PROJETO DE CONTROLADORES - DEFINITIVO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
FACULDADE DE TECNOLOGIA -FT
DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE - DE
PROJETO DE CONTROLADORES
Manaus – AM
2023
MATHEUS DE HOLANDA MOTA - 218552779
PROJETO DE CONTROLADORES
Trabalho Elaborado Para a
disciplina de Sistemas de Controle,
apresentado ao curso de
Engenharia Elétrica para obtenção
de nota parcial referente ao
período 2022/2
Manaus – AM
2023
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Este trabalho tem como objetivo apresentar técnicas de modelagem de sistemas 
dinâmicos e estratégias de controle no domínio do tempo para atender especificações 
de projeto de determinados sistemas. O uso da ferramenta Matlab e da biblioteca 
Simulink auxiliarão na análise e simulação dos sistemas, bem como no projeto dos 
controladores de acordo com as técnicas apresentadas em sala de aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES E DISCUSSÕES 
 
1ª) No diagrama de blocos abaixo 
 
 Seja: 
 
 
 
 
 
A priori, sabe-se que os valores dos parâmetros são: 
● 𝑝1 = 3,053; 
● 𝑝2 = 2,3692; 
● 𝑝3 = 1,0067; 
 
 Assim, substituindo os valores de p’s calculados, tem-se a seguinte função de 
transferência: 
𝐺(𝑠) = 
5,4588
(𝑠 − 2,0463)(2,7111 + 𝑠)(𝑠 + 2,3692)
 
 
 Partindo das especificações do enunciado, em que 𝜁 = 0,707, o tempo de 
acomodação (que deve ser menor ou igual a 2,0s), e portanto o 𝜔𝑛 são calculados da 
seguinte forma: 
𝑡𝑠 = 
ζ ∙ 4,5
𝜔𝑛
 
𝜔𝑛 ≥ 1,59075 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
A estratégia de controle escolhida foi a de um Controlador PID, como se trata de 
um sistema do tipo 0, a planta não terá erro de regime permanente igual a zero, logo, 
será necessário um PI pois a adição de um polo em s = 0 à função de transferência do 
caminho direto aumentará em um nível o tipo de sistema. Entretanto, também puxará 
o Root Locus para o semiplano direito. Além disso, para evitar um tempo de acomodação 
grande, precisa-se de um controlador Derivativo. 
 
Para verificar o erro do regime permanente, temos: 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
(𝐾1 + 𝑠𝐾2 +
𝐾3
𝑠
)
5,4588
𝑠3 + 3,0463𝑠2 − 3,9726𝑠 − 13,1477
= ∞ 
Logo: 
𝑒𝑠𝑠 = 
1
1 + 𝐾𝑝
= 0 
Portanto, a condição está satisfeita. Calculando agora o Root Locus em três 
passos, temos: 
1º Root Locus: Kp = livre, Kd = 0 e Ki = 0: 
 
O polinômio característico em malha fechada é o seguinte: 
∆(𝑠) = 1 + 𝐾𝑝(
5,4588
𝑠3 + 3,0463𝑠2 − 3,9726𝑠 − 13,1477
) = 0 
 
Traçando o Root Locus para 𝐺(𝑠), temos o seguinte gráfico: 
 
Figura 1: 1º Root Locus 
 
Denota-se que duas raízes ficam instáveis para um valor determinado valor de 
Kp, o que já dá um indício de que o sistema não pode ser estabilizado. Ainda assim, 
através da função rlocfind, escolhemos um ponto, e seu respectivo ganho Kp: 
 
selected_point = 
 0.7990 + 1.5367i 
Kp = 
 4.8923 
P1 = 
 -4.5582 + 0.0000i 
 0.7621 + 1.5473i 
 0.7621 - 1.5473i 
 
 Logo, com o valor de Kp encontrado, calculamos o 2º Root Locus: 
 
2º Root Locus: Kp = Fixo, Kd = livre e Ki = 0: 
∆(𝑠) = 1 + (𝐾𝑝 + 𝐾𝑑𝑠) ∙ (
5,4588
𝑠3 + 3,0463𝑠2 − 3,9726𝑠 − 13,1477
) = 0 
 
1 + 𝐾𝑑(
5,4588𝑠
𝑠3 + 3,0463𝑠2 − 3,9726𝑠 + (5,4588𝐾𝑝 − 13,1477
) = 0 
 
1 + 𝐾𝑑(
5,4588𝑠
𝑠3 + 3,0463𝑠2 − 3,9726𝑠 + 13.5584
) = 0 
 
Traçando o Root Locus para o polinômio acima, temos o seguinte gráfico: 
 
Figura 2: 2º Root Locus 
 
Escolhemos, através da função rlocfind, o valor de 𝐾𝑑: 
selected_point = -1.4175 + 6.5924i 
 
Kd = 9.1877 
 
P2 = 
 -1.3675 + 6.5948i 
 -1.3675 - 6.5948i 
 -0.2990 + 0.0000i 
 
As duas raízes complexas instáveis permanecem no lado direito do plano, ou seja, 
o sistema permanece instável. Seguimos agora para o último Root Locus, o qual irá 
determinar Ki: 
3º Root Locus: Kp = Fixo, Kd = Fixo e Ki = livre: 
1 + (
𝑠𝐾𝑝 + 𝑠2𝐾𝑑 + 𝐾𝑖
𝑠
) ∙ (
5,4588
𝑠3 + 3,0463𝑠2 − 3,9726𝑠 − 13,1477
) = 0 
 
1 + 𝐾𝑖 ∙ (
5,4588
𝑠4 + 3,0463𝑠3 + (5,4588𝐾𝑝 − 3,9726)𝑠² + (5,4588𝐾𝑑 − 13,1477)𝑠
) = 0 
 
1 + 𝐾𝑖 ∙ (
5,4588
𝑠4 + 3,0463𝑠3 + 22,7335𝑠2 + 37,0061𝑠
) = 0 
 
Assim, obtemos o seguinte gráfico: 
 
Figura 3: 3º Root Locus 
 
selected_point = -0.7289 + 0.7787i 
Ki = 6,9523 
P3 = 
 3.0107 + 9.3641i 
3.0107 - 9.3641i 
 -0.7435 + 0.7779i 
 -0.7435 - 0.7779i 
Sendo assim, a segunda especificação, de 𝜁 = 0,707, estaria satisfeita, porém 
sabemos que não vai ser assim, pois o sistema está instável devido às duas raízes 
complexas positivas. Montando a planta no SIMULINK, temos: 
 
Figura 4: Planta do Controlador PDI 
Portanto, chegou-se à conclusão de que não é possível projetar um controlador 
PID que satisfaça todas as especificações devido ao fato de o sistema ser instável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) Agora considere: 
 
 
 
 
 
● 𝑝1 = 3,053; 
● 𝑝2 = 2,3692; 
● 𝑝3 = 1,0067; 
 
Substituindo os valores de p’s calculados, tem-se a seguinte função de 
transferência: 
 
𝑮(𝒔) = 
𝟏𝟎(𝒔 + 𝟑, 𝟎𝟓𝟑)
(𝒔 + 𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟕)(𝒔𝟐 + (𝟓, 𝟒𝟐𝟐𝟐)𝒔 + 𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟕)
 
 
O controlador de avanço ou atraso de fase e sua função de transferencia é 
apresentada abaixo: 
𝑪(𝒔) = 𝑲 (
𝟏 + 𝒂𝑻𝒔
𝟏 + 𝑻𝒔
) 
I. Para 𝒂 > 𝟎; Avanço de fase 
II. Para 𝒂 < 𝟎; Atraso de fase 
 
A primeira análise a ser feita será o de regime permamanente. Logo, para o 
sistema sem polo na origem e para uma entrada tipo degrau unitário, o erro é calculado 
da seguinte forma: 
 
𝑒(∞) = 
1
1 + 𝐾𝑝
 
Onde, 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝐶(𝑠)𝐺(𝑠) 
Logo, 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
 (
1 + 𝑎𝑇𝑠
1 + 𝑇𝑠
)
10𝑠 + 30,53
(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067)
 
 
𝐾𝑝 = 𝐾 (
30,53
1,0134
) 
 
𝐾𝑝 = 30,1263𝐾 
 
𝑒(∞) = 
1
1 + 𝐾𝑝
= |
1
1 + 30,1263𝐾
| < 2% 
 
𝐾 > 1,6264 
 
O overshoot(OS), para 𝜁 = 0,5, é calculado por: 
𝑂𝑆(%) = 100𝑒
−
𝜁𝜋
√1−𝜁2 
𝑂𝑆(%) = 100𝑒−1,8138 
𝑂𝑆 = 16,30% 
 
Para primeira tentativa, analisaremos se o controlador por avanço de fase 
atende as especificações do projeto. 
 
Controlador por avanço de fase 
 
Tomamos o polinômio caracteristico do sistema: 
∆(𝑠) = 1 + (
1 + 𝑎𝑇𝑠
1 + 𝑇𝑠
)
10𝑠 + 30,53
(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067)
= 0 
 
Determinaremos os parâmetros do controlador a partir do root locus individual 
de cada um. Assim: 
 
1º root locus: 𝐾 → 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒, 𝑇 = 0, 𝑎 = 0 
∆1(𝑠) = 1 + K
10(𝑠 + 3,053)
(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067)
= 0 
 
O root locus do polinômio acima é apresentado a seguir: 
 
Figura 5: 1º Root Locus 
 
Como podemos perceber, as raízes do polinômio ∆1(𝑠) se localizarão no semi-
plano esquerdo para qualquer valor de 𝐾. Logo, escolhendo um ponto e respeitando a 
condição de 𝐾 > 1,6264, 𝐾 foi fixado em 2. 
 
 
2º root locus: 𝐾 → 𝑓𝑖𝑥𝑜, 𝑇 → 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒, 𝑎 = 0 
 
∆2(𝑠) = 1 + K(
1
1 + 𝑇𝑠
)
10(𝑠 + 3,053)
(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067)
= 0 
 
Transformando em um caso de root locus de 𝑇, temos: 
∆2(𝑠) = 1 + 𝑇
𝑠(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067)
(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067) + 10𝐾(𝑠 + 3,053)
= 0 
Como há mais zeros do que polos do polinômio acima, façamos então 
1
𝑇
. Logo: 
∆2(𝑠) = 1 +
1
𝑇
(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067) + 10𝐾(𝑠 + 3,053)
𝑠(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067)
= 0 
 
∆2(𝑠) = 1 +
1
𝑇
(𝑠3 + 6,429𝑠2 + 26,09𝑠 + 60,91)
(𝑠4 + 6,429𝑠3 + 6,465𝑠2 + 1,013s)
= 0 
 
Fazendo o Root Locus para o Polinômio acima: 
 
 
Figura 6: 2º Root Locus 
 
Através do rlocfind, escolhemos um ponto para o ganho 1/T, tal que os polos 
dominates estejam dentro da região de estabilidade. Aproximando a imagem proximo 
da origem temos o ponto escolhido: 
 
Figura 7: Ampliação no 2ºRoot locus. 
 
Como 𝑇−1 = 0,0042, 𝑇 = 238,095. 
 
3º root locus: 𝐾 → 𝑓𝑖𝑥𝑜, 𝑇 → 𝑓𝑖𝑥𝑜, 𝑎 → 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 
 
∆(𝑠) = 1 + K(
1 + 𝑎𝑇𝑠
1 + 𝑇𝑠
)
10(𝑠 + 3,053)
(𝑠 + 1,0067)(𝑠2 + (5,4222)𝑠 + 1,0067)
= 0 
 
∆2(𝑠) = 1 + 𝑎
𝑠𝑇𝐾10(𝑠 + 3,053)
(1 + 𝑇𝑠)(𝑠 + 1,0067)(𝑠2+ (5,4222)𝑠 + 1,0067) + 𝐾10(𝑠 + 3,053)
= 0 
 
∆2(𝑠) = 1 + 𝑎 [
4962𝑠2 + 1454
238,1𝑠4 + 1532𝑠3 + 1546𝑠2 + 267,8𝑠 + 62,07
] = 0 
 
 
Fazendo o root locus para o polinômio resultante da expressão acima, e 
escolhendo o ponto que intercepta a reta de 𝜁 = 0,5, temos: 
 
 
Figura 8: 3º Root Locus e marcação do ganho a. 
 
Logo 𝑎 = 0,0062. 
 
Com todos os parâmetros encontrados, a função de transferencia do 
controlador é dada a seguir: 
 
𝐶(𝑠) = 2 (
1 + 0,0062 ∙ 238,095𝑠
1 + 238,095𝑠
) 
 
Por fim, o projeto de controle foi realiazdo no Simulink: 
 
 
Figura 9: Planta no Simulink 
 
 Abaixo, segue as repostas do sistema para uma entrada ao degrau unitário 
como referência. 
 
Figura 10: Comparação entrada degrau e saída do 
sistema controlado
Como previsto, o sistema apresenta comportamento subamortecido com o pico 
de overshoot e erro em regime permanente conforme calculados. Abaixo temos as 
imagens em zoom da região de acomodação do sistema em regime permanente, 
enfatizando e erro ao degrau, e o momento de pico máximo de overshoot. 
 
 
Figura 11 - Resposta ao degrau 
 
Pela resposta obtida na figura acima, vemos que o OS está de acordo com o zeta 
escolhido, uma vez que o pico máximo de sobressinal é de 14,00%, abaixo dos 16,30% 
estimados. Quanto ao erro de regime permanente, vimos que está conforme o 
especificado (𝑒𝑠𝑠 < 2%). Entretanto, o sobressinal pode ser melhorado, ajustando-se o 
valor de 𝑎, sem comprometer muito o erro em regime permanente. 
Uma das implicações de projeto para um compensador avanço de fase para este 
problema, foi o tempo de acomodação. Como visto, o sinal se estabelece em regime 
permanente na faixa dos 41,7 segundos, devido as caracteristicas da planta. Contudo, 
um controlador em atraso de fase juntamente com o avanço de fase projetado, poderia 
melhorar o tempo de acomodação e garantir as demias especificações sem quelquer 
problemas. 
A seguir, temos o sinal de controle do atuador da planta. 
 
 
Figura 12: controle do atuador da planta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja, 
𝑝1 = 3,0530 
𝑝2 = 2,3692 
𝑝3 = 1,007 
 
Para os valores acima, 
 
𝐺(𝑠) = 
10(𝑠 + 5,422)
((𝑠 + 0,5034)2 + 2,3692)(𝑠 + 3,0530)(𝑠 + 2,3692)
 
 
𝐺(𝑠) = 
10(𝑠 + 5,422)
(𝑠2 + 1,007𝑠 + 2,623)(𝑠 + 3,0530)(𝑠 + 2,3692)
 
 
O root locus da função de transferência 𝐺(𝑠) é apresentado abaixo: 
 
Figura 28: Root locus da planta G(s). 
 
 Aproximando a imagem na região próxima a origem: 
 
Figura 29: Root locus da planta G(s) próximo a região de instabilidade. 
 
 
 Como pode ser visto no root locus, a margem de estabilidade relativa do sistema 
é bem pequena, já que há dois polos complexos conjugados (𝑝 = −0,5035 ±
𝑗1,5393) bem próximos ao eixo imaginário, o que eventualmente pode ocasionar a 
instabilidade do sistema. Nota-se também, que o lugar das raízes jamais cruzará o eixo 
de ζ = 0,5 alterando-se somente o ganho de malha fechada. Logo, deve-se forçar a 
mudança do LGR da função acrescentando polos ou zeros a fim de se obter as 
especificações desejadas. 
O primeira ação proposta foi “cancelar” esses polos complexos conjugados da planta 
para dar mais liberdade na escolha dos ganhos de malha e posteriormente projetar-se 
o controlador para atender as especificações de projeto. 
Um filtro Noth pode ser sintonizado com zeros complexos, a fim de se cancelar os 
polos indesejados da planta. Abaixo, segue a função de transferência 𝐶1(𝑠) de um filtro 
Noth que será usado no projeto: 
𝐶1(𝑠) = 
1 + 2𝑅1𝐶𝑠 + 𝑅1𝑅2𝐶
2𝑠2 
1 + (𝑅2 + 2𝑅1)𝐶 + 𝑅1𝑅2𝐶2𝑠2
= 
𝑠2 + 
2
𝑅2𝐶
𝑠 +
1
𝑅1𝑅2𝐶2
 
𝑠2 + (
2
𝑅2𝐶
+
1
𝑅1𝐶
) 𝑠 +
1
𝑅1𝑅2𝐶2
 
 Os polos complexos conjugados da planta provem da parcela 
𝐺∗(𝑠) = 
1
(𝑠2 + 1,007𝑠 + 2,623)
 
 
 Portanto, para cancelar os polos complexos da planta, é precisa configurar os 
zeros do controlador 𝐶1(𝑠) de tal modo que: 
2
𝑅2𝐶
= 2|𝑅𝑒(−0,5035 + 𝑗1,5393)| = 1,007 
1
𝑅1𝑅2𝐶2
= | − 0,5035 + 𝑗1,5393|2 = 2,623 
 
Para efeito de realização do controlador: 
𝑅2𝐶 = 1,9861 
𝑅1𝐶 = 0,1919 
E 
𝐶1(𝑠) = 
𝑠2 + 1,007𝑠 + 2,623 
𝑠2 + 6,217𝑠 + 2,623
 
 
 Desta forma, adicionando o filtro Noth ao sistema em caminho direto com a 
planta, o root locus do sistema em malha fechada é mostrado a seguir: 
 
Figura 30: Root locus da planta G(s) compensada com um filtro de polos complexos. 
 
 Percebe-se que os polos complexos conjugados da planta foram anulados pelos 
zeros do controlador 𝐶1(𝑠), e o LGR do sistema foi “empurrado” mais para a esquerda 
do plano complexo. Assim a estabilidade relativa do sistema aumentou de forma 
considerável e o lugar das raízes agora passa a interceptar o eixo de ζ = 0,5, o que para 
determinado ganho satisfaz um dos requisitos de projeto. 
 Também pode-se notar que, devido a topologia do controlador, os polos gerados 
são reais (𝑝𝑐1 = −0,4553 𝑒 𝑝𝑐1 = −5,763) e responsáveis pela nova configuração do 
LGR. Entretanto, esses polos gerados involuntariamente não comprometem a resposta 
do sistema, já que um dos polos fica mais rápido e o outro se comporta como um dos 
polos dominantes do sistema ao longo do ajuste de ganho em malha fechada. 
 A partir disso, verificaremos a possibilidade de projetar um controlador que 
atenda as especificações 
{
𝑒(∞) ≤ 0,02
𝜁 = 0,5
 
 Para que ζ = 0,5, o overshoot (OS) da resposta deve ser de: 
𝑂𝑆(%) = 100𝑒
−
𝜁𝜋
√1−𝜁2 
𝑂𝑆(%) = 100𝑒−1,8138 
𝑂𝑆 = 16,30% 
 Devido à complexidade da planta e as implicações para estabelecer os 
parâmetros de cada controlador, bem como a conveniência na realização do mesmo, 
será definida a seguinte ordem de análise: 
P → PI → PID → Lead/Lag 
O primeiro controlador da sequência que atender as especificações de projeto 
será o escolhido e os outros serão descartados. A primeira análise para especificação do 
controlador será para regime transitório. Em seguida será realizada a análise em regime 
permanente. 
 
CONTROLADOR PROPORCIONAL - P 
 O controlador P é dado por: 
𝐶𝑃(𝑠) = 𝐾1 
 
Análise em regime transitório 
Para realizar a análise em regime transitório, tomamos o polinômio característico 
do sistema: 
 
∆(𝑠)
= 1 + 𝐾1 [
𝑠2 + 1,007𝑠 + 2,638 
𝑠2 + 6,217𝑠 + 2,638
] [
10(𝑠 + 5,422)
(𝑠2 + 1,007𝑠 + 2,623)(𝑠 + 3,0530)(𝑠 + 2,3692)
]
= 0 
 
 Como os zeros do controlador 𝐶1(𝑠) – Filtro Noth - cancelam os polos 
complexos da planta, o restante da análise será feito desconsiderando esses termos. 
Logo: 
 
∆(𝑠) = 1 + 𝐾1 [
1 
(𝑠 + 5,767)(𝑠 + 0,4552)
] [
10(𝑠 + 5,422)
(𝑠 + 3,0530)(𝑠 + 2,3692)
] = 0 
Trançando o root locus da função acima temos exatamente o gráfico da Figura 
30. 
Selecionando um ponto próximo onde o ganho 𝐾1 faz os polos dominantes do 
sistema interceptarem a reta 𝜁 = 0,5 através da função rlocfind(), temos: 
 
Figura 31: Root locus pra o controlador P e localização dos polos para 𝐾1. 
 
Com o ganho 𝐾1 = 0,8351 encontrado fazemos então a análise em regime 
permanente. 
 
Análise em regime permanente 
 Como a planta é do Tipo 0 (sem polo na origem), o erro em regime permanente 
para uma entrada do tipo degrau é igual a: 
𝑒(∞) = 
1
1 + 𝐾𝑝
 
Onde, para a planta: 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝐶𝑃(𝑠)𝐶1(𝑠)𝐺(𝑠) 
Logo, 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
0,8351 [
1 
(𝑠 + 5,767)(𝑠 + 0,4552)
] [
10(𝑠 + 5,422)
(𝑠 + 3,0530)(𝑠 + 2,3692)
] 
𝐾𝑝 = 0,8351 ∙ 2,8557 
𝐾𝑝 = 2,3848 
Consequentemente, 
𝑒(∞) = 0,2954 
 Logo, apesar do controlador proporcional 𝐶𝑃(𝑠) posicionar os polos dominantes 
sobre a reta de ζ = 0,5, provoca um erro de 29,54% em relação a referência para o ganho 
selecionado, bem acima dos 2% proposto no projeto. Portanto, o próximo controlador 
deve ser proposto a fim de se melhorar a resposta em regime permanente do sistema. 
 
CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRADOR - PI 
 O controlador PI é dado por: 
𝐶𝑃𝐼(𝑠) = 𝐾1 + 
𝐾3𝑠
 
 
Analise em regime transitório 
Tomando o polinômio característico do sistema: 
∆(𝑠) = 1 + (𝐾1 + 
𝐾3
𝑠
) [
1 
(𝑠 + 5,767)(𝑠 + 0,4552)
] [
10(𝑠 + 5,422)
(𝑠 + 3,0530)(𝑠 + 2,3692)
] = 0 
 
Transformado em um caso de root locus em função de 𝐾3 temos: 
1 + 𝐾3 [
10(𝑠 + 5,422)
𝑠(𝑠 + 5,767)(𝑠 + 0,4552)(𝑠 + 3,0530)(𝑠 + 2,3692) + 10𝐾1(𝑠 + 5,422) 
]
= 0 
 
Para 𝐾1 = 0,8351, o root locus da função acima é mostrado a seguir: 
 
Figura 32: Root locus pra o controlador PI e localização dos polos para 𝐾3. 
 
Aproximando próximo ao cruzamento e selecionando ao ponto que intercepta a 
reta de ζ = 0,5, temos os seguintes dados: 
 
Figura 33: Root locus com zoom na região da seleção de 𝐾3. 
 
Logo, com 𝐾1 = 0,8351 𝑒 𝐾3 = 0,2667 analisaremos o comportamento do 
sistema em regime permanente. 
Análise em regime permanente 
 Para 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝐶𝑃𝐼(𝑠)𝐶1(𝑠)𝐺(𝑠) 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
(0,8351
+ 
0,2667
𝑠
) [
1 
(𝑠 + 5,767)(𝑠 + 0,4552)
] [
10(𝑠 + 5,422)
(𝑠 + 3,0530)(𝑠 + 2,3692)
] 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
(0,8351 + 
0,2667
𝑠
) 2,8557 
𝐾𝑝 = ∞ 
Assim, 
𝑒(∞) = 
1
1 + ∞
= 0 
 Portanto, o controlador 𝐶𝑃𝐼(𝑠) atende aos critérios de erro 𝑒(∞) ≤ 0,02 (0%) e 
de sobressinal para 𝜁 = 0,5. Logo, os outros controladores serão desconsiderados. 
O controlador PI desenvolvido foi simulado no Simulink, conforme mostrado 
abaixo, e a seguir apresentamos as respostas do sistema em relação a uma entrada 
degrau. 
 
Figura 34: Diagrama de blocos do sistema de controle. 
 
 
 Na figura abaixo, podemos verificar a resposta global do sistema(Y(t)) mediante a 
aplicação de um degrau unitário como referência (Ref(t)). Percebe-se que o sinal de fato se 
acomodou sem erro no regime permanente e o pico máximo de overshoot se apresenta 
conforme as especificações requeridas no projeto. 
 
Figura 36: Comparação da resposta do sistema(amarelo) para a entrada 
degrau(azul). 
 
A seguir, uma visualização mais minuciosa do pico máximo de overshoot e do 
tempo de acomodação da resposta. Percebe-se que o máximo sinal de overshoot ainda 
é bem abaixo da especificação máxima proposta no projeto, na faixa de 6,89% frente os 
16,30% especificados. E o sinal se acomoda na resposta em regime permanente em 
cerca de 7,86 segundos, conforme o critério de 98%. 
 
Figura 37: À esquerda: Ponto de pico máximo da resposta (overshoot); à direita: 
momento em que o sistema atinge o tempo de acomodação. 
 
Contudo, o tempo de acomodação não era um dos critérios de especificação do 
projeto, dando a liberdade da resposta acomodar conforme os outros critérios fossem 
imediatamente atendidos. Entretanto, dependendo do sistema ou dos requerimentos 
da planta, este poderia ser um objeto de estudo e possivelmente um ajuste nos ganhos 
ou mesmo a adição de mais parâmetros para atender este requisito teriam que ser 
envolvidos no projeto. 
Abaixo, segue a resposta do atuador da planta. Percebe-se a variação brusca no 
momento da atuação inicial, embora o sinal não tenha alcançado o ponto de saturação. 
Outro ponto interessante é a continuidade da atuação no regime, reflexo do esforço 
para manter o erro nulo. 
 
Figura 38: Desenvolvimento do sinal de controle ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 
Neste trabalho foi apresentado algumas técnicas de modelagem de sistemas 
dinâmicos e estratégias de controle para atender determinadas especificações de 
projetos. Pôde-se constatar a eficiência dos controladores projetados para os diversos 
padrões de resposta bem como a importância da análise e técnicas de controle para 
satisfazer as especificações de cada planta. 
 Ainda, no desenvolvimento das atividades, a equipe foi submetida as implicações 
inerentes à modelagem, análise de sistemas e projeto de controladores, que de forma 
rotineira fazem parte da vida de um projetista. Contornar tais situações é o diferencial 
para se ter um bom projeto em sistemas de controle. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
FRANKLIN, G, POWELL, J, EMAMI-NAEINI, A. (2013). Sistemas de Controle para 
Engenharia. 6ª edição. Bookman. 
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição. Pearson – Prentice Hall. 
DORF, R. C., BISHOP, R. H. (2011). Modern Control Systems. New York: Prentice Hall. 
MAYA, P., LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ª Edição. PERSON