Questão resolvida - Calcule o gradiente e a matriz Hessiana de cada uma das funções seguintes_ b) f(x,y,z) ln_x_ ln_y_ e^z - Universidade Federal do Pará - Cálculo I

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1. Calcule o gradiente e a matriz Hessiana de cada uma das funções seguintes: 
 
b) f x, y = ln|x| + ln|y| + e ( ) z
 
Resolução:
 
O gradiente de é dado por;f x, y, z( )
 
𝛻f x, y, z = ⟨ , , ⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
 
Assim, fazemos as derivadas parciais em relação a x , y e z;
 
f x, y = ln|x| + ln|y| + e = ; = e = e( ) z →
𝜕f
𝜕x
1
x
𝜕f
𝜕y
1
y
𝜕f
𝜕z
z
 
Com isso, o gradiente de é;f
 
𝛻f x, y, z = ⟨ , , e ⟩( )
1
x
1
y
z
 
A matriz Hessina de uma função é dada por;
 
H =f
𝜕 f
𝜕x
2
2
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
𝜕 f
𝜕y𝜕x
2
𝜕 f
𝜕y
2
2
 
 
(Resposta 1)
Assim, primeiro, é preciso obter todas as derivadas de segunda ordem de , como feito na f
sequência;
 
Em relação a x;
 
2° derivada = = x = x = x =→
𝜕f
𝜕x
1
x
-1
⏫⏪⏪⏪⏪⏪em relação a x
𝜕 f
𝜕x
2
2
-1-1
→
𝜕 f
𝜕x
2
2
-2
→
𝜕 f
𝜕x
2
2
1
x2
 
2° derivada = = 0→
𝜕f
𝜕x
1
x ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪em relação a y
com a primeira derivada(
em relação a x)
𝜕f
𝜕x𝜕y
 
Em relação a y;
 
2° derivada = = y = y = y→
𝜕f
𝜕y
1
y
-1
⏫⏪⏪⏪⏪⏪em relação a y
𝜕 f
𝜕y
2
2
-1-1( ) -2
 
=
𝜕 f
𝜕y
2
2
1
y2
 
2° derivada = = 0→
𝜕f
𝜕y
1
y ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪em relação a x
com a primeira derivada(
em relação a y)
𝜕f
𝜕y𝜕x
Com isso, a matriz Hessina de é:f x, y( )
 
H =f
1
x2
0
0
1
y2
 
 
2° derivada
2° derivada
2° derivada
2° derivada
(Resposta - 2)