Teste por Temas INTEGRAIS - CONCEITOS, PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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04/09/2023, 22:18 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
Testes por Temas
 avalie sua aprendizagem
O cálculo de integrais é uma ferramenta importante para calcular áreas, volumes e somas acumuladas. Calcule a integral de�nida de f(x) = x²
+ 3x - 2 de 0 a 2.
Constantemente mais de uma técnica é empregada na resoluçäo de integrais. Dessa forma, determine o valor da equação
.
MATEMÁTICA AVANÇADA
Lupa  
 
DGT0207_202306104104_TEMAS
Aluno: ANDERSON ALVES PEREIRA Matr.: 202306104104
Disc.: MATEMÁTICA AVANÇAD  2023.2 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de
questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este
modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
INTEGRAIS: CONCEITOS, PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
1.
4,67.
2,67.
6,67.
10,67.
8,67.
Data Resp.: 04/09/2023 22:15:37
Explicação:
Para resolver a integral de�nida, é necessário calcular a antigerivaga da funçăo e, em seguida, avaliá-la nos limites de integração.
A antiderivada de é:
Avaliando-a nos limites de integração de 0 a 2 , temos:
 
2.
π / 3.
π.
2π.
3π / 2.
0.
Data Resp.: 04/09/2023 22:15:51
Explicação:
Fica mais fácil resolver trabalhando com as derivadas de seno e cosseno ao invés de integrar diretamente:
Derivando , temos:
Logo
E a integral
f(x) = x2 + 3x − 2
F(x) = (1/3)x3 + (3/2)x2 − 2x
F(2) − F(0) = (1/3)8 + (3/2)4 − 4 − (1/3)0 − (3/2)0 + 0 = 4
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
sen(3x)/3
sen(3x)/3 = cos(3x)
∫ cos(3x)dx = sen(3x)/3
d
dx
∫ 3dx = 3x
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
04/09/2023, 22:18 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
Constantemente mais de uma técnica é empregada na resoluçäo de integrais. Dessa forma, determine o valor da equação
.
A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo isso em mente, calcule a integral inde�nida
.
 
2.
π / 3.
π.
2π.
3π / 2.
0.
Data Resp.: 04/09/2023 22:15:51
Explicação:
Fica mais fácil resolver trabalhando com as derivadas de seno e cosseno ao invés de integrar diretamente:
Derivando , temos:
Logo
E a integral
Agora, juntando tudo temos:
 
3.
.
.
.
.
.
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:03
Explicação:
Resolvendo por integral por fraçenes parciais:
Resolvendo o sistema resultante:
∫ π/3
0
3 + cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
sen(3x)/3
sen(3x)/3 = cos(3x)
∫ cos(3x)dx = sen(3x)/3
d
dx
∫ 3dx = 3x
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = 3x + sen(3x)/3|
x=
x=0 = π + sen(π)/3 − sen(0)/3 = π
π
2
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = π
∫ dx3e
2x2ex
(ex−2)(e2x+4)
ln(ex − 2) − +
ln(e2x+4)
2
arct g( )e
x
2
2
ln(e2x − 2) − +
ln(e2x+4)
2
arctg( )e
x
2
2
ln(ex − 3) − +
ln(e2x+4)
3
arctg( )e
x
2
3
ln(ex − 4) − +
ln(e2x+4)
4
arct g( )e
x
2
4
ln(ex − 2) − +
ln(ex+1)
2
arctg( )e
x
x
2
∫ dx
∫ = ex + du = exdx
∫ dx = ∫ exdx = ∫ du
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
3ex + 2
(ex − 2) (e2x + 4)
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
= +
=
=
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
A
u − 2
Bu + C
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
A (u2 + 4) + (Bu + C)(u − 2)
(u − 2) (u2 + 4)
(0)u2 + (3)u + (2)
(u − 2) (u2 + 4)
(A + B)u2 + (C − 2B)u + (4A − 2C)
(t − 2) (u2 + 4)
A + B = 0
C − 2B = 3
4A − 2C = 2
A = 1;B = −1;C = 1
04/09/2023, 22:18 Estácio: Alunos
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A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo isso em mente, calcule a integral inde�nida
.
 
3.
.
.
.
.
.
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:03
Explicação:
Resolvendo por integral por fraçenes parciais:
Resolvendo o sistema resultante:
Retornando para a integral:
Resolvendo cada uma delas separadamente:
Para a última integral, dividimos por 4, para levar a uma integral tonhecida:
Fazendo:
Juntando as respostas das 3 integrais:
Substituindo 
∫ dx3e
2x2ex
(ex−2)(e2x+4)
ln(ex − 2) − +
ln(e2x+4)
2
arct g( )e
x
2
2
ln(e2x − 2) − +
ln(e2x+4)
2
arctg( )e
x
2
2
ln(ex − 3) − +
ln(e2x+4)
3
arctg( )e
x
2
3
ln(ex − 4) − +
ln(e2x+4)
4
arct g( )e
x
2
4
ln(ex − 2) − +
ln(ex+1)
2
arctg( )e
x
x
2
∫ dx
∫ = ex + du = exdx
∫ dx = ∫ exdx = ∫ du
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
3ex + 2
(ex − 2) (e2x + 4)
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
= +
=
=
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
A
u − 2
Bu + C
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
A (u2 + 4) + (Bu + C)(u − 2)
(u − 2) (u2 + 4)
(0)u2 + (3)u + (2)
(u − 2) (u2 + 4)
(A + B)u2 + (C − 2B)u + (4A − 2C)
(t − 2) (u2 + 4)
A + B = 0
C − 2B = 3
4A − 2C = 2
A = 1;B = −1;C = 1
∫ du = ∫ ( + + ) du
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
1
u − 2
−u
u2 + 4
1
u2 + 4
∫ dt, y = u − 2 → dy = du
∫ dy = ln y = ln(u − 2)
∫ dt, z = u2 + 4 → dz = 2udu
∫ − ( ) = = −
1
d − 2
1
y
−u
u2 + 4
1
2
dz
z
ln z
−2
ln(u2 + 4)
2
∫ ( ) du = ∫
⎛
⎜⎜
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
du
1
u2 + 4
1/4
( )
2
+ 1
u
2
w = , → dw = + =
u
2
du
2
dw
2
du
4
∫
⎛
⎜⎜
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
du = ∫
⎛
⎝
⎞
⎠
= =
1/4
( )
2
+ 1
u
2
dw
2
(w)2 + 1
arctg(w)
2
arctg( )u
2
2
∫ du = ∫ ( + + ) du
∫ du = ln(u − 2) − +
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
1
u − 2
−u
u2 + 4
1
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
ln(u2 + 4)
2
arctg( )u
2
2
u = ex
( )
x
04/09/2023, 22:18 Estácio: Alunos
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A técnica de substituiçảo é uma das técnicas mais empregadas em resoluçảo de integrais. Utilizando a técnica de substituiçäo, a resoluçăo de
 é
As substituições trigonométricas säo arti�cios que são utilizados para a resolução e integrais. Utilizando da técnica mencionada, calcule a
integral de .
Juntando as respostas das 3 integrais:
Substituindo 
 
4.
.
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:19
Explicação:
Substituindo:
Usando integração trigonométrica:
LogO,
 
5.
.
.
.
.
.
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:38
Explicação:
Utilizando a relaçāo trigonométrica:
Substituindo na integral:
Como . Assim:
⎝ ⎠( )2
∫ du = ∫ ( + + ) du
∫ du = ln(u − 2) − +
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
1
u − 2
−u
u2 + 4
1
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
ln(u2 + 4)
2
arctg( )u2
2
u = ex
∫ dx = ln(ex − 2) − +
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
ln(e2x + 4)
2
arctg( )e
x
2
2
∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt
tg3 (t2) + C.1
10
tg6 (t2) + C.1
10
tg5(t2) + C.1
10
tg2(t2) + C.1
10
tg g4 (t2) + C1
10
∫ t sec2(t2) tg4(t2)dt
u = t2 → du = 2tdt → tdt = du
1
2
∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt = ∫ sec2(u)tg4(u)du1
2
ν = tg(u) → dν = sec2(u)du
∫ sec2(u) tg4(u)du = ∫ ∇4dv = ⋅ v5 + c = tg5(u) + C
∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt = tg5 (t2) + C
1
2
1
2
1
2
1
5
1
10
1
10
∫ √1 − 4x2dx
[2 arcsen(2x) + sen(2 arcsen(2x))] + C1
8
[ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
4
1
8
[ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
8
1
4
[ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
4
[ + sen(2 arcsen(x))] + Carcsen(x)
4
1
8
cos2(θ) = 1 − sen2(θ)
2x = sen(θ) → dx = dθ
cos(θ)
2
∫ √1 − 4x2dx = ∫ √1 − (2x)2dx = ∫ √1 − sen2 θ( dθ)
cos(θ)
2
√1 − sen2 θ = cos θ
04/09/2023, 22:19 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
As substituições trigonométricas säo arti�cios que são utilizados para a resolução e integrais. Utilizando da técnica mencionada, calcule a
integral de .
Determine a família de funções representada por 
 
5.
.
.
.
.
.
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:38
Explicação:
Utilizando a relaçāo trigonométrica:
Substituindo na integral:
Como . Assim:
Sabemos que . Assim:
Fatorando 
Integrando:
Retornando o valor de :
Substituindo na equaçäo:
Assim, temos que:
 
6.
, k real
, k real
, k real
, k real
, k real
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:46
Explicação:
A resposta correta é:  , k real
∫ √1 − 4x2dx
[2 arcsen(2x) + sen(2 arcsen(2x))] + C1
8
[+ sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
4
1
8
[ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
8
1
4
[ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
4
[ + sen(2 arcsen(x))] + Carcsen(x)
4
1
8
cos2(θ) = 1 − sen2(θ)
2x = sen(θ) → dx = dθ
cos(θ)
2
∫ √1 − 4x2dx = ∫ √1 − (2x)2dx = ∫ √1 − sen2 θ( dθ)
cos(θ)
2
√1 − sen2 θ = cos θ
∫ cos2(θ)dθ
1
2
cos2(θ) = +12
cos(θ)
2
∫ ( + ) dθ
1
2
1
2
cos(2θ)
2
1
2
∫ (1 + cos(2θ))dθ
1
4
∫ dθ + ∫ cos(2θ)dθ = [ + sen(2θ)] + C
1
4
1
4
θ
4
1
8
x
2x = sen(θ) → θ = arcsen(2x)
θ
[ + sen(2 arcsen(2x))] + C
arcsen(2x)
4
1
8
∫ √1 − 4x2dx = [ + sen(2 arcsen(2x))] + C
arcsen(2x)
4
1
8
∫ dx36
(x−1)(x+5)2
+ 6ln|x + 5| − 6ln|x − 1| + k36
x+5
+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
+ ln|x + 5| − ln|x − 1| + k36
x−1
+ arctg(x − 1) − arctg(x + 5) + k1
x+5
− ln|x − 1| − ln|x − 5| + k36
x−5
+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
04/09/2023, 22:19 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
Determine a família de funções representada por 
Determine o valor da integral  
Determine o valor da integral 
Sabe-se que g(x) faz parte da família de primitivas obtidas pela integral  . Sabendo que g(0)=ln 2, determine
g(1).
Determine o valor da integral sen3t cost dt
6.
, k real
, k real
, k real
, k real
, k real
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:46
Explicação:
A resposta correta é:  , k real
 
7.
2 seny+3 arcsen y+2y+k, k real
2tg y- arctg y-2y+k, k real
2tg y+3 arctg y+y+k, k real
2 cos y+3 arsen y+y+k, k real
2 sen y+3 arctg y+y+k, k real
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:52
Explicação:
A resposta correta é: 2tg y+3 arctg y+y+k, k real
 
8.
211
255
Data Resp.: 04/09/2023 22:17:00
Explicação:
A resposta correta é: 
 
9.
Data Resp.: 04/09/2023 22:17:12
Explicação:
A resposta correta é: 
 
10.
, k real 
, k real
, k real
, k real
, k real
Data Resp.: 04/09/2023 22:17:25
∫ dx36
(x−1)(x+5)2
+ 6ln|x + 5| − 6ln|x − 1| + k36
x+5
+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
+ ln|x + 5| − ln|x − 1| + k36
x−1
+ arctg(x − 1) − arctg(x + 5) + k1
x+5
− ln|x − 1| − ln|x − 5| + k36
x−5
+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
∫  (2sec2y + + 2y)dy3
1+y2
∫
8
1
4u8+U 2 8√u−2
u2
295
2
189
2
103
2
295
2
∫ x+3
x2+6x+4
ln(√15)
ln(√11)
ln(√10)
ln(√13)
ln(√8)
ln(√11)
+ + ksen
4t
4
sen2t
2
− + kcos
4t
4
cos2t
2
− + k2cos
5t
3
cos2t
3
+ + kcos
4t
2
cos2t
4
− + ksen
4t
4
sen2t
2
04/09/2023, 22:19 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
Determine o valor da integral  
Determine o valor da integral 
Sabe-se que g(x) faz parte da família de primitivas obtidas pela integral  . Sabendo que g(0)=ln 2, determine
g(1).
Determine o valor da integral sen3t cost dt
 
7.
2 seny+3 arcsen y+2y+k, k real
2tg y- arctg y-2y+k, k real
2tg y+3 arctg y+y+k, k real
2 cos y+3 arsen y+y+k, k real
2 sen y+3 arctg y+y+k, k real
Data Resp.: 04/09/2023 22:16:52
Explicação:
A resposta correta é: 2tg y+3 arctg y+y+k, k real
 
8.
211
255
Data Resp.: 04/09/2023 22:17:00
Explicação:
A resposta correta é: 
 
9.
Data Resp.: 04/09/2023 22:17:12
Explicação:
A resposta correta é: 
 
10.
, k real 
, k real
, k real
, k real
, k real
Data Resp.: 04/09/2023 22:17:25
Explicação:
A resposta correta é:  , k real
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Testes por Temas inciado em 04/09/2023 22:15:29.
∫  (2sec2y + + 2y)dy3
1+y2
∫
8
1
4u8+U 2 8√u−2
u2
295
2
189
2
103
2
295
2
∫ x+3
x2+6x+4
ln(√15)
ln(√11)
ln(√10)
ln(√13)
ln(√8)
ln(√11)
+ + ksen
4t
4
sen2t
2
− + kcos
4t
4
cos2t
2
− + k2cos
5t
3
cos2t
3
+ + kcos
4t
2
cos2t
4
− + ksen
4t
4
sen2t
2
− + kcos
4t
4
cos2t
2