CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Questão 1
Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem tem uma importância crucial no estudo de equações diferenciais. Quando temos uma equação homogênea com coeficiente constantes, a solução geral irá depender dos tipos de raízes da equação característica associada a equação diferencial. Considere a equação
2y’’ – 3y’ + y = 0
Assinale a alternativa que contém as raízes da equação característica associada.
A)
 
r1 = 1/2 e r2 = -1.
B)
 
r1 = 1/2 e r2 = 1
C)
 
r1 = 2 e r2 = 1.
D)
 
r1 = -1/2 e r2 = 1.
E)
 
r1 = -1/2 e r2 = -1.
Questão 2
Para o cálculo de integrais triplas podemos aplicar o Teorema de Fubini, a partir do qual podemos identificar seis ordens possíveis de integração (STEWART, 2013).
Suponha que determinado problema envolva o cálculo da integral tripla da função
sobre a superfície dada por
Assinale a alternativa que indica a representação correta da integral em questão:
A)
 
A representação correta da integral é:
B)
 
A representação correta da integral é:
C)
 
A representação correta da integral é:
D)
 
A representação correta da integral é:
E)
 
A representação correta da integral é:
Questão 3
Um país tem 100 bilhões de metros cúbicos de reserva de gás natural. Considere que C(t) denota o gás consumido. Se a taxa de consumo é prevista ser 5 + 0,02t bilhões de metros cúbicos por ano, encontre o consumo aproximado de gás em t = 5.
A)
 
200 bilhões de metros cúbicos.
B)
 
125 bilhões de metros cúbicos.
C)
 
225 bilhões de metros cúbicos.
D)
 
250 bilhões de metros cúbicos.
E)
 
150 bilhões de metros cúbicos.
Questão 4
Deseja-se calcular o volume da esfera S de raio 3 centrada na origem dada pela equação
e cuja representação no espaço cartesiano é dada por
O volume será calculado empregando integrais triplas em coordenadas esféricas.
Considerando as relações que podem ser estabelecidas entre diferentes sistemas de coordenadas, assinale a alternativa que apresenta corretamente a descrição de S em coordenadas esféricas:
A)
 
A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
B)
 
A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
C)
 
A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
D)
 
A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
E)
 
A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
Questão 5
Para a determinação da equação geral do plano é necessário um ponto pertencente ao plano e um vetor normal a ele. Considere a superfície de equação
f(x, y, z) = 3x³ – y + z - 3
Deseja-se determinar a equação do plano tangente à superfície indicada anteriormente no ponto A(1, 0, 2). Sabe-se que
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa que indica um vetor que pode ser adotado como o vetor normal ao plano tangente considerado no ponto A.
A)
 
n = (-9, 0, 1).
B)
 
n = (9, -1, 1).
C)
 
n = (9, 0, 2).
D)
 
n = (3,-1 ,1).
E)
 
n = (3, 0, 1).
Questão 6
Suponha que seja necessário resolver um problema de cálculo de volume de uma determinada região e para isso é preciso que se realize uma mudança de variáveis. Sabe-se que o jacobiano associado a essa mudança é dado por
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por
x = u2, y = v + w , z = u + w2
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita.
A)
 
J = 4u.
B)
 
J = 2vw.
C)
 
J = 2uw. 
D)
 
J = 4uw.
E)
 
J = 4vu.
Questão 7
O estudo de equações diferenciais pode auxiliar na análise de alguns fenômenos. Em uma empresa têxtil uma máquina parou de funcionar, sabe -se que a taxa de variação do prejuízo (em reais) em função do tempo (em horas) em que a máquina fica parada é dada por:
Sabe-se que no tempo inicial (t = 0) não há prejuízo.
Assinale a alternativa que contém a função prejuízo em relação ao tempo para essa situação.
A)
 
P(t) = 50t³ + 40t+C.
B)
 
P(t) = 100t² + 40t.
C)
 
P(t) = 100.
D)
 
P(t) = 50t² + 40.
E)
 
P(t) = 50t² + 40t.
Questão 8
Ao descrever uma região no espaço por meio de coordenadas cartesianas podemos enfrentar algumas dificuldades em função do tipo de região em estudo. Para evitar estes problemas, podemos utilizar outros tipos de sistemas de coordenadas como, por exemplo, coordenadas cilíndricas.
Considere a superfície definida por:
cuja representação no espaço é dada por
Observação:
Assinale a alternativa que apresenta a descrição correta da superfície S em coordenadas cilíndricas.
A)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, Φ, θ) do R3 onde 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ Φ ≤ π,  0 ≤ θ ≤ 2π.
B)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, Φ, θ) do R3 onde 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ Φ ≤ π/4,  0 ≤ θ ≤ π.
C)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde  0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π,  r ≤ z ≤ 4 – r.
D)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde  0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π,  0 ≤ z ≤ 4 – r2.
E)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde -2 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π,  0 ≤ z ≤ 4.
Questão 9
Seja a região C no espaço limitada inferiormente pelo plano xOy (z = 0), superiormente pela esfera de equação  e contida no cilindro de equação . A representação gráfica de C é dada como segue:
Considerando as informações apresentadas, qual das alternativas a seguir indica corretamente a descrição do sólido C segundo o sistema de coordenadas cilíndricas?
A)
 
O sólido S pode ser descrito em coordenadas cilíndricas por
B)
 
O sólido S pode ser descrito em coordenadas cilíndricas por
C)
 
O sólido S pode ser descrito em coordenadas cilíndricas por
D)
 
O sólido S pode ser descrito em coordenadas cilíndricas por
E)
 
O sólido S pode ser descrito em coordenadas cilíndricas por
Questão 10
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas respectivas derivadas. Dada uma equação diferencial sua solução é dada por uma função que quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade. Com base nessas informações analise os itens que seguem.
I. A função y = et é solução da equação diferencial y'' + y' = et.
PORQUE
II. Quando substituída a função y = et na equação diferencial se tem uma igualdade verdadeira.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
As afirmações I e II estão corretas, e a II é uma justificativa correta da I.
B)
 
As afirmações I e II estão corretas, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C)
 
As afirmações I e II estão incorretas.
D)
 
A afirmação I está incorreta, enquanto a II está correta.
E)
 
A afirmação I está correta, enquanto a II está incorreta.
Questão 11
O cálculo das integrais triplas sobre determinadas regiões torna-se muitas vezes complicado o que requer uma mudança de variáveis, tornando a região de integração mais simples. Para tal mudança é necessário encontrar o jacobiano associado a mudança de variáveis. Sabendo que
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por
x = u + w, y = v2 + w , z = u + w2
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita.
A)
 
J = 2v + 4w. 
B)
 
J = 4vw – 2v.
C)
 
J = 2v.
D)
 
J = 0.
E)
 
J = 2v + 4vw.
Questão 12
Considere a mudança de variáveis descrita pelas seguintes expressões
x = 3u , y = v² , z = 2w
O objetivo com essa mudança é converter objetos escritos em coordenadas cartesianas para um novo sistema de coordenadas. Sabe-se que o jacobiano associada à uma transformação é dado por:
Com base nessa mudança, assinale a alternativa que apresenta corretamente o jacobiano associado a essa transformação.
A)
 
J = 12v.
B)
 
J = 2v.
C)
 
J = 4uv²w.
D)
 
J = 4u.
E)
 
J = 6uv²w.
RESPOSTAS 
1B
2D
3B
4D
5B
6D
7E
8D
9A
10C
11B
12A