PROVA PRESENCIAL - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

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PROVA PRESENCIAL - 1º CHAMADA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
RESPOSTA VERIFICADAS PELO SISTEMA
Questão 1
Considere o sólido S limitado superiormente pela superfície de equação z = 3xy + y + 1 pelos três planos coordenados e também pelos planos de equações x = 3 e y = 2.
Assinale a alternativa que apresenta uma integral tripla que, ao ser calculada, fornece corretamente o volume do sólido S descrito anteriormente.
A) A integral que fornece o volume é dada por
B) A integral que fornece o volume é dada por
C) A integral que fornece o volume é dada por
D) A integral que fornece o volume é dada por
E) A integral que fornece o volume é dada por
Questão 2
A função custo marginal é definida como a taxa de variação de C em relação à x. Sabe-se que o custo marginal (em reais) da produção de x unidades de um eletrodoméstico é dado por 60 + 3x². Se o custo da produção de uma unidade é R$ 100,00, determine a função custo para x = 3.
Assinale a alternativa que contém a resposta correta.
A) R$ 246,00.
B) R$ 70,00.
C) R$ 125,00.
D) R$ 87,00.
E) R$ 97,00.
Questão 3
Em algumas situações é necessário fazer uma mudança de coordenadas para se calcular integrais triplas. Considere a integral
onde R é a região contida dentro do cilindro x² + y² = 25 e entre os planos z = 2 e z = 5. 
Observação.
Assinale a alternativa que contém a representação correta dessa integral no sistema de coordenadas cilíndricas.
A) A representação da integral no sistema de coordenadas cilíndricas é dada por
B) A representação da integral no sistema de coordenadas cilíndricas é dada por
C) A representação da integral no sistema de coordenadas cilíndricas é dada por
D) A representação da integral no sistema de coordenadas cilíndricas é dada por
E) A representação da integral no sistema de coordenadas cilíndricas é dada por
Questão 4
O emprego de mudanças de coordenadas em integrais triplas exige a identificação do jacobiano associado à transformação, relacionando as variáveis do sistema de coordenadas original, que em geral consiste em coordenadas cartesianas, com as variáveis do novo sistema.
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por
x = v + w² , y = w + u² , z = u + v²
e que 
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita:
A) J = 1.
B) J = 1+ 8uvw.
C) J = 0.
D) J = 8uvw.
E) J = 1+ 2uvw
Questão 5
As transformadas de Laplace, empregadas por exemplo na resolução de certos problemas de valor inicial, são lineares, o que possibilita o estudo das transformadas de certas combinações de funções.
Seja a função de uma variável real definida da seguinte forma:
Com base na linearidade da transformada, qual das seguintes alternativas apresenta corretamente a transformada de Laplace da função f?
A) A transformada de Laplace da função f é dada por:
B) A transformada de Laplace da função f é dada por:
C) A transformada de Laplace da função f é dada por:
D) A transformada de Laplace da função f é dada por:
E) A transformada de Laplace da função f é dada por:
Questão 6
Um país tem 100 bilhões de metros cúbicos de reserva de gás natural. Considere que C(t) denota o gás consumido. Se a taxa de consumo é prevista ser 5 + 0,02t bilhões de metros cúbicos por ano, encontre o consumo aproximado de gás em t = 5.
A) 200 bilhões de metros cúbicos.
B) 150 bilhões de metros cúbicos.
C) 125 bilhões de metros cúbicos.
D) 250 bilhões de metros cúbicos.
E) 225 bilhões de metros cúbicos.
Questão 7
As transformadas de Laplace, empregadas por exemplo na resolução de certos problemas de valor inicial, são lineares, o que possibilita o estudo das transformadas de certas combinações de funções. Com o auxílio da tabela, determine a transformada de Laplace de f(x) = x3 + 3cos(2x).
Assinale a alternativa correta.
A) A transforma de Laplace é 
B) A transforma de Laplace é 
C) A transforma de Laplace é
D) A transforma de Laplace é 
E) A transforma de Laplace é 
Questão 8
Ao descrever uma região no espaço por meio de coordenadas cartesianas podemos enfrentar algumas dificuldades em função do tipo de região em estudo. Para evitar estes problemas, podemos utilizar outros tipos de sistemas de coordenadas como, por exemplo, coordenadas cilíndricas.
Considere a superfície definida por:
cuja representação no espaço é dada por
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
Assinale a alternativa que apresenta a descrição correta da superfície S em coordenadas cilíndricas.
A) Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde  0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π,  r ≤ z ≤ 4 – r.
B) Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, Φ, θ) do R3 onde 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ Φ ≤ π,  0 ≤ θ ≤ 2π.
C) Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde  0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π,  0 ≤ z ≤ 4 – r2.
D) Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, Φ, θ) do R3 onde 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ Φ ≤ π/4,  0 ≤ θ ≤ π.
E) Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde -2 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π,  0 ≤ z ≤ 4.
Questão 9
Suponha que, na resolução de um problema, seja necessário determinar a equação de um plano π contendo o ponto P(2, 1, -1) e com vetor normal dado por n = (1, -2,3). Sabe-se que
Com base nessas informações, assinale a alternativa que indica corretamente a equação do plano em questão.
A) x – y + z + 3 = 0
B) x – 2y + 3z - 3 = 0.
C) x + y + 3z + 3 = 0.
D) x – 2y + 3z + 3 = 0.
E) 2x – 2y + z + 3 = 0.
Questão 10
Uma função y = f(x) é denominada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando y = f(x) e suas derivadas são substituídas na equação. Considere a equação diferencial 
y’ – 5y = 0. 
Assinale a alternativa que contém a função que é solução da equação diferencial dada.
A) y = C15x.
B) y = C1sen(5x).
C) y = C1x5 .
D) y = C1e5x.
E) y = C15.
Questão 11
Muitos problemas práticos de engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos sobre a ação de forças descontínuas ou de impulsos. Para resolver esses problemas que envolvem essa situação e equações diferenciais utilizamos a Transformada de Laplace. Seja a função de uma variável real definida da seguinte forma:
f(t) = t²- 3t + 4
Observação.
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
Com base na linearidade da transformada, qual das seguintes alternativas apresenta corretamente a transformada de Laplace da função f ?
A) A transformada de Laplace da função f é dada por:
B) A transformada de Laplace da função f é dada por:
C) A transformada de Laplace da função f é dada por:
D) A transformada de Laplace da função f é dada por:
E) A transformada de Laplace da função f é dada por:
Questão 12
Alguns problemas encontrados na engenharia podem ser analisados por meio das equações diferenciais. Com base em informações sobre as equações diferenciais analise as afirmações abaixo e marque verdadeiro (V) ou falso (F).
( ) Uma equação diferencial é uma igualdade que contém uma variável independente y e algumas das suas derivadas, y’, y", ..., y(n).
( ) Designa-se por ordem da Equação Diferencial Ordinária a maior ordem da derivada (com coeficiente não identicamente nulo).
( ) A solução de uma equação diferencial ordinária é uma relação funcional entre as variáveis dependente e independente, num certo intervalo I, que verifique a equação diferencial.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta.
A) V-F-V.
B) F-V-F.
C) V-V-V.
D) F-V-V.
E) F-F-V.