Competências Básicas para o Ensino Superior - Matemática ÁLGEBRA I

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Pergunta 1 
 
Se z é um número complexo e o seu conjugado, então o número de soluções da equação é: 
 
 
Comentários 
da Resposta: Seja z = x + yi, com x e y números reais, então seu conjugado é . 
Daí a equação implica em: 
 
pois i2. Portanto temos a seguinte igualdade entre dois complexos: 
 
Nesse caso, as partes reais têm que ser iguais, bem como as respectivas partes complexas. Temos 
então o seguinte sistema: 
 
Atenção: não vá “cancelando” termos iguais dos dois membros, pois “cancelar” significa dividir e 
isto só pode ser feito para valores diferentes de zero. Vamos separar em duas etapas: 
 
I)Na equação (2) podemos ter y = 0, que substituindo em (1) fornece a equação z2 - x = 0 
Mas 
Daí, se 
II) Na equação (2), se , que substituindo em (1) fornece a equação 
, ou seja, 
O que nos dá outras duas soluções 
Então temos quatro soluções para a equação , a saber: 
 
 
 
 
 
Pergunta 2 
 
 
 
 
Comentário 
da resposta: 
 
 
 
Pergunta 3 
Uma pesquisa entre 800 consumidores – sendo 400 homens e 400 mulheres – mostrou os seguintes 
resultados: 
do total de pessoas entrevistadas: 
500 assinam o jornal X; 350 têm curso superior; 250 assinam o jornal X e têm curso superior 
do total de mulheres entrevistadas: 
200 assinam o jornal X; 150 têm curso superior; 50 assinam o jornal X e têm curso superior 
O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não têm curso superior é,portanto, igual a: 
 
Comentário 
da resposta: 
Observe o diagrama de Euler-Venn abaixo: 
 
Algumas considerações: 
O conjunto X é o das pessoas que assinam o jornal X e o conjunto S é o das 
pessoas que têm curso superior. O retângulo representa o Universo dos 
consumidores pesquisados. Ele se encontra “particionado” entre homens e 
mulheres. 
Começa-se a distribuição dos valores no diagrama pelos mais restritivos. 
Desse modo: 
I - Iniciamos colocando as 50 mulheres que assinam o jornal X e têm curso 
superior; 
II - A seguir, incluímos as restantes 200 pessoas (no caso, homens) que 
assinam o jornal X e têm curso superior, para perfazer o total de 250, 
conforme o enunciado da questão. 
III - Se são 150 mulheres com curso superior e já colocamos 50 (as que 
assinam o jornal X), então as outras 100 serão as que têm curso superior e 
não assinam o jornal X, perfazendo as 150 que têm curso superior; 
IV - Da mesma forma que o item anterior, para perfazer o total de mulheres 
que assinam o jornal X (200), devemos colocar as outras 150 na área que 
representa “apenas” o conjunto X; 
V - Já incluímos, até agora, 300 mulheres, e, para perfazer o total de 400 
mulheres, restam as 100 que não têm curso superior e não assinam o jornal X, 
que foram colocadas do lado de fora dos conjuntos X e S; 
VI - Já foram colocadas todas as 350 pessoas que têm curso superior, e, das 
500 que assinam o jornal X, já colocamos 400. Resta, então, outros 100 
homens que apenas assinam o jornal X; 
VII - E, finalmente, para perfazer o total de 400 homens, ainda estão faltando 
100 que não assinam o jornal X nem têm curso superior. 
 
A resposta correta é 100 
 
Pergunta 4 
 
 
 
 
Comentário da resposta: 
 
 
 
Pergunta 5 
 
Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois produtos, foram consultadas 500 pessoas e o 
resultado foi o seguinte: 220 delas gostam do produto A, 150 gostam do produto B e 40 gostam dos 
produtos A e B. Assinale a alternativa que traz corretamente quantas pessoas não gostam de nenhum dos 
produtos. 
 
 
Comentá
rio da 
resposta: 
 
 
 
 
 
Pergunta 6 
 
 
 
Comentário da 
resposta: 
A representação em notação de intervalo numérico correta 
é: 
A= [ -4 , 2 ] ; B= [ 1 , +∞ [ ; C= ] -∞ , 0 ] 
 
 
Pergunta 7 
 
 
 
Comentá
rio da 
resposta: 
 
 
 
Pergunta 8 
 
Sejam os intervalos reais 
. É correto afirmar 
que: 
 
 
Comentário da 
resposta: 
Analisando as afirmativas de acordo com os intervalos, 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta 9 
 
Se , calcule 
 
 
Comentário da 
resposta: 
A fim de fazer aparecer , nós vamos elevar todos os 
membros da equação ao quadrado: 
 
Aplicando a propriedade do quadrado da soma, temos: 
 
Portanto: 
 
 
Pergunta 10 
 
O desenvolvimento de (6x² - 3)² é: 
 
Comentário da resposta: Resolvendo o Produto Notável: 
(6x² - 3)² = 
36x 4 -2.6.x².3 + 9 = 9x 4 -36x² +9 
 
 
Pergunta 11 
 
Um polinômio P (x) = x3 + ax2 + bx + c satisfaz as condições P (1) = 0 e P(-x) + P(x) = 0 para qualquer x 
real. Então, o valor de P(2) é: 
 
 
Comentários da Resposta: Como P (x) = x3 + ax2 + bx + c , 
 
P(-x) + P(x) = 0, então: 
 
 
Daí, 
 
 
Pergunta 12 
 
 
 
Comentá
rio da 
resposta: 
 
 
 
Pergunta 13 
 
Sejam os seguintes subconjuntos dos números naturais: 
 
Em relação às operações entre conjuntos, assinale a alternativa correta: 
 
 
Comentário da resposta: A = {1,3,5,7,9} 
B = {1,2,3,4,6,8,12,24} 
C = {2,4,6,8,10,12} 
 
A-B = {5,7,9}∩C = Ø Falsa 
AՍB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,24}∩C = {2,4,6,8,12} Falsa 
AՍB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,24} Falsa 
B-A = {2,4,6,8,12,24}∩C = {2,4,6,8,12} Falsa 
 
Portanto, não há alternativa correta. 
 
Pergunta 14 
 
Sabe-se que x2 + y2 = 20 e xy = 3, qual é o valor de (x + y)2 ? 
 
 
Comentário da 
resposta: 
Utilizando o princípio do quadrado da soma, temos que: 
(x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2 
Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma: 
(x + y)2 = x2 + y2 + 2.x.y 
Sabemos que x2 + y2 = 20 e xy = 3, substituindo esses valores na igualdade 
acima, temos: 
(x + y)2 = 20 + 2.3 
(x + y)2 = 20 + 6 
(x + y)2 = 26 
Portanto, (x + y)2 = 26 
 
 
Pergunta 15 
 
 
 
 
Comentário da resposta: