3 Prova

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Geometria Diferencial (PGMAT-UFBA)
3º Prova
Prof. Benigno Oliveira Alves
14 de junho de 2021
Exercício 1 Mostre que se S é uma superfície compacta orientável não difeomorfa a esfera,
então existe p ∈ S tal que K(p) < 0.
Exercício 2 Seja ϕ uma para metrização conforme, ou seja, g11(p) = g22(p) = f(p) e g12 = 0.
Prove que sua curvatura Gaussiana é dada por
K(p) = − 1
2f(p)
4(ln(f))
onde 4 é o operador laplaciano.
Exercício 3 Prove que a esfera S2 não admite um campo vetorial suave globalmente definido
X tal que X(p) 6= 0 para qualquer p ∈ S2.
Exercício 4 Prove que se γ : I → S1 é uma geodésica e f : S1 → S2 é uma isometria local,
então f ◦ γ é uma geodésica.
Exercício 5 Prove que se γ : [a, b] → S é uma curva suave por partes tal que d(γ(a), γ(b)) =
L(γ), então γ é uma geodésica.
Exercício 6 Se existem duas geodésicas simples e fechadas em uma superfície compacta, conexa
com curvatura positiva, prove que tais geodésicas se intersectam.
Exercício 7 Suponha que o transporte paralelo de uma superfície S independe do caminho, ou
seja, se α1, α2 : [a, b]→ S são curvas suaves por partes tais que α1(a) = α2(a) e α1(b) = α2(b),
então P 1a,b(v) = P
2
a,b(v) para qualquer v ∈ Tα1(a)S, onde P ia,b denota o transporte paralelo ao
longo de αi. Prove que S tem curvatura Gaussiana identicamente nula.
Dica: Usando o transporte paralelo defina um campo não nulo V satisfazendo ∇uV = 0 para
qualquer u e em seguida use a expressão da curvatura em termos da conexão para verificar o
desejado.
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