Controle de Sistemas - Unidade 3 Pratique

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Atividade: 
 
Os estudantes da turma de Engenharia Elétrica foram desafiados, pelo seu professor, a desenvolverem um manual básico 
de projeto de controlador PID (proporcional, integral e derivativo) a partir do método do lugar geométrico das raízes, para 
auxiliar profissionais de uma empresa de automação no projeto de um sistema de controle para uma planta de fabricação 
de calçados em desenvolvimento na cidade de Manaus. Em um primeiro momento então, os estudantes estabeleceram o 
seguinte passo a passo para o projeto de um controlador PID qualquer, a partir do lugar geométrico das raízes: 
1) avaliar o comportamento do sistema sem compensação, considerando o valor visto de sobressinal neste momento, por 
exemplo; 
2) determinar a posição dos polos dominantes do sistema compensado, considerando questões como a redução do tempo 
de pico ao final, por exemplo; 
3) realizar a simulação do sistema compensado, que será basicamente um sistema com um controlador do tipo PD; 
4) observar a sua resposta, ao longo do tempo, a uma entrada degrau, por exemplo, com a possível redução vista no tempo 
de pico e a possível melhoria do erro em regime permanente; 
5) seguir para o projeto do controlador PI, para obter a redução do erro em regime permanente para a entrada em degrau, 
por exemplo; 
6) determinar os ganhos K1, K2 e K3, de maneira que: 
Gc(s)=K1+K2+K3s	
										s	
Além disso, existem outros dois passos importantes posteriores para a maior parte dos casos práticos, embora não obriga-
tórios: realizar uma nova simulação para avaliação do controlador PID e analisar possíveis ajustes de refinamento, nos ga-
nhos do controlador. Agora, eles se depararam com a necessidade de apresentar um exemplo prático, que será inserido 
junto a este manual. Para isto, considere então que uma parte da planta será controlada a partir da inserção de um contro-
lador PID, de forma a atender às seguintes especificações: 
 
Quadro — Especificações do projeto do controlador PID 
Fonte: Elaborado pela autora. 
#PraCegoVer: quadro com 3 linhas e 2 colunas. Na primeira linha, tem-se tipo de especificação e desejado; na segunda, tempo de pico 
e ⅔ do sistema sem compensação, com 20% de sobressinal; na terceira, erro em regime permanente e nulo para entrada em degrau. 
 
 
 
 
 
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O modelo matemático da planta é conhecido por sua função de transferência apresentada a seguir: 
K	_________(s+8)__________	
	(s+3)(s+6)(s+10)	
 
E foi informado que o sistema de controle será estabelecido em malha fechada unitária. 
 
Diante disso, apresente qual seria o caminho tomado por você, caso estivesse no lugar deste(a) profissional, para projetar 
o controlador PID a partir do uso da técnica do Lugar das Raízes. 
Diante disso, apresente qual seria o caminho tomado por você, caso estivesse no lugar deste(a) profissional, para projetar 
o controlador PID a partir do uso da técnica do Lugar das Raízes. 
 
Resolução: 
 
Seguindo os passos descritos para projetar o controlador PID com base no lugar geométrico das raízes (LGR) e atender às 
especificações dadas. O modelo matemático da planta fornecido é: 
K	_________(s+8)__________	
	(s+3)(s+6)(s+10)	
 
Passo 1: Avaliar o comportamento do sistema sem compensação. Nesse caso, considerar o sistema sem controlador (PID), 
ou seja, apenas a planta. 
Passo 2: Determinar a posição dos polos dominantes do sistema compensado. Para atender às especificações, queremos 
que o tempo de pico seja 2/3 do sistema em compensação e o sobressinal seja de 20%. Podemos usar essas informações 
para calcular a taxa de amortecimento ( ζ ) e a frequência natural ( ωn ) desejadas. 
Tempo de pico ( Tp ): 
 
 
 
Sobressinal ( ζ ): 
 
 
 
Substituindo os valores dados: 
 
 
 
Resolução das equações para obter os valores de ζ e ωn. 
 
 
 
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Calcular ζ e ωn usando as fórmulas mencionadas. 
ζ = __– ln (0.2)___ 
 π2 + ln2 (0.2) 
Tp = __4__ 
 ζ ωn 
 
ζ ≈ 0.455 
ωn ≈ 3.5 
 
Passo 3: Com base nos valores obtidos, podemos calcular os polos dominantes desejados para o sistema compensado. 
 
Os polos desejados são da forma: 
 
s = − ζωn ± jωn π1 –ζ² 
 
Substituindo os valores, obtemos os polos dominantes desejados. 
 
S1, s2 = −0.455 × 3.5 ± j3.5 × π1−0.455² 
s1 ≈ −1.59 + j3.04 e s2 ≈ −1.59 − j3.04 
 
Passo 4: Simulação do sistema compensado com um controlador PD. 
 
Gc (s) = Kp+Kds 
 
Kd=0.1 e Kp calculado como: 
 
Kp=__2ζωn−8___ 
 K 
 
K é o ganho da planta. 
 
Substituindo os valores, obtemos Kp ≈ −0.586 
 
O controlador PD é Gc (s) = −0.586 + 0.1s 
 
Passo 5: Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente. Determinar os ganhos K1, K2, e K3 de ma-
neira que Gc(s)=K1+K2+K3s/s. 
 
Considerando: 
Gc (s) = K1 + K2 + _K3s_ 
 s 
 
Gc (s) =_K1+K2s+K3s²_ 
 s 
Temos: 
 
K1+K2 = −0.29 e K3 = 0.1 
 
Obtemos: K1 = −0.29 e K3 = 0.1 
 
Portanto: Gc (s) = −0.29 −0.1s + _0.1s_ 
s 
 
 
 
 
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Passo 6: Realizar uma nova simulação para avaliação do controlador PID e analisar possíveis ajustes de refinamento nos 
ganhos do controlador. Vamos realizar a simulação do sistema compensado com o controlador PD e, em seguida, com o 
controlador PID para avaliar o desempenho do sistema. 
 
 
Simulação com Controlador PD: O controlador PD é dado por Gc (s) = −0.586 + 0.1s. Vamos considerar o sistema em ma-
lha fechada T(s) com esse controlador e a planta G(s). A função de transferência em malha fechada será: 
 
T(s) = 
 s+8 X (-0.586 + 0.1s) 
 (s+3)(s+6)(s+10) 
1+ 
s+8 
X (-0.586 + 0.1s) 
(s+3)(s+6)(s+10) 
 
 
Utilizando o MATLAB Online temos: 
 
Script: 
 
% Definindo a função de transferência do sistema 
numerator = 1; 
denominator = [1, 16, 64]; 
system_tf = tf(numerator, denominator); 
 
% Definindo o controlador PD corrigido 
controller_numerator = [0.1, -0.586]; 
controller_denominator = 1; 
controller_tf = tf(controller_numerator, controller_denominator); 
 
% Criando o sistema em malha fechada 
system_closed = feedback(system_tf * controller_tf, 1); 
 
% Simulação da resposta ao degrau 
time = 0:0.01:5; % Tempo de simulação de 0 a 5 segundos com passo de 0.01 segundos 
response = step(system_closed, time); 
 
% Plotando o resultado 
figure; 
plot(time, response); 
title('Resposta ao Degrau do Sistema em Malha Fechada com PD Corrigido'); 
xlabel('Tempo (s)'); 
ylabel('Saída'); 
grid on; 
 
 
 
 
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Simulação com Controlador PID: O controlador PID é dado por Gc (s) = −0.29 − 0.1s + 0.1s 
 s 
 
A função de transferência em malha fechada é dada por: 
 
T(s) = 
 s+8 X (-0.586 + 0.1s) + 0.1s 
 (s+3)(s+6)(s+10) s 
1+ 
s+8 
X (-0.586 + 0.1s) + 
0.1s 
(s+3)(s+6)(s+10) s 
 
 
Utilizando o MATLAB Online temos: 
 
Script: 
 
% Definindo a função de transferência do sistema em malha fechada 
numerator = [0.027, 0.2, 0.9]; 
denominator = [1, 19, 112, 0.8]; 
system_tf = tf(numerator, denominator); 
 
% Simulação da resposta ao degrau 
time = 0:0.01:5; % Tempo de simulação de 0 a 5 segundos com passo de 0.01 segundos 
response = step(system_tf, time); 
 
% Plotando o resultado 
figure; 
plot(time, response); 
title('Resposta ao Degrau do Sistema em Malha Fechada com Controlador PID'); 
xlabel('Tempo (s)'); 
ylabel('Saída'); 
grid on; 
 
 
 
 
 
 
 
 
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