Questão resolvida - Uma partícula movendo-se começa numa posição inicial com uma velocidade inicial v(0)i-jk. ... - Cálculo Volume 2 - 5 Edição - James Stewart - Movimento no Espaço Velocidade e Acele

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• Uma partícula movendo-se começa numa posição inicial com uma r 0 = ⟨1, 0, 0⟩( )
velocidade inicial . Sua aceleração é . Determine a v 0 = i - j + k( ) a t = 4ti + 6tj + k( )
sua velocidade e posição no momento t.
(Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.4 - Exemplo. 3)
 
Resolução:
 
A velocidade é dada pela integral da aceleração em relação ao tempo e a posição é a 
integral da velocidade em relação ao tempo. Primeiro, vamos calcular a velocidade e depois 
a posição.
 
Velocidade:
 
Integramos, então, a aceleração;
 
v(t) = a(t) dt∫
 
v(t) = (4ti + 6tj + k) dt∫
 
v(t) = 2t i + 3t j + tk + C2 2 1
 
Onde C é uma constante de integração.1
 
Posição:
 
Agora, integrando a velocidade em relação ao tempo;
 
r(t) = v(t) dt r(t) (2t i + 3t j + tk + C ) dt∫ → →∫ 2 2 1
 
r(t) = t i + t j + t k + C t + C
2
3
3 3 1
2
2
1 2
Onde é outra constante de integraçãoC2
 
 
(1)
(2)
 
O enunciado forneceu a velocidade e a posição para , com isso, vamos fazer , t = 0 t = 0
que nos permite entrar nas seguintes igualdades;
 
Velocidade:
 
Logo,
 
C = i - j + k1
 
Substiuindo 3 em 1, temos;
 
v(t) = 2t i + 3t j + tk + i - j + k2 2
Arrumando os termos;
 
v(t) = 2t + 1 i + 3t - 1 j + t + 1 k2 2 ( )
 
Posição:
 
Primeiro, fazemos a seguinte modificação na relação dada no enunciado para a posição em 
;t = 0
 
r 0 = ⟨1, 0, 0⟩ = 1i + 0j + 0k = i( )
 
Com isso,temos que;
 
 
Com isso, temos que;
 
C = i2
 
 
v 0 = i - j + k = 2 0 i + 3 0 j + 0 k + C( ) ( )2 ( )2 ( ) 1
0 0 0
r 0 = i = 0 i + 0 j + 0 k + C 0 + C( )
2
3
( )3 ( )3
1
2
( )2 1( ) 2
0 0 0 0
(3)
(Resposta - 1)
(4)
Dessa forma, substituindo 3 e 4 em 2, temos;
 
r(t) = t i + t j + t k + i - j + k t + i
2
3
3 3
1
2
2 ( )
 
Distribuindo os termos e rearrumando;
 
r(t) = t i + t j + t k + i - j + k t + i r(t) = t i + t j + t k + ti - tj + tk + i
2
3
3 3
1
2
2 ( ) →
2
3
3 3
1
2
2
 
r(t) = t + t + 1 i + t - t j + t + t k
2
3
3 3
1
2
2
 
 
(Resposta - 2)