Diagrama de Bode

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ITEM 1
A função de transferência obtida na etapa 3 do trabalho é apresentada a seguir:
A partir da função de transferência acima foi gerado o diagrama de bode mostrado a seguir:
A margem de ganho é obtida no ponto onde a fase da função de transferência é igual a -180º, isto é, a frequência de cruzamento de fase é o ponto onde se define a margem de ganho. A margem de fase é obtida no ponto onde a atenuação de ganho é igual a 0dB, ou seja, o ponto onde está a frequência de cruzamento de ganho é onde se determina quanto a fase pode ser atrasada para que o sistema continue estável. Estes dois pontos estão destacados no gráfico apresentado acima, tendo uma margem de ganho de 13.9dB que equivale a um ganho de 4,95, e uma margem de fase de 122º.
O sistema, portanto, é estável desde que os valores de ganho e de fase sejam mantidos dentro da faixa citada acima.
ITEM 2
Em seguida foi adicionado ao sistema, um controlador PID, cujo algoritmo é apresentado a seguir:
 O gráfico de bode para o sistema após a adição do controlador PID é apresentado a seguir:
Como pode ser observado no gráfico o desempenho do sistema piorou, pois as margens de ganho e de fase reduziram-se drasticamente em comparação com o sistema original. A margem de ganho passou de 13.9 para 0.791, e a margem de fase de 122º para 8.62º. Conclui-se que a instabilidade do sistema aumentou.
ITEM 3
Serão apresentados agora os gráficos de Nyquist para o sistema. Primeiro para o sistema sem controlador PID, o círculo em vermelho destaca a área de estabilidade do sistema.
Agora é mostrado o gráfico para o sistema com o controlador PID em cascata:
Aplicando-se um zoom à área destacada:
Não são necessários comentários adicionais a respeito da estabilidade do sistema visto que o gráfico de nyquist apresenta os mesmos valores do gráfico de bode, sendo o primeiro apenas uma forma de representação polar dos dados.
O script usado no mathlab é mostrado a seguir:
clear all;
close all;
clc
%% função de transferência
A=1; %cria e atribui os valores calculados às variáveis
K=1.4;
tal=2;
teta=0.5;
s=tf('s'); %define uma variavel complexa s para montar a função de
	 transferência
 
e= exp(-teta*s);
G=(K*e)/((tal*s)+A) %cria a função de transferência
%% Controlador PID
Kp=4.6;
Ti=0.71;
Td=0.16;
PID= Kp+(1/(Ti*s))+Td*s % controlador PID
%% Gráfico de bode 
figure('name','Gráfico de bode sem PID');
bode(G) %sem PID
figure('name','Gráfico de bode com PID');
bode(G*PID) %com PID
%% Gráfico de nyquist
rad=0:0.1:(2.1*pi);
y=1*sin(rad);
x=1*cos(rad); % define um círculo de raio unitário
figure('name','Gráfico de nyquist sem PID');
nyquist(G) %sem PID
figure('name','Gráfico de nyquist com PID');
nyquist(G*PID) %com PID
figure('name','Gráfico de nyquist sem PID');
nyquist(G) %sem PID
hold on;
plot(x,y,'r') %circulo de raio unitário
figure('name','Gráfico de nyquist com PID');
nyquist(G*PID) %com PID
hold on;
plot(x,y,'r') %%circulo de raio unitário