primeira forma fundamental

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Introdução à Geometria Diferencial
Lista de Reposição 05: Primeira Forma Fundamental
Dhiego Loiola de Araújo
30 de novembro de 2022
1. Considere a superf́ıcie M gerada pelo gráfico de uma função diferenciável f(u, v) onde
x(u, v) = (u, v, f(u, v))
é uma parametrização regular. Determine os coeficientes da métrica (gij)p onde p ∈ M .
2. Considere as seguintes parametrizações do plano M = R2 − {(0, 0)}.
y(ū, v̄) = (ū, v̄, 0), (ū, v̄) ∈ R2
x(u, v) = (u cos(v), u sin(v), 0), (u, v) ∈ R− {0} × R.
(a) Determine os coeficientes da métrica induzida de R3 via estas parametrizações.
(b) Considere o ponto p ∈ M dado por p = y(2, 0) = x(2, 0). Determine a Primeira
Forma Fundamental Ip(v⃗) onde p ∈ M e v⃗ ∈ TpM para cada uma das parame-
trizações acima.
(c) Se o vetor v = 1ê1 + 1ê2 em que {ê1, ê2} formam uma base de TpM , o valor de
Ip(v⃗), onde p ∈ M é o mesmo ponto do item anterior, será o mesmo em cada
uma das parametrizações? (Lembre-se de adequar a base de TpM à parametrização
utilizada).
3. Considere a superf́ıcie de revolução
x(u, v) = (f(u) cos(v), f(u) sin(v), g(u)),
onde f, g são funções diferenciáveis. Determine os coeficientes da métrica nesta superf́ıcie
e a expressão do vetor normal que aponta para o eixo z.
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