INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA OPERAÇÕES LÓGICAS COM PROPOSIÇÕES

Prévia do material em texto

- -1
RACIOCÍNIO LÓGICO
INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA: 
OPERAÇÕES LÓGICAS COM PROPOSIÇÕES
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
• Realizar operações lógicas com proposições simples e compostas de forma intuitiva.
Nesta aula, serão realizados estudos mais detalhados sobre conectivos e consequentemente, operações lógicas
possíveis de serem realizadas para proposições compostas.
1 Adultos em apuros em...
Criança sai com cada uma!
- -3
Viu em que encrenca se meteu a mãe do Flavinho?!
Assim como esses meninos, diariamente realizamos operações lógicas sobre proposições, sejam elas simples ou
compostas. Um exemplo simples disso, é exatamente quando exercemos o ato de pensar.
Estas operações devem obedecer à regra de um cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre
números. Por isso, nosso objetivo nesta aula é estudar essas operações lógicas fundamentais.
- -4
Assim a gente evita se meter em situações como a desses personagens!
2 Negação (~)
Chamamos negação de uma proposição e representamos por “ ”, a proposição cujo valor lógico é ap não p
verdade ( ) quando é , e a falsidade (F) quando é .V p falsa p verdadeira
Portanto, podemos concluir que “ ” tem o valor lógico oposto ao valor de .não p p
Simbolicamente, a negação de uma proposição é, portanto, definida pela seguinte tabela-verdade:
Logo, e (p)~V = F, ~F = V V(~p) = ~V
Exemplo:
p: Vestibular para Medicina é o mais concorrido. Então, : Vestibular para Medicina não é o mais concorrido.~p
~p:
Na prática, para casos mais simples, a negação é efetuada antepondo-se o advérbio “ ” ao verbo da proposiçãonão
dada. Assim, a negação da proposição “p: Brasil é um país da América Latina”
É : Brasil é um país da América Latina.~p não
Podemos também escrever a negação antepondo à proposição dada, por meio de expressões como “não é
”, ou “ ”.verdade que é falso que
Exemplo:
q: Argentina é campeã do Mundo de Futebol de 2010. Logo, ~q: não é verdade que a Argentina seja campeã do
Mundo de Futebol de 2010. Ou, ~q: é falso que a Argentina seja campeã do Mundo de Futebol de 2010.
Perceba
De forma mais ampla, podemos observar que a negação de “Todos os alunos da Estácio são do curso de
Pedagogia” é “Nem todos os alunos da Estácio são do curso de Pedagogia” e a de “Nenhum aluno da Estácio é do
curso de Pedagogia” é “Algum aluno da Estácio é do curso de Pedagogia”.
- -5
3 Conjunção (^)
Chamamos de conjunção de duas proposições e a proposição representada por “ e ”, em que seu valorp q p q
lógico é a verdade ( ) quando as proposições e são ambas verdadeiras e a falsidade ( ) nos demais casos.V p q F
A conjunção de duas proposições e é indicada pela notação “ ”, que se lê: “ e ”.p q p ^ q p q
O valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
Logo,
V ^ V = V, V ^ F = F, F ^ V = F, F ^ F = F
e
V(p ^ q) = V(p) ^ V(q)
Exemplo:
p: O avião é azul (V)
q: hoje vai chover (V)
p ^ q: O avião é azul e hoje vai chover. (V)
V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V
4 Disjunção (v)
Chamamos disjunção de duas proposições e a proposição representada por “ ou ”, cujo valor lógico é ap q p q
verdade ( ) quando pelo menos uma das proposições e é verdadeira, e a falsidade ( ), quando asV p q F
proposições e são ambas falsas.p q
A disjunção de duas proposições e , será representada pela notação: “ ”, que se lê “ ”.p q p v q p ou q
O valor lógico da disjunção de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:
- -6
Logo,
V v V = V, V v F = V, F v V = V, F v F = F
e
V(pvq) = V(p) v V(q)
Exemplo:
p: Dilma será presidente. (V)
q: José Serra será presidente. (F)
p v q: Dilma será presidente ou José Serra será presidente. (V)
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V
5 Disjunção exclusiva ( )
Na linguagem comum a palavra “ ” tem dois sentidos.ou
Consideremos as duas seguintes proposições compostas:
P: João é médico ou professor
Q: Felipe é alagoano ou gaúcho
Na proposição podemos indicar que pelo menos uma das proposições “ ” ou “ ”P João é médico João é professor
é verdadeira, sendo, neste caso ambas verdadeiras: “João é médico e professor”. Mas, na proposição , temosQ
que, uma e somente uma das proposições “Felipe é alagoano” ou “Felipe é gaúcho” seja verdadeira, pois, não é
possível ocorrer o fato de Felipe ser alagoano e gaúcho simultaneamente.
- -7
Na proposição diz-se que “ ” é inclusivo, enquanto que, na proposição , diz-se que “ ” é exclusivo.P ou Q ou
Em Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo “ ” para “ ” inclusivo e o símbolo v ou “⊻”para “ ”ou
exclusivo.
Assim sendo, a proposição é a ou apenas disjunção das proposições simples “João éP disjunção inclusiva
médico”, “João é professor”. Isto é, : João é médico João é professor.P v
Ao passo que a proposição é a das proposições simples “Felipe é alagoano”, “Felipe éQ disjunção exclusiva
gaúcho”, isto é, Q: Felipe é alagoano ⊻ gaúcho.
De um modo geral, chamamos de suas proposições e a proposição representadadisjunção exclusiva p q
simbolicamente por “p ”, que se lê: “ ” ou “ , mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade ( ) q ou p ou q p ou q V
somente quando é verdadeira ou é verdadeira, mas não quando e são ambas verdadeiras, e a falsidade ( p q p q F
) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Conheça a tabela-verdade da disjunção exclusiva de duas proposições
Tabela-verdade
O valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
- -8
6 Condicional (→)
Chamamos proposição condicional, ou apenas condicional, uma proposição representada por “se p então q” cujo
valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa, e a verdade nos demais casos.
Atenção
A condicional de duas proposições p e q é representada pela notação: “ ”, que pode ser escrita de duasp → q
formas:
p → q
Na condicional “ ”, dizemos que p é o antecedente e q o consequente. O símbolo “ ” é chamado símbolo dep → q →
implicação.
• q é condição necessária para p.
• p é condição suficiente para q;
O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
Tabela-verdade
Logo,
V V = V, V F = F, F V = V, F F = V→ → → →
e
V(p q) = V(p) V(q)→ →
Portanto, uma condicional é verdadeira toda a vez em que o seu antecedente for uma proposição falsa.
•
•
- -9
Exemplo:
p: o samurai morreu em batalha (V)
q: 7,23 é um número real (V)
p q: se o samurai morreu em batalha, então 7,23 é um número real (V)→
V(p q) = V(p) V(q) = V V = V→ → →
Nota: Uma condicional não afirma que o consequente se deduz ou é consequência do antecedente . p → q q p
Hoje vai chover São Paulo é uma cidade→
Baleia é um mamífero Lula é presidente→
7 Bicondicional (↔)
Chamamos (ou apenas bicondicional) uma proposição representada por “proposição bicondicional p se e
”, cujo valor lógico é a verdade ( ) quando e são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e asomente se q V p q
falsidade (F) nos demais casos.
Atenção!
A bicondicional de duas proposições e será representada pela notação: p q, que pode ser escrita da p q ↔
seguinte forma:
• p é condição necessária e suficiente para q;
• é condição necessária e suficiente para p.
O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
•
•
- -10
Exemplo:
p: Holanda fica na Europa.
q: A água é transparente.
p q: Holanda fica na Europa se e somente se a água é transparente. (V)↔
V(p q) = V(p) V(q) = V V = V↔ ↔ ↔
Nota: Uma bicondicional é verdadeira somente quando suas duas condicionais p q e p q são verdadeiras.→ →
8 Valor lógico de uma proposição composta
Considere uma proposição composta P(p, q, r,...). Podemos determinar seu valor lógico (V ou F) quando são
dados ou conhecidos os valores lógicos respectivos das proposições componentes p, q, r, ...
- -11
Percebeu como as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízo queformamos
a respeito de determinados assuntos?
Utilizando as tabelas-verdade construímos as operações lógicas necessárias ao desenvolvimento da lógica
operacional.
- -12
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Estudou o uso dos conectivos em operações lógicas com proposições.•
	Olá!
	
	1 Adultos em apuros em...
	2 Negação (~)
	3 Conjunção (^)
	4 Disjunção (v)
	5 Disjunção exclusiva ( ⊻)
	6 Condicional (→)
	7 Bicondicional (↔)
	8 Valor lógico de uma proposição composta
	CONCLUSÃO