Resumo controle auxilio prova

Prévia do material em texto

ic = C
dvC(t)
dt ; vL = L
diL(t)
dt
G(s) = Y (s)U(s) =
C
τs+1 , p1 = −1/τ ; ts(2%) = 4τ ; ts(5%) = 3τ
; ts(10a90%) = 2, 2τ
**************************************
G(s) =
Y (s)
U(s)
= C
ω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
p1,2 = −ξωn ± ωn
√
ξ2 − 1
Subamortecido: 0 < ξ < 1 ; p1,2 = −ξωn ± jωn
√
1− ξ2 =
σ ± jωd ;
θ = arccos(ξ)
Frequência natural amortecida: ωd = ωn
√
1− ξ2 ;
Frequência natural não amortecida: ωn =
ωd√
1−ξ2
Overshoot Mp = e
−ξπ√
1−ξ2 , então Mp = 5% → ξ =
0, 7;Mp = 10%→ ξ = 0, 6;Mp = 16%→ ξ = 0, 5
ξ =
√
(lnMp)2
π2+(lnMp)2
subida tr(0a100%) ≈ 2ωn , tr(10a90%) ≈
1,8
ωn
tempo de acomodação ts(2%) ≈ 4ξωn e ts(5%) ≈
3
ξωn
Peŕıodo da senoide T = 2πωd então ωd =
2π
T
***************************************
ξ = 0, Oscilações não amortecidas
criticamente amortecido ξ = 1 ; p1 = p2 = −ωn ; e
sobreamortecidos ξ > 1 ; ambos: tr ≈ 1,8|p1| , ts ≈
4
|p1|
***************************************
realimentação negativa: Gmf (s) =
G(s)
1+G(s)H(s)
para Gmf (s) BIBO estável:
teorema do valor final: limt→∞ e(t) = lims→0 sE(s); BIBO
Erro em malha fechada ess = lims→0 s[1 − Gmf (s)]R(s),
Gmf (s) BIBO
Para realimentação unitária:
• erro para degrau 1s :
ess =
1
1 + kp
....kp = lim
s→0
G(s) (1)
• erro para rampa 1s2 :
ess =
1
kv
....kv = lim
s→0
sG(s) (2)
• erro para parábola 1s3 :
ess =
1
ka
....ka = lim
s→0
s2G(s) (3)
**************************************
G(s) = C(sI −A)−1B +D
Y (s) = C(sI −A)−1x(0) + [C(sI −A)−1B +D]U(s)
**************************************
LGR
G(s) = − 1k
G(s) =
B(s)
A(s)
= −1
k
(4)
∠G(s) = 180◦(2l + 1), l ∈ Z (5)
|G(s)| = 1
k
(6)
1 -> x e o
2 -> ∠G(s) = ∠(s − z1) + ∠(s − z2) + ... + ∠(s − zm) −
∠(s− p1)− ∠(s− p2)− ...− ∠(s− pn)
Os trechos do eixo real que pertencem ao LGR são aqueles
à esquerda de um numero ı́mpar de polos e zeros reais de
G(s).
3 -> comportamento assintótico: a- Os n ramos do LGR
partem (k = 0) dos polos de G(s) b- s tende a um dos
zeros m ramos; ou |s| → ∞ n-m ramos
Centro das asśıntotas:
α =
∑n
i=1 pi −
∑m
k=1 zk
n−m
(7)
Ângulo das asśıntotas:
θl =
180◦(2l + 1)
n−m
(8)
para l = 0, 1..n−m
Ângulo de partida:
φi =
m∑
k=1
∠(pi− zk)−
n∑
j=1,j 6=i
∠(pi−pj)−180◦(2l+ 1) (9)
multiplicidade mi
miφi =
m∑
k=1
∠(pi − zk)−
n∑
j=1,j 6=i
∠(pi − pj)− 180◦(2l + 1)
(10)
ângulo de chegada:
ψk =
n∑
i=1
∠(zk−pi)−
m∑
j=1,j 6=k
∠(zk−zj)+180◦(2l+1) (11)
multiplicidade mk
mkψk =
n∑
i=1
∠(zk − pi)−
m∑
j=1,j 6=k
∠(zk − zj) + 180◦(2l+ 1)
(12)
pontos de ramificação s0 pertencentes ao LGR tais que:
d
ds
{
A(s)
B(s)
} ∣∣
s0
= 0 (13)
A′(s)B(s)−A(s)B′(s) = 0 (14)
k = − 1
G(s)
(15)
Cruzamento com eixo imaginário:
Usando o critério de Routh-Hurwitz: Determinam-se os
valores do ganho K tais que o sistema de malha fechada
fica no limiar da estabilidade. Para os valores de K obtidos,
calculam-se os polos de malha fechada e identificam-se
aqueles imaginários.
Fazendo-se s = jω na equação caracteŕıstica
**************************************
LGR k negativo
G(s) =
B(s)
A(s)
= −1
k
(16)
∠G(s) = 360◦l, l ∈ Z (17)
|G(s)| = −1
k
(18)
Regra 1: x e o
Regra 2: os trechos do eixo real que pertencem ao LGR
complementar no eixo real são aqueles à esquerda de um
numero par de polos e zeros reais de G(s)
3 -> comportamento assintótico: a- Os n ramos do LGR
partem (k = 0) dos polos de G(s) b- k → −∞, s tende a
um dos zeros m ramos; ou |s| → assintotas n-m ramos
Centro das asśıntotas:
α =
∑n
i=1 pi −
∑m
k=1 zk
n−m
(19)
Ângulo das asśıntotas:
θl =
360◦l
n−m
(20)
para l = 0, 1..n−m
Ângulo de partida:
φi =
m∑
k=1
∠(pi − zk)−
n∑
j=1,j 6=i
∠(pi − pj)− 360◦l (21)
multiplicidade mi
miφi =
m∑
k=1
∠(pi − zk)−
n∑
j=1,j 6=i
∠(pi − pj)− 360◦l (22)
ângulo de chegada:
ψk =
n∑
i=1
∠(zk − pi)−
m∑
j=1,j 6=k
∠(zk − zj) + 360◦l (23)
multiplicidade mk
mkψk =
n∑
i=1
∠(zk − pi)−
m∑
j=1,j 6=k
∠(zk − zj) + 360◦l (24)
pontos de ramificação s0 pertencentes ao LGR tais que:
d
ds
{
A(s)
B(s)
} ∣∣
s0
= 0 (25)
A′(s)B(s)−A(s)B′(s) = 0 (26)
Cruzamento com eixo imaginário:
Usando o critério de Routh-Hurwitz: Determinam-se os
valores do ganho k < 0 tais que o sistema de malha fechada
fica no limiar da estabilidade. Para os valores de K obtidos,
calculam-se os polos de malha fechada e identificam-se
aqueles imaginários.
Fazendo-se s = jω na equação caracteŕıstica
************************************** LGR
PID
C(s) = Kp(1+
1
Tis
+Tds) = KpTd
(s2 + 1Td s+
1
TiTd
)
s
(27)
***************************************
Resposta em frequência (colocar na forma padrão)
yss(t) = |G(jω)|sen(ωt+ ∠G(jω)) (28)
Defasagem em segundos
td =
−∠G(jω)
ω
(29)
*****************************
*G(s) = K , G(jω) = K, |G(jω)|dB = 20 log |K|
∠G(jω) = 0◦,K >= 0
∠G(jω) = 180◦,K < 0
*******************************
*G(s) = 1/s , G(jω) = 1/jω,
|G(jω)|dB = −20 logω
∠G(jω) = −90◦
*******************************
*G(s) = s , G(jω) = jω,
|G(jω)|dB = 20 logω
∠G(jω) = 90◦
********************************
*G(s) = 1/(τs+ 1) , G(jω) = 1/(jτω + 1),
|G(jω)|dB = −10 log((τω)2 + 1)
assintótico BF ω << 1/τ :
|G(jω)|dB = −10 log 1 = 0dB
assintótico AF ω >> 1/τ :
|G(jω)|dB = −10 log(τω)2 = −20 log τ − 20 logω,
Aproximação: 0dB abaixo da frequência de corte e reta de
inclinação -20dB/Década após
Frequência de corte ωc = 1/τ
Angulo de fase ∠G(jω) = −arctan(τω)
Aproximação: ∠G(jω) = 0 abaixo da frequência de corte
e ∠G(jω) = −90 após
********************************
Segunda ordem subamortecido: 0 < ξ < 1
Aproximação: 0dB abaixo da frequência de corte e reta de
inclinação -40dB/Década após
na frequência de corte ωc = ωn , |G(jω)|dB = −20 log(2ξ)
pico ocorre quando ξ <= 1/
√
2
frequência de ressonância ωr = ωn
√
1− 2ξ2
pico Mr =
1
2ξ
√
1−ξ2
Aproximação: ∠G(jω) = 0 abaixo da frequência de corte
e ∠G(jω) = −180 após
(colocar na forma padrão)
********************************
fase não minima
Aproximação: ∠G(jω) = 180 abaixo da frequência de corte
e ∠G(jω) = 90 após
********************************
atraso G(jω) = e−jLω, |G(jω)| = 1, ∠G(jω) = −Lω
********************************
Critério de Nyquist
G(s) = B(s)A(s)
H(s) = 1 +K B(s)A(s) =
A(s)+KB(s)
A(s)
polos de H(s) polos de malha aberta
zeros de H(s) polos de malha fechada
O sistema acima é estável em malha fechada se,e somente
se, o número de voltas que o diagrama de Nyquist de
KG(s) dá em torno do ponto (-1,0) no sentido anti-horário
for igual ao número de polos de G(s) no semiplano direito.
KG(jω) circundar (-1,0) é equivalente a G(jω) circundar
(− 1K , 0)
********************************
Margem de estabilidade
Hipótese: O sistema em malha fechada é estável para
pequenos valores de K > 0 e pode tornar-se instável a
partir de um valor limite K > 0
margem de ganho: MG = 1|KG(jωf )| ,
ωf frequência de cruzamento de fase
∠G(jωf ) = −180
Condição estabilidade MG > 1 ou MGdB > 0
Margem de fase: MF = 180◦ + ∠KG(jωg)
ωg frequência de cruzamento de ganho |KG(jωg)| = 1 ou
|KG(jωg)|dB = 0
Margem de atraso: Luωg = MF
**********************************
Especificações:
Frequência de ressonância
Frequência de corte e largura de faixa
Margem de ganho e margem de fase
ganho de baixa frequência |G(0)| (rastreamento de refe-
rência)