1 Prova

Prévia do material em texto

Geometria Diferencial (PGMAT-UFBA)
1o Prova
Prof. Benigno Oliveira Alves
29 de março de 2021
Exercício 1 (2 pontos) Seja γ : (a, b)→ R2 uma curva regular.
(a) Suponha que γ é unitária e defina sua curvatura (orientada).
(b) Se γ não é unitária, sua curvatura orientada é a curvatura de uma reparametrização pelo
comprimento de arco. Prove que nesse caso,
k =
〈J(γ′), γ′′〉
||γ′||3
,
onde J(u, v) = (−v, u).
(c) Se γ(t) = (cosh(t), senh(t)), calcule sua curvatura (orientada).
Exercício 2 (2 pontos) Seja γ : [a, b] → R2 uma curva regular e θ : [a, b] → [0, 2π] função
ângulo tal que
γ′(t)
||γ′(t)||
= (cos(θ(t)), sen(θ(t))),
para qualquer t ∈ [a, b]. Prove que
k(t) =
θ′(t)
||γ′(t)||
.
Por fim use essa última equação para provar que
Indγ =
1
2π
∫ b
a
k(t)||γ′(t)||dt,
onde Indγ é o índice de rotação de γ e o valor
∫ b
a k(t)||γ
′(t)||dt é a curvatura total.
Exercício 3 (1 ponto) Calcule o aparato de Frenet da curva γ : R → R3 dada por γ(t) =
1√
2+t2
(tcos(t), tsen(t), t), usando as definições.
Exercício 4 (2 pontos) Para uma curva regular plana γ com curvatura k 6= 0 a evoluta de γ
é a curva
γ∗(t) = γ(t) +
1
k(t)
E2(t).
a. Prove que
γ∗ = γ +
〈γ′, γ′〉
〈γ′′, J(γ′)〉
J(γ′),
onde J : R2 → R2 com J(x, y) = (−y, x).
1
b. Encontre uma fórmula do seguimento de reta λt que liga γ(t) a γ∗(t).
c. Prove que λt é normal a γ em γ(t) e tangente a γ∗ em γ∗(t).
Exercício 5 (2 pontos) Seja γ uma curva regular unitária com curvatura k > 0 e τ 6= 0. Se
γ está contida em uma esfera de raio r, mostre que
γ(t) = − 1
k(t)
E2(t)−
k′(t)
k(t)τ(t)
E3(t),
para qualquer t, onde {E1, E2, E3} é o referencial de Frenet de γ.
Exercício 6 (1 ponto) Considere a esfera unitária
S = {v ∈ R3; 〈v, v〉 = 1}
e faça o que se pede:
(a) Prove que S é uma superfície regular.
(b) Determine o espaço tangente e o espaço normal em um ponto p ∈ S qualquer.
2