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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Matemática Financeira
2o Semestre de 2023
Gabarito - Exerćıcios Programados 1
Questão 1: Uma loja adota a seguinte poĺıtica de venda: à vista com 5% de desconto, ou pagamento
em 30 dias após a compra com 10% de acréscimo sobre o preço de venda. Qual é a taxa de juros paga
pelo cliente que resolve comprar a prazo?
Solução: Digamos que um produto custe x. Então se o comprador pagar a vista ele pagará y1 =
x(1 − 0, 05), mas se ele optar por pagar daqui a 30 dias, ele pagará y2 = x(1 + 0, 1). Logo a taxa de
juros embutido é de
i =
y2 − y1
y1
=
1, 1x− 0, 95x
0, 95x
=
(1, 1− 0, 95)x
0, 95x
= 0, 157894 . . . ∼= 15, 79%.
Questão 2: Um comerciante sabe que para não ter prejúızo, o preço de venda de seus produtos deve
ser no mı́nimo 19% superior ao preço de custo. Como ele sabe que o cliente gosta de um desconto no
momento da compra, então ele prepara a tabela dos preços de venda acrescentando 9% ao preço de
custo. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente sobre o preço da tabela, de modo a
não ter prejúızo?
Solução: Digamos que o preço da mercadoria seja x, então ao preparar a tabela de preços o comer-
ciante faz y = x(1 + 0, 19)(1 + 1, 09). Queremos determinar a maior porcentagem que o comerciante
pode descontar para que ele não tenha prejúızo, isto é,
y − x(1 + 0, 19)
y
=
x(1 + 0, 19)(1 + 1, 09)− x(1 + 0, 19)
x(1 + 0, 19)(1 + 0, 09)
= 1− 1
(1, 09)
= 0, 0825688... ≈ 8, 26%.
Portanto, o comerciante pode fazer um desconto sobre a sua tabela de no máximo 8, 26%.
Questão 3: Em um peŕıodo em que os preços subiram 8, 16%, os salários de certa categoria
aumentaram apenas 4%. Para que recupere o seu poder de compra, de quanto devem ser aumentados
novamente os salários?
Solução: Suponhamos que, no ińıcio o salario S pudesse comprar x artigos cujo preço unitário era
p. Depois dos reajustes, o salário se tornou 1, 04S e o preço unitário dos itens passou a ser 1, 0816p.
Logo, o trabalhador só poderá comprar
1, 04S
1, 0816p
= 0, 9615x,
isto é, o poder de compra comprar diminuiu em 1− 0, 9615 = 0, 0385. Queremos determinar o quanto
devemos reajustar o salário para ter o mesmo poder de compra. Isto é queremos determinar i tal que
1
1, 04S(1 + i)
1, 0816p
= x = 1
S
p
⇒ 1 + i = 1, 0816
1, 04
= 1, 04.
portanto, para recuperar o poder de compra dos salários eles devem ser reajustados em 4%.
Questão 4: A taxa de inflação do 1a mês de um bimestre foi de 2, 1% e do 2o mês, 5, 94%. Que
taxa de inflação mensal ”constante´´ provocaria um aumento equivalente nos preços?
Solução: Digamos que você investisse x, então no primeiro mês teria x(1 + 0, 021) e no segundo mês
x(1 + 0, 021)(1 + 0, 0594). Se quiser encontrar o valor constante i que dá o mesmo retorno precisamos
encontrar
x(1, 021)(1, 0594) = x(1 + i)2 ⇒ 1 + i =
√
(1, 021)(1, 0594) = 1, 04⇒ i = 4%.
Questão 5: Um carro cujo custo é de R$ 21.000, 00 desvaloriza-se 10% a cada ano. Após dois anos
o proprietário decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é
20% maior em relação ao valor praticado dois anos antes. Qual a quantia que o proprietário deverá
desembolsar nessa troca?
Solução: Se V = 21.000. Como o carro se desvaloriza 10% ao ano e já se passaram 2 anos, então o
proprietário consegue receber apenas V (1− 0, 1)2. Por outro, lado o valor do carro foi reajustado em
20%, isto é, ele custa V (1 + 0, 2). Portanto, o proprietário terá que desembolsar a diferença, isto é,
V (1 + 0, 2)− V (1− 0, 1)2 = 21.000× 0.39 = 8.190, 00
Questão 6: Determine quatro números em progressão aritmética, conhecendo que a sua soma é 26
e que a soma dos seus quadrados é 214.
Solução: Seguindo o exemplo chame os termos centrais de x − y e x + y, o que tona a razão da
progressão 2y, logo os outros termos são x− 3y, x− y, x + y e x + 3y. dáı temos{
(x− 3y) + (x− y) + (x + y) + (x + 3y) = 26
(x− 3y)2 + (x− y)2 + (x + y)2 + (x + 3y)2 = 214.
⇒
{
4x = 26
4x2 + 20y2 = 214
Resolvendo o sistema, obtemos x = 132 e y = ±
3
2 . Portanto, os números são: 2, 5, 8, 11 ou 11, 8, 5, 2.
Questão 7: Calcule a soma dos termos da progressão (12, 19, 26, . . . ) desde o termo 25a até o termo
41Na.
Solução: Vamos aplicar a fórmula da soma a progressão aritmética an = 7n+5. Avaliando em n = 25
obtemos a25 = 180 e a41 = 292, portanto,
S =
(a41 + a25)(41− 25 + 1)
2
= 4012.
2
Questão 8: Mostre que (an) é uma progressão aritmética se e só se existem constantes A e B tais
que an = An + B para todo inteiro e positivo n.
Solução: (⇒) Se (an) é uma progressão aritmética, então an = a1 +(n−1)r, logo se tomarmos A = r
e B = a1 − r obtemos o resultado.
(⇐) Se (an) é da forma an = An + B então
an+1 − an = A(n + 1) + B − (An + B) = A, para todo n natural
isto significa que an é uma progressão aritmética.
Questão 9: Mostre que (an) é uma progressão aritmética se e só se, para todo n natural, an+2 −
2an+1 + an = 0.
Solução: (⇒) Se (an) é uma progressão aritmética, mas
an+2 − an+1 = r
an+1 − an = r
Fazendo a primeira expressão menos a segunda obtemos que an+2 − 2an+1 + an = 0.
(⇐) Se (an) satisfaz an+2 − 2an+1 + an = 0 para todo n natural, então
an+2 − an+1 = an+1 − an, para toda n.
Mas isso quer dizer que a diferença entre um termo e seu antecessor será sempre constante.
Questão 10: Qual é o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano?
Solução: Razoável perceber que 1 reta divide o plano em duas regiões, 2 retas dividem em no máximo
(o que ocorre se elas não forem paralelas) 4 regiões, 3 retas dividem em no máximo (o que ocorre se
elas não forem concorrentes e não houver duas retas paralelas) 7 regiões.
Seja an o número de regiões para cada n retas. Vamos ver o que acontece quando acrescentamos
uma reta. Quando acrescentamos uma reta, ela começa (isto é, antes de interceptar qualquer das
retas existentes) criando uma nova região (por dividir em duas uma região já existente) e cria uma
nova região após cada uma das suas interseções com as n retas preexistentes. Ela cria, portanto, n+ 1
regiões. Logo, an+1 = an + n + 1. Fazendo n = 1, 2, . . . temos
a2 = a1 + 2
a3 = a2 + 3
a4 = a3 + 4
...
an = an−1 + n
Somando, resulta
an = a1 + (2 + 3 + · · ·+ n) = 2 +
(2 + n)(n− 1)
2
=
n2 + n + 2
2
.
3
Questão 11: Um investidor aplicou 34 do seu capital durante quatro anos a uma taxa no regime de
juro composto de 10% ao semestre e o restante pelo mesmo prazo a uma taxa de juro composto 6%
ao trimestre. Determine o valor do capital investido por essa pessoa, sabendo-se que ao final dessas
operações, o investidor recebeu um total de R$ 80 224, 27.
Solução: Se C o capital do investidor. Como 34C = 0, 75C foi aplicado durante quatro anos, ou seja,
oito semestres, no regime de juros composto a uma taxa de semestre ao %10. Portanto, o montante
M1 gerado por esta operação será
M1 = 0, 75C × (1 + 0, 1)8 = 1, 6076916075C
O restante do capital, isto é, 0, 25C = 14 foi aplicado no regime de juros composto a uma taxa de
trimestre ao %6, durante quatro anos, ou seja, 16 trimestres. Portanto, o montante M2 gerado por
essa operação será dado por
M2 = 0, 25C × (1 + 0, 06)16 = 0, 6350879211C.
Como,
M1 + M2 = 80 224, 27
⇒ 1, 6076916075C + 0, 6350879211C = 80 224, 27
⇒ C = 35 770, 00.
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