Desempenho em Exercícios de Integrais

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<p>Você acertou 4 de 10 questões</p><p>Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício quantas</p><p>vezes quiser.</p><p>Verificar Desempenho</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>1 Marcar para revisão</p><p>Determine o valor da integral sen t cost dt3</p><p>, k real+ + kcos4t</p><p>2</p><p>cos2t</p><p>4</p><p>, k real− + ksen4t</p><p>4</p><p>sen2t</p><p>2</p><p>, k real− + kcos4t</p><p>4</p><p>cos2t</p><p>2</p><p>, k real + + ksen4t</p><p>4</p><p>sen2t</p><p>2</p><p>, k real− + k2cos5t</p><p>3</p><p>cos2t</p><p>3</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A integral dada é resolvida por meio da técnica de substituição. Nesse caso, a função</p><p>sen t cos t dt é integrada por partes, onde u = sen t e dv = sen t cos t dt. Após a</p><p>integração, a expressão resultante é , onde k é uma constante real.</p><p>Portanto, a alternativa correta é a letra C.</p><p>3 2</p><p>− + kcos4t</p><p>4</p><p>cos2t</p><p>2</p><p>2 Marcar para revisão</p><p>Questão 1</p><p>de</p><p>10</p><p>Corretas �4�</p><p>Incorretas �6�</p><p>Em branco �0�</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6 7 8 9 10</p><p>Exercicio</p><p>Integrais: Conceitos, Propriedades e Técnicas De</p><p>Integração</p><p>Sair</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 1/10</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>As substituiç�es trigonométricas säo artificios que säo utilizados para a resolução e</p><p>integrais. Utilizando da técnica mencionada, calcule a integral de .∫ √1 − 4x2dx</p><p>[ + sen(2 arcsen(x))] + C</p><p>arcsen(x)</p><p>4</p><p>1</p><p>8</p><p>[ + sen(2 arcsen(2x))] + C</p><p>arcsen(2x)</p><p>8</p><p>1</p><p>4</p><p>[ + sen(2 arcsen(2x))] + C.</p><p>arcsen(2x)</p><p>4</p><p>1</p><p>8</p><p>[2 arcsen(2x) + sen(2 arcsen(2x))] + C.1</p><p>8</p><p>[ + sen(2 arcsen(2x))] + C</p><p>arcsen(2x)</p><p>4</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Utilizando a relaçäo trigonométrica:</p><p>Substituindo na integral:</p><p>Sabemos que Assim:</p><p>Fatorando</p><p>Integrando:</p><p>Retornando o valor de :</p><p>Substituindo  na equaçăo:</p><p>cos2(θ) = 1 − sen2(θ)</p><p>2x = sen(θ) → dx = dθ</p><p>cos(θ)</p><p>2</p><p>√1 − 4x2dx = ∫ √1 − (2x)2dx = ∫ √1 − sen2 θ( dθ)</p><p>Como √1 − sen2 θ = cos θ.  Assim:  ∫ cos2(θ)dθ</p><p>cos(θ)</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>cos2(θ) = + .1</p><p>2</p><p>cos(θ)</p><p>2</p><p>∫ ( + ) dθ1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>cos(2θ)</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ dθ+ ∫ cos(2θ)dθ = [ + sen(2θ)] + C1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>θ</p><p>4</p><p>1</p><p>8</p><p>x</p><p>2x = sen(θ) → θ = arcsen(2x)</p><p>θ</p><p>[ + sen(2 arcsen(2x))] + C</p><p>arcsen(2x)</p><p>4</p><p>1</p><p>8</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 2/10</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Assim, temos que:</p><p>∫ √1 − 4x2dx = [ + sen(2 arcsen(2x))] + C</p><p>arcsen(2x)</p><p>4</p><p>1</p><p>8</p><p>3 Marcar para revisão</p><p>Determine o valor da integral  ∫  (2sec2y+ + 2y)dy3</p><p>1+y2</p><p>2tg y+3 arctg y+y+k, k real</p><p>2 seny+3 arcsen y+2y+k, k real</p><p>2tg y- arctg y-2y+k, k real</p><p>2 cos y+3 arsen y+y+k, k real</p><p>2 sen y+3 arctg y+y+k, k real</p><p>Resposta correta</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito</p><p>comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A integral dada é A integral de é , a integral</p><p>de é  e a integral de é . Portanto, a integral da expressão dada é</p><p>, onde é uma constante real. Isso corresponde à</p><p>alternativa A.</p><p>∫  (2sec2y+ + 2y)dy.3</p><p>1+y2</p><p>2sec2y 2tgy</p><p>3</p><p>1+y2</p><p>3arctgy 2y y2</p><p>2tgy+ 3arctgy+ y2 + k k</p><p>4 Marcar para revisão</p><p>Determine o valor da integral ∫ 8</p><p>1</p><p>4u8+U 2 8√u−2</p><p>u2</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 3/10</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>189</p><p>2</p><p>295</p><p>2</p><p>103</p><p>2</p><p>211</p><p>255</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>O valor da integral dada é obtido através da aplicação das regras de integração. Ao</p><p>resolver a integral, encontramos que o valor é igual a , que corresponde à</p><p>alternativa B.</p><p>295</p><p>2</p><p>5 Marcar para revisão</p><p>A técnica de substituiçảo é uma das técnicas mais empregadas em resoluçảo de integrais.</p><p>Utilizando a técnica de substituiçäo, a resoluçăo   é:∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt</p><p>tg2(t2) + C.1</p><p>10</p><p>tg3 (t2) + C.1</p><p>10</p><p>tg g4 (t2) + C.1</p><p>10</p><p>tg5(t2) + C.1</p><p>10</p><p>tg6 (t2) + C.1</p><p>10</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 4/10</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Resposta correta</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito</p><p>comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Substituindo:</p><p>Usando integração trigonométrica:</p><p>LogO,</p><p>∫ t sec2(t2) tg4(t2)dt</p><p>u = t2 → du = 2tdt → tdt = du</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt = ∫ sec2(u)tg4(u)du1</p><p>2</p><p>ν = tg(u) → dν = sec2(u)du</p><p>∫ sec2(u) tg4(u)du = ∫ ∇4dv = ⋅ v5 + c = tg5(u) + C</p><p>∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt = tg5 (t2) + C</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>10</p><p>1</p><p>10</p><p>6 Marcar para revisão</p><p>Constantemente mais de uma técnica é empregada na resoluçäo de integrais. Dessa</p><p>forma, determine o valor da equaç�o .∫ π/3</p><p>0 3 + cos(3x)dx.</p><p>π/3</p><p>π</p><p>2π</p><p>3π/2</p><p>0</p><p>Resposta correta</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito</p><p>comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 5/10</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Fica mais fácil resolver trabalhando com as derivadas de seno e cosseno ao invés de</p><p>integrar diretamente:</p><p>Derivando , temos:</p><p>Logo</p><p>E a integral</p><p>Agora, juntando tudo temos:</p><p>∫ π/3</p><p>0 3 + cos(3x)dx = ∫ π/3</p><p>0 3dx+ ∫ π/3</p><p>0 cos(3x)dx</p><p>(sen(3x)/3)</p><p>sen(3x)/3 = cos(3x)</p><p>∫ cos(3x)dx = sen(3x)/3</p><p>d</p><p>dx</p><p>∫ 3dx = 3x</p><p>∫</p><p>π/3</p><p>0</p><p>3 + cos(3x)dx = ∫</p><p>π/3</p><p>0</p><p>3dx+ ∫</p><p>π/3</p><p>0</p><p>cos(3x)dx</p><p>∫</p><p>π/3</p><p>0</p><p>3 + cos(3x)dx = 3x+ sen(3x)/3|</p><p>x=</p><p>x=0 = π+ sen(π)/3 − sen(0)/3 = π</p><p>∫</p><p>π/3</p><p>0</p><p>3 + cos(3x)dx = π</p><p>π</p><p>2</p><p>7 Marcar para revisão</p><p>Determine a família de funções representada por ∫ dx36</p><p>(x−1)(x+5)2</p><p>, k real+ ln|x− 1| − ln|x+ 5| + k</p><p>6</p><p>x+5</p><p>, k real− ln|x− 1| − ln|x− 5| + k</p><p>36</p><p>x−5</p><p>, k real+ ln|x+ 5| − ln|x− 1| + k</p><p>36</p><p>x−1</p><p>, k real+ arctg(x− 1) − arctg(x+ 5) + k1</p><p>x+5</p><p>, k real+ 6ln|x+ 5| − 6ln|x− 1| + k</p><p>36</p><p>x+5</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 6/10</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A integral dada é resolvida por meio da decomposição em frações parciais. A</p><p>decomposição correta leva à expressão , onde k é</p><p>uma constante real. Portanto, a família de funções representada pela integral é</p><p>, para todo k real.</p><p>+ ln|x− 1| − ln|x+ 5| + k6</p><p>x+5</p><p>+ ln|x− 1| − ln|x+ 5| + k6</p><p>x+5</p><p>8 Marcar para revisão</p><p>A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo isso</p><p>em mente, calcule a integral indefinida ∫ dx.3e2x2ex</p><p>(ex−2)(e2x+4)</p><p>ln(e2x − 2) − + .</p><p>ln(e2x+4)</p><p>2</p><p>arctg( )ex</p><p>2</p><p>2</p><p>ln(ex − 2) − + .</p><p>ln(ex+1)</p><p>2</p><p>arctg( )ex</p><p>x</p><p>2</p><p>ln(ex − 4) − + .</p><p>ln(e2x+4)</p><p>4</p><p>arct g( )ex</p><p>2</p><p>4</p><p>ln(ex − 2) − + .</p><p>ln(e2x+4)</p><p>2</p><p>arct g( )ex</p><p>2</p><p>2</p><p>ln(ex − 3) − + .</p><p>ln(e2x+4)</p><p>3</p><p>arctg( )ex</p><p>2</p><p>3</p><p>Resposta correta</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito</p><p>comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Resolvendo por integral por fraçenes parciais:</p><p>∫ dx</p><p>∫ = ex + du = exdx</p><p>∫ dx = ∫ exdx = ∫ du</p><p>3e2x2ex</p><p>(ex − 2) (e2x + 4)</p><p>3e2x2ex</p><p>(ex − 2) (e2x + 4)</p><p>3ex + 2</p><p>(ex − 2) (e2x + 4)</p><p>3u+ 2</p><p>(u− 2) (u2 + 4)</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 7/10</p><p>Resolvendo o sistema resultante:</p><p>Retornando para a integral:</p><p>Resolvendo cada uma delas separadamente:</p><p>Para a última integral, dividimos por 4, para levar a uma integral tonhecida:</p><p>Fazendo:</p><p>Juntando as respostas das 3 integrais:</p><p>Substituindo</p><p>= +</p><p>=</p><p>=</p><p>3u+ 2</p><p>(u− 2) (u2 + 4)</p><p>A</p><p>u− 2</p><p>Bu+ C</p><p>u2 + 4</p><p>3u+ 2</p><p>(u− 2) (u2 + 4)</p><p>A (u2 + 4) + (Bu+ C)(u− 2)</p><p>(u− 2) (u2 + 4)</p><p>(0)u2 + (3)u+ (2)</p><p>(u− 2) (u2 + 4)</p><p>(A+B)u2 + (C − 2B)u+ (4A− 2C)</p><p>(t− 2) (u2 + 4)</p><p>A+B = 0</p><p>C − 2B = 3</p><p>4A− 2C = 2</p><p>A = 1;B = −1;C = 1</p><p>∫ du = ∫ ( + + ) du</p><p>3u+2</p><p>(u−2)(u2+4)</p><p>1</p><p>u−2</p><p>−u</p><p>u2+4</p><p>1</p><p>u2+4</p><p>∫ dt, y = u− 2 → dy = du</p><p>∫ dy = ln y = ln(u− 2)</p><p>∫ dt, z = u2 + 4 → dz = 2udu</p><p>∫ − ( ) = = −</p><p>1</p><p>d− 2</p><p>1</p><p>y</p><p>−u</p><p>u2 + 4</p><p>1</p><p>2</p><p>dz</p><p>z</p><p>ln z</p><p>−2</p><p>ln(u2 + 4)</p><p>2</p><p>∫ ( ) du = ∫ ( ) du1</p><p>u2+4</p><p>1/4</p><p>( )</p><p>2</p><p>+1u</p><p>2</p><p>w = ,→ dw = + =u</p><p>2</p><p>du</p><p>2</p><p>dw</p><p>2</p><p>du</p><p>4</p><p>∫ ( ) du = ∫ ( ) = =</p><p>1/4</p><p>( )</p><p>2</p><p>+1u</p><p>2</p><p>dw</p><p>2</p><p>(w)2+1</p><p>arctg(w)</p><p>2</p><p>arctg( )u</p><p>2</p><p>2</p><p>∫ du = ∫ ( + + ) du</p><p>∫ du = ln(u− 2) − +</p><p>3u+ 2</p><p>(u− 2) (u2 + 4)</p><p>1</p><p>u− 2</p><p>−u</p><p>u2 + 4</p><p>1</p><p>u2 + 4</p><p>3u+ 2</p><p>(u− 2) (u2 + 4)</p><p>ln(u2 + 4)</p><p>2</p><p>arctg( )u</p><p>2</p><p>2</p><p>u = ex</p><p>∫ dx = ln(ex − 2) − +3e2x2ex</p><p>(ex−2)(e2x+4)</p><p>ln(e2x+4)</p><p>2</p><p>arctg( )ex</p><p>2</p><p>2</p><p>9 Marcar para revisão</p><p>Sabe-se que g(x) faz parte da família de primitivas obtidas pela integral  .</p><p>Sabendo que g(0��ln 2, determine g(1�.</p><p>∫ x+3</p><p>x2+6x+4</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 8/10</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>ln(√8)</p><p>ln(√10)</p><p>ln(√11)</p><p>ln(√13)</p><p>ln(√15)</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A questão pede para determinar o valor de g(1�, sabendo que g(x) é uma primitiva da</p><p>função dada pela integral e que g(0��ln 2. Para resolver essa questão, é</p><p>necessário calcular a integral da função e, em seguida, aplicar o valor de x=1 na</p><p>função primitiva obtida. A alternativa correta é a C, que corresponde ao valor de</p><p>, resultado obtido ao aplicar x=1 na função primitiva.</p><p>∫ x+3</p><p>x2+6x+4</p><p>(ln(√11)</p><p>10 Marcar para revisão</p><p>O cálculo de integrais é uma ferramenta importante para calcular áreas, volumes e somas</p><p>acumuladas. Calcule a integral definida de f(x) = x + 3x - 2 de 0 a 2.2</p><p>2,67</p><p>4,67</p><p>6,67</p><p>8,67</p><p>10,67</p><p>Resposta incorreta</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 9/10</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Para resolver a integral definida, é necessário calcular a antidecivaga da funçäo e, em</p><p>seguida, avaliá-la nos limites de integração.</p><p>A antiderivada de  é:</p><p>Avaliando-a nos limites de integração de 0 a 2 , temos:</p><p>(f(x) = x2 + 3x− 2)</p><p>F(x) = (1/3)x3 + (3/2)x2 − 2x</p><p>F(2) − F(0) = (1/3)8 + (3/2)4 − 4 − (1/3)0 − (3/2)0 + 0 = 4</p><p>28/08/2024, 15:42 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/</p><p>https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66cf6f78c669e5c9f44ad03b/gabarito/ 10/10</p>