2 PROVA

Prévia do material em texto

Geometria Diferencial (PGMAT-UFBA)
2º Prova
Prof. Benigno Oliveira Alves
3 de maio de 2021
Exercício 1 (1.5 pt) Considere a superfície S dada por x3 = f(x1, x2) onde f : R2 → R é
uma função suave satisfazendo as condições
f(0, 0) =
∂f
∂x1
(0, 0) =
∂f
∂x2
(0, 0) = 0.
1. Verifique que e1 = (1, 0, 0) e e2 = (0, 1, 0) são tangentes a T0S e
X =
1√
1 + ( ∂f∂x1 )
2 + ( ∂f∂x2 )
2
(− ∂f
∂x1
E1 −
∂f
∂x1
E2 + E3)
é um campo normal unitário em S, onde Ei(p) = ei é o referencial canônico de R3.
2. Verifique que
S(e1) =
∂2f
∂x1∂x1
(0, 0)e1 +
∂2f
∂x1∂x2
(0, 0)e2
S(e2) =
∂2f
∂x2∂x1
(0, 0)e1 +
∂2f
∂x2∂x2
(0, 0)e2
3. Calcule a curvatura média e a curvatura Gaussiana da superfície S em (0, 0, 0).
Exercício 2 (1.5 pt) Para uma superfície parametrizada S = ϕ(U) defina a superfície paralela
na distância � > 0 (suficientemente pequeno) como a superfície S� parametrizada por
ϕ�(x1, x2) = ϕ(x1, x2) + �N(ϕ(x1, x2)).
Denote por κi e κ�i (i = 1, 2) as curvaturas principais de S e S� respectivamente. Prove que
1. κ�i =
κi
1−�κi .
2. Se S tem curvatura média constante H 6= 0 e �0 = 12H , então S�0 tem curvatura Gaussiana
constante.
Exercício 3 (2 pt) Seja S uma superfície de curvatura constante K > 0. Prove que S é parte
de uma esfera de raio r = 1|H| .
Exercício 4 (2,0 pt) Seja S uma superfície sem pontos umbílicos.
1. Prove que S é uma superfície mínima se, e somente se, existe uma função λ : S → R tal
que a aplicação normal de Gauss N : S → S2 satisfaz
〈dNp(u), dNp(v)〉 = λ(p)〈u, v〉
para quaisquer p ∈ S e u, v ∈ TpS.
1
2. Seja ϕ0 : U → S2 uma projeção estereográfica. Suponha que S é uma superfície mínima.
Prove que a aplicação normal de Gauss é um difeomorfismo local e que
ϕ = N−1 ◦ ϕ0 : U → S
é uma parametrização isoterma, onde U é escolhido tal que N−1 : ϕ0(U) → N−1(ϕ0(U))
é um difeomorfismo.
Exercício 5 (1 pt) Considere o cilindro S = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3;x21 + x22 = 1} e a curva
γ : R→ S dada por
γ(t) = (a cos(t), a sen(t), bt)
com a2 + b2 = 1. Prove que γ é uma geodésica.
Exercício 6 (2 pt) Prove que se S é uma superfície compacta, então existe p ∈ S tal que
K(p) > 0.
2