ALGEBRA LINEAR

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ALGEBRA LINEAR
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas matrizes.
[2013].[−1102][2013].[-1102]
		
	
	2
	 
	5
	
	6
	
	0
	
	7
	Respondido em 03/04/2020 08:30:53
	
Explicação:
Para a diagonal principal temos os seguintes resultados:
2 . (-1) + 0 . 0 = - 2
1 . 1 + 3 . 2 = 7
A soma desses valores acarreta a resposta: - 2 + 7 = 5
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Para conseguir passar para a fase seguinte de um campeonato que envolve raciocínio matemático, os participantes tiveram que  encontrar os valores de a, b, c e d das matrizes abaixo. Somente passaram para a fase seguinte os participantes que acertaram a questão e obtiveram para a, b, c e d, respectivamente, os seguintes valores :
 
                                           
		
	
	1 ,1 , 2, 2
	
	2, 0, 2, 1
	
	0, 0, 1, 2
	 
	0, 2, 1, 2
	
	1,2, 0, 2
	Respondido em 03/04/2020 08:38:22
	
Explicação:
 a + 2b = 4
2a - b = -2  (x2)
a + 2b = 4
4a - 2b = -4
5a = 0 então a = 0
Para a = 0  temos:
0 + 2b =4 então b = 2
 
2c + d = 4 (x2)
c - 2d = -3
4c + 2d = 8
c - 2d = -3
5c = 5 então c = 1 
Para c = 1 temos:
2.1 + 2d = 4 então d = 4 -2 = 2
 
Como resposta final temos: 0; 2; 1; 2
 
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Uma matriz quadrada de ordem 4 x 4 apresenta um número de elementos igual a:
		
	 
	16
	
	25
	
	9
	
	4
	
	1
	Respondido em 03/04/2020 08:41:35
	
Explicação:
Uma matriz com 4 linhas e 4 colunas possui 4 x 4 = 16 elementos!
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dadas duas matrizes A e B de mesmo tipo (mxn), temos que k·(A+B)=k·A+k·B. Assim sendo, se  A=⎡⎢⎣024000−137⎤⎥⎦A=[024000-137] , B=⎡⎢⎣0−12−11−11−50⎤⎥⎦B=[0-12-11-11-50] e k=2, então a alternativa correta para k·(A+B) é igual a:
		
	
	⎡⎢⎣0212−2−2−20−414⎤⎥⎦[0212-2-2-20-414]
	
	⎡⎢⎣0212−22−20414⎤⎥⎦[0212-22-20414]
	
	⎡⎢⎣0212−22−20−4−14⎤⎥⎦[0212-22-20-4-14]
	 
	⎡⎢⎣0212−22−20−414⎤⎥⎦[0212-22-20-414]
	
	⎡⎢⎣0−212−22−20−414⎤⎥⎦[0-212-22-20-414]
	Respondido em 03/04/2020 08:46:49
	
Explicação:
k·(A+B) = 2 . ⎡⎢⎣016−11−10−27⎤⎥⎦[016-11-10-27]
k·(A+B) = ⎡⎢⎣0212−22−20−414⎤⎥⎦[0212-22-20-414]
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere a matriz: A= ⎡⎢⎣1122−13012⎤⎥⎦[1122-13012]
Determine a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz.
		
	
	-2
	
	0
	
	1
	 
	2
	
	4
	Respondido em 03/04/2020 08:47:34
	
Explicação:
A diagonal principal é formada pelos elementos da matriz quadrada onde o índice da linha é igual ao índice da coluna (i = j).
Neste caso temos:
a11 = 1   
a22 = -1
a33 = 2
Para a soma temos: 1 + (-1) + 2 = 2
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Qual alternativa abaixo representa a matriz transposta de A = ⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112]?
		
	
	⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
	
	⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112]
	 
	⎡⎢⎣ 211111122⎤⎥⎦[ 211111122]
	
	⎡⎢⎣ 111111111⎤⎥⎦[ 111111111]
	
	⎡⎢⎣ 212111212⎤⎥⎦[ 212111212]
	Respondido em 03/04/2020 08:48:35
	
Explicação:
Para cálcular uma matriz transposta você deve tranforma a linha da matriz em coluna.
Conclusão:
Sendo a matriz A = ⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112] , a sua transposta será igual At =  ⎡⎢⎣ 211111122⎤⎥⎦[ 211111122].
 
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
		
	
	3 x 3
	 
	2 x 3
	
	4 x 3
	
	1 x 1
	
	4 x 2
	Respondido em 03/04/2020 08:49:02
	
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B.
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3).
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de português, matemática, física e química.
 
	 
	Português
	Matemática
	Física
	Química
	João
	8
	3
	6
	5
	Maria
	7
	5
	4
	3
	José
	5
	7
	8
	2
Denotando a matriz A com colunas referentes às disciplinas e as linhas referentes aos alunos, determine a soma dos elementos a12, a22,a32 da matriz A.
		
	
	20
	
	10
	
	12
	 
	15
	
	18
	Respondido em 03/04/2020 08:51:10
	
Explicação:
Nessa questão devemos considerar que os elementos da tabela apresentados correspondem:
a1,2 = primeira linha e segunda coluna;
a2,2 = segunda linha e segunda coluna;
a3,2 = terceira linha e segunda coluna.
 
Conclusão, a soma de a12  +a22 + a32 =>  3 + 5 + 7 = 15.
AULA 2
		1.
		Determine a matriz inversa da matriz quadrada A de ordem 2. 
 
[ 2111][ 2111]
 
	
	
	
	[ −1−1−1/2−1/2][ −1−1−1/2−1/2]
	
	
	[ 1001][ 1001]
	
	
	[−200−2][−200−2]
	
	
	[ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2]
	
	
	[ 2111][ 2111]
	
Explicação:
Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. 
A*B = B*A = In 
[ 1−4−12][ 1−4−12]  *  [ abcd][ abcd] = [ 1001][ 1001]
 
[ a−4cb−4d−a+2c−b+2d][ a−4cb−4d−a+2c−b+2d] = [ 1001][ 1001]
Equação 1:
{a−4c=1−a+2c=0{a−4c=1−a+2c=0
-----------------------
          -2c = 1 => c = -1/2. Logo,  -a + 2c = 0 => -a + 2(-1/2) = 0 => -a -1 = 0 => a = -1.
Equação 2:
{b−4d=0−b+2d=1{b−4d=0−b+2d=1
---------------------
          -2d = 1 => d = -1/2. Logo, b - 4d = 0 => b = 4d => b = 4(-1/2) => b = -2.
 
Conclusão:
A inversa da matriz A= [ 1−4−12][ 1−4−12]  é  [ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2] .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dada a matriz A = (3222 )(3222 )   , calcule a sua INVERSA.
	
	
	
	(1 )(1 )
	
	
	(3222 )(3222 )
	
	
	(1−1−13/2 )(1−1−13/2 )
	
	
	(1113/2 )(1113/2 )
	
	
	(1001 )(1001 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (3222 )(3222 ), pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (3.2) - (2.2) = 6 - 4 =2.
A-1 = 1212 . (2−2−23 )(2−2−23 ) = (2/2−2/2−2/23/2 )(2/2−2/2−2/23/2 ) = (1−1−13/2 )(1−1−13/2 )
Concluão:
A inversa da matriz A = (3222 )(3222 ) é a matriz A-1 = (1−1−13/2 )(1−1−13/2 ).
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada a matriz A =(45−23 )(45−23 )  , calcule a sua INVERSA.
 
	
	
	
	(45−23 )(45−23 )
	
	
	(4−253 )(4−253 )
	
	
	(3/22−5/221/112/11 )(3/22−5/221/112/11 )
	
	
	(35−24 )(35−24 )
	
	
	(1001 )(1001 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (45−23 )(45−23 ) , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.3) - (-2.5) = 12 - (-10) =22.
A-1 = 122122 . (3−524 )(3−524 ) = (3/22−5/222/224/22 )(3/22−5/222/224/22 ) .= (3/22−5/221/112/11 )(3/22−5/221/112/11 )
Concluão:
A inversa da matriz A = (45−23 )(45−23 ) é a matriz A-1 = (3/22−5/221/112/11 )(3/22−5/221/112/11 ).
	
	
	
	 
		
	
		4.
		As matrizes A=[1m13][1m13] e B=[p−2−11][p-2-11] são inversas. Calcule os valores de m e p.
	
	
	
	m=2 e p=3
	
	
	m=1 e p=2
	
	
	m=2 e p=1
	
	
	m=3 e p=1
	
	
	m=3 e p=2
	
Explicação:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In. Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1).
Como temos como resultante do produto a matriz identidade podemos então estabelecer que:
1 . (-2) + m . 1 = 0  que nos leva a m = 2
1 . p + 3 . (-1) = 0   que nos leva a p = 3
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dada a matriz A = (1112 )(1112 )   , calcule a sua INVERSA.
	
	
	
	(2−1−11 )(2−1−11 )
	
	
	(1 )(1 )
	
	
	(1112 )(1112 )
	
	
	(1001 )(1001 )
	
	
	(2111 )(2111 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (1112 )(1112 ), pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.1) - (1.1) = 2 - 1 = 1.
A-1 = 1111 . (2−1−11 )(2−1−11 ) = (2−1−11 )(2−1−11 ).
Concluão:
A inversa da matriz A = (1112 )(1112 ) é a matriz A-1 = (2−1−11 )(2−1−11).
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual é a matriz X tal que:
(5141).x=(97)(5141).x=(97)
	
	
	
	X=(21)X=(21)
	
	
	X=(2−1)X=(2-1)
	
	
	X=(−12)X=(-12)
	
	
	X=(−21)X=(-21)
	
	
	X=(−2−1)X=(-2-1)
	
Explicação:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 2x1, que hipoteticamente tem os elementos X1 e X2.
Neste caso temos então que:
5X1 + X2 = 9
4X1 + X2 = 7
Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices adjacentes nos pontos (1, 0, -2),  (1, 2, 4) e (7, 1, 0) 
	
	
	
	26
	
	
	22
	
	
	28
	
	
	30
	
	
	24
	
Explicação:
Determiante = ⎡⎢⎣10−2101241271071⎤⎥⎦[10-2101241271071] = 22
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere uma matriz identidade I de ordem 30 x 30. Sabendo-se que traço de uma matriz A (tr(A)) é a soma dos elementos da diagonal principal, determine o traço de I, ou seja, tr(I)
	
	
	
	60
	
	
	900
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	30
	
Explicação:
Como todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e a ordem da matriz é 30, teremos a soma do "1" 30 vezes, ou seja, tr(I) = 1 + 1 + ...+ 1 = 30
AULA 3
		1.
		Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣1111113−2124−3⎤⎥⎦[1111113-2124-3]
	
	
	
	x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
	
	
	x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
	
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
	
	x + y + z = 1
x + y + 3z = -2
x + 2y + 4z = -3
	
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
x + y + z = 1
x + y + 3z = -2
x + 2y + 4z = -3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		De acordo com a classificação de um sistema de equações lineares, qual alternativa abaixo é verdadeira?
	
	
	
	Sistema Impossível (SI) possui apenas uma única solução.
	
	
	Sistema Possível e Determinado(SPD) possui infinitas soluções.
	
	
	Sistema Possível e Indeterminado (SPI) possui apenas uma única solução.
	
	
	Sistema Possível e Indeterminado (SPI) não possui  solução.
	
	
	Sistema Possível e Determinado(SPD) possui apenas uma única solução.
	
Explicação:
Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações lineares pode ser classificado como:
· Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única solução.
· Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas soluções.
· Sistema Impossível (SI): não possui solução.
Conclusão:
A resposta correta é o Sistema Possível e Determinado (SPD) possui apenas uma única solução.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ?
⎛⎜⎝1253−4−511−8−5⎞⎟⎠(1253−4−511−8−5)
	
	
	
	5x - 10y = -5
 
	
	
	x + 2y + 5
3x - 4y - 5
11x - 8y - 5
	
	
	x + y = 5
x - y = -5
x - y = -5
	
	
	x + 2y = 5
3x - 4y = -5
11x - 8y = -5
	
	
	x + 3y + 11z = 0
2x - 4y -8z = 0
5x - 5y -5z= 0
	
Explicação:
A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
Assim, na mariz apresentada ⎛⎜⎝1253−4−511−8−5⎞⎟⎠(1253−4−511−8−5), os elementos 5, -5 e -5 da última coluna são os termos independentes.
Conclusão:
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações:
x + 2y = 5
3x - 4y = -5
11x - 8y = -5
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Durante um ano, Vicente economizou parte do seu salário, o que totaliza R$100.000,00. Sendo um jovem com boa visão para os negócios, resolve investir suas economias em um negócio relacionado à área alimentícia que deverá resultar em um rendimento de R$9400,00, sobre seus investimentos anuais. A aplicação oferece um retorno de 4% ao ano e o título, 10%. O valor para ser investido é decidido pelo investidor e um valor y, obrigatório, é decidido pelo acionista principal da empresa. Com base nessas informações, é possível calcular os valores de x e y, resolvendo-se um sistema de duas equações dado por :
                                                       
                                                   
 
É correto afirmar que os valores de x e y são respectivamente iguais a:
	
	
	
	80.000 e 20.000
	
	
	10.000 e 90.000
	
	
	65.000 e 35.000
	
	
	60.000 e 40.000
	
	
	30.000 e 70.000
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ?
⎛⎜⎝11131230134−2⎞⎟⎠(11131230134−2)
	
	
	
	x+y+z
x+2y+3z
x+3y+4z
	
	
	3x = 3
6y = 0
8z = -2
 
	
	
	x+y+z = 0
x+2y+3z = 0
x+3y+4z = 0
	
	
	x+y+z = 3
x+2y+3z = 0
x+3y+4z = -2
	
	
	2y+x+z = 3
2y+2x+3z = 0
y+3x+4z = -2
	
Explicação:
A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
Assim, na mariz apresentada ⎛⎜⎝11131230134−2⎞⎟⎠(11131230134−2), os elementos 3, 0 e -2 da última coluna são os termos independentes.
Conclusão:
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações:
x+y+z = 3
x+2y+3z = 0
x+3y+4z = -2
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Sabendo-se que, em uma lanchonete, 2 sanduíches e 1 refrigerante custam R$ 12,60 e 1 sanduíche e 2 refrigerantes custam R$ 10,20. Quanto custa 1 sanduíche e 1 refrigerante?
	
	
	
	R$ 8,70
	
	
	R$ 6,50
	
	
	R$ 7,60
	
	
	R$ 9,80
	
	
	R$ 5,40
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ?
⎛⎜⎝2−13511−123250⎞⎟⎠(2−13511−123250)
	
	
	
	A.A-1 = I
	
	
	2x - y + 3z = 5
x + y - z = 2
3x + 2y + 5z = 0
 
	
	
	6x + 2y + 7z = 7
	
	
	2x + y + 3z = 5
-x + y + 2z = 2
3x -y + 5z = 0
	
	
	2x + y + 3z + 5 
-x + y + 2z + 2 
3x -y + 5z +0 
	
Explicação:
	A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
Assim, na mariz apresentada ⎛⎜⎝2−13511−123250⎞⎟⎠(2−13511−123250), os elementos 5, 2 e 0 da última coluna são os termos independentes.
Conclusão:
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações:
2x - y + 3z = 5
x + y - z = 2
3x + 2y + 5z = 0
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Um sistema linear está associado a uma equação matircial conforme a descrição na figura abaixo.
Com base na definição acima, assinale a afirmativa verdadeira.
	
	
	
	O "A" é denominado de matriz ampliada e o "X" vetor dos termos independentes.
	
	
	O "A" é denominado de matriz dos coeficientes e o "b" o vetor dos termos independentes.
	
	
	O "A" é denominado de matriz ampliada e o "X" matriz dos coeficientes.
	
	
	O "X" é denominado de matriz ampliada e o "b" de matriz dos coeficientes.
	
	
	O "X" é denominado o vetor dos termos independente e o "b"vetor das incógnitas.
	
Explicação:
Solução:
A forma matricial da figura apresenta é um sistema linear com "m" equações e "n" incógnitas fica representado pelo equação matricial AX=B.
Assim, a matriz "A" é denominada de matriz dos coeficientes, "X"é o vetor das incógnitas e 'b" vetor dos termos independentes.
Conclusão:
O "A" é denominado de matriz dos coeficientes e o "b" o vetor dos termos independentes.
AULA 4
		1.
		Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	27
	
	
	18
	
	
	3
	
	
	12
	
	
	24
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(18 / 6) . 4 = 122.
		Se A e B são matrizes quadradas (3x3), tais que det(A) = 2 e det(B) = 4, então det(Ax2B) será
	
	
	
	64
	
	
	16
	
	
	8
	
	
	32
	
	
	128
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considerando o triângulo de Pascal da figura abaixo, é correto afirmar que o valor de X será:
	
	
	
	20
	
	
	21
	
	
	18
	
	
	17
	
	
	19
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Suponha que uma matriz A quadrada de ordem n tenha determinante igual a 2. Considere a matriz B tal que B = 2A. Encontre o determinante de B, ou seja, det(B).
	
	
	
	2n/2 
	
	
	2n 
	
	
	22n 
	
	
	2n + 1 
	
	
	2n - 1 
	
Explicação:
det(B) = det(2A) = 2n. det(A) = 2n+1
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma das formas de resolver um sistema linear que foi abordado nas aulas é a regra de CRAMER.
Para resolução de um sistema linear baseado na regra de cramer, identifique nas afirmativas abaixo a única verdadeira.
	
	
	
	det (A) = 0 e X = A-1b.
	
	
	X = A-1b e det(A) ≠≠ 0.
	
	
	X ≠≠ A-1b e det(A) ≠≠ 0.
	
	
	X = A-1b  e  número equações diferente do número de incógnitas.
	
	
	det (A) = 0 e a matriz deve ser inversível.
	
Explicação:
Conclusão:
det(A) ≠≠  0  e X = A-1b.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dada as equações lineares:
x + y = 4
x + y = -4
Qual afirmativa abaixo está correta?
	
	
	
	 
A primeira é uma reta , a segunda uma curva e sua matriz ampliada é (400−4 )(400−4 ).
	
	
	São duas retas perpendiculares e sua matriz ampliada é (1001 )(1001 ).
	
	
	São duas curvas e sua matriz ampliada é (10401−4)(10401−4).
	
	
	São duas retas perpendiculares e  sua matriz ampliada é (10401−4)(10401−4).
	
	
	São duas retas paralelas e  sua matriz ampliada é (11411−4)(11411−4).
	
Explicação:
Com base nas equações:
 x + y = 4
x + y = -4
E, na equação x + y = 4, para x=0 obtemos y = 4 e o par (x,y) = (0,4). E , para y=0 obtemos x=4 e o par (x,y)=(4,0).
E, na equação x + y = -4, para x = 0 obtemos y = -4 e o par (x,y) = (0,-4). para y=0 obtemos x=-4 e o par (x,y)=(-4,0).
Pode-se chegar as seguintes retas:
Conclusão:
São duas retas paralelas e  sua matriz ampliada é (11411−4)(11411−4).
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Suponha uma matriz quadrada A4x4 tal que seu determinante valha 3, ou seja, det (A) = 3. Qual o determinante de 2A, ou seja det(2A).
	
	
	
	3
	
	
	6
	
	
	48
	
	
	81
	
	
	18
	
Explicação:
É verdade que o  det(2A) = 24.det(A), onde 4 é a ordem da matriz A
Substituindo, det(2A) = 24.det(A) = 16 . 3 = 48
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma matriz A tem 10 linhas e 10 colunas. Os elementos que formam a terceira linha são formados a partir da média aritmética entre os elementos da 5a e 9a linhas. A da matriz A, é possível afirmar que:
	
	
	
	Nada pode ser afirmado com respeito ao seu determinante
	
	
	Seu determinante pode ser zero
	
	
	Seu determinante sempre será zero
	
	
	Apresenta inversa, isto é A-1
	
	
	Seu determinante nunca será zero
	
Explicação:
Como uma linha é combinação linear das demais, o determinante é igual a zero.
AULA 05
		1.
		Se u = ( x, 5, 11),  v = (1, -3, z) e w = (1, y, 5), os  seus  escaleres  x, y e z para a operação w + v =  u  são respectivamente ?
	
	
	
	x = 1, y = 5 e z = 11.
	
	
	x = 1, y = -3 e z = 5.
	
	
	x = 0, y = 2 e z =16.
	
	
	x = 2, y = 8 e z = 6.
	
	
	x = 1, y = 1 e z =1.
	
Explicação:
Sendo
w + v = u.
(1, y, 5) + (1, -3, z) = (x, 5, 11).
1 + 1 = x => x = 2.
Y - 3 = 5 => y = 5 + 3 => y = 8.
5 + z = 11 => z = 11 - 5 => z = 6.
Conclusão:
Os valores escalares são x = 2, y = 8 e z = 6.
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o valor de a para que o vetor u = (-1,a,-7) seja combinação linear dos vetores de S = {(1,-3,2),(2,4,-1)}.
	
	
	
	a = 16
	
	
	a = 14
	
	
	a = 17
	
	
	a = 13
	
	
	a = 15
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere os vetores u = (-1, -2, 3, -4, -5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(5, 5, -5, 5, -15)
	
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 15)
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (5, 5, -5, 5, -15)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Se u = ( x, 12, 11),  v = (1, -3, z) e w = (2, y, 5), os  seus  escaleres  x, y e z para a operação 3w - u =  v  são respectivamente ?
	
	
	
	x = 5, y = 3 e z = 4.
	
	
	x = 1, y = 12 e z = 11.
	
	
	x=-10, y=19 e z =-15.
	
	
	x = 16, y = 19 e z = -34.
	
	
	x = 2, y = -12 e z = 55.
	
Explicação:
Sendo
3w - u =  v.
3(2, y, 5) - (x, 12, 11) = (1, -3, z) .
(6, 3y, 15) - (x, 12, 11) = (1, -3, z).
6 - x = 1 => x = 5.
3Y - 12 = -3 => 3y = -3 + 12 => 3y = 9 => y = 3.
15 - 11 = z =>  z = 4.
Conclusão:
Os valores escalares são x = 5, y = 3 e z = 4.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		As matrizes A(3x5), B(mxn) e C(mx4) são tais que a operação A x (B + C) é possível. Nessas condições, é CORRETO afirmar que o valor de m é:
	
	
	
	2
	
	
	5
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	6
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Com base nos conceitos de espaços vetoriais podemos definir que:
Se definirmos o vetor u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (4, -3, -4, 6),qual o resultado da operação do vetores u -  2v ? 
	
	
	
	(-1, 2, 7, 3).
	
	
	(-10, 11, 19, -15).
	
	
	(-6, 2, 7, -9).
	
	
	(2, 2, 7, 3).
	
	
	(6, 2, 3, 9)
	
Explicação:
Dados os vetores u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (4, -3, -4, 6), podemos definir a sua subtração da seguinte forma:
Sendo, 2v = 2(4, -3, -4, 6) = (8, -6, -8, 12).
u - 2v = ( -2, 5, 11, -3) - (8, -6, -8, 12) = (-2 - 8, 5 + 6, 11 + 8, -3 - 12) = (-10, 11, 19, -15).
Conclusão
u - 2v = (-10, 11, 19, -15).
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Se u = ( x, 5, 11),  v = (1, -3, z) e w = (1, y, 5), os  seus  escaleres  x, y e z para a operação w + v =  2u  são respectivamente ?
	
	
	
	x = 1, y = 5 e z = 11.
	
	
	x = 1, y = -13 e z = 1.
	
	
	x = 0, y = 2 e z =16.
	
	
	x = 1, y =-13 e z =1.
	
	
	x = 1, y =13 e z = 17.
	
Explicação:
Sendo
w + v =  2u.
(1, y, 5) + (1, -3, z) = 2(x, 5, 11).
(1, y, 5) + (1, -3, z) = (2x, 10, 22)
1 + 1 = 2x => x = 1.
Y - 3 = 10 => y = 10 + 3 => y = 13.
5 + z = 22 => z = 22 - 5 => z = 17.
Conclusão:
Os valores escalares são x = 1, y = 13 e z = 17.
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 15)
	
	
	(7, 9, -5, 13, -5)
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (7, 9, -5, 13, -5)
	
TESTE 
		1a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Dadas as matrizes A = ( 1 2 3 ) e B = ( -2 0 1 ) , podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz 2A+ 3B , é igual a :
		
	 
	9
	 
	10
	
	17
	
	-17
	
	-1
	Respondido em 04/05/2020 17:40:41
	
		2a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine a matriz dos cofatores da matriz A= [ 2111][ 2111].
		
	
	[ 0110][ 0110]
	
	[ 1001][ 1001]
	
	[ 1][ 1]
	 
	[ 2111][ 2111]
	 
	[ 1−1−12][ 1−1−12]
	Respondido em 04/05/2020 18:18:56
	
		3a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣224−112321343⎤⎥⎦[224-112321343]
		
	 
	x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	 
	2x + 2y + 4z = -1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
	Respondido em 04/05/2020 18:19:01
	
		4a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Qual é o valor do determinante 3x3 a seguir:
2  3  5
4 -2  3
1 0  0
		
	 
	9
	
	11
	
	-14
	 
	10
	
	6
	Respondido em 04/05/2020 18:09:08
	
		5a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0No sistema linear homogêneo temos:
		
	 
	a solução trivial quando ele é sistema possível determinado (SPD)
	
	soluções vazias, portanto o sistema é impossível (SI)
	 
	a solução trivial quando ele é sistema possível indeterminado (SPI)
	
	sempre soluções infinitas e portanto ele é SPI
	
	sempre soluções infinitas e portanto ele é SPD
	Respondido em 04/05/2020 18:17:51
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determine o valor de K para que os vetores u = (1, 2, -1) e v = (4, k, -4) sejam linearmente dependentes:
		
	
	k < - 8
	 
	K = 8
	
	k ≠ 8
	
	k < 8
	
	k > 8
	Respondido em 04/05/2020 18:18:56
	
		7a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Com base no conceito de dimensão do Espaço Vetorial, define-se que qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. Podemos representar a dimensão de V por dim V = n.
Dentro desse conceito, assinale nas opções abaixo a dimensão de V = R2 / {(1,0), (0,1), (1,1), (0,1)} ?
		
	
	3
	 
	(1,1)
	 
	2
	
	4
	
	0
	Respondido em 04/05/2020 18:18:54
	
		8a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine a imagem do vetor v = (-1, 2, 0) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (z, 0, x).
		
	
	(1, 0, -1)
	
	(2, 0, 1)
	 
	(0, 1, 1)
	 
	(0, 0, -1)
	
	(0, 0, 0)
	Respondido em 04/05/2020 18:21:07
	
		9a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Sabe-se que uma matriz A3x3 é formada por elementos aij, tais que aij=i2/j.
Em relação ao determinantes da matriz A é correto afirmar que:
		
	
	det(A)=1/9
	
	det(A)=1/4
	 
	det(A)=0
	 
	det(A)=-1
	
	det(A)=1
	Respondido em 04/05/2020 18:18:47
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine a imagem do vetor v = (3, 4) pela Transformação Linear T(x, y) = (x - y, 3x + y).
		
	
	(-7, 4)
	 
	(-1, 13)
	
	(1, 4)
	 
	(-7, 13)
	
	(-1, 9)
		1a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Dado que a A é uma matriz 2 x 5 e B é uma matriz 5 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
		
	 
	2 x 1
	
	2 x 5
	
	1 x 5
	
	5 x 2
	
	5 x 1
	Respondido em 25/05/2020 14:33:27
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Podemos afirmar que o produto das  matrizes: A(3X2) por  B(2X3) será:
		
	
	 Não é possivel fazer o produto de matriz de ordem diferente.
	
	Uma matriz 2X3.
	
	Uma matriz quadra de ordem 2
	 
	 Uma matriz quadra de ordem 3
	
	Uma matriz 3X2.
	Respondido em 25/05/2020 14:34:06
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣224−112321343⎤⎥⎦[224-112321343]
		
	 
	2x + 2y + 4z = -1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	
	x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
	
	x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
	Respondido em 25/05/2020 14:38:04
	
		4a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Dada as equações:
x + y + z = 1
2x - y + z = 0
x + 2y - z = 0
Com base na regra de CRAMER, cálcule o Dx.
		
	 
	0.
	 
	-1.
	
	7.
	
	3.
	
	-5.
	Respondido em 25/05/2020 14:43:08
	
		5a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
		
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	(5, -5, 11, -13, 15)
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	 
	(7, 9, -5, 13, -5)
	Respondido em 25/05/2020 14:47:29
	
		6a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LI?
		
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o det(A) ≠≠0.
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) =0.
	 
	Se posto A = 0 e o det(A) = 0.
	 
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e  o posto de A > = número de vetores envolvidos.
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < número de vetores envolvidos.
	Respondido em 25/05/2020 14:53:58
	
		7a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Com base no conceito de dimensão do Espaço Vetorial, define-se que qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. Podemos representar a dimensão de V por dim V = n.
Dentro desse conceito, assinale nas opções abaixo a dimensão de V = R2 / {(1,0), (0,1), (1,1), (0,1)} ?
		
	 
	2
	
	3
	 
	4
	
	(1,1)
	
	0
	Respondido em 25/05/2020 14:52:59
	
		8a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determine a imagem do vetor v = (-2, 1, 2) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (x+y, y+z, z+ x).
		
	
	(1, 2, 1)
	
	(0, 2, 3)
	 
	(-1, 3, 0)
	
	(2, -1, 4)
	
	(1, 0, 4)
	Respondido em 25/05/2020 14:53:01
	
		9a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
		
	 
	x = (2, -2, -5/2)
	
	x = (2, -2, 0)
	 
	x = (-5/2, -2, -2)
	
	x = (-2, 2, 5/2)
	
	x = (2, -2, -5)
	Respondido em 25/05/2020 14:53:20
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
3 1
1 2
		
	
	λ²-3λ+3
	
	λ²-5λ+2
	 
	λ²-2λ+2
	 
	λ²-5λ+5
	
	λ²-4λ+4
		1a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Sabendo que vale a soma das matrizes:
(x1−5y)(x1−5y) + (41−53)(41−53) = (32−106)(32−106)
Determinar os valores de x e y, respectivamente:
 
		
	
	1 e -3
	
	3 e -1
	
	-1 e -3
	
	-3 e 1
	 
	-1 e 3
	Respondido em 25/05/2020 15:11:40
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere que o valor de um determinante é 6. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
		
	 
	4
	
	12
	
	6
	
	1
	
	24
	Respondido em 25/05/2020 15:14:24
	
		3a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ?
⎛⎜⎝1253−4−511−8−5⎞⎟⎠(1253−4−511−8−5)
		
	
	5x - 10y = -5
 
	 
	x + 2y + 5
3x - 4y - 5
11x - 8y - 5
	 
	x + 2y = 5
3x - 4y = -5
11x - 8y = -5
	
	x + y = 5
x - y = -5
x - y = -5
	
	x + 3y + 11z = 0
2x - 4y -8z = 0
5x - 5y -5z= 0
	Respondido em 25/05/2020 15:20:00
	
		4a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Sejam A e B matrizes de ordem n tais que Det A = 3 e Det B = 5 , podemos afirmar que o Det (AB) é igual a :
		
	
	8
	 
	15
	
	-2
	
	2
	
	4
	Respondido em 25/05/2020 15:22:10
	
		5a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear do vetor v=(2,4,8)?
		
	
	(2,4,1)
	
	(1,4,7)
	
	(2,5,9)
	 
	(1,2,4)
	
	(2,4,8)
	Respondido em 25/05/2020 15:26:30
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i,j = 1,2,3. Analisando a Matriz [ ( 30 19 20 ), ( 15 10 8 ), ( 12 16 11 )], podemos afirmar que:
		
	
	a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11
	 
	a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45
	
	a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40
	
	a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30
	
	a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52
	Respondido em 25/05/2020 15:37:52
	
		7a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Com base no conceito de geometria espacial, assinale a opção que identifica um vetor  que representa, na geometria espacial do conjunto  ,  todos os vetores no espaço.
		
	
	x = a - b
	
	→v=a→i+b→jv→=ai→+bj→→v=→a+→b+→cv→=a→+b→+c→
	
	v = ax + by + cz
	 
	→v=a→i+b→j+c→kv→=ai→+bj→+ck→
	Respondido em 25/05/2020 15:48:05
	
		8a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine a imagem do vetor v = (1, -2, 1) pela Transformação Linear T(x,y, z) = (x+y+2z, 2x - y, 0).
		
	
	(-1, 2, 0)
	
	(1, 1, 2)
	 
	(2, 3, 0)
	
	(-2, 4, 0)
	 
	(1, 4, 0)
	Respondido em 25/05/2020 15:48:27
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Qual é o valor do determinante 3x3 a seguir:
2  3   5
4 -2  0
1 0  0
		
	
	9
	 
	10
	
	-14
	
	6
	
	11
	Respondido em 25/05/2020 15:45:34
	
		10a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Seja T (x, y) = (5x, -2y - 3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (4, 1).
		
	
	(-12, -14)
	
	(20, 12)
	 
	(20, -14)
	
	(-12, 14)
	
	(-20, -12)
	
		
		Quais os valores dos escalares para que o vetor v = (-4, -18, 7) seja combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1).
	
	
	
	-3 e -2
	
	
	2 e -3
	
	
	-2 e 3
	
	
	2 e 3
	
	
	2 e 4
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o valor de K para que os vetores u = (1, 2) e v = (3, k) sejam linearmente dependentes:
	
	
	
	k ≠ 6
	
	
	k < - 6
	
	
	k < 6
	
	
	k > 6
	
	
	K = 6
	
Explicação:
Podemos verificar que (3, k) = 3. (1, 2)  para K = 6
Então v = 3u, ou seja, v é combinação linear de u.
Geometricamente, quando dois elementos em R2 ou R3 são linearmente dependentes, eles estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i,j = 1,2,3. Analisando a Matriz [ ( 30 19 20 ), ( 15 10 8 ), ( 12 16 11 )], podemos afirmar que:
	
	
	
	a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45
	
	
	a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30
	
	
	a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52
	
	
	a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11
	
	
	a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o valor de K para que os vetores u = (3, 2) e v = (9, k) sejam linearmente dependentes:
	
	
	
	k ≠ 6
	
	
	k < 6
	
	
	k < - 6
	
	
	k = 6
	
	
	k > 6
	
Explicação:
Podemos verificar que (9, k) = 3. (3, 2) para K = 6
Então v = 3u, ou seja, v é combinação linear de u.
Geometricamente, quando dois elementos em R2 ou R3 são linearmente dependentes, eles estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Sejam as matrizes a seguir A = (aij)4x3 , aij = ij B = (bij)3x4 , bij = ji Se C = A. B, então c22 vale:
	
	
	
	3
	
	
	39
	
	
	258
	
	
	14
	
	
	84
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LD?
	
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o det(A) =0.
	
	
	Se o posto de A > 0 e o det(A) =0.
	
	
	Se o posto de A = 0 e o det(A) = 0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < números de vetorers envolvidos.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) ≠≠ 0.
	
Explicação:
Conclusão:
Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < números de vetores envolvidos.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Se as matrizes A e B abaixo são iguais, então o valor de k + t é:
	
	
	
	0
	
	
	-2
	
	
	3
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LI?
	
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A = 0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) ≠≠ 0.
 
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < número de vetores envolvidos.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) =0.
	
	
	Posto de A = 0 e det(A) =0.
		1.
		Uma matriz A = (aij)3x3 é definida conforme descrito abaixo. A soma de todos os seus termos será:
 
	
	
	
	19
	
	
	20
	
	
	22
	
	
	21
	
	
	18
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Com base no conceito de dimensão do Espaço Vetorial, define-se que qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. Podemos representar a dimensão de V por dim V = n.
Dentro desse conceito, assinale nas opções abaixo a dimensão de V = R2 / {(1,0), (0,1), (1,1), (0,1)} ?
	
	
	
	2
	
	
	(1,1)
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	3
	
Explicação:
Dimensão(dimensão finita) é o número de vetores de V, ou seja, o número de elementos de um espaço vetorial.
Por exemplo: em R2 eu tenho dois vetores e em R3 eu tenho três vetores.
Conclusão:
V = R2 / {(1,0), (0,1), (1,1), (0,1)} , nós temos dim V = 2.
 
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Com base no conceito de dimensão do Espaço Vetorial, define-se que qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. Podemos representar a dimensão de V por dim V = n.
Dentro desse conceito, assinale nas opções abaixo a dimensão de V = R3 / {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ?
	
	
	
	3
	
	
	2.
	
	
	(1,0,0).
	
	
	1
	
	
	0.
	
Explicação:
Dimensão(dimensão finita) é o número de vetores de V, ou seja, o número de elementos de um espaço vetorial.
Por exemplo: em R2 eu tenho dois vetores e em R3 eu tenho três vetores.
Conclusão:
V = R3 / {(1,0,0), (0,1,0),  (0,0,1)} , nós temos dim V = 3.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a imagem do vetor v = (2, 5) pela Transformação Linear T(x,y) = (5x + 3y, 3x +5y).
	
	
	
	(21,28)
	
	
	(21,32)
	
	
	(22,34)
	
	
	(25,33)
	
	
	(25,31)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a imagem do vetor v = (2, 7) pela Transformação Linear T(x,y) = (2x - 2y, 4x - y).
	
	
	
	(12,-3)
	
	
	(12,-7)
	
	
	(-10,1)
	
	
	(-11, 2)
	
	
	(11,-2)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a imagem do vetor v = (2, -5) pela Transformação Linear T(x,y) = (x + 3y, x - 5y).
	
	
	
	(-13,-27)
	
	
	(-13,27)
	
	
	(-12,26)
	
	
	(13,-27)
	
	
	(13,27)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine a imagem do vetor v = (1, 2) pela Transformação Linear T(x,y) = (x + y, 3x - y).
	
	
	
	(1, 8)
	
	
	(3,5)
	
	
	(1,2)
	
	
	(2,3)
	
	
	(3,1)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a imagem do vetor v = (2, 4) pela Transformação Linear T(x,y) = (9x - 6y, 5x +4y).
	
	
	
	(-1,22)
	
	
	(-1, 18)
	
	
	(-2,24)
	
	
	(-6,26)
	
	
	(-3,25)
		1.
		Determine a imagem do vetor v = (-1, 2, 0) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (z, 0, x).
	
	
	
	(1, 0, -1)
	
	
	(2, 0, 1)
	
	
	(0, 0, -1)
	
	
	(0, 0, 0)
	
	
	(0, 1, 1)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a imagem do vetor v = (-2, 1, 2) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (x+y, y+z, z+ x).
	
	
	
	(-1, 3, 0)
	
	
	(1, 0, 4)
	
	
	(1, 2, 1)
	
	
	(0, 2, 3)
	
	
	(2, -1, 4)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a imagem do vetor v = (-1, 2) pela Transformação Linear T(x,y) = (-2y, 0).
	
	
	
	(2,2)
	
	
	(0,0)
	
	
	(-2, 2)
	
	
	(2,0)
	
	
	(0, -2)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a imagem do vetor v = (1, -2, 1) pela Transformação Linear T(x,y, z) = (x+y+2z, 2x - y, 0).
	
	
	
	(1, 1, 2)
	
	
	(-1, 2, 0)
	
	
	(1, 4, 0)
	
	
	(2, 3, 0)
	
	
	(-2, 4, 0)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a imagem do vetor v = (-2, 1, -1) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (2x, y+z, x - y - z).
	
	
	
	(2, 0, -3)
	
	
	(-1, 0, 1)
	
	
	(-4, 1, 2)
	
	
	(-4, 0, -2)(4, -3, -2)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a imagem do vetor v = (2, -3) pela Transformação Linear T(x,y) = (x - 2y, 2x).
	
	
	
	(4, 6)
	
	
	(8,4)
	
	
	(-4, -6)
	
	
	(8, -6)
	
	
	(-2, 8)
		1.
		Sabe-se que uma matriz A3x3 é formada por elementos aij, tais que aij=i2/j.
Em relação ao determinantes da matriz A é correto afirmar que:
	
	
	
	det(A)=1/4
	
	
	det(A)=0
	
	
	det(A)=1/9
	
	
	det(A)=1
	
	
	det(A)=-1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = ?
	
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	-2
	
	
	2
	
	
	0
	
Explicação: Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = 0
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual é o valor do determinante 3x3 a seguir:
2  3   5
4 -2  0
1 0  0
	
	
	
	11
	
	
	-14
	
	
	6
	
	
	9
	
	
	10
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule os valores de x, y e z nos sistemas e responda qual o valor de x + y + z?
	
	
	
	2
	
	
	11
	
	
	6
	
	
	8
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
	
	
	
	x = (-5/2, -2, -2)
	
	
	x = (2, -2, 0)
	
	
	x = (-2, 2, 5/2)
	
	
	x = (2, -2, -5/2)
	
	
	x = (2, -2, -5)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
	
	
	
	x = (-5/2, -2, -2)
	
	
	x = (2, -2, 0)
	
	
	x = (-2, 2, 5/2)
	
	
	x = (2, -2, -5)
	
	
	x = (2, -2, -5/2)
		1.
		Considere a matriz A abaixo:
A = ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣50 0 005 0 014−3 0−1−2 0−3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[50 0 005 0 014-3 0-1-2 0-3]
	
	
	
	e) Os autovalores são -5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D =  ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣ −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0−3 0 0 0 0 −3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[ -5 0 0 0 0 -5 0 0 0 0-3 0 0 0 0 -3]
	
	
	c) Os autovalores são - 5 e 3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D =  ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣−5 0 0 0 0−5 0 0 0 03 0 0 0 0 3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[-5 0 0 0 0-5 0 0 0 03 0 0 0 0 3]
	
	
	a) Os autovalores são 5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D =  ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣50 0 005 0 000−3 0−10 0−3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[50 0 005 0 000-3 0-10 0-3]
	
	
	b) Os autovalores são 5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D =  ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣50 0 005 0 000−3 000 0−3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[50 0 005 0 000-3 000 0-3]
	
	
	d) Os autovalores são 5 e 3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D =  ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣ 5 0 0 0 0 5 0 0 0 03 0 0 0 0 3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[ 5 0 0 0 0 5 0 0 0 03 0 0 0 0 3]
	
Explicação:
Determinação do polinômio característico: P(l) = [A - l.I4], onde I4 é uma matriz identidade de ordem igual a da matriz quadrada A, ou seja, quarta ordem.
O determinante da matriz [A - l.I4] deve ser nulo. Assim, 
A=∣∣
∣
∣
∣∣5000050014−301−20−3∣∣
∣
∣
∣∣A=|5000050014−301−20−3|   I=∣∣
∣
∣
∣∣1000010000100001∣∣
∣
∣
∣∣I=|1000010000100001|
 
det(A−λ.I)=∣∣
∣
∣
∣∣5−λ00005−λ0014−3−λ01−20−3−λ∣∣
∣
∣
∣∣=0det(A−λ.I)=|5−λ00005−λ0014−3−λ01−20−3−λ|=0
 
Como a matriz é triangular, o determinante é dado pelo produto do elementods da diagonal principal.
(5 - l).(5 - l).(-3 - l).(-3 - l).= 0
Basta igualar cada fator a zero, ou seja
(5 - l) = 0
(5 - l) = 0
(-3 - l) = 0
(-3 - l) = 0
Assim, l = 5 (duas vezes - multiplicidade 2) e l = - 3 (duas vezes - multiplicidade 2)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
2 3
5 1
	
	
	
	λ²-3λ+15
	
	
	λ²-3λ-13
	
	
	λ²-3λ+16
	
	
	λ²-3λ+11
	
	
	λ²-3λ+12
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a imagem do vetor v = (3, 4) pela Transformação Linear T(x, y) = (x - y, 3x + y).
	
	
	
	(-1, 13)
	
	
	(-1, 9)
	
	
	(-7, 13)
	
	
	(-7, 4)
	
	
	(1, 4)
	
Explicação:
x - y = 3 - 4 = -1
3x + y = 3.3 + 4 = 13
(-1, 13)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
3 1
1 2
	
	
	
	λ²-5λ+2
	
	
	λ²-3λ+3
	
	
	λ²-4λ+4
	
	
	λ²-2λ+2
	
	
	λ²-5λ+5
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
4 3
2 1
	
	
	
	λ²-3λ+6
	
	
	λ²-5λ-2
	
	
	λ²-3λ-3
	
	
	λ²-3λ-4
	
	
	λ²-5λ+5
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
1 3
2 4
	
	
	
	λ²-5λ+4
	
	
	λ²-3λ+2
	
	
	λ²-3λ+5
	
	
	λ²-5λ-2
	
	
	λ²-5λ+6
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine a imagem do vetor v = (4, 1) pela Transformação Linear T(x,y) = (6x -y, 3x +5y).
	
	
	
	(11,22)
	
	
	(21, 28)
	
	
	(23,17)
	
	
	(21,31)
	
	
	(31,25)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Seja T (x, y) = (5x, -2y-3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (3, 4).
	
	
	
	(20, -9)
	
	
	(-15, -9)
	
	
	(-20, -8)
	
	
	(15, -17)
	
	
	(15, -8)
	
Explicação:
5x = 5.3 = 15
-2y - 3x = -2.4 -3.3 = -17
(15, -17)