aula_02

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Representação gráfica 
da função polinomial 
do segundo grau do 
tipo f x = ax2 
1ª série
Aula 3 – 3º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
● Representação gráfica da 
função polinomial do 
segundo grau do tipo 
f x = ax2.
● Representar, no plano 
cartesiano, a relação entre as 
grandezas de uma função 
polinomial de 2º grau do tipo 
f x = ax2 em situações 
diversas.
Conteúdo Objetivo
Para começar
Área e perímetro de um quadrado
No seu caderno de anotações, elabore uma tabela que contenha as 
quatro medidas dos lados de um quadrado e os respectivos valores 
de seu perímetro, e uma segunda tabela que contenha as mesmas 
medidas dos lados e as respectivas medidas das áreas. 
Após a elaboração das duas tabelas, desenhe um plano cartesiano e 
esboce o gráfico do perímetro em função da medida do lado do 
quadrado e também o gráfico da área em função da medida do lado 
do quadrado. Existe um valor para a medida do lado do quadrado 
em que a medida do perímetro é igual à medida da área?
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo: 10 min
Para começar Correção
Medida do 
lado
L
Medida do 
perímetro 
(P(L)) = 4L
2 8
3 12
4 16
5 20
Medida do 
lado
L
Medida da
área
 (S(L))= L ∙ L
2 4
3 9
4 16
5 25
Para começar Correção
Como podemos constatar na 
representação gráfica, existe 
um ponto de intersecção entre 
as medidas de perímetro e da 
área, e isso mostra que, quando 
a medida do lado do quadrado é 
igual a 4 U.M., tanto o 
perímetro e área têm medida 
igual a 16 U.M. e 16 U.M. 2, 
respectivamente.
Foco no conteúdo
Anteriormente, vimos a relação de interdependência entre duas 
grandezas x e y, em que y é diretamente proporcional ao quadrado 
de x, isto é, 
y
x2
= constante = k, ou seja, y = kx2.
De modo geral, a relação y = kx2 serve de base para iniciarmos os 
estudos das funções polinomiais de 2º grau, cuja forma geral é: 
f x = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 
Grandeza proporcional ao quadrado de outra: 
a função polinomial de 2º grau f x = ax2
Tempo: 10 min
Foco no conteúdo
Nosso objetivo, agora, é estudar a representação gráfica da função 
f x = x2.
Sabemos que o gráfico de y = x é uma reta com inclinação igual a 
1. Para construir o gráfico de y = x2, é preciso considerar tais 
aspectos:
● O quadrado de um número situado entre 0 e 1 é menor que o 
próprio número, ou seja, x2 < x, para 0 < x < 1;
● O quadrado de um número maior do que 1 é maior que o próprio 
número, ou seja, x2 > x, para x > 1;
Foco no conteúdo
● O gráfico de y = x2 é simétrico em relação ao eixo y, uma vez 
que f x = f −x ,para todo x;
● O gráfico de y = x2 encosta “suavemente” no eixo x, sem 
formar um “bico”.
Resumindo tais informações, temos o esboço gráfico a seguir, em 
que a curva correspondente é uma parábola.
Foco no conteúdo
Foco no conteúdo
Partindo do gráfico de f x = x2 , fica fácil construir o gráfico de 
f x = ax2, com a ≠ 0. 
Para tanto, a cada valor de x, devemos fazer corresponder o 
produto ax2, que é maior que x2 , quando a > 1, e é menor 
que x2, quando 0 < a < 1. Assim, as parábolas ficam tanto 
mais “fechadas” quanto maior for o valor de a e tanto mais 
“abertas” quanto menor for o valor de a. Alguns gráficos desse 
tipo estão apresentados a seguir. 
Foco no conteúdo
Da mesma maneira, 
para os valores 
negativos de a, os 
gráficos mantêm a 
mesma forma, mas os 
valores de y tornam-
se negativos. Observe 
a figura a seguir. 
Foco no conteúdo
Foco no conteúdo
Resumindo:
Observe que, quanto maior o 
valor absoluto do coeficiente 
a, mais “fechada” é a 
parábola. Quanto menor o 
valor absoluto de a, mais 
“aberta” ela é. O sinal de a 
indica se a concavidade 
(abertura) da parábola estará 
voltada para cima (a>0) ou 
para baixo (a<0). 
Na prática
Atividade 1
A relação entre x e y é uma função polinomial do 2º grau. Represente, 
em um mesmo plano cartesiano, as situações 1 e 2 e, em outro plano 
cartesiano, as situações 3 e 4. 
Situação 1
x y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
Situação 2
x y
-2 8
-1 2
0 0
1 2
2 8
Situação 3
x y
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2 -4
Situação 4
x y
-2 -8
-1 -2
0 0
1 -2
2 -8
Técnica: “Todo mundo escreve”
Tempo: 15 min
Na prática
Situação 1
x y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
Situação 2
x y
-2 8
-1 2
0 0
1 2
2 8
Correção
Na prática Correção
Situação 3
x y
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2 -4
Situação 4
x y
-2 -8
-1 -2
0 0
1 -2
2 -8
Na prática
Atividade 2
Analise os dados das situações 1, 2, 3 e 4 e escreva a expressão 
algébrica entre a relação x e y. 
Situação 1
x y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
Situação 2
x y
-2 8
-1 2
0 0
1 2
2 8
Situação 3
x y
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2 -4
Situação 4
x y
-2 -8
-1 -2
0 0
1 -2
2 -8
Na prática
Situação 1
x2 y
4 4
1 1
0 0
1 1
4 4
Correção
Para determinar as expressões algébricas que relacionam os valores 
das variáveis y em função do quadrado da variável x, partiremos da 
tabela da Situação 1 e determinaremos a Taxa de Variação Média.
1
1 2
1
2
2 2
2
3
3 2
3
4
4 2
4
y 1 4 3
TVM 1
1 4 3x
y 0 1 1
TVM 1
0 1 1x
y 1 0 1
TVM 1
1 0 1x
y 4 1 3
TVM 1
4 1 3x
 − −
= = = =
− −
 − −
= = = =
− −
 −
= = = =
−
 −
= = = =
−
2
2
2
1
y
k 1 y k x
x
y 1 x
= =  =  
 = 
Na prática Correção
Para estabelecer a expressão algébrica da Situação 2, podemos 
comparar os valores de y na Situação 1 e 2.
Situação 1
x y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
Situação 2
x y
-2 8
-1 2
0 0
1 2
2 8
Ao comparar os valores de y nas 
duas tabelas, concluímos que os 
valores de y na Situação 2 são o 
dobro dos valores da Situação 1.
Então, podemos concluir que a 
expressão algébrica da Situação 2 
será dada por: 
2
2
y 2 x= 
Na prática Correção
Realizando o mesmo procedimento para encontrar as expressões 
algébricas das Situações 3 e 4, temos
Situação 3
x2 y
4 -4
1 -1
0 0
1 -1
4 -4
( )
( )
( )
1
1 2
1
2
2 2
2
3
3 2
3
4
4 2
4
y 1 4 3
TVM 1
1 4 3x
y 0 1 1
TVM 1
0 1 1x
y 1 0 1
TVM 1
1 0 1x
y 4 1 3
TVM 1
4 1 3x
 − − −
= = = = −
− −
 − −
= = = = −
− −
 − − −
= = = = −
−
 − − − −
= = = = −
−
2
2
2
y
k 1 y k x
x
y 1 x
= = −  =  
= − 
Na prática Correção
Para estabelecer a expressão algébrica da Situação 2, podemos 
comparar os valores de y na Situação 3 e 4.
Situação 3
x y
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2 -4
Situação 4
x y
-2 -8
-1 -2
0 0
1 -2
2 -8
Ao comparar os valores de y das 
duas tabelas, concluímos que os 
valores de y na Situação 4, são o 
dobro dos valores da Situação 3.
Então, podemos concluir que a 
expressão algébrica da Situação 4 
será dada por: 
2
4
y 2 x= − 
Aplicando
Função polinomial do segundo grau e 
função polinomial do primeiro grau
Considere a função, no conjunto dos números reais, definida por 
f x =0,4x2:
a. Faça o esboço do gráfico de f(x);
b. Esboce graficamente as soluções da equação 0,4 x2= 4x, 
determinando a interseção dos gráficos da função polinomial do 
2º grau f(x) e da função polinomial do 1º grau g(x) = 4x. 
Técnica: “Mostre-me”
Tempo: 10 min
Aplicando Correção
a.
Aplicando Correção
b.
O que aprendemos hoje?
● Representamos, no plano cartesiano, a relação entre 
as grandezas de uma função polinomial de 2º grau 
do tipo f x = ax2 em situações diversas.
Tarefa SP
Localizador: 96912
1. Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com 
seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
2. Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
3. Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
4. Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
5. Clique em “Procurar”.
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
http://tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br/
http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
Referências
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão 
da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista 
do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
SÃO PAULO (Estado). Currículo em Ação, V. 1, 1ª série doEnsino Médio, São Paulo, 2020.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Ser protagonista: Matemática e suas 
tecnologias, números e álgebra. Ensino Médio. 1. ed. São Paulo: 
Edições SM, 2020. 
Referências
Lista de imagens e vídeos
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Slide 9 – Elaborado pelo autor.
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Slide 12 – Elaborado pelo autor.
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Slide 23 – Elaborado pelo autor.
Slide 24 – Elaborado pelo autor.
Material 
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