Dicas_exercicios_Keti_cap3_2018

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
Exerćıcios de Geometria diferencial - Dicas e respostas do caṕıtulo III - Monica
Merkle - 2018
Exerćıcios 1.11: Superf́ıcie parametrizada regular
1. a) O traço da superf́ıcie parametrizada
X(u, v) = (a cosu cos v, b cosu sen v, c senu) , u ∈ (−π/2, π/2), v ∈ IR,
descreve o elipsóide menos os pontos (0, 0, c) e (0, 0,−c).
b) O traço da superf́ıcie parametrizada
X(u, v) = (a coshu cos v, b coshu sen v, c senhu) , (u, v) ∈ IR2,
descreve o hiperbolóide de uma folha.
c) O traço da superf́ıcie parametrizada
X(u, v) =
(
au, b
√
u2 − 1 cos v, c
√
u2 − 1 sen v
)
, u ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞), v ∈ IR,
descreve o hiperbolóide de duas folhas menos os pontos (a, 0, 0) e (−a, 0, 0).
d) O traço da superf́ıcie parametrizada
X(u, v) =
(
u, v,
√
u2 + v2
)
, (u, v) ∈ IR2 − {(0, 0)},
descreve o cone de uma folha menos o vértice (0, 0, 0).
e) O traço da superf́ıcie parametrizada
X(u, v) =
(
cosu, v, 3v2 − senu
)
, (u, v) ∈ IR2,
descreve S.
a) As curvas coordenadas são elipses. A parametrização é injetiva se restrita ao domı́nio
(−π/2, π/2)× (0, 2π), por exemplo.
b) As curvas coordenadas são elipses quando u é constante e hipérboles quando v é cons-
tante. A parametrização é injetiva se restrita ao domı́nio IR× (0, 2π), por exemplo.
c) As curvas coordenadas são ćırculos quando u é constante e hipérboles quando v é cons-
tante. A parametrização é injetiva se restrita ao domı́nio [(−∞,−1) ∪ (1,∞)]× (0, 2π),
por exemplo.
d) As curvas coordenadas são funções módulo. A parametrização já é injetiva.
e) As curvas coordenadas são parábolas quando u é constante e ćırculos quando v é cons-
tante. A parametrização é injetiva se restrita ao domı́nio (0, 2π)× IR, por exemplo.
2. Verificamos que X é C∞, Xu ×Xv 6= (0, 0, 0) e as coordenadas de X satisfazem à equação
z =
x2
a2
− y
2
b2
, para z > 0, isto é, X descreve a porção do parabolóide hiperbólico acima do
plano xy.
3. São superf́ıcies parametrizadas regulares pois em cada item, X é C∞ em IR2 eXu ×Xv 6= (0, 0, 0).
a) Plano x = 0.
b) Plano y = 2x.
c) Cilindro
y2
4
+ x2 = 1.
4. Podemos mostrar que a parametrização de S, X(u, v) = α(u) + v(0, 0, 1), u ∈ I, v ∈ IR, é
regular quando x′ 2(u) + y′ 2(u) 6= 0, isto é, quando α′(u) não tem vetores na direção de
(0, 0, 1).
5. Pois Xu ×Xv = (6t2,−6t, 2) 6= (0, 0, 0),∀(u, t) ∈ (0,∞)× IR.
Este é um exemplo interessante de superf́ıcie. Faça um esboço, num caso
particular.
6. O traço da superf́ıcie parametrizada
X(t, v) = (0, 0, bt) + v (a cos t, a cos t, 0) , (t, v) ∈ IR2,
descreve o helicóide.
Este é um exemplo importante de superf́ıcie regrada. Faça um esboço.
7. Verificamos que X é C∞ e ‖ Xu ×Xv ‖2= a2f ′ 2 + f 2(f ′ 2 + g′ 2) 6= 0, pois f(u) 6= 0 e
‖ α′ ‖2 6= 0.
As curvas coordenadas são hélices quando u é constante e curvas do tipo α(u) quando v é
constante.
a) Helicóide.
b) Superf́ıcie de revolução.
Este é um exemplo interessante de superf́ıcie, helicóide generalizado.
8. Verificamos que X(u, v) = (u cos v, u sen v, φ(v)) é C∞ e ‖ Xu ×Xv ‖2= φ′ 2 + u2 > 0.
O traço de X está contido no parabolóide hiperbólico quando φ(v) = a cotg v. Para tal φ
estar definida, é preciso reduzir o domı́nio de X.
9. Verificamos que X é C∞ e Xu ×Xv = (dF ◦Xu)× (dF ◦Xv) 6= (0, 0, 0) pois dF é 1-1 e
Xu ×Xv 6= (0, 0, 0).
Exerćıcios 2.5: Mudança de parâmetros
1. O traço de X é o plano xy. O traço de X é o plano xy menos a origem (0, 0, 0).
Uma mudança de parâmetros é: h : (IR− 0)× IR→ IR2 − (0, 0), h(u, v) = (u cos v, u sen v),
e satisfaz X(h(u, v)) = X(u, v).
2. a) O traço de X é a parte acima do plano xy do parabolóide hiperbólico z =
x2
a2
− y
2
b2
.
O traço de X é o parabolóide hiperbólico z =
x2
a2
− y
2
b2
.
Se U = (IR − 0) × IR e U = {(x, y) ∈ IR2 : x, y > 0 ou x, y < 0}, a mudança
de parâmetros h : U → U , h(u, v) =
(
evu
2
,
u
2ev
)
, satisfaz X(h(u, v)) = X(u, v).
2
b) O traço de X e de X é o hiperbolóide de uma folha
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1.
A mudança de parâmetros h : U → U ,
h(u, v) =
(
arcsenh
(
uv − 1
u+ v
)
, arcsen
(
1 + uv√
u2 + v2 + u2v2 + 1
))
,
com abertos U e U apropriados. (as contas aqui ficam um pouco mais chatas)
3. Temos X(u, v) = X(h(u, v)), com a mudança de parâmetros h : IR2 → IR2,
h(u, v) = ( arcsenhu, v).
4. Para resolver este exerćıcio, refazemos os passos da prova da proposição 2.3 do livro.
Por exemplo, se cos v0 6= 0, h é a inversa de F (u, v) = (f(u) sen v, u), para (u, v) ∈ V ,
V = I × (u0 − �, u0 + �). Assim, h(u, v) =
(
v, arcsen
(
u
f(v)
))
, onde U = F (V ) e
X(h(u, v)) =
(√
f 2(v)− u2, u, v
)
.
Exerćıcios 5.5: Segunda forma fundamental; curvatura normal
1. a) Segunda forma quadrática e curvatura normal da superf́ıcie de revolução:
IIq(w) =
a2(f ′g′′ − g′f ′′) + b2fg′√
f ′ 2 + g′ 2
, kn(w) =
[
a2(f ′g′′ − g′f ′′) + b2fg′
a2(f ′ 2 + g′ 2) + b2f 2
]
1√
f ′ 2 + g′ 2
.
b) Segunda forma quadrática e curvatura normal da superf́ıcie que é gráfico
de uma função (superf́ıcie de Monge):
IIq(w) =
a2fuu + 2abfuv + b
2fvv√
1 + f 2u + f
2
v
,
kn(w) =
[
a2fuu + 2abfuv + b
2fvv
a2(1 + f 2u) + 2abfufv + b
2(1 + f 2v )
]
1√
1 + f 2u + f
2
v
.
2. Relação entre coeficientes da primeira e segunda forma de uma superf́ıcie pa-
rametrizada e de sua reparametrização:
Os coeficientes E, F , G, e, f e g de X estão calculados em h(q) e os coeficientes E,
F , G, e, f e g de X estão calculados em q.
As relações entre os coeficientes da segunda forma são:
E = E
(
∂u
∂u
)2
+ 2F
∂u
∂u
∂v
∂u
+G
(
∂v
∂u
)2
,
F = E
∂u
∂u
∂u
∂v
+ F
(
∂u
∂u
∂v
∂v
+
∂u
∂v
∂v
∂u
)
+G
∂v
∂u
∂v
∂v
,
G = E
(
∂u
∂v
)2
+ 2F
∂u
∂v
∂v
∂v
+G
(
∂v
∂v
)2
.
As relações entre os coeficientes da segunda forma são:
e = ±
[
e
(
∂u
∂u
)2
+ 2f
∂u
∂u
∂v
∂u
+ g
(
∂v
∂u
)2]
,
3
f = ±
[
e
∂u
∂u
∂u
∂v
+ f
(
∂u
∂u
∂v
∂v
+
∂u
∂v
∂v
∂u
)
+ g
∂v
∂u
∂v
∂v
]
,
g = ±
[
e
(
∂u
∂v
)2
+ 2f
∂u
∂v
∂v
∂v
+ g
(
∂v
∂v
)2]
.
3. Interessante!
Supomos α e β parametrizadas pelo comprimento de arco. Como em s0, elas tem o
mesmo plano osculador que não coincide com o plano tangente, então elas tem a mesma
direção tangente e mesma direção normal (justifique). Para finalizar o argumento, calcule
a curvatura normal na direção tangente a α e β, e conclua que as curvaturas de α e β são
iguais.
4. Cilindro reto sobre curva plana:
Pela equação da curvatura normal, podemos ver que a direção de Xv (curva coordenada
u constante, que é reta) é uma direção com curvatura normal nula.
Exerćıcios 6.7: Curvaturas principais; curvatura de Gauss; curvatura
média
1. Importante!
Feito em aula.
2. A curva α(u) = X(u, v0), com 0 < v0 < π/2, é um ćırculo de raio a sen (v0) e portanto,
com módulo da curvatura |k| constante igual a 1
a sen (v0)
6= 1
a
.
3. Helicóide:
Temos queH(u, v) ≡ 0 e queK(u, v) = − b
2
(v2 + b2)2
< 0. Como b4 ≤ (v2+b2)2, b
2
(v2 + b2)2
≤ 1
b2
,
segue o resultado desejado.
4. a) O valor da curvatura média é a média dos valores de duas curvaturas nor-
mais em direções ortogonais.
O cálculo é direto usando fórmula de Euler.
b) O valor da curvatura média é a média dos valores de m curvaturas normais
em m direções igualmente distribúıdas num ćırculo.
Basta usar a identidade
1 + cos2
(
2π
m
)
+ cos2
(
2π
m
· 2
)
+ cos2
(
2π
m
· 3
)
+ ...+ cos2
(
2π
m
· (m− 1)
)
=
m
2
.
A prova desta identidade pode ser feita, substituindo
cos2 θ =
(
eiθ + e−iθ
2
)2
,
com θ =
2π
m
,
2π
m
· 2, ..., 2π
m
· (m− 1), desenvolvendo o lado esquerdo da identidade e
usando a soma da série geométrica
m−1∑
k=−(m−1)
(
e2iθ
)k
= −1.
4
c) O valor da curvatura média é a média dos valores das curvaturas normais
em todas as direções.
O cálculo é direto usando fórmula de Euler e integração.
5. Pseudo-esfera:
Um exemplo de superf́ıcie comcurvatura Gaussiana constante negativa. O cálculo é direto
da fórmula.
6. Hiperbolóide de uma folha
Por todo ponto do hiperbolóide passam duas curvas do tipo
x2
a2
+
y2
b2
= c te e
x2
a2
− z
2
c2
= c te, que tem curvaturas normais com sinais diferentes e portanto a curvatura
Gaussiana terá que ser negativa.
7. Catenóide:
Um exemplo de superf́ıcie com curvatura média constante nula. O cálculo é direto da
fórmula.
8. Curvatura Gaussiana e média da superf́ıcie de revolução:
K(u, v) =
(f ′g′′ − g′f ′′)g′
(f ′ 2 + g′ 2)2f
,
H(u, v) =
(f ′g′′ − g′f ′′)f + g′(f ′ 2 + g′ 2)
(f ′ 2 + g′ 2)3/2f
.
Se a curva geratriz é parametrizada pelo comprimento de arco, f ′ 2 + g′ 2 = 1. Deri-
vando a última condição, obtemos outra relação e, desenvolvendo a fórmula da curvatura
Gaussiana, conseguimos mostrar que
K(u, v) = −f
′′
f
.
9. Curvatura Gaussiana e média do elipsóide:
Seja d(u, v) = sen 2v(b2c2 cos2 u+ a2c2 sen 2u) + a2b2 cos2 v.
K(u, v) =
a2b2c2
(d(u, v))2
,
H(u, v) =
abc[cos2 v(a2 cos2 u+ b2 sen 2u) + c2 sen 2v + sen 2v(a2 sen 2u+ b2 cos2 u)]
(d(u, v))3/2
.
10. Curvatura Gaussiana e média da superf́ıcie de Monge:
K(x, y) =
fxxfyy − f 2xy
(1 + f 2x + f
2
y )
2
,
H(x, y) =
fxx(1 + f
2
y ) + fyy(1 + f
2
x)− 2fxfyfxy
(1 + f 2x + f
2
y )
3/2
.
a) Ver fórmula anterior.
b) Ver fórmula anterior.
5
11. Parabolóide hiperbólico:
a) Pelo exerćıcio anterior, K(u, v) =
−1
(1 + u2 + v2)2
< 0.
b) Como r =‖ (u, v, uv)− (0, 0, uv) ‖=
√
u2 + v2, K(u, v) =
−1
(1 + r2)2
.
c) Basta calcular o limite.
12. Superf́ıcie mı́nima de Scherk:
a) Como a superf́ıcie é de Monge, podemos usar a fórmula da curvatura média encontrada
no exerćıcio 10. Desenvolvendo, vemos que a superf́ıcie é mı́nima se e só se
h′′
1 + (h′)2
= − l
′′
1 + (l′)2
.
Mas, como o lado esquerdo da igualdade é função de v e o lado direito é função de
u, os dois lados são iguais e constantes.
b) Depende do estudo da equação diferencial retirada do item anterior. Mas o enunciado
do livro está errado. Quando a 6= 0, o correto seria:
h(u) =
−1
a
log(cos(au+ b)), l(v) =
1
a
log(cos(au+ b)).
13. Classificação das superf́ıcies de revolução com curvatura Gaussiana constante:
Resolvemos a equação f ′′(u) +Kf(u) = 0, nos casos K > 0, K < 0 e K = 0. Depois
obtemos g(u) a partir da condição da curva (f(u), 0, g(u)) estar parametrizada pelo com-
primento de arco.
14. Direções principais nas superf́ıcies de revolução:
Feito em aula.
15. Superf́ıcies de Weingarten:
a) Segue das derivadas com relação a u e v de ψ(k1(u, v), k2(u, v)) = 0.
b) O enunciado do livro está errado. A relação correta é
k1(u, v)− a2k32(u, v) = 0,
onde k1 é a curvatura principal mı́nima e k2 é a curvatura principal máxima.
Basta usar o resultado do exerćıcio 14 com os coeficientes do exerćıcio 8, para calcular
k1 e k2.
Exerćıcios 7.10: Classificação dos pontos de uma superf́ıcie
1. Nos três itens q = (0, 0) é um ponto parabólico. Para indicar a posição de X(u, v) em
relação ao plano tangente TqX, para (u, v) suficientemente próximo de q, repare que nos
três itens, X(0, 0) = (0, 0, 0), N(0, 0) = (0, 0, 1) e a função altura h(u, v) é dada por
h(u, v) = 〈X(u, v)−X(0, 0), N(0, 0)〉.
a) Como h(u, v) = u2 + v4 > 0 (se (u, v) 6= q), a superf́ıcie está toda inteiramente contida
em um semi-espaço determinado por TqX.
6
b) Como h(u, v) = u2 − v3 muda de sinal, dada qualquer vizinhança de q sempre encon-
tramos pontos localizados em semi-espaços distintos determinados por TqX.
c) Como h(u, v) = u2 + au3 + bv2 muda de sinal, dada qualquer vizinhança de q sempre
encontramos pontos localizados em semi-espaços distintos determinados por TqX.
2. Pode usar a condição de que um ponto é umb́ılico se e somente se H2 = K, para mostrar
os dois itens.
3. Feito em aula.
4. De fato, pois K(u, v) = 0 e H(u, v) =
1
2
√
2
√
u2 + v2
.
5. Interessante!
Repare que N(t) = N(u(t), v(t)) é constante e analise 〈N ′(t), Xu〉 e 〈N ′(t), Xv〉 para
concluir que α′(t) é uma direção principal de curvatura 0 e portanto (u(t), v(t)) é um
ponto planar ou parabólico.
Obs. O resultado é consequência direta da fórmula de Rodrigues, que é estudada no
próximo caṕıtulo.
6. Importante!
Escreva Nu e Nv em função da base {Xu, Xv} (calcule os coeficientes, como será feito no
próximo caṕıtulo) e desenvolva Nu ×Nv, até chegar ao resultado.
7. Pode ser resolvido calculando K =
−f ′′
f [(f ′)2 + 1]2
e H =
1
f
√
(f ′)2 + 1
.
Ou pode ser resolvido observando que como as direções tangentes aos meridianos e paralelos
são direções principais e os paralelos tem curvatura não nula, então um ponto é parabólico
se e somente se o meridiano α que passa pelo ponto tem curvatura zero, isto é, ||α′′|| =
|f ′′| = 0.
8. Como α está paramentrizada pelo comprimento de arco e a curvatura de α é não nula,
então kn(α
′(s)) = 0 implica que o plano tangente coincide com o planno osculador e b(s) =
±N(u(s), v(s)). EscrevaNu eNv em função da base {Xu, Xv} (calcule os coeficientes, como
será feito no próximo caṕıtulo) e desenvolva ||N ′||, até chegar ao resultado.
9. Importante!
Feito em aula.
10. Calculamos K e H para verificar que (0, v0) é um ponto parabólico.
Como
h(u, v) = 〈X(u, v)−X(0, v0), N(0, v0)〉 = −1 + (1− u3)(cos v cos v0 + sen v sen v0),
h(0,−v0) > 0 e h(0, v0 + π/2) < 0 então mostramos o desejado.
11. Temos K =
−(f ′)2
(f ′)2 + u2
< 0 pois f é estritamente monótona.
12. Indicatriz de Dupin:
Feito em aula.
Exerćıcios 8.20: Linhas de curvatura; linhas assintóticas; geodésicas
1. Igual ao exerćıcio 9 da seção 7.10. Feito em aula.
7
2. Igual ao exerćıcio 14 da seção 6.7. Feito em aula.
3. De fato, pois em q = (0, 0), kn(a, b) = 2,∀a,∀b.
4. Interessante!
Considere α parametrizada pelo comprimento de arco. Como α é plana, está contida no
plano osculador e portanto 〈b,N〉 é constante. Derivando, conclúımos que b ⊥ N ′, isto é,
N ′ pertence ao plano osculador e ao plano tangente.
Se o plano osculador não coincide com o plano tangente, mostra-se que α é linha de
curvatura com curvatura principal não nula (pois N ′ = λα′).
Se o plano osculador coincide com o plano tangente, mostra-se que α é linha de curvatura
com curvatura principal nula (pois N ′ = (0, 0, 0) = 0α′).
Obs. Pense em casos particulares desta situação. Por exemplo, paralelos em superf́ıcies
de revolução.
5. Interessante! Imagem da aplicação normal de Gauss:
Para mostrar que N(u, v) é superf́ıcie regular, usamos a relação do exerćıcio 6 da seção
7.10.
Para calcular os coeficientes da primeira forma de N , escrevemos Nu e Nv em função da
base {Xu, Xv}. E usamos que os coeficientes de X, F = f = 0, k1 = e/E e k2 = g/G pois
as curvas coordenadas de X são linhas de curvatura.
6. Interessante!
Como o ângulo entre as superf́ıcies é constante, 〈N ′, N〉+ 〈N,N ′〉 = 0.
Se α é linha de curvatura de X, usando a relação de Rodrigues, conclúımos que N
′
pertence
ao plano tangente a X e ao plano tangente a X.
Se os planos tangentes coincidem, N = ±N e α é linha de curvatura de X.
Se os planos tangentes não coincidem, N
′
= λα′ e α é linha de curvatura de X.
A volta é similar.
7. Importante!
Feito em aula.
8. Linhas de curvatura e linhas assintóticas da superf́ıcie de Monge:
Linhas de curvatura:[
fufvfvv − fuv(1 + f 2v )√
1 + f 2u + f
2
v
]
v′ 2 +
[
fuv(1 + f
2
u)− fufvfuu√
1 + f 2u + f
2
v
]
u′ 2 +
[
fvv(1 + f
2
u)− fuu(1 + f 2v )√
1 + f 2u + f
2
v
]
u′v′ = 0.
Linhas assintóticas:
fuuu
′ 2 + 2fuvu
′v′ + fvvv
′ 2 = 0.
9. Por todo ponto de um hiperbolóide de uma folha passam duas retas (lembre que o hiper-
bolóide de uma folha é uma superf́ıcie regrada).
10. Fato básico!
Seja α(s) parametrizada pelo comprimento de arco. O resultado segue de
kn(α
′(s)) = k(s)〈n(s), N(s)〉.
11. Interessante! Fato básico:
Sejam w1 e w2 as direções principais. Sejam v1 e v2 as direções assintóticas. Sejam θ1 e
θ2 os ângulos entre w1 e v1 e entre w2 e v2, respectivamente.Usando a fórmula de Euler e
que kn(θ1) = 0 = kn(θ2) mostramos que θ1 = θ2.
8
12. Interessante!
Segue do exerćıcio anterior.
13. Interessante!
Segue da relação
k2 = k2n + k
2
g .
14. Geodésicas em superf́ıcies de revolução:
Feito em aula.
15. Importante!
a) Se α é geodésica e uma linha de curvatura então n(s) = ±N(s) ou k(s) = 0 e existe λ
tal que N ′ = λα′. Se k(s) = 0, a curva é plana. Senão, derivando b(s) = t(s)× n(s),
chegamos ao fato de b(s) ser constante, o que mostra que a curva é plana contida
num plano ortogonal a X.
Se α é uma curva plana contida num plano ortogonal a X, então n(s) = ±N(s) e
α′′ tem a direção de N e α é uma geodésica. Pelo exećıcio 4 desta seção, como a
curva está contida um plano que faz ângulo constante com o plano tangente, então α
é linha de curvatura.
b) Se α é linha assintótica e linha de curvatura então k(s) = 0 ou o plano osculador é
tangente à X e existe λ tal que N ′ = λα′. Se k(s) = 0, a curva é plana. Senão,
B(s) = ±N(s) e derivando b(s), chegamos ao fato da torção ser nula.
Se o traço de α está contido em um plano tangente a X pelo exećıcio 4 desta seção,
como a curva está contida um plano que faz ângulo constante com o plano tangente,
então α é linha de curvatura. Como n ⊥ N , kn(α′) = k〈n,N〉 = 0 então α é linha
assintótica.
16. Interessante!
Todas as retas meridianos, nenhum paralelo e as curvas no cone que são imagem dos
segmentos de reta obtidos no ’cone aberto isométrico’ contido no plano.
17. Interessante!
Foi provado em aula que por um ponto parabólico, existe uma única direção assintótica que
é direção principal. Pelo exerćıcio anterior, uma linha assintótica que é linha de curvatura
está contida no plano tangente a X. Como as outras direções são de curvatura não nula,
então α é um segmento de reta.
18. As contas são muito grandes...
19. Interessante!
Feito em aula.
20. Interessante!
a) Basta mostrar que e = g = 0.
b) A equação das linhas de curvatura é:
v′√
1 + v2
= ± u
′
√
1 + u2
.
c) Tem que manipular a equação das geodésicas com a condição de α estar parametrizada
pelo comprimento de arco.
21.
9
22.
23.
Observação: Uma boa referência de site para pesquisa de superf́ıcies é: mathworld.wolfram.com,
abrindo em geometry, etc.
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