por questões de 
arredondamento, mas que é bem diferente do total proposto inicial de R$ 3.500,00 
parcelado em 5 vezes. Essa diferença decorre do valor do dinheiro no tempo. 
Não obstante, repare que o número 3,9926, que foi obtido durante o cálculo, é 
exatamente o fator de desconto para uma anuidade ordinária (FDAOi,t) com as 
peculiaridades apresentadas no exemplo.
Diferentemente, em uma anuidade vencida, os fluxos de caixa ocorrem no 
início do período. Dessa forma, para encontrar o valor presente de uma anuidade 
vencida, basta converter o fator de desconto de uma anuidade ordinária (FDAOi,t) 
em uma anuidade vencida (FDAVi,t), conforme destacaram Ross et al. (2003). O 
ajuste no fator de desconto é feito porque cada fluxo de caixa da anuidade vencida é 
descontado por um período a menos que em uma anuidade ordinária, considerando 
as mesmas condições financeiras. Isso mostra que o valor presente de cada fluxo 
de caixa será maior para uma anuidade vencida em comparação com a ordinária. 
Matematicamente, isso pode ser feito através da seguinte fórmula: 
Após obtido o novo fator, simplesmente deve-se multiplicá-lo pela prestação 
a ser recebida periodicamente (PMT) e, dessa forma, obter o valor presente de 
uma anuidade vencida, como segue:
Utilizando os mesmos dados do exemplo anterior e supondo apenas que 
tratar-se-ia de anuidade vencida, e não ordinária, o valor presente dessa anuidade 
passa a ser:
 
=1
VPAO PMT
i
VPAO
t t
t
T
t
= ×
+( )
=
∑ 1
1
7000 00
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
, ×
( )
+
( )
+
( )
+
( )
+
( )







1,08 1,08 1,08 1,08 1,08
 0,9259 + 0,8573 + 0,7938 + 0,7350 + 0,6806VPAOt = ×[700 00, ]]
= ×( ) 7000,00 3,9926
 
VPAOt
 2794,82VPAOt =
FDAV FDAO ii t i t, ,= ×( )1 + 
VPAV PMT FDAVt i t= × ,
33
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Portanto, o valor presente da anuidade vencida é de R$ 3.018,41, um valor 
superior ao valor encontrado para a anuidade ordinária (R$ 2.794,82). 
Um outro tipo de série de fluxo de caixa comum em finanças são as 
perpetuidades. A perpetuidade tem como característica fundamental o fato de 
que os fluxos de caixa, deste tipo de série, serem infinitos, ou seja, t = ∞. Para 
calcular o valor presente de uma perpetuidade (VPPt), basta multiplicar o valor da 
prestação periódica infinita a ser recebida (PMT) pelo fator de valor presente da 
perpetuidade (FPPi,∞), como segue: 
Sendo: o fator de perpetuidade é obtido por meio da seguinte fórmula:
Logo, a equação pode ser reescrita como:
Na prática, determinado cálculo tem aplicações muito interessantes. Como 
exemplo, suponha que você tenha interesse em proporcionar um valor infinito e 
periódico para seus descendentes após seu falecimento. O valor que você estipulou 
a ser deixado periodicamente de maneira infinita foi de R$ 120.000,00 anuais. Além 
disso, assuma que a melhor remuneração no mercado pague 8% de juros ao ano. 
Assim, quanto você precisa acumular hoje para comprar uma perpetuidade com 
essas especificações financeiras? Utilizando as fórmulas anteriores, obtemos:
 
700,00 4,3120
 VPAV 3018,41
t
VPAV PMT FDAV
VPAV
t i t
t
= ×
= ×
=
,
VPP PMT FPPt i= × ∞,
FPP
ii,∞
=
1
VPP PMT
ii,∞
= ×
1
VPP PMT
it
= ×
1
 120000,00
0,08
120000,00 12,50
 150000
VPP
VPP
VPP
t
t
t
= ×
= ×
=
1
,,00
34
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Portanto, você deve acumular R$ 1.500.000,00 para comprar uma 
perpetuidade infinita na qual remunera, anualmente, seus herdeiros com R$ 
120.000,00.
Considerando os tipos de cálculos de valor presente já apresentados, você 
já deve ter percebido que falta descrever uma última série de fluxo de caixa, no 
caso, quando se deseja obter o valor presente de uma série mista. O método de 
cálculo do tipo de série apresentado não possui uma expressão analítica. Então, 
para se calcular o valor presente de uma série mista, deve-se trazer para o valor 
presente cada fluxo de caixa da série, descontando a uma determinada taxa i %, 
e, após, deve-se somar o valor presente de cada fluxo descontado, para, assim, 
obter o valor presente total da série mista (VPSMt). O desconto de cada fluxo 
pode ser feito através da equação de valor presente para quantias individuais, 
que já foi estudada anteriormente, mas que, relembrando, estabelece a seguinte 
fórmula: VP VF it t
t= × ( ) 1 1 + / .
Na Tabela 7 foi apresentado um exemplo de fluxo de caixa de série mista no 
qual contempla R$ 40.000,00 a serem recebidos nos próximos 8 anos. Além disso, 
a última coluna da tabela calculou o valor presente de cada fluxo considerando 
uma taxa de desconto de 8% ao ano. 
Tabela 7 – Cálculo do valor presente de uma sériemista de fluxos de caixa
Período Fluxo de caixa N° de anos de desconto Valor presente
1 R$1.000,00 1 R$925,93
2 R$3.500,00 2 R$3.000,69
3 R$800,00 3 R$635,07
4 R$5.000,00 4 R$3.675,15
5 R$6.100,00 5 R$4.151,56
6 R$1.600,00 6 R$1.008,27
7 R$7.000,00 7 R$4.084,43
8 R$15.000,00 8 R$8.104,03
Valor presente da série mista: R$25.585,13
Fonte: O autor.
Como havia sido salientado, cada fluxo de caixa foi trazido a valor presente 
e, somando todos eles, foi obtido o valor presente da série mista, que é dado por 
R$ 25.585,13. Obviamente, em termos relativos, conclui-se que quanto maior for 
o prazo de recebimento, menor o valor presente. 
35
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Variações Especiais de Valor do 
Dinheiro no Tempo 
Muitas vezes, na rotina diária de um administrador financeiro, ele pode se 
deparar com situações diferentes das apresentadas anteriormente. Vale lembrar 
que, até agora, os cálculos de valor do dinheiro no tempo envolviam apenas obter 
o valor presente ou futuro de uma série de fluxos de caixa. No entanto, há casos 
em que é necessário encontrar a taxa que determinado investimento está pagando 
ao invés de obter o valor presente do investimento e, em outros, o objetivo é 
encontrar quantos períodos serão necessários para que um valor presente atinja 
um certo valor futuro, dada uma taxa de juros. Assim, para apresentar os cálculos 
de determinados casos especiais, foi oferecida a subseção a seguir.
a) Aplicações especiais
Outras abordagens relacionadas ao valor do dinheiro no tempo são muito 
úteis para um administrador financeiro. Nessa subseção, serão abordadas 
quatro questões diferentes das que até agora foram apresentadas a você. 
Resumidamente, essas questões envolvem encontrar: 
i. depósitos necessários para acumular uma quantia futura; 
ii. amortização de empréstimos;
iii. taxa de juros ou crescimento;
iv. número desconhecido de períodos.
 
Iniciando pela primeira questão, observe, primeiramente, que o foco do 
problema é descobrir quanto deve-se depositar periodicamente para acumular uma 
quantia futura, ou seja, trata-se de uma anuidade na qual a incógnita do problema 
passar a ser PMT, e não mais o valor futuro da anuidade. Assim, a solução do 
problema envolve reescrever a equação de valor futuro, de modo a isolar a variável 
a ser encontrada (PMT). Retomando para a equação de valor futuro para uma ação 
ordinária, tem-se:
Ou, alternativamente:
VFAO PMT it
t
t
T
= × ( )∑ 1 + -1
=1
VFAO PMT FCAOt i t= × ,
36
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
A partir da fórmula acima, podemos fazer algumas manipulações algébricas, 
objetivando isolar PMT. No caso apresentado, a fórmula é dada por:
Para ilustrar como isso pode ser utilizado na prática, considere o seguinte 
exemplo. Imagine que nasça seu filho e você deseja depositar uma certa quantia 
todos os anos para que, quando ele complete 18 anos, ele possa ingressar em 
uma universidade. Assuma que o custo total estimado médio de um curso em uma 
universidade é de R$ 400.000,00 e que a melhor taxa de juros de uma aplicação 
financeira ofertada no mercado é de 8% ao ano. Portanto, é necessário encontrar 
o quanto de valor anual deve ser depositado para que daqui a 18 anos você tenha 
atingido os R$ 400.000,00 almejados. 
O primeiro passo é encontrar o fator de composição de uma anuidade 
ordinária (FCAOi,t) através de sua fórmula: FCAO ii t
t
t
T
,
= ( ) −∑ 1 + =1
1 . Contudo, 
quando há muitos períodos, ou ainda, quando não é possível ter acesso a 
uma tabela financeira, pode-se utilizar uma outra expressão para encontrar o 
fator de composição. Essa outra fórmula proporciona o mesmo resultado da já 
apresentada, mas com o benefício de oferecer um cálculo mais rápido de ser 
executado. Essa fórmula alternativa para o fator é dada por:
Substituindo os valores descritos no exemplo, tem-se:
Após ter obtido o FCAO
8 18,
= 37,4502 , basta inserir os valores na equação 
de valor futuro descrita anteriormente na qual isolou a prestação (PMT), ou seja:
PMT VFAO
FCAO
t
i t
=
,
FCAO
i
ii t
t
,
= × ( ) − 
1
1 + 1
FCAO
FCAO
8 18
18
8 18
1
1 0 08
,
,
,= × +( ) − 
= ×
0,08
1
 12,50 2,9960(( )
= 37,4502FCAO
8 18,
 
400000,00
37,4502
 10.680,85
PMT VFAO
FCAO
PMT
PMT
t
i t
=
=
=
,
37
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Portanto, você deve depositar R$ 10.680,85 todos os anos para obter R$ 
400.000,00 daqui a 18 anos.
Seguindo o mesmo raciocínio, porém invertendo a lógica de cálculo, a 
amortização de empréstimo é o termo utilizado para descrever situações em que 
uma determinada pessoa/empresa paga uma prestação/anuidade decorrente da 
aquisição de um empréstimo hoje, ou seja, de um valor presente adquirido. Dessa 
forma, quando a última prestação for paga, o empréstimo estará quitado.
 Conforme destacou Samanez (2002), existem vários sistemas de 
amortização de empréstimos, mas os principais são o Sistema de Amortização 
Francês (Sistema Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de 
Amortização Americano (SAA) e Sistema de Amortização Crescente (Sacre). No 
livro estudado, o foco será dado em dois sistemas: o Sistema Price e o SAC. 
O Sistema Price caracteriza-se por prestações periódicas de igual valor. 
Assim, uma vez que as prestações possuem um mesmo valor, o montante de 
juros vai diminuindo e a amortização do principal crescendo na medida em que 
as prestações forem pagas. É um tipo de sistema muito utilizado no Brasil em 
financiamento de veículos, por exemplo. 
Por outro lado, no Sistema SAC o principal é devolvido sempre em iguais 
parcelas e o que varia, em cada prestação, é o valor dos juros que, por sua 
vez, são maiores nas parcelas iniciais justamente devido ao tamanho do saldo 
devedor. Dessa forma, o Sistema SAC estabelece prestações que vão diminuindo 
de valor a cada parcela paga, sendo que, de constante, tem-se a amortização do 
saldo devedor. É um sistema frequentemente utilizado no país para financiamento 
imobiliário.
Para entender como determinados sistemas funcionam, é útil considerar um 
exemplo e, a partir dele, construir tabelas de amortização, tal como foi realizado 
nas tabelas 8 e 9. Como exemplo, considere que você adquiriu um empréstimo 
pessoal no valor de R$ 25.000,00 que será pago em quatro prestações mensais 
e que a taxa de juros da operação foi de 3% ao mês. Entretanto, antes de 
demonstrar detalhadamente como foram construídas essas tabelas, é necessário 
definir algumas notações. Assuma que:
– PMTt é a prestação periódica paga no período t.
– At é a amortização feita no período t.
– Jt é o valor do juros referente ao período t.
– SDt e SDt-1 representam o saldo devedor nos períodos t e t-1, 
respectivamente. 
38
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Estabelecidas as novas notações, parte-se agora para analisar como 
ocorreria determinado empréstimo caso ele fosse adquirido através do Sistema 
Price. A Tabela 8 demonstra os valores relacionados à amortização, aos juros, à 
prestação e ao saldo devedor em cada período, considerando que o empréstimo 
foi feito através do Sistema Price. Inicialmente, observe que o valor da prestação 
é o mesmo em todas as parcelas, como já havia sido alertado. Ainda, perceba que 
o valor dos juros é decrescente e que a amortização é crescente na medida em 
que as parcelas forem quitadas. 
Tabela 8 – Tabela Price
Mês 
(t)
Saldo Devedor 
(SDt=SDt-1–At)
Amortização 
(At=PMTt–Jt)
Juros
(Jt=i x SDt–1)
Prestação
(PMTt)
0 R$25.000,00 - - -
1 R$19.024,32 R$5.975,68 R$750,00 R$6.725,68
2 R$12.869,38 R$6.154,95 R$570,73 R$6.725,68
3 R$6.529,78 R$6.339,59 R$386,08 R$6.725,68
4 R$0,00 R$6.529,78 R$195,89 R$6.725,68
R$25.000,00 R$1.902,70 R$26.902,70
Fonte: O autor.
Embora essa tabela por si só seja autoexplicativa, a seguir será apresentado 
o modus operandi utilizado para construir a tabela 8. Os valores contidos nas 
linhas dessa tabela devem ser encontrados em ordem crescente de período 
(t), logoa primeira linha a ser preenchida será para .t = 1 Após, parte-se para a 
segunda linha e, assim, deve-se proceder até chegar no último período da série 
de fluxo de caixa que, no caso apresentado, é de T = 4. Dito isso, um modus 
operandi para o Sistema Price é apresentado a seguir. Através dele será possível 
obter os valores de cada linha a partir de quatro etapas de cálculos, como segue:
• Primeiramente, deve-se calcular a prestação (PMT) do t-ésimo período 
através da seguinte forma:
As notações seguem as mesmas já definidas, ou seja, FDAOi,t é o fator de 
desconto de valor presente de anuidades ordinárias e VPAOt=0 é o valor presente 
da anuidade ordinária quando t = 0, logo VPAOt=0 é o valor do empréstimo. Ao 
contrário da fórmula apresentada na seção anterior, para calcular FDAOi,t pode-se 
também obter o fator de desconto através da seguinte fórmula:
 = 0PMT VFAO
FCAO
t
i t
=
,
39
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Utilizando os valores do exemplo, resulta em:
Portanto, o valor da prestação referente ao empréstimo é dado por:
Lembrando que no Sistema Price todas as prestações são iguais, portanto 
será necessário fazer o cálculo apenas uma vez.
• O segundo passo é calcular os juros (Jt) do t-ésimo período, como segue:
Sendo SDt-1 é o saldo devedor do período anterior e implica para o primeiro 
período, SDt-1 = SD0 = VPAOt. Assim, os juros no primeiro período são de:
• Na terceira etapa deve-se calcular a amortização (At) do t-ésimo período, 
conforme segue:
Aplicando:
 
FDAO
i i ti t,
= × −
+( )






1
1
1
1
 
0,03
1
1
1
33,3333 0,11151
FDAO
FDAO
3 4 4
3 4
1
0 03
,
,
,
= × −
+( )








= × 2288
 3,717096
( )
=FDAO
3 4,
 
25000,00
3,717096
 6725,68
PMT VPAO
FDAO
PMT
PMT
t
i t
=
=
=
=0
,
J i SDt t= × −1
Jt = ×0,03 25000,00 = 750,00
A PMT Jt t t= −
A
1
= −
=
6725,68 750,00
 A 5975,68
1
40
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
• Finalmente, a última etapa calcula o valor do saldo devedor (SDt) do 
t-ésimo período da seguinte forma:
Assim: 
Observe que, executando o modus operandi, encontramos exatamente os 
valores da prestação, da amortização, dos juros e do saldo devedor do primeiro 
mês do empréstimo. Para os próximos períodos, os valores podem ser obtidos 
refazendo as etapas propostas pelo modus operandi, mas agora, considerando 
o período seguinte, t = 2, sucessivamente até o último período de liquidação do 
empréstimo.
No entanto, como ficariam os juros caso o sistema de amortização escolhido 
para determinado empréstimo fosse o Sistema SAC? Para auxiliar o entendimento 
do sistema e responder essa pergunta, foi construída a Tabela 9. 
SD SD At t t= −−1
SD
R
1
19 024 32
= −
=
25000,00 5975,68
 SD
1
$ . ,
Tabela 9 – Tabela Sac
Mês 
(t)
Saldo Devedor 
(SDt=SDt–1–At)
Amortização
(At)
Juros
(Jt = i x SDt–1) 
Prestação
(PMTt=At+Jt)
0 R$25.000,00 - - -
1 R$18.750,00 R$6.250,00 R$750,00 R$7.000,00
2 R$12.500,00 R$6.250,00 R$562,50 R$6.812,50
3 R$6.250,00 R$6.250,00 R$375,00 R$6.625,00
4 R$0,00 R$6.250,00 R$187,50 R$6.437,50
R$1.875,00 R$26.875,00
Fonte: O autor.
Perceba que, de forma diferente do Sistema Price, no Sistema SAC o valor 
da amortização é constante em todos períodos e as prestações vão se reduzindo 
na medida em que o tempo aumenta, pois os juros incidentes sobre o saldo 
devedor ficam menores a cada parcela quitada. O modus operandi do sistema 
envolve as seguintes etapas: 
• Primeiro, obtenha o valor da amortização (At) do t-ésimo período, 
conforme segue:
41
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Assim, a amortização em cada período será de:
Como trata-se do Sistema SAC, o valor da amortização será o mesmo para 
todo o período, logo, A = 6250,00.
• O próximo passo é encontrar o saldo devedor (SDt) do t-ésimo período 
da seguinte maneira:
Substituindo os valores do exercício na fórmula acima e considerando t = 1 , 
obtemos:
• Na terceira etapa, por sua vez, deve-se encontrar o valor dos juros (Jt) do 
t-ésimo período, como segue:
Dessa forma, para o primeiro período, o valor dos juros serão de:
A VPAO
Tt
t= =0
A
A
t
t
=
=
25000,00
4
 6250,00
SD VPAO t
Tt t
= × −




=0 1
SD
SD
SD
1
1
1
1
1
4
25000 00 0 75
= × −





×( )
=
25000,00
 
 187
, ,
550,00
J i VPAO
t
Tt t
= × −
−( )




=0 1
1
J
J
1
1
1
1 1
4
1 0
= × −
−( )





= × −[ ]
0,03 25000,00
 0,03 25000,00
 750,00J
1
=
42
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
• Finalmente, a última etapa tem como objetivo encontrar o valor 
da prestação (PMT) do t-ésimo. Para isso, deve-se resolver a 
seguinte fórmula:
Para o primeiro período encontra-se:
Novamente, para encontrar todos os demais valores da tabela, deve-se 
reiniciar o modus operandi para o período seguinte. Faça isso até que todos 
os valores forem obtidos para o último período. Ainda, vale destacar que, muito 
embora no exemplo o Sistema SAC seria mais vantajoso pois o valor gasto com 
juros e o valor total pago para quitar o empréstimo seriam menores, não é possível 
criar uma regra geral que afirma qual dos sistemas é mais vantajoso, uma vez 
que isso depende das particularidades de cada operação financeira e da própria 
situação financeira do tomador do empréstimo.
 A terceira aplicação envolve encontrar a taxa de juros ou taxa de crescimento 
de determinada operação financeira. Serão demonstrados dois exemplos de 
diferentes situações que possam envolver o cálculo da taxa de juros (crescimento). 
Primeiro, considere que você tenha aplicado e mantido uma única quantia em 
dinheiro na poupança durante o período de quatro meses. Os fluxos de caixa que 
representam o saldo acumulado dessa aplicação financeira, no final de cada mês, 
podem ser observados na Tabela 10. 
PMT A Jt t t= +
PMT
PMT
1
1
= +
=
6250,00 750,00
 7000,00
Tabela 10 – Saldo acumulado na poupança
Períodos Saldo Aplicado
0 R$ 1.000,00
1 R$ 1.006,10
2 R$ 1.014,30
3 R$ 1.024,60
4 R$ 1.035,00
Fonte: O autor.
43
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Para resolver o problema, pode-se utilizar a fórmula do valor futuro de uma 
quantia individual, porém, o que se deseja descobrir agora é a taxa de juros (i) e 
não mais o valor futuro (VFt) em determinado período t. No exemplo, perceba que 
o valor futuro é o último período dá série, enquanto o valor presente é o montante 
aplicado no período zero. Dessa forma: 
Como pode ser observado acima, o cálculo de determinado tipo de análise é 
mais complexo que os demonstrados anteriormente. No caso, resolve-se a equação 
elevando ambos os lados da expressão por (1/4) e realizando algumas manipulações 
algébricas. Isso é feito com o objetivo de isolar i, a variável de interesse. 
Ou seja, a taxa de juros mensal da poupança para o período foi de 0,86%.
O segundo exemplo envolve descobrir a taxa de juros de uma anuidade. 
Assuma que você tomou emprestado R$ 2.000,00 e que você quitará o empréstimo 
através de pagamentos anuais, no final de cada período, de R$ 514,14 durante os 
próximos 5 anos. Qual a taxa de juros envolvida nessa operação?
Para demonstrar o cálculo detalhado de toda a questão, seriam necessárias 
técnicas mais avançadas de matemática, no caso a interpolação linear. No 
entanto, isso vai além dos objetivos do livro estudado. Como alternativa, pode-
se responder a essa questão facilmente utilizando uma tabela financeira para 
anuidades, uma calculadora HP 12C ou ainda uma planilha no computador. Será 
mantida a ferramenta que vem sendo usada até agora: a tabela financeira. 
Para responder à pergunta do exemplo, lembre-se das seguintes fórmulas de 
valor presente de uma anuidade ordinária, como segue:
 
1035,00 1000,00
VF VP i
i
t
t= × +( )
= × +( )
1
1
4
1035,00 1000,00
 5,6720 5,6234
1
4
1
4
1
1
4
1
4= × +( ) 
= × +(
i
i))
= +
− =
 
5,6720
5,62341,0086
1
1
i
i
 0,0086i =
VPAO PMT FDAO
FDAO VPAO
PMT
t i t
i t
t
= ×
=
,
,
 
1035 00 1000 00 1
1
4
1
4
4
1
4
, ,= × +( ) i
44
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Inserindo os valores fornecidos pelo problema:
Calculado o fator de desconto (FDAOi,t), a resposta será obtida pela análise 
de uma tabela financeira. Isso pode ser feito da seguinte forma: primeiramente, 
localize a linha que se refere à operação financeira em questão, no caso, trata-
se da linha número 5, pois há cinco períodos no exemplo. Focando apenas 
nessa linha, comece a procurar em cada coluna dessa linha o valor do fator de 
desconto encontrado, ou seja, o número 3,890. Após ter encontrado na tabela 
o valor mais próximo ao fator de desconto calculado, considerando apenas a 
linha correspondente ao número de período da operação financeira, observe, 
no cabeçalho dessa coluna, os juros que correspondem ao fator e número de 
períodos. No exemplo dado, a taxa de juros é de aproximadamente 9%.
Por fim, uma última aplicação amplamente utilizada na administração 
financeira será de encontrar o número de períodos necessário para atingir 
determinado valor. Para uma quantia individual, imagine que você queira saber 
em quanto tempo R$ 10.000,00 dobraria de valor considerando uma taxa de juros 
de 10% ao ano? Retomando a fórmula de valor futuro de uma quantia individual e 
inserindo os valores fornecidos pelo problema, obtemos:
Tomando o logaritmo natural de ambos lados da expressão, o que permitirá 
obter apenas uma boa aproximação do número de períodos, encontra-se:
FDAO
FDAO
i t
i t
,
,
=
=
2000,00
514,14
 3,890
 
20000,00 = 10000,00
20000,
VF VP it
t
t
= × +( )
× +( )
1
1 0 1,
000 = 10000,00
 
× +( )
= ( )
1 0 1
2 1 1
,
,
t
t
 In 2 In 1,1
0,693147181 0,095310180
 
≅ ×
≅ ×
t
t
 
0,693147181
0,095310180
 7,2725
t
t
≅
≅
45
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Portanto, o número aproximado de períodos necessários é de 7,27 anos.
Para uma anuidade, será necessário, novamente, utilizar uma tabela 
financeira para responder às questões que envolvem um número desconhecido 
de períodos. Considere que você adquiriu um empréstimo no valor de R$ 
2.500,00. A taxa de juros utilizada na operação foi de 11% ao ano e as prestações 
a serem pagas, ao final de cada ano, são de R$ 480,00. Quantos períodos (t) 
serão necessários para quitar o empréstimo? 
Inserindo os valores do problema na fórmula a seguir e encontrando o fator 
de desconto referente ao valor da anuidade ordinária do exemplo, encontra-se:
Retorne para a tabela financeira e localize o número de períodos associado 
ao fator de anuidade mais próximo a 5,2083, dada uma taxa de juros de 11%. 
Após a consulta, encontramos o número de períodos necessários para quitar o 
empréstimo integralmente, sendo de aproximadamente 8 anos.
 
2500,00
480,00
 5,2083
FDAO VPAO
PMT
FDAO
FDAO
t
t
t
t
11
11
11
,
,
,
=
=
=
Taxas de Juros
O mercado financeiro utiliza a taxa de juros de diferentes formas. 
Frequentemente, as operações de empréstimos e as aplicações financeiras 
anunciam taxas de juros com períodos de capitalização diferentes, sendo 
necessário deixá-las em uma mesma base para que seja possível compará-
las. Outro aspecto importante é que as taxas juros devem ser proporcionais 
à ocorrência do pagamento, ou seja, quando a taxa de juros for anual e as 
prestações forem mensais, você deverá ajustar os cálculos para levar em conta 
essa diferença na periodicidade. Justamente para entender como lidar com essas 
situações, a seguir são apresentados alguns conceitos importantes sobre o tema.
a) Nominal e efetiva
De acordo com Gitman (2005), a taxa de juros nominal é a taxa anual que foi 
acordada na operação financeira, enquanto que a taxa de juros efetiva é aquela 
taxa que realmente foi recebida/paga na operação. Alternativamente, a taxa de 
juros anunciada apresenta uma capitalização (composição) diferente do que de 
46
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
fato irá ocorrer na operação financeira, então haverá uma diferença entre as taxas, 
dando origem aos conceitos de taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva. 
No caso de uma composição de juros diferente da anual, podemos ajustar as 
equações apresentadas anteriormente com o objetivo de lidar com determinados 
casos especiais. Assuma que m seja o número de vezes por ano em que ocorre a 
composição dos juros. Assim, a fórmula genérica para composição de juros mais 
frequente que anual pode ser redefinida como:
 
As notações seguem as mesmas definidas anteriormente. Perceba que, se 
m = 1, então a fórmula retoma o formato da equação tradicional de composição 
anual de juros já estudada.
Para ilustrar como a frequência de composição de juros impacta no valor 
futuro, considere o seguinte exemplo. Suponha que você tenha R$ 1.000,00 para 
depositar hoje, deseja deixar aplicada essa quantia nos próximos dois anos e 
que a taxa de juros seja de 10% ao ano. Qual seria o valor futuro dessa quantia 
individual considerando que os juros fossem compostos anualmente, de forma 
trimestral e mensal?
Iniciando pelo caso já estudado, na composição anual tem-se:
Para composição trimestral, logo m = 4:
Para composição mensal (m = 12):
VF VP i
mt
m t
= × +





×
1
VF
VF
VF
t
t
t
= × +





= ×
=
×
1000 1
1
1000
1 2
0,10
 1,21
 1.2100,00
VF
VF
VF
t
t
t
= × +





= ×
=
×
1000 1
4
1000
4 2
0,10
 1,2184
 1.2218,40
VF
VF
VF
t
t
t
= × +





= ×
=
×
1000 1
12
1000
12 2
0,10
 1,2204
 11.220,40
47
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Portanto, o valor futuro de R$ 1.000,00 aplicado por dois anos considerando 
uma composição de juros anual, trimestral e mensal é de, respectivamente, R$ 
1.210,00, R$ 1.218,40 e R$ 1.220,40. Um corolário do exemplo apresentado é 
que, quanto mais vezes os juros forem compostos durante o ano, maior será o 
valor futuro de uma determinada quantia. Ainda, vale destacar que, se os juros 
fossem compostos semestralmente, semanalmente ou diariamente, então m 
assumiria o valor de 2, 52 e 365, respectivamente.
Como ficou evidente no exemplo anterior, a composição dos juros afeta o 
valor futuro da operação financeira e isso, por sua vez, afeta a taxa de juros, 
dando origem à diferença entre taxa de juros nominal e efetiva. No primeiro caso, 
quando a taxa de juros e a composição eram anuais, a taxa de juros nominal é 
igual à efetiva, entretanto, nos demais casos, haverá uma diferença entre elas. 
Para calcular a taxa de juros efetiva (if) a partir de uma taxa de juros nominal, 
pode-se utilizar a seguinte fórmula:
Utilizando o mesmo exemplo anterior, ou seja, com uma taxa de juros de 
10% composta anual, trimestral e mensalmente, pode-se obter a taxa de juros 
efetiva correspondente para cada uma dessas composições, como segue:
Portanto, a taxa de juros efetiva, para uma taxa de juros nominal de 10% ao 
ano, considerando uma composição anual, trimestral e mensal é, respectivamente, 
10%, 10,38% e 10,47%.
Uma outra definição importante é da taxa de juros equivalente. Duas taxas 
de juros capitalizadas de maneiras diferentes são ditas equivalentes quando 
aplicadas a um mesmo montante e, para um igual período de tempo, produzem 
um mesmo valor final. O mais usual é encontrar a taxa equivalente da relação 
entre juros mensal e anual. Genericamente, para encontrar a taxa de juros mensal 
equivalente à taxa de juros anual, pode-se utilizar a seguinte fórmula:
if i
m
m
= +




 −1 1
if
if
if
= +




 − =
= +




 − =
= +
1
1
1
1
4
1
1
1
4
0,1
0,1000
0,1
0,1038
0,1
112
1
12





 − = 0,1047
1 1
12+( ) = +( )i ia m
48
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Que, generalizando essa relação para taxas de juros anual (ia), semestral (is), 
trimestral(it), mensal (im) e diária (id), pode ser reescrita como:
Como exemplo, encontre a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros de 
3% ao mês. Inserindo os dados na fórmula anterior, obtemos:
Portanto, a taxa de juros anual de 42,58% é equivalente a 3% ao mês. 
Uma outra relação equivalente bastante utilizada é a de juros mensais e diários. 
Partindo da mesma lógica anterior, a fórmula para essa relação pode ser escrita 
diretamente como:
Logo, se a taxa de juros for de 6% ao mês, o equivalente diário será de:
A taxa de juros diária de 0,19% equivale à taxa de juros 3% ao mês. Um 
último destaque sobre essas taxas é que no mercado financeiro a denominada 
taxa de juros over é aquela que utiliza capitalização diária de juros considerando 
apenas os dias úteis.
1 1 1 1 1
2 4 12 360+( ) = +( ) = +( ) = +( ) = +( )i i i i ia s t m d
1 1
1
12+( ) = +( )
= −
=
i
i
i
a
a
a
0,03
 1,4258
 0,4258
1 1
30+( ) = +( )i im d
1 0 06 1
1 06 1
1 0019 1
30
1
30
30
30
+( ) = +( )
( ) = +( )
− =
,
,
,
i
i
i
i
d
d
d
d
 
 == 0,0019
Aplicações para HP 12C
O uso de calculadoras financeiras, como poderá ser observado a seguir, 
facilita os cálculos mais utilizados pelos administradores financeiros em suas 
rotinas diárias. Considerando os mesmos exemplos anteriores, será apresentado 
como calcular o valor futuro e o valor presente de quantias individuais, anuidades 
e séries mistas utilizando uma calculadora HP 12C. 
49
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Antes disso, um olhar atento à estrutura da calculadora permite observar que a 
maioria das teclas da HP 12C têm mais de uma função. Isso implica que uma mesma 
tecla poderá realizar até três funções. A função principal da calculadora é escrita em 
cor branca nas próprias teclas, enquanto a segunda função é apresentada na cor 
amarela, localizada acima das teclas e a terceira função é oferecida na cor azul, 
na parte inferior da própria tecla. Para utilizar as funções amarela ou azul de cada 
tecla, acione as teclas [ f ] e [ g ], respectivamente, antes de pressionar a tecla 
correspondente à função de interesse. Caso tenha clicado na tecla [ f ] ou [ g ] sem 
querer, é possível eliminar sua atuação, bastando pressionar a tecla [ ENTER ] . 
Para se familiarizar com a calculadora HP 12C, a Tabela 11 
apresenta um resumo de suas operações básicas.
Tabela 11 – Operações básicas HP 12C
Operações Básicas: Procedimento / Teclas
Ligar / desligar a calculadora: Pressione a tecla [ ON ].
Notação decimal: a HP 12C possui 
duas formas de separar a parte 
fracionária da parte inteira de um número 
através do ponto ou da vírgula.
Desligue a máquina. Mantenha pressionada 
a tecla [ . ] Ligue a calculadora [ ON ]. 
Após ela ter ligado, solte a tecla [ . ].
Limpar o visor: Pressione a tecla [ CLx ].
Trocar um número de sinal: Pressione a tecla [ CHS ]. 
Configurar a quantidade de 
casas decimais no visor:
Mantenha pressionada a tecla [ f ] 
e, em seguida, informe o número 
de casas decimais desejado. 
Limpar a memória da calculadora: Pressione as teclas [ f ] e, após [CLx]. 
Fonte: O autor.
Na utilização da HP 12C, para armazenar um número em um 
dos registradores financeiros que serão utilizados nas aplicações a 
seguir, introduza-o pressionando a tecla desejada e, a seguir, aperte 
a tecla financeira correspondente. As teclas [ i ], [ n ], [ PV ], [ FV ] 
e [ PMT ] armazenam, respectivamente, os valores da taxa de juros 
por período, o número de períodos (prestações), o valor presente, o 
valor futuro e o valor dos pagamentos/recebimentos. Para visualizar 
o conteúdo de um registrador financeiro, pressione a tecla [ RCL ], 
seguida da tecla financeira de interesse. Toda função financeira 
utiliza os números armazenados nos registradores financeiros da 
calculadora, por isso, antes de iniciar um novo cálculo, é aconselhável 
adotar a prática de apagar todos os registradores, pressionando, 
sequencialmente, as teclas [ f ] e [ REG ].
50
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
a) Quantias individuais
Iniciando com o exemplo de cálculo de valor futuro, considere que você 
economizou R$ 1.000,00 e aplicou em uma poupança que rende 10% ao ano. 
Qual quantia total você teria após três anos?
Utilizando a calculadora HP 12C, primeiramente digite o valor R$ - 1.000,00 
e aperte a tecla [ PV ]. A seguir, digite 3 e aperte a tecla [ n ]. Após, deve-se digitar 
10 e apertar a tecla [ i ]. Por fim, clique na tecla [ FV ] e aparecerá o valor futuro 
da quantia individual que, no presente exemplo, é de R$ 1.331,00. A Tabela 12 
esquematiza o procedimento, como segue:
Tabela 12 – Valor futuro de uma quantia individual
Dados Função
-1000 [ PV ]
3 [ n ]
10 [ i ]
[ FV ]
Solução: 1331,00
Fonte: O autor.
Retomando o exemplo de valor presente, considere que você deseja saber 
o valor presente de R$ 5.500,00 que serão recebidos daqui a 6 anos. O custo de 
oportunidade do dinheiro é de 5% ao ano. O cálculo do valor presente do exemplo 
é sintetizado na tabela 13. 
Tabela 13 – Valor presente de uma quantia individual
Dados Função
-5500 [ FV ]
6 [ n ]
5 [ i ]
[ PV ]
Solução: 4104,18
Fonte: O autor.
51
Valor do Dinheiro no Tempo Capítulo 1 
Observe que o cálculo é muito semelhante ao anterior, diferenciando-se 
apenas que agora a incógnita do problema é o valor presente [ PV ] e, por isso, ela 
é a última tecla a ser pressionada. Ainda, dessa vez a tecla de valor presente não 
deve informar nenhum valor previamente. Aplicando o procedimento da Tabela 
13, encontra-se o valor presente da quantia individual futura em questão que é de 
R$ 4.104,18. A seguir, serão retomados os exemplos de valor futuro e presente 
de anuidades.
b) Anuidades
Mais uma vez, o esquema de cálculo do valor presente e futuro de anuidades 
se diferencia apenas pela ordem em que os valores são informados à calculadora, 
de modo que sempre a última tecla financeira pressionada não deve informar 
valores, pois ela será a variável a ser descoberta no problema. Começando 
pelo valor futuro, o exemplo de Gitman (2005) supõe que você receberá uma 
indenização com depósitos anuais de R$ 1.000,00, no final de cada ano, nos 
próximos 5 anos. Para valorizar o dinheiro, você o colocará em uma aplicação que 
rende 7% de juros ao ano. Deseja-se saber qual montante total você terá no final 
do 5º ano. A Tabela 14 apresenta um esquema de como encontrar o valor futuro 
dessa anuidade ordinária através da calculadora HP 12C. 
Tabela 14 – Valor futuro de uma anuidade ordinária
Dados Função
-1000 [ PMT ]
5 [ n ]
7 [ i ]
[ FV ]
Solução: 5750,74
Fonte: O autor.
Resolvendo o problema de acordo com o esquema ilustrado na Tabela 14, 
encontra-se um valor futuro para a anuidade ordinária em questão de R$ 5.750,74.
Entretanto, caso essa anuidade fosse vencida e não ordinária, o esquema 
para calcular o valor futuro seria o mesmo apresentado na Tabela 14. A diferença 
é que, antes de iniciar os cálculos, seria necessário colocar a calculadora no modo 
BEGIN. Isso pode ser feito pressionando, primeiramente, a tecla [ g ] e, após, 
a tecla [ BEG ]. Estabelecendo o modo BEGIN na calculadora e refazendo os 
52
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
mesmos passos apresentados na tabela 14, você deverá encontrar o valor futuro 
dessa anuidade vencida de R$ 6.153,29. Como já salientado, toda anuidade 
vencida terá um valor superior a uma anuidade ordinária, independentemente se 
estiver utilizando cálculos de valor futuro ou presente.
Antes de apresentar o esquema de cálculo de valor presente para uma 
anuidade ordinária, é aconselhável ficar sempre atento ao modo que a calculadora 
está definida. Em virtude da maioria das operações financeiras estabelecer 
fluxos de caixa no final dos períodos, como é o caso das anuidades ordinárias, 
é recomendável sempre retornar a calculadora financeira para o modo END. 
Determinado modo é facilmente definido apertando, sequencialmente, as teclas 
[ g ] e [ END ]. 
O exemplo