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Lista 2 - Álgebra Linear II - 2023/01
Professor: Je�erson Silva - jecsilva@uea.edu.br
Turma: EPR03-T01
Transformações Lineares.
1) Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) F : R2 → R2 de�nida por F (x, y) = (x+ y, x− y);
(b) G : R2 → R de�nida por G(x, y) = xy;
(c) H :M2×2(R)→ R dada por H
([
a b
c d
])
= a+ d;
(d) F : P2 → P3 dada por F (at2 + bt+ c) = at3 + bt2 + ct+ 1;
(e) G : P3 →M2×2(R) de�nida por G(at3 + bt2 + ct+ d) =
(
a b
c d
)
.
(f) H : R2 →M2×2(R), onde H(x, y) =
[
2x x− y
x+ y 2y
]
.
(g) F : P2 → P3 de�nida por
F (p(t)) =
∫ t
0
p(s)ds, t > 0.
2) Considere V =Mn×n(R) e seja B em V . De�na a função T : V → V por
T (A) = AB +BA
para toda matriz A em V . Mostre que T é uma transformação linear.
3) Mostre que a função T : Mn×n(R) → Mn×n(R), de�nida por T (A) = A + At, é uma
transformação linear.
4) A função L : S → F(R), de�nida por
L(f(t)) = lim
k→∞
∫ k
0
e−stf(t)dt, s ∈ R,
é conhecida como transformada de Laplace (S é um subespaço de F(R) em que as funções
admitem transformada de Laplace). Provar que L é uma transformação linear. Calcule L(1),
L(et) e L(c1 + c2et), c1, c2 ∈ R.
5) Determine uma transformação linear:
(a) T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) = (0,−1);
(b) T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
1
(c) T : P2 → M2×2(R) tal que T (t2 + 1) =
(
1 0
0 0
)
, T (t + 1) =
(
0 1
0 0
)
e
T (1) =
(
0 0
1 0
)
.
(d) T : R2 → P3(R) tal que T (1, 1) = t2 − 1 e T (1,−1) = t3 + 1.
6) Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Determine quais destas
transformações são injetivas e quais são sobrejetivas.
(a) T : R3 → R2, em que T (x, y, z) = (x− y, x− z);
(b) T : Pn → Pn+1, em que T (p(t)) = tp(t);
(c) T :M2×2(R)→M2×2(R), em que T (A) =MA sendo M =
[
1 −1
−4 4
]
;
(d) T : P2 → R4, em que T (ax2 + bx+ c) = (a+ b, 2b+ c, a+ 2b− c, c);
(e) T : R3 → P2 de�nida por T (a, b, c) = (a+ b+ c)t2 + (a+ b)t+ a;
(f) F :M(2, 2)→ R de�nida por F (X) = TrX. (TrX é o traço da matriz X).
7) Determine:
(a) uma transformação linear T : R3 → R3 tal que o núcleo de T , KerT , seja o plano
x+ y + z = 0.
(b) uma transformação linear T : R2 → R2 tal que a imagem de T , ImT , seja a bissetriz
y = x.
8) Dados T : U → V linear e injetora e u1,u2, . . . ,uk vetores L.I em U , mostre que
{T (u1), T (u2), . . . , T (uk)}
é linearmente independente.
9) Mostre que se T : V → W é uma transformação linear, então:
(a) ImT é um subespaço de W .
(b) KerT é um subespaço de V .
10) (a) Considere a transformação linear T : R2 → R2 dada por
T (x, y) = (x− y, x+ y).
Determine se T é invertível. Em caso a�rmativo, encontre T−1.
(b) Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (3x+ y,−2x− 4y + 3z, 5x+ 4y − 2z).
Determine se T é invertível. Em caso a�rmativo, encontre T−1.
2
(c) Sejam V = P2 e W = [sen t, cos t, 1]. Considere a transformação linear T : V → W
dada por
T (at2 + bt+ c) = c− b cos t− a sen t.
Mostre que T é um isomor�smo e encontre sua inversa.
11) Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3, respecti-
vamente, e [T ]αβ =
 1 01 1
0 −1
.
(a) Encontre T .
(b) Encontre uma base γ de R3 tal que [T ]αγ =
 1 00 0
0 1
.
12) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2× 2 com base
β =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
.
Se T : V → R2 é dada por T
([
a b
c d
])
= (a + d, b + c), encontre [T ]βα, onde α é a base
canônica de R2.
13) Seja T : P2 → P2 a transformação linear T (p(t)) = p(2t + 1). Encontre [T ]ββ em relação à
base β = {1, t, t2}.
14) Sejam T : R2 → R2 e S : R2 → R2 transformações lineares dadas por T (x, y) = (x+ y, 0) e
S(x, y) = (−y, x). Encontre expressões para de�nir:
(a) T + S
(b) T ◦ S
(c) T 3 e S−3.
15) Encontre a transformação T do plano R2 que é uma re�exão em torno da reta y = x. Escreva-a
em forma matricial.
16) No plano R2, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de
√
2. Encontre
a aplicação A que representa esta transformação do plano.
17) (a) Os pontos A = (2,−1) e B = (−1, 4) são vértices consecutivos de um quadrado.
Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz rotação.
(b) O vetor v = (3, 2) é, sequencialmente, re�etido em torno da reta y = x, sofre um
cisalhamento horizontal de fator 2, é contraído na direção Oy em
1
3
e rotacionado em
90◦ no sentido anti-horário. Calcule o vetor resultante dessa sequência de operações.
18) Seja T : R2 → R2 uma re�exão, através da reta y = 3x.
3
(a) Encontre T (x, y).
(b) Encontre a base α de R2 tal que [T ]αα =
[
1 0
0 −1
]
.
19) Se [I]α
′
α =
 1 1 00 −1 1
1 0 −1
 encontre:
(a) [v]α onde [v]α′ =
 −12
3

(b) [v]α′ onde [v]α =
 −12
3
.
20) Sejam β1 = {(1, 0), (0, 2)}, β2 = {(−1, 0), (1, 1)} e β3 = {(−1,−1), (0,−1)} três bases
ordenadas de R2. Encontre:
(a) [I]β2β1
(b) [I]β3β2
(c) [I]β1β3
(d)
(
[I]β2β1 · [I]
β3
β2
)−1
.
Estabelecer, se possível, uma relação entre estas matrizes mudança de base.
21) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2× 2 triangulares superiores. Sejam
β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e
β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 1
0 1
]}
duas bases de V . Encontre [I]ββ.
PROVAS ANTERIORES.
22) (a) Dada a transformação linear T : R2 → R2, de�nida por T (x, y) = (−y, x), mostre que
T 3 = −T . É verdade que T 4 = I?
(b) Considere uma função F : P2 → P3 de�nida por
F (p(t)) =
∫ t
0
p(s)d(s), t > 0.
Seja G : P3 → P2 uma transformação linear de�nida por
G(q(t)) =
d
dt
(q(t)).
Mostrar que (G ◦ F )(p(t)) = p(t).
4
(c) Considere V =M(2, 2) e um operador linear T : V → V de�nido por
T (X) = X +X t,
onde X t é a transposta de X. Determinar uma expressão para de�nir
T n = T ◦ · · · ◦ T (n vezes).
Em seguida, calcule a matriz de T 10 com relação à base canônica de V .
23) Seja M =
[
1 −1
−4 4
]
. De�na a funcão T :M(2, 2)→M(2, 2) por T (A) =MA.
a) Mostre que T é uma transformação linear.
b) Determine o núcleo e a imagem de T e suas respectivas dimensões.
c) T é isomor�smo? Justi�que sua resposta.
24) Resolva os seguintes problemas:
a) Seja T : P2 → P2 a transformação linear dada por T (p(t)) = p(2t+ 1). Encontre [T ]ββ
em relação à base β = {1, t, t2}.
b) Encontre a matriz A que efetue a sucessão de operações no plano indicadas: uma
rotação por um ângulo de 30◦ em torno da origem, no sentido anti-horário, seguida pelo
cisalhamento de fator −2 na direção do eixo y (cisalhamento vertical).
25) Seja R : R2 → R2 a re�exão em torno da reta y = ax, a ∈ R. Considere os escalares
α1 =
1− a2
1 + a2
e α2 =
2a
1 + a2
.
a) Mostre que
R(x, y) = (α1x+ α2y, α2x− α1y) .
b) Seja α a base canônica de R2. Mostre que R é um operador ortogonal, isto é,
([R]αα)−1 = ([R]αα)t.
c) Determine o vetor w ∈ R2 cuja re�exão em torno da reta y = 2x é o vetor v = (1, 1).
d) Determine os vetores u ∈ R2 cuja direção não se altera ao serem re�etidos em torno da
reta y = x.
26) Considere a transformação linear T : R4 → R4 dada por:
T (x, y, z, t) = (x− z − t, y + t,−x+ z + t,−x+ y + z + 2t).
Suponha que R4 esteja munido com produto interno usual. Mostre que T (R4) = (kerT )⊥.
27) Indique se estão CERTAS ou ERRADAS as seguintes asserções. Justi�que a sua resposta
quando a asserção for ERRADA.
5
a) A função G : R2 → R dada por G(x, y) = xy é uma transformação linear, pois G(0, 0) =
0.
© CERTO © ERRADO
b) Na transformação linear T : R2 → P3(R) tal que T (1, 1) = t2 − 1 e T (1,−1) = t3 + 1
tem-se T (2, 0) = t3 + t2.
© CERTO © ERRADO
c) Seja operador linear T : M2×2(R) → M2×2(R), dado por T (A) = A − At. Tem-se
I ∈ ker(T ).
© CERTO © ERRADO
d) A imagem da transformação linear T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ y, x+ y) é a
bissetriz y = x.
© CERTO © ERRADO
e) A transformação linear T :M(2, 2) → R, dada por T (X) = TrX, (TrX é o traço da
matriz X) é injetiva.
© CERTO © ERRADO
f) O núcleo da transformação linear T : R3 → R2, dada por T (x, y, z) = (x− y, x− z), é
o plano y +z = 0.
© CERTO © ERRADO
g) Existe uma transformação linear sobrejetiva entre R500 e P500.
© CERTO © ERRADO
h) Suponha que T : V → V seja um isomor�smo. Então, ker(T )⊕ T (V ) = V .
© CERTO © ERRADO
i) O operador linear T : R2 → R2, dado por T (x, y) = (x− y, x+ y), é inversível.
© CERTO © ERRADO
j) Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (3x+ y,−2x− 4y + 3z, 5x+ 4y − 2z).
O traço da matriz [T ]can
can
é positivo.
© CERTO © ERRADO
k) Sejam α = {1, t, t2} e α =
{
1, 2t,
t2
2
}
bases de P2(R). Então:
[I]αα =
 1 0 00 1
2
0
0 0 2
 .
© CERTO © ERRADO
l) Seja T : P1(R)→ P1(R) a transformação linear T (p(t)) = p(2t+ 1). Então,
T−1(p(t)) = p
(
1
2
(t− 1)
)
.
© CERTO © ERRADO
6
m) Seja T : R2 → R2 o operador linear de�nido por T (x, y) = (−y, x). Então, T 3 = T .
© CERTO © ERRADO
n) A imagem da circunferência de centro (1, 1) e raio 1, por uma rotação de 180o no sentido
antihorário, é a circunferência (x+ 1)2 + (y + 1)2 = 1.
© CERTO © ERRADO
o) A imagem de toda circunferência x2+ y2 = a2 é invariante por qualquer tipo de re�exão
e rotação.
© CERTO © ERRADO
p) Quando se aplica um cisalhamento horizontal, seguido de um cisalhamento vertical,
ambos de fator 1, a reta y = x, se obtém a reta y =
3x
2
.
© CERTO © ERRADO
q) A expansão uniforme Eα, tem como operador inverso a contração uniforme E 1
α
em que
|α| > 1.
© CERTO © ERRADO
r) Considere para R2, as bases α = {(1, 0), (0, 2)} e α = {(−1, 0), (1, 1)}. Então,
[(1, 2)]α =
[
1
1
]
e [(0, 1)]α =
[
1
2
]
.
© CERTO © ERRADO
s) Seja α a base de um espaço vetorial V de dimensão �nita. Então, [I]αα tem determinante
igual a 1.
© CERTO © ERRADO
t) A translação é uma operador do plano, não linear, T , de�nido por T (x, y) = (x+a, y+b).
Então, podemos escrever
[T (x, y)]can = [I]
can
can
[(x, y)]can + [(a, b)]can.
© CERTO © ERRADO
28) Considere um paralelogramo de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) e (2, 2). Sobre este paralelogramo
são realizados os seguintes processos consecutivamente:
i) Re�exão em torno do eixo-y;
ii) Expansão uniforme de fator 2;
iii) Re�exão em torno da bissetriz y = −x;
iv) Rotação de
π
2
radianos no sentido antihorário.
Determine, apenas com ilustrações de cada etapa do processo, sem realizar cálculo algum, a
�gura que será obtida ao �nal do processo.
7