LISTA ALGEBRA LINEAR

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LISTA N
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1 - CM005 - Álgebra Linear - Eng. Civil - 2017
Profa. Ana Gabriela
Sistemas lineares, eliminação Gaussiana, op's com matrizes, matriz inversa.
1. Considere as seguintes matrizes sobre o corpo dos números reais:
A =
[
1 0 2
0 1 −3
]
, B =
[
2 1 3
0 1 0
]
, e C =
 1 10 1
0 2

Verifique quais das seguintes. operações estão definidas e, para essas determine o seu
valor:
(a)(5A)(4C) (b)A+B c)B + C
(d)CtB (e)BCt f)AC
(g)CA (h)(AC)2 i)(AC)B
2. Dadas duas matrizes A,B de ordem m× n elas comutam se AB = BA. Determine a
expresão geral das matrizes 2×2 que comutam com a matriz A, onde A esta dada por:
A =
[
1 1
0 1
]
3. Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas. Justifique ou dê
um contra-exemplo.
a) AB = 0⇒ A = 0 ou B = 0.
b) AB = 0⇒ BA = 0.
c) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
d) (A+B)(A−B) 6= A2 −B2.
4. Considere as seguintes matrizes de ordem 2 sobre o corpo dos números reais.
A =
[
2 1
4 2
]
, B =
[
1 0
1 1
]
, e C =
[
0 0
3 1
]
Mostre que AB = AC e no entanto B 6= C, ou seja, a lei do corte não é válida para o
produto de matrizes.
5. Mostre que se A é uma matriz m× n tal que AX = 0, para toda matriz coluna n× 1
X, então A deve ser a matriz nula.
6. Para uma matriz A de ordem n define-se o traço de A como a soma dos elementos da
diagonal principal, isto é: tr(A) =
n∑
i=1
aii. Mostre que:
(a) tr(A+B) = tr(A)+ tr(B); (b) tr(αA) = α tr(A); α ∈ R (c) tr(A) = tr(At);
(d) tr(AB) = tr(BA) ( mostre esta última propriedade apenas para o caso 2× 2.
7. (a) Uma matriz A de ordem n é dita anti-simétrica se AT = −A. Mostre que se A é
anti-simétrica, então possui sua diagonal principal nula.
(b) Mostre que toda matriz de ordem n escreve-se como a soma de uma matriz simétrica
e uma matriz anti-simétrica.
8. Considere o sistema linear Ax = b onde A é uma matriz m× n, x ∈ Rn, b ∈ Rm.
(a) Mostre que se y e z são duas soluções do sistema homogêneo associado: Ax = 0,
então αy+βz é também solução do sistema homogêneo. Esta afirmação ainda é válida
para o caso do sistema não homogêneo?
(b) Seja xh solução do sistema homogêneo Ax = 0 e xnh solução do não homogêneo
Ax = b, mostre que z = xnh + α xh, para α ∈ R é solução do sistema não homogêneo.
(c) Mostre que se x1ex2 são soluções do sistema não homogêneo, então x1 − x2 é so-
lução do sistema homogêneo associado.
9. Use o método da eliminação Gaussiana para encontrar o conjunto solução dos seguintes
sistemas de equações lineares:
(a)
x− 2y + z = 2
x+ 5y − z = 1
x+ y + z = 3
, (b)
x+ 2y + 3z + 3w = 10
x+ 3y + 2z + 4w = 8
2x+ 5y + 4z + 7w = 8
2x+ 5y + 8z + 6w = 21
(c)
2x+ 3y + z = y + 3x
x− 3z = 2y + 1
3y + z = 2− 2x
, (d)
−x− y + z = 1
3x+ 2y + z = 2
x+ y + z = 3
(e)
x+ y − z = 1
2x− y + 3z = 2
4x+ y + z = 4
, (f)
x+ y + z + w = 0
2x− z + 2w = 1
2x+ y − 2z − w = −1
3x− y − 8z = 5
10. Determine o valor do parâmetro k para que o sistema linear admita solução:
−2x− 4y = 2
x+ 4y = 0
x− y = k
11. Dado o sistema,
x+ y − w = 0
x− z + w = 2
y + z − w = −3
x+ y − 2w = 1
(a) Calcule o posto da matriz dos coeficientes.
(b) Calcule o posto da matriz aumentada.
(c) Descreva o conjunto solução deste sistema.
(d) Considere um sistema homogêneo Ax = 0, onde A é uma matriz n× n. Que con-
dição você deve impor sobre A para que o sistema admita soluções diferentes da trivial?
12. Indique quais das seguintes matrizes estão na forma degrau (ou forma escalonada).
A =

1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 2
0 0 0 0
 , B = [ 1 0 10 1 −4
]
, e C =
 0 1 01 0 0
0 0 0

13. Dê alguns exemplos de matrizes na forma degrau e de matrizes na forma degrau
reduzida .
14. Encontre uma sequência de matrizes elementais E1, E2, . . . Ek que permite transformar
a matriz A na forma degrau, onde:
A =
 1 1 00 2 1
−1 0 1
 , B =
 1 −1−2 2
3 −3

15. Liste todas as possíveis matrizes na forma degrau reduzida em cada um dos seguintes
casos:
(a) matrizes 2× 2 (b) matrizes 2× 3 (c) matrizes 3× 2 (d) matrizes 3× 3.
16. Qual é a matriz que resulta depois de aplicar a redução de Gauss-Jordan a uma matriz
não singular?
17. Calcule o posto e a nulidade das seguintes matrizes (reduzir à forma degrau):
A =
 2 1 −10 1 1
−1 1 2
 , B =
 1 0 4 −10 1 3 2
0 −1 −2 0

18. Quais são as condições que devem satisfazer os termos independentes em cada caso
para que os sistemas lineares a seguir admitam solução.
a)
x− 3y = b1
3x+ y = b2
x+ 7y = b3
2x+ 4y = b4
, b)
x+ 2y + 3z = b1
2x+ 5y + 3z = b2
x+ 8z = b3
19. Considere os sistemas lineares a seguir. Cada um deles possui uma única solução. Você
esperaria que as soluções estivessem �próximas"? Resolva os sistemas e compare suas
soluções, o resultado é o esperado?
(a)
x− y = 1
x− 1.00001y = 0 , (b)
x− y = 1
x− 0.99999y = 0
20. Achar os coeficientes a, b, e c, tais que a parábola f(x) = ax2 + bx + c passe pelos
pontos (1, 2), (−1, 6) e (2, 3). Este é um problema de interpolação.
21. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n . Se detA 6= 0, mostre que neste caso
AB = 0⇒ B = 0.
22. Mostre que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da
diagonal, isto é: detA = a11a22 . . . ann, onde n indica a ordem a matriz.
23. Mostre que qualquer sistema linear cuja matriz de coeficientes é não singular sempre
tem solução e que a solução é única.
24. Calcular o determinante das seguintes matrizes e quando existir, calcular a matríz
inversa,
A =
 3 0 00 2 0
0 0 5
 , B =
 1 4 2−1 0 0
0 1 −1
 , e C =
 1 5 20 0 3
0 1 −1

25. Determinar a relação que devem seguir os coeficientes a, b, c e d da matriz A =[
a b
c d
]
, para a matriz ser não singular.
26. Dizemos que A e B são semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P−1AP .
Mostre que se A e B são semelhantes então detA = detB.
27. Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas. Mostre ou forneça
um contra-exemplo.
(a) Se detA = 1⇒ A−1 = A.
(b) Se A é uma matriz triangular superior inversível, então A−1 também resulta trian-
gular superior.
(c) A nulidade de uma matriz pode ser negativa.
(d) O sistema linear homogêneo Ax = 0 quando A é uma matriz quadrada de ordem
n e o posto de A é n, possui infinitas soluções.
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