apostila de algebra 2017

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ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
 
1 – MATRIZES __ 2 
4 1 – MATRIZES 
 
1.1 – DEFINIÇÃO DE MATRIZ 
 
Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas e linhas. Então chamamos de matriz toda 
tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural. 
Representação de uma matriz: 
 
Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, 
representamos da seguinte forma: 
 
 
a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). 
De uma forma geral, uma matriz Amxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas dimensões e sua 
representação genérica é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 A representação de uma matriz a partir de uma lei de formação permite calcular o seu número 
 de elementos e encontrá-los. 
 
 
 
 
 
 
 
1 – MATRIZES __ 3 
 EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
 Encontre os elementos da matriz A3x3 tal que aij = i – j. 
 
 Solução 
a11 = 1 - 1 = 0 a21 = 2 - 1 = 1 a31 = 3 - 1 = 2 
a12 = 1 - 2 = -1 a22 = 2 - 2 = 0 a32 = 3 - 2 = 1 
a13 = 1 - 3 = -2 a23 = 2 - 3 = -1 a33 = 3 - 3 = 0 
 
Assim, a matriz A3x3 é: 













012
101
210
33xA 
 
 
1.2 – TIPOS DE MATRIZES: 
 
- Matriz Retangular 
A matriz quadrada A = [aij] que tem m≠ n. 
2 3
1 3 0
2 4 2
x
A
 
  
 
 m = 2 (linha) n = 3 (coluna) 
 
- Matriz Linha ou vetor linha 
É a matriz de ordem 1xn, ou seja, formada por uma única linha. 
 
 
1 4
1 3 2 4
x
A   
 
 
- Matriz Coluna ou vetor coluna 
É a matriz de ordem mx1 ou seja, formada por uma única coluna. 
3 1
1
4
3
x
A
 
 

 
  
 
 
– Matriz Nula 
Uma matriz nula cujos elementos aij são todos nulos. 







0 0
0 0
22xA 
 
1 – MATRIZES __ 4 
- Matriz Oposta (-A) 
 
Se A = [ aij ] m x n então existe uma matriz oposta de A representada por (-A) de modo que aij = - aij. A matriz 
(-A) oposta de A é obtida trocando-se todos os sinais dos elementos de A ou multiplicando A pelo escalar (-1). 
 
 
- Matriz Transposta (At) 
A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a matriz AT, de ordem n por m. 
A matriz transposta é obtida permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice. 
 
 
Exemplos: A = 
23
27
45
61
x










 At = 
32
246
751
x






 
 
Propriedades de Matriz transposta : 
 
a) (A + B)t = At + Bt 
b) (K . A)t = K . At ; onde K é um número real qualquer. 
c) (A . B)t = Bt . At 
d) (At )t = A 
 
 
 - Matriz quadrada 
É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. 







2 0
3 1
222 AA x 











1 2 7
8 9 5
6 4 2
333 AA x 
 
 Diagonal principal e diagonal secundária. 
 
 
1 – MATRIZES __ 5 
 Na diagonal principal estão os elementos que têm os dois índices iguais 11a , 22a ,....... nna 
 
 
As matrizes quadradas se classificam em: 
 
 
- Matriz Diagonal 
A matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0 
quando i ≠ j é uma matriz diagonal. 
 











6 0 0
0 45 0
0 0 2
3A 
 - Matriz Unidade ou identidade 
Indica-se a matriz unidade por In, ou simplesmente por I. 
É uma matriz quadrada em que todos os elementos da 
diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos. 
 
 
1 2
1 0 0
1 0
 0 1 0 
0 1
0 0 1
I I
 
   
    
    
 
 
- Matriz Triangular superior 
A matriz quadrada A = [aij], que tem os elementos aij = 0 
para i > j, é uma matriz triangular superior. 
 
5 1 3
0 2 5
0 0 1
A
 
 
 
 
  
 
- Matriz Triangular inferior 
A matriz quadrada A = [aij], que tem os elementos aij = 0 
para i < j, é uma matriz triangular inferior. 
 
 
 
5 0 0
4 2 0
3 6 1
A
 
 

 
  
 
 
 Note que: Uma matriz diagonal é simultaneamente triangular superior e triangular inferior. 
 
 
 
Simetria em Matrizes 
 
Uma matriz qualquer quadrada, pode ser simétrica e anti-simétrica. Observe: 
 
 
Matriz simétrica: É a matriz quadrada de ordem 
n tal que A = At. . É a matriz cujos elementos 
aij =aji. Em geral a matriz simétrica é indicada pela 
letra S 
Também podemos dizer que: Se uma matriz 
(quadrada) A e a sua transposta At são iguais, isto 
é, aij =aji. para todo i e j, então a matriz A é 
simétrica (com relação a sua diagonal principal). 
A = At Matriz Simétrica 
 
5 0 2
0 2 1
2 1 6
tA A
 
 
 
 
  
 
 
 
1 – MATRIZES __ 6 
 
Matriz antissimétrica Uma matriz quadrada A= 
[ai,j] é anti-simétrica se AT = - A. 
Se A = [ai,j] é uma matriz anti-simétrica, os 
elementos dispostos simetricamente em relação à 
diagonal principal são opostos e os elementos da 
diagonal principal são nulos. 
 
 
0 5 2
5 0 1
2 1 0
tA A
  
 
  
 
  
 
 
 
 
1.3 – IGUALDADE DE MATRIZES 
Duas matrizes Am x n = [aij]m x n e Br x s = [bi j ]r x s são iguais, se elas tem o mesmo número de linhas e 
colunas, e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij = bij). 
Exemplos: 
 
1) 





0 2-
1- 2-
= 





0 2-
1- 2-
 2) 





















3 1- 10
3 12 3-
0 2- 2-
3- 1- 1-
3- 1- 3-
1 2- 2-
 
 
 
1.4 – OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
Assim como na álgebra dos números reais, para as matrizes também são definidas operações 
elementares, como adição, subtração e multiplicação. Não existe divisão de matrizes, isto é, não há uma 
operação de divisão equivalente àquela dos números reais. 
 
1.4.1 Adição 
 
A soma de duas matrizes de mesma ordem é obtida somando-se os elementos correspondentes das 
matrizes componentes da soma. 
 
Exemplo: 
 


























75
73
2514
4312
21
41
54
32
 
 
Propriedades da adição: 
Dadas três matrizes A, B e C, de mesma ordem m x n, temos: 
A + B = B + A 
A + (B + C) = (A + B) + C (associativa) 
A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula. 
 
1 – MATRIZES __ 7 
1.4.2 Subtração 
 
A diferença A – B, de duas matrizes A e B de mesma ordem, é obtida subtraindo-se os elementos de A 
pelos correspondentes das matrizes B. 
 
Exemplo: 
 





 




















33
11
2514
4312
21
41
54
32
 
1.4.3 Multiplicação por um Número 
 
Seja A = [ai j]m x n e K um número, então: K * A = [K . ai j]m x n. Isso significa que todos os elementos da 
matriz A serão multiplicados pelo número K. 
Exemplos: 
 
1) 











86
42
43
21
2 
2) 






















 365
234
210
61210
468
420
2
1
 
 
Propriedades: 
Dadas duas matrizes A e B de ordem m x n e os números k, k1 e k2, tem-se: 
a) k(A + B) = kA + kB 
b) (k1 + k2)A = k1A + k2A 
c) 0.A = 0 (matriz nula) 
d) k1(k2A) = (k1k2)A 
 
 
1.4.4 Multiplicação de Matrizes 
 
Sejam A = [aij]m x n e B = [bij]n x p . Define-se AB = AB = [cij]m x p, 
 
IMPORTANTE: Só podemos calcular o produto de duas matrizes quando: 
 O número decolunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. 
 
A ordem da matriz produto é obtida pelo número de linhas de A com o número de colunas de B. 
 
Exemplos 
1) Dados A = 





654
321
 e B = 










9
8
7
, calcular C = AB. 
Sendo A do tipo 2x3 e B do tipo 3x1, o produto C = AB existe e C é do tipo 2x1. 
 
C2x1 = 







968574
938271
 = 





122
50
 
 
1 – MATRIZES __ 8 
 
2) Dados A = 





43
21
 e B = 





87
65
, calcular C = AB 
Sendo A do tipo 2x2 e B também do tipo 2x2, o produto C = AB existe e C é do tipo 2x2. 
 
C2x2 = 







84637453
82617251
 = 





5043
2219
 
 
Propriedades: 
 
a) Em geral AB  BA. Ex.: 

























321
642
321
;
012
123
111
BA , AB  BA. 
b) AI = IA = A 
c) A(B + C) = AB + AC (Distributiva à esquerda) 
d) (A + B)C = AC + BC (Distributiva à direita) 
e) (AB)C = A(BC) (Associativa) 
f) 0 . A = A . 0 = 0 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
EXERCÍCIO 1) Dadas as matrizes: 
1 2
3 4
A
 
  
 
 
2 1
0 3
B
 
  
 
 
1 3 0
2 4 2
C
 
  
 
  1 3 2D   
1
4
3
E
 
 

 
  
  3F  
a) Determine a ordem de cada matriz acima. 
b) Determine os elementos: a12, c23, e21, a22, d12. 
 
 
 
EXERCÍCIO 2) A matriz 
3 2 0
3 5
0 0 1
a
M c b
 
 
 
 
  
 é diagonal. Determine .a c b 
 
 
 
EXERCÍCIO 3) Sabendo que a matriz 















10
2
4
583
121
z
y
x
A é simétrica, encontre os valores de x, y e z. 
 
1 – MATRIZES __ 9 
EXERCÍCIO 4) Obtenha a matriz A em cada caso: 
 
a)  
2 3ij x
A a , sendo 3 .ija i j  b)  2 2ij xA a , sendo 
2 3 .ija i j  
 
 
 
 c) A = (aij)3x3 em que 
23 .ija i j  d) A = (aij)1x3 em que 2 .ija i j  
 
 
 
 
 
 
 e) A = (aij)2x2 em que .ija i j  f) A = (ai j)2 x 3 tal que ai j = 2i - j. 
 
 
 
 
 
 
g) 3 3( )ij xA a tal que 2
, ...
2 , ...
ij
i j se i j
a
i j se i j
 
 
 
 . h) 4 2( )ij xA a tal que 
, ...
, ...
ij
i j se i j
a
i j se i j
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5) (FMC-MG) A soma dos elementos da segunda linha da matriz  
23xij
aA  , em que 









jise
jise
jise
A
,2
,0
,2
, é igual a: 
a) 4 b) 2 c) 0 d) -2 e) -4 
 
 
 
EXERCÍCIO 6) Dadas as matrizes
2 3
3 5
0 1
A
 
 
 
 
  
 e 
4 6
1 8
9 3
B
 
 

 
  
. Calcule (A + B)t, (A – B) e (B – A). 
 
 
 
 
1 – MATRIZES __ 
10 
EXERCÍCIO 7) Sendo as matrizes A = 
5 8
1 7
 
 
 
 e B = 
3 7
2 4
 
 
 
 . Calcular: 
 
a) A + B b) A – B c) 2A + Bt d) 3A - 2B e) (1/2)A f) – A. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 8) Calcular a soma das matrizes A3x3 e B3x3 tais que aij = i2 + j2 e bij = 2ij 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 9) Considere as matrizes: 
 
Calcule (quando possível): 
 
a) D + E b) D – E c) 5A 
d) -7C e) 2B – C f) 4E – 2D 
g) -3 (D + 2E) h) A – A i) tr(D) 
j) tr(D – 3E) k) 4 tr(7B) l) tr(A) 
m) 2AT + C 
 
EXERCÍCIO 10) Ache X, dadas 
1 2
3 4
A
 
  
 
 e 
1 0
1 1
B
 
  
 
. 
a) X – 2A + 3B = 0 
b) 2X = A – B 
c) 2(A + 2B) = 3X 
d) 2 (A – B + X) = 3(X – A) 
 
EXERCÍCIO 11) Determine as matrizes X e Y tais que: 





 

210
75
2YX e 




 

18
84
2 YX 
 
1 – MATRIZES __ 
11 
 
 
EXERCÍCIO 12) Dadas as matrizes 
2 5
10 1
A
 
  
 
e 
3
5 1
x y x y
B
  
  
 
, calcule x e y para que A = Bt. 
 
 
 
EXERCÍCIO 13) Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais: 
 
 
3
1 4 0
a b
c
 
 
 
= 
2 5 1
4 3
x
y z
  
 
 
 
EXERCÍCIO 14) Calcule x e y, sabendo que .
16
7
3
32














yx
yx
 
 
 
EXERCÍCIO 15) Sejam as matrizes: 
1 2 3
2 1 1
A
 
  
 
 
2 0 1
3 0 1
B
 
  
 
 
1
2
4
C
 
 

 
  
 e  2 1D   
Encontre: 
a) A + B b) A C c) B C d) C D e) D A f) D B 
g) – A h) – D i) 2A – 2B j) 
T TC A 
 
 
 
EXERCÍCIO 16) Sejam as matrizes
2 1
1 0
A
 
  
 
 e 
0 2
2 0
B
 
  
 
 .Encontre: 
a) 
T TA B b) T TB A 
 
c) (A + B)2 d) A2 
 
 
EXERCÍCIO 17) Multiplique as seguintes matrizes: 
a) b) 
 
1 – MATRIZES __ 
12 
EXERCÍCIO 18) Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens: 
A4x5 B4x5 C5x2 D4x2 E5x4 
Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê a 
ordem da matriz resultante. 
 a) B A b) A C D  c) A E B  
 d) A B B  e)  E A B  f)  E A C  
 g) TE A h)  TA E D 
 
EXERCÍCIO 19) (UFRN) Dadas as matrizes 
1 3
2 4
A
 
  
 
 e 
4 3
2 1
B
 
  
 
, qual é o resultado da AB – BA? 
a) 
0 0
0 0
 
 
 
 
b) 
0 18
12 0
 
 
 
 
c) 
20 12
32 20
 
 
 
 
d) 
20 48
8 20
 
 
 
 
e) 
20 18
12 20
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 20) Uma empresa produz três produtos: P1, P2 e P3, conforme mostra atabela A abaixo, e os 
custos e lucros de cada produto estão representados pela tabela B: 
 
Tabela A Tabela B 
 
 
Mês P1 P2 P3 
Janeiro 2 1 3 
Fevereiro 0 0 1 
Março 3 5 2 
 
 
Com base nessas tabelas, o lucro obtido pelos três produtos em janeiro é de: 
 
a) 1200 
b) 1500 
c) 2600 
d) 750 
e) 210 
 
EXERCÍCIOS LIVRO BASE – PÁGINA 46 NÚMEROS 1,2,3,4,5,7 
 
Produtos Custo Lucro 
P1 200 0 
P2 200 150 
P3 320 200 
1 – MATRIZES __ 
13 
 
 
Esta auto-avaliação vai ajudá-lo a verificar o seu entendimento sobre matrizes e de 
suas operações. Bom estudo a todos: 
21) Dadas as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij = 





ji
jiji
0
 eB = (bij)2x2 tal que bij = 2i – 3j, então A + B é igual: 
R:1 4
,
1 2
 
 
 
 
 
22) Se 
1 2
,
2 1
A
 
  
 
 
2 1
1 0
B
 
  
 
 e 
1 0
,
2 1
C
 
  
 
então a matriz 
2 ACB é igual a: 
 
R: 
2 0
,
2 0
 
 
 
 
 
23) Sendo A = 
2 1
3 1
 
 
 
 e B = 
0 4 2
1 3 5
 
 
 
, determine: 
 a) A.B b) 2.At 
 
 
24)Dadas as matrizes: A =
1 3
2 4
3 0
 
 
 
  
 e B = 
0 1 2
1 2 0
 
 
 
se At é a matriz transposta de A, então (At – B) é: 
 
R: 
1 1 1
4 2 0
 
 
 
 
 
 
25) Obtenha a matriz 3 2( )ij xA a em que 
25 .ija i j  
 
 
 
26) Dados 
5 4
3 1
A
 
  
 
 e 
1 2
5 7
B
 
  
 
. Calcular: 
a) A + B b) A – B c)2A + Bt d) A2 
 
 
 
27) Dadas as matrizes 
0 4 2
6 2 8
A
 
  
 
, 
3 6 9
6 6 0
B
 
  
 
 e 
0 1 0
1 1 2
C
 
  
 
. Calcular: 
 
a) 2 3A B C  b) A B C  
 
 
AUTO-ATIVIDADE 
1 – MATRIZES __ 
14 
28) Sendo 
0 2 4
6 3
5 1 2
A y
 
 
  
 
 
 e 
0 6 5
3 1
4 8
B x
z
 
 

 
  
.Calcule os valores de x , y e z sabendo que 
tB A . 
R: x = 2 y = 8 z = 2 
 
29)Determine x e y de modo que se tenha 
3 10 2 7 1 17
0 5 4 6 4 1
x
x y
     
      
     
.R: x = -1 e y = 0 
 
 
30)Sendo 
3 2
1 5
A
 
  
 
 e 
8 0
6 3
B
 
  
 
. Calcular a matriz X, tal que 0X A B   . 
 
R: 
11 2
,
7 8
  
 
 
 
 
 
31)Efetue as multiplicações: 
 
 a) 












2
3
25
12
 R: 
8
11
 
 
 
 
 
 b) 
















42
31
14
12
30
 R: 
6 12
4 10
6 16
 
 
 
 
 
 
 
 
32) Ache x, y, z e w, de modo que 
2 3 1 0
4 1 8 5
x y
z w
      
      
      
. 
 
R: x = -3 y = 3 z = 12 w = -6 
 
33) Considerem as matrizes M = 
1 2 3
1 3 2
 
 
 
, N =
1 1
0 3
2 4
 
 
 
  
 , P = 
1 6
4 1
 
 
 
 . A matriz Q = M.N-Pt é igual a: R: 
6 15
,
1 17
 
 
 
 
 
34) Dadas as matrizes A = 
2 0
3 4
 
 
  
 e B = 





 01
12
, então A.B – B.A é igual a: R: 
3 6
,
0 3
 
 
 
 
 
 Para consolidar o entendimento deste conteúdo sugerimos que você assista o vídeo que está no endereço: 
www.youtube.br.com/video-aula-sobre-matrizes-conceitos
15 
 2– DETERMINANTES 
 
2.1 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. 
 Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: 
- resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; 
- cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas 
dos seus vértices. 
 
A toda matriz quadrada A = (aij)mxn de elementos reais de ordem n está associado um único número real 
chamado determinante da matriz A. 
O determinante da matriz A pode ser representado por: 
 
 
2.2 – CÁLCULO DO DETERMINANTE DE PRIMEIRA ORDEM 
Matriz de ordem 1: Para uma matriz A=[a11] com apenas um escalar (1 linha e 1 coluna), definimos: 
det(A) = a11 
 
2.3 – CÁLCULO DO DETERMINANTE DE SEGUNDA ORDEM 
Para uma matriz quadrada de segunda ordem o determinante é igual à diferença entre o produto dos 
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2: 
 
Será definido pelo produto: 
 
 
16 
2.4 – CÁLCULO DO DETERMINANTE DE TERCEIRA ORDEM 
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado 
Regra de Sarrus. 
 Acompanhe como aplicamos essa regra para . 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos 
obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal 
positivo): 
 
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois 
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do 
sinal negativo): 
 
17 
Assim: 
 
 
2.5 – COFATORES 
Dada uma matriz A de ordem n, chama-se cofator de aij e indica-se Aij o número real obtido 
multiplicando-se (-1)i+j pelo determinante da matriz que se obtém da matriz A, excluindo-se a linha i e a coluna j 
do elemento aij. 
 
Exemplo: Para a matriz dada por: 
A = 
 
a11 a12 a13 
a21 a22 a23 
a31 a32 a33 
 
O cofator A11 para o elemento a11 é o determinante de ordem 2 obtido da matriz A pela retirada da linha 1 
e da coluna 1, multiplicado pelo número (-1)1+1: 
A11 = (-1)1+1 
 
a22 a23 
a32 a33 
 
= 
 
a22 a23 
a32 a33 
 
 
2.6 – CÁLCULO DO DETERMINANTE POR COFATOR - Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. 
 Assim, fixando , temos: 
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, . 
 
18 
2.7 – PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
 
1) O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas. 
2 ) Quando todos os elementos de uma fila são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. 
Exemplo: 
 
 
 
3) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. 
4) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. 
5) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o 
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 
Exemplos: 
 
 
 
6) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. 
 
7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz 
fica multiplicado por esse número. 
19 
 
8) Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) da matriz A os 
elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de 
zero. 
 
 
 
 
2.8 – EXERCÍCIOS 
 
Exercício 35) Calcular o determinante das matrizes: 
 
 a) 
3 5
2 1 
 b) 
1 2
3 4
 c) 
1 3
2 4
 d) 
0 2
1 4
 e) 
1 1
2 2


 
 
 
 
Exercício 36) Calcular o determinante das matrizes aplicando a regra de Sarrus. 
 
a) 
13 4 3
2 8 6
1 5 1



 
b) 
1 1 3
2 4 2
1 2 3



 
c) 
2 1 3
1 1 2
0 0 4



 
d) 
2 1 3
1 0 2
1 4 2
 
e) 
0 2 5
2 2 2
1 2 2

 
 
Respostas: a) 264 b) -36 c) 12 d) -4 e) 2 
 
 
20 
Exercício 37) Dadas as matrizes 







201
132
A e 











20
13
02
B , calcule o determinante de BA  . 
 
 
Exercício 38) Se A = 
2 1
3 4
 
 
 
 e B = 
0 4
1 2
 
 
  
, o determinante da matriz AxB é: 
 
a) 20 
b) 11 
c) 15 
d) 18 
e) n.d.a 
 
 
Exercício 39) Dada da matriz 












221
050
031
A , calculeos cofatores A13, A23 e A33. 
 
Exercício 40) Calcule os determinantes abaixo, resolvendo por cofatores (utilizando o Teorema de Laplace) : 
a) det A = 
0 2 1
1 2 3
5 4 1
  b) det A = 
2 5 1
3 1 4
6 8 2
 
 
c) det A = d) 
 
e) 
4121
9375
2130
1245



 
 
 
 
21 
Exercício 41) Resolva as seguintes equações: 
 
Respostas: a) x = -1 e x = -4 b) 
5
3
 
 
 
Exercício 42) O determinante de 

















0300
210
021
100
x
x
x
 está representado pelo polinômio: 
 
( a ) x2 + 1 ( b ) –x2 – 1 ( c ) 3x2 – 1 ( d ) 3(x2 + 1) ( e ) 3(x + 1)(x – 1) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS LIVRO BASE – PÁGINA 81 NÚMEROS 3-12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
3 – MATRIZ INVERSA 
 
3.1 – DEFINIÇÃO 
 
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que 
satisfaça a condição: 
AB = BA = I 
B é inversa de A e se representa por A-1: 
AA-1 = A-1 A = I 
 
Exemplo: 
 Seja A = 
2 3
1 4





. Então A-1=
4
5
3
5
1
5
2
5














 pois A.A-1=I2 e A-1.A=I2. 
3.2 – MATRIZ SINGULAR 
 
Se det (A) = 0, dizemos que a matriz A é singular. 
 
 
3.3 – MATRIZ NÃO-SINGULAR 
 
Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é diferente de zero é uma matriz não-singular. 
 
3.4 – PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA 
 
1) Se a matriz A admite inversa, esta é única. 
2) Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-1 também é. A matriz inversa de A-1 é A. 
3) A matriz I é não-singular e é a sua própria inversa: I = I-1. 
 
 
 
 
 
23 
3.5 – EXERCÍCIOS 
 
Exercício 43) Encontre a inversa das matrizes. 
 
a) A = 
2 3
1 4






 
b) 






54
65
A c) 






31
52
B 
 
Exercício 44) Dada a matriz
5 3
3 2
A
  
  
 
 , determine o valor de A-1 + At – I2: 
 
 
 
Exercício 45) Determine a matriz inversa e a transposta de 
1 3
0 5
A
 
  
 
: 
 
 
Exercício 46) Considere as matrizes: 
 
A matriz B é a inversa da matriz A? 
 
Exercício 47) Dada 
2 1
1 1
A
 
  
 
. Calcule: 
a) A2 
b) (A -1)2 
c) A2 – 3A + I 
 
EXERCÍCIOS LIVRO BASE – PÁGINA 54 NÚMEROS 4 e 8 
 
 
 
 
 
 
 
24 
4 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
4.1 – EQUAÇÃO LINEAR 
 
É toda equação na forma axaxax axbnn11 22 33... , onde os valores de a são os 
coeficientes reais de x e b é um número real chamado de termo independente. 
 
 
1.9.2 SISTEMA LINEAR 
 
 É todo conjunto de equações lineares na forma: 
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
nn
nn
m m m mnn m
111 122 133 1 1
211 222 233 2 2
11 22 33
    
    
    







...
...
...
     , com m equações e n incógnitas. 
 
 
 Chamamos de n-upla, de números reais, a solução simultânea de todas as equações do sistema. 
 
 
4.2 ASSOCIAÇÃO DE UMA MATRIZ A UM SISTEMA LINEAR 
 
 
MATRIZ INCOMPLETA 
 É a matriz formada somente pelos coeficientes das incógnitas do sistema linear. 
 
 
MATRIZ COMPLETA 
É a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema linear, acrescida de uma última coluna 
com os termos independentes. 
 
 
 
4.3 SISTEMA HOMOGÊNEO 
 
 Um sistema é chamado de homogêneo quando todos os termos independentes de suas equações são 
nulos. A n-upla (0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e recebe o nome de solução trivial. 
 
 
 
4.4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
 Um sistema linear pode ser: 
 
 possível e determinado (possui apenas uma única solução) 
 possível e indeterminado (possui infinitas soluções) 
 impossível (não possui solução) 
 
 
 
 
 
25 
4.5 REGRA DE CRAMER 
 
 Chama-se regra de Cramer a técnica usada para solucionar um sistema linear. 
Fazendo x
D
Di
xi
 , onde D é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e Dxi é o 
determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos 
independentes. 
 
 
 
4.6 SISTEMAS EQUIVALENTES 
 
 Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. 
 
-PROPRIEDADES DOS SISTEMAS EQUIVALENTES 
 
 Trocando-se de posição as equações de um sistema linear, obtém-se um outro sistema equivalente. 
 Multiplicando-se uma equação do sistema linear por um número real diferente de zero, obtém-se um 
outro sistema equivalente. 
 Adicionando-se a uma das equações do sistema linear o produto de uma outra equação desse mesmo 
sistema por um número real diferente de zero, obtém-se um outro sistema equivalente. 
 
 
 
4.7 SISTEMAS ESCALONADOS 
 
 O procedimento para o escalonamento de um sistema é o seguinte: 
 
1º - Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero. 
2º - Utilizando as propriedades dos sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das 
demais equações. 
3º - Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação. 
4º - Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. 
 
 
 
4.8 EXERCÍCIOS 
 
 
Exemplo 48) Resolva cada um dos sistemas abaixo utilizando o método da adição: 
 
a) 





83
52
yx
yx
 
 
 
 
b) 





12
82
yx
yx
 
 
c) 





1
3
yx
yx
 
 
26 
 
Exemplo 49) Resolva cada um dos sistemas abaixo utilizando a regra de Cramer: 
a) 





25
72
yx
yx
. b) 





12
82
yx
yx
 
 c) 




83
52
yx
yx
 d) 







1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. 
 
 
 
Exercício 50) Resolver o sistema de equações lineares pelo método de escalonamento. 
 
a) 
3x - y + z = 5 
x + y - 2 z = 3
2x + 3y - z = 7 





 b)
x + 2y + z = 7
2x + 7y + z = 21
-3x -5y +2z = -8





 c
 x + 2y + z = 3
3x - y +z = 1
2x + 4y -2z = 6





 
 
d) 
x + y + z = 6 
-2x + 3y + z = 7
-x + 2y + 3z = 12 





 e) 
4x + 3y + z = 6 
3x - 8y + 4z = -3
x + y + 2z = 9 





 f) 








2234
03
232
zyx
zyx
zyx
 
 
g) 








03
022
032
zyx
zyx
zyx
 h) 








523
02
32
zyx
zyx
zyx
 
 
 
Exercício 51) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos: 
a) 





086
043
21
21
xx
xx
 b) 








03
0422
0
zyx
zyx
zyx
 
c) 








04
03
02
yx
zyx
zyx
 
Respostas: a) indeterminado b) indeterminado c) determinado 
27 
 
 
Exercício 52) Discutir o sistema 





1
23
yx
myx
. 
 
 
 
Exercício 53) Discuta o sistema de equações abaixo, nas incógnitas x e y: 
a) 
2 10
3 5 8
x my
x y
 

 
 b) 





72
2
myx
yx
 
 
 
Exercício 54) Discutir o sistema nas incógnitas x e y em função do parâmetro real p: 
 
5 1
5 1
x py
px y
 

 
 
 
 
Exercício 55) Discuta o sistema: 
 
 
 
 
Exercício 56) Determinar m, de modo que o sistema 








4
0
2
zyx
zmyx
yx
 seja incompatível. 
 
 
 
Exercício 57) Verificar se o sistema 





0
023
yx
yx
 é determinado ou indeterminado. 
 
 
28 
 
Exercício 58) Determine o valor de m de modoque o sistema de equações abaixo, 
2 10
3 5 8
x my
x y
 

 
 , seja impossível. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 59) Determine o valor de k, de modo que o sistema seja possível e determinado. 
 Resposta: 1k   
 
 
Exercício 60) Determine o valor de m, de modo que o sistema apresente apenas a solução trivial. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
Exercício 61) Discuta em função do parâmetro real k o sistema nas incógnitas x,y e z :
2 1
2 2 3
3 1
x y z
x y z
x y kz
  

  
    
 
 
EXERCÍCIOS LIVRO BASE – PÁGINA 96 NÚMEROS 16, 17, 18
5 – VETORES 29 
 
 5– VETORES 
 
Grandezas Escalares 
Grandezas físicas que são completamente definidas quando são especificados o seu módulo e a sua 
unidade de medida são denominadas grandezas escalares. 
 
Grandezas Vetoriais 
Quando você está se deslocando de uma posição para outra, basta você dizer que percorreu uma 
distância igual a 5 m? 
Você precisa especificar, além da distância (módulo), a direção e o sentido em que ocorre este 
deslocamento. 
 
5.1 – RETA ORIENTADA - EIXO 
Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por 
uma seta. 
 
 
 
5.2 – SEGMENTO ORIENTADO 
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do 
segmento, o segundo chamado extremidade. 
 
 
 
 
5.2.1 – Segmento Nulo 
Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. 
5 – VETORES 30 
 
5.2.2 – Medida de um Segmento 
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, 
não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o 
seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por . 
Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento: 
 = 5 u.c. 
 
 
5.2.3 – Direção e Sentido 
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses 
segmentos são paralelas: 
 
 
5.3 – VETOR 
Vetor é um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. 
- Possui módulo. 
- Tem uma direção. 
- Tem um sentido. 
 
 
 
 
 
5 – VETORES 31 
 
5.3.1 – Vetor Unitário 
Um vetor é unitário se | | = 1. 
 
5.3.2 – Versor 
Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de . 
 
 
 
5.33 – Vetores Colineares 
Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e são 
colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. 
 
 
 
 
 
 
5.3.4 – Vetores Coplanares 
Se os vetores não nulos , e (não importa o número de vetores) possuem representantes AB, CD 
e EF pertencentes a um mesmo plano  , diz-se que eles são coplanares. 
 
 
, 
e são 
coplanares 
 
 
 
5 – VETORES 32 
5.4 – OPERAÇÕES COM VETORES 
 
5.4.1 Operações 
Os vetores  1 1,u x y e  2 2,v x y vetores no plano (2-D) e α um escalar qualquer. 
Adição:  1 2 1 2,u v x x y y    
 Subtração:  1 2 1 2,u v x x y y    
Multiplicação:    1 1 1 1, ,u x y x y     
 
5.4.2 – Igualdade 
- Os vetores  7, 2u   e  7, 2v   são iguais. 
- Os vetores  2 4, 3u x   e  4, 3v y  são iguais somente se: 
2x – 4 = 4 
y + 3 = -3 ou seja, se x = 4 e y = -6. 
 
 
5.4.3 - Vetor definido por dois pontos 
 
Muitas vezes um vetor é representado por um segmento que não parte da origem do sistema. Vamos 
considerar um vetor AB com origem no ponto A(x1, y1) e extremidade no ponto B(x2, y2) conforme figura abaixo. 
 
 
 
Os vetores OA e OB têm expressões analíticas: OA = (x1, y1) e OB = (x2, y2). 
5 – VETORES 33 
Através da figura anterior também podemos concluir que OA AB OB  de onde AB OB OA  ou 
AB = (x2, y2) – (x1, y1). Logo, AB = (x2 – x1, y2 – y1), o que significa que para encontrarmos as componentes do 
vetor AB basta subtrairmos das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A. Portanto 
AB B A  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5 – EXERCÍCIOS 
 
Exercício 62) Dados os vetores  2, 3u   e  1,4v   ,determinar . 
 
Exercício 63) Sejam  3,1,2u    4,0, 8v   e  6, 1, 4w    ,determinar: 
 
 a) v – w b) 6u + 2v c) –v + u d) 5( v – 4u) e) -3(v – 8w) 
 
Exercício 64) Dados u=(1,-2), v=(2,4) efetuar (a) u+v; (b) u-v; (c) 3u+2v. 
 
 
Exercício 65) Determinar o vetor w na igualdade 
1
4 3
3
w u v w   , sendo dados  2, 1u   e  2,4v   . 
 
Exercício 66) Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u= 
1
2
v + w, sendo u=(3,-1) e v=(-2,4). 
 
 
Exercício 67) Dados os pontos A (2,-1), B (4,-2) e C (-3,-1), determinar D (x,y) de modo que 
 
Exercício 68) Dados os pontos A (-1,3), B (1,0) e C (2,-1), determinar D tal que 
 
5 – VETORES 34 
5.6 – PRODUTO DE VETORES 
 
 
5.6.1PRODUTO ESCALAR – de u e v , denotado por u v é o escalar obtido pela multiplicação das 
componentes correspondentes, somando-se os produtos resultantes. 
 
- Os vetores u e v são ortogonais (ou perpendiculares) se seu produto escalar é zero. 
 
 
Exercício 69) Sejam  1, 2,8u   ,  6,7,1v   5, 2,4w   . Então a) u v b) u w 
 
Exercício 70) Sejam os vetores  3,2,1u  e,  5, 3,4v   e  1,6, 7w   . Calcular: 
 a)    2u v u v   b) u v c)  u v w  d) v w 
 
Exercício 71) Sejam  5,4,1u  e,  3, 4,1v   e  1, 2,3w   .Quais os pares de vetores são ortogonais 
(perpendiculares)? 
 
Exercício 72) Determine K de maneira que os vetores  1, , 3u k  e,  2, 5,4v   sejam ortogonais. 
 
 
5.6.2 PRODUTO VETORIAL 
det minuxv er ante 
 1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 
O produto vetorial é definido somente para vetores em R3. 
 
 
Exercício 73) O produto vetorial uxv de  1,2,0u   por  0,1,3v  é 
Exercício 74) Sejam 2 2v i j k   e 3w i k  . Determine o produto vetorial v x w . R: 
 2, 7, 6  
Exercício 75) Se  1,1,2u  ,  3,1, 1v   e  0,2,1w  , então ( )vx w ü é o vetor: 
 
Exercício 76) Dados  1,1, 1u   e  2,1,3v  então ( ) ( )u v uxv  é: 
 
EXERCÍCIOS LIVRO BASE – PÁGINAS 113 NÚMERO 1 
 119 NÚMEROS 1 e 8 
 35 
6. COMBINAÇÃO LINEAR 
 
 Consideremos um espaço vetorial real V (ou complexo), v1, v2, ..., vn  V e a1, a2, ..., an 
números reais (ou complexos). Chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn como sendo o 
vetor v  V, definido por v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Exercício 77):Dados os vetores v = (1, -2, 1), v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 2, 0). Verifique se v é 
combinação linear de v1 e v2. 
 
 
 
Exercício 78) Escreva o vetor v = (0, 1)  R2 como combinação linear dos vetores v1 = (3, 2) e 
v2 = (2, 2). 
 
 
 
Exercício 79) Sendo o vetor v = (-9, -7,-15)  R3. Escreva-o comocombinação linear dos 
vetores v1 = (2, 1, 4), v2 = (1, -1, 3) e v3 = (3, 2, 5). 
 
 
 
Exercício 80) Sendo o vetor v = (1, -2, 5)  R3. Escreva-o como combinação linear dos vetores 
v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3) e v3 = (2, -1, 1). 
 
 
 
Exercício 81) Escreva o vetor v = (7, -11, 2)  R3 como combinação linear dos vetores 
v1 = (2, -3, 2) e v2 = (-1, 2, 4). 
 
 
 
Exercício 82) Para qual valor de k será o vetor v = (1, -2, k)  R3 uma combinação linear dos 
vetores v = (3, 0, -2), w = (2, -1, -5)? 
 
 
 
Exercício 83) Escreva o polinômio 
2 4 3v t t   sobre R como combinação linear dos 
polinômios 
2
1 2 5v t t   , 
2
2 2 3v t t  e 3 3v t  
 
 
Exercício 84) Escreva a matriz 
3 1
1 1
E
 
  
 
 como combinação linear das matrizes 
1 1
1 0
A
 
  
 
 , 
0 0
1 1
B
 
  
 
 e 
0 2
.
0 1
C
 
  
 
 
 
EXERCÍCIOS LIVRO BASE – PÁGINA 167 NÚMEROS 7 e 8 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
 
7 AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
 
7.1 DEFINIÇÃO 
 
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O número real  é autovalor de A se existir 
um vetor não nulo v tal que: 
 
A.v = .v 
 
 
 Todo vetor não nulo v é chamado de autovetor de A associado ao autovalor . 
Autovalores são também chamados de valores próprios ou valores característicos e os 
autovetores são chamados de vetores próprios ou vetores característicos. 
 
 
 
 
 
7.2 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO 
 
 Seja a equação A.v = .v, se I for identidade da mesma ordem de A, então a equação 
pode ser escrita na forma A.v = (I).v, daí: 
 
 
(A – I) .v = 0 
 
 
 Essa equação resulta em um polinômio chamado de polinômio característico de A, 
onde os valores de  são as raízes do polinômio e, portanto, os autovalores da matriz A. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Exercício 85) Encontre os polinômios característicos das matrizes abaixo: 
 
a) 





10
21
 b) 










100
210
321
 c) 










112
121
211
 d) 
3 1 1
1 5 1
1 1 3
 
 

 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 86) Sendo 








31
22
A , encontre seus autovalores e seu autovetor(es). 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
Exercício 87) Se 








21
43
A , quais são seus autovalores e autovetor(es). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 88) Se 






10
22
A , quais são seus autovalores e autovetor(es). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercício 89)) Encontre os autovalores de 











210
011
024
A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 90) Encontre os autovalores de 













133
040
331
A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
8. ESPAÇOS VETORIAIS 
 
 
 Conjuntos, cujos elementos chamamos de vetores,nos quais definimos duas operações 
internas, a soma e a multiplicação escalar. 
 
,u v E e    u v E  
 .u E  
 
As duas operações devem respeitar os seguintes axiomas: 
A1) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa) 
A2) u + v = v + u (comutativa) 
A3) existe 0  V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de 
elemento neutro) 
A4) existe –u  V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo) 
M1) . (u + v) =  u +  v 
M2) ( +  )v =  v +  v 
M3) (  )v =  (  v) 
M4) 1u = u 
 
 
Exercício 91): O conjunto   2 , / ,V x y x y   , cujas operações são definidas 
como: 
 I  1 1,x y +  2 2,x y =  1 2x x ,  1 2y y II K  1 1,x y =  1 1,kx ky é um espaço 
vetorial pois o conjunto está definido com as operações de adição e multiplicação por escalar. 
Assim, satisfazem os oitos axiomas de um espaço vetorial. Demonstre 
 
 
 
Exercício 92): O conjunto   2 , / ,V R a b a b   formado por vetores definidos com as 
operações de adição e multiplicação por escalar I (a , b) + ( c , d) = ( a + c , b + d) II 
K(a, b) = ( Ka, b) não é espaço vetorial. 
 
 
Exercício 93) O conjunto   2 , / ,V R a b a b   formado por vetores definidos com as 
operações de adição e multiplicação por escalar I (a , b) + ( c , d) = ( a + c , b + d) 
 II K(a, b) = ( 0, kb) não é espaço vetorial. 
 
 
 
 39 
Exercício 94) O conjunto   2 , / ,V R a b a b   , cujas operações são definidas como: 
 I (a , b) + ( c , d) = ( a + c , b + d) II K  ,a b =  ,ka kb é um espaço vetorial pois o conjunto 
está definido com as operações de adição e multiplicação por escalar. Assim, satisfazem os 
oitos axiomas de um espaço vetorial. Demonstre 
 
 
 
 
 
 
8.1 SUPESPAÇOS VETORIAIS 
 
 
 
 Dado um espaço vetorial real V, um subconjunto W ≠ , será um subespaço vetorial 
de V se: 
 
i)  u,v  W  u + v  W 
ii)    R, u  W   .u  W 
 
 A definição acima garante que operações realizadas em W, no caso a adição e a 
multiplicação por escalar, resultam em elementos de W, sendo o suficiente para afirmar o 
próprio W é um espaço vetorial. As operações são bem definidas e não é preciso verificar as 
oito propriedades que definem um espaço vetorial, pois, sendo válidas em V, que contém W, 
também o são em W. 
 Todo subespaço W  V, necessariamente contém o vetor nulo . É fácil verificar esta 
condição, quando se faz  = 0. 
 Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços, denominados subespaços 
triviais, o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial (0 e V). 
 
 
Exercício 95): Verifique quais, dentre os subconjuntos abaixo, são subespaços vetoriais? 
 
a) S= {(x, y)  R2 / y = 2x} 
 
 
b) S= {(x, y)  R2 / y = 4 - 2x} 
 
 
c) S = {(x, y,z)  R3 / x = 4y e z = 0} 
 
 
d) S = {(x, y,z)  R3 / z = 2x - y} 
 
 
e) S= {(x, y)  R2 / x 0} 
 
 
f) S= {(x, y)  R2 / x = - 2y + 3}