CALCULO

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21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
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Teste seu conhecimento acumulado
Disc.: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL   
Aluno(a): PEDRO HENRIQUE FONSECA PAULA 202211525056
Acertos: 9,0 de 10,0 21/08/2023
Acerto: 1,0  / 1,0
Na matemática, o conceito de limite é fundamental para o estudo do comportamento de funçöes em
determinados pontos e em intervalos. Se ; e , o valor de
 é:
0.
.
5.
 .
4.
Respondido em 21/08/2023 21:44:18
Explicação:
Acerto: 1,0  / 1,0
Os limites săo utilizados para determinar valores que as funçöes se aproximam à medida que se aproxima de um
determinado ponto, e podem ser utilizados em diversas áreas, como na �sica, na engenharia, na economia, entre
outras. O valor do limite è:
.
.
.
 .
.
Respondido em 21/08/2023 21:44:03
limx→a f(x) = 4 limx→a g(x) = −2 limx→a h(x) = 0
limx→a [ ]1
[f(x)+G(x)]2
1
5
1
4
limx→a [ ] = =1[f(x)+g(x)]2
1
(4−2)2
1
4
limx→4 [ ]x−4
x−√x̄−2
1
5
2
5
3
4
4
3
1
2
 Questão1
a
 Questão2
a
https://simulado.estacio.br/alunos/inicio.asp
javascript:voltar();
21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
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Explicação:
Acerto: 1,0  / 1,0
Sempre que houver o quociente entre funções em uma derivada, deve-se aplicar a regra do quociente. Calcule
a derivada abaixo:
 
Respondido em 21/08/2023 21:43:48
Explicação:
Pela regra do quociente:
u = x
v = sen(x)
Acerto: 1,0  / 1,0
Seja g(x) =  ln (x2sen2x), de�nida para 0 < x < . Determine o valor da taxa de variação de g(x)  em
relação a x no instante de x = .
8 + 
 8 + 
4 + 
4 + 
2 + 
Respondido em 21/08/2023 21:42:47
lim
x→4
[ ] = ⋅ = =
lim
x→4
[ ] = = = =
x− 4
x−√x− 2
x− 4
x−√x− 2
(x− 2) +√x
(x− 2) +√x
(x− 4)[(x− 2) +√x]
x2 − 2x− 2x+ 4− x
(x− 4)[(x− 2) +√x]
x2 − 5x+ 4
x− 4
x−√x− 2
(x− 4)[(x− 2) +√x]
(x− 4)(x− 1)
[(x− 2) +√x]
(x− 1)
[(4 − 2) +√4]
(4 − 1)
4
3
f(x) = x
sen(x)
sen(x)−xcos(x)
tg(x)
sen(x)−xcos(x)
sen(x)
xsen(x)−xcos(x)
cos2(x)
xsen(x)−xcos(x)
cos(x)
sen(x)−xcos(x)
sen2(x)
f ′(x) = =
u′v−uv′
v2
sen(x)−xcos(x)
sen2(x)
π
π
2
π
4
π
2π
π
2π
2π
 Questão3
a
 Questão4
a
21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
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Explicação:
A resposta correta é: 8 + 
Acerto: 1,0  / 1,0
Suponha que temos uma função h(x) de�nida por partes, onde a expressão varia dependendo do intervalo de x.
A função é de�nida da seguinte forma:  . Quantos pontos extremos locais a
função apresenta?
3.
2.
0.
 1.
4.
Respondido em 21/08/2023 21:42:18
Explicação:
A resposta correta é: 1.
Para determinar o número de pontos extremos locais da função h(x), precisamos veri�car se
existem pontos críticos (onde a derivada é igual a zero ou não existe) dentro dos intervalos
especi�cados.
A função h(x) é de�nida como: 
Vamos encontrar os pontos críticos e veri�car quantos existem em cada intervalo:
Intervalo [-4, 0):
Para x em [-4, 0), a derivada da função h(x) é:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Não existe solução real para essa equação, portanto, não há ponto crítico nesse intervalo.
Intervalo [0, 4):
Para x em [0, 4), a derivada da função h(x) é:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
O ponto crítico é x = 2.
Agora, determinamos o número de pontos extremos locais:
2π
h(x) = {
2ex,  [−4, 0)
x2 − 4x+ 2,  [0, 4)
h(x) = {
2ex,  [−4, 0)
x2 − 4x+ 2,  [0, 4)
h′(x) = d/dx(2ex) = 2ex
2ex = 0
h′(x) = d/dx(x2 − 4x+ 2) = 2x− 4
2x− 4 = 0
2x = 4
x = 2
 Questão5
a
21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
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Como não há pontos críticos no intervalo [-4, 0) e apenas um ponto crítico no intervalo [0, 4),
temos apenas um ponto extremo local da função h(x) em x = 2.
Portanto, a função h(x) possui apenas 1 ponto extremo local.
 
Acerto: 1,0  / 1,0
Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma expressão da variação do
raio com o tempo à medida que o tanque é preenchido.
 
Respondido em 21/08/2023 21:42:03
Explicação:
 
= ⋅ .
dR
dt
1
4πR2
dV
dt
= ⋅ .
dR
dt
1
4πR3
dV
dt
= 4πR2 ⋅ .
dR
dt
dV
dt
= ⋅
dR
dt
4π
R2
dV
dt
= ⋅ .
dR
dt
1
πR2
dV
dt
=?
= C
= ⋅
= ⋅ = π ⋅ ⋅ = π ⋅ 3R2 ⋅ = 4πR2
= ⋅
dR
dt
dV
dt
dV
dt
dV
dR
dR
dt
dV
dt
d( πR3)4
3
dR
dR
dt
4
3
dR3
dt
dR
dt
4
3
dR
dt
dR
dt
dR
dt
1
4πR2
dV
dt
 Questão6
a
21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
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Acerto: 1,0  / 1,0
A técnica de substituiçảo é uma das técnicas mais empregadas em resoluçảo de integrais. Utilizando a técnica
de substituiçäo, a resoluçăo de é
.
 
Respondido em 21/08/2023 21:40:22
Explicação:
Substituindo:
Usando integração trigonométrica:
LogO,
Acerto: 0,0  / 1,0
As substituições trigonométricas säo arti�cios que são utilizados para a resolução e integrais. Utilizando da
técnica mencionada, calcule a integral de .
.
 .
.
.
∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt
tg g4 (t2) +C1
10
tg2(t2) +C.1
10
tg6 (t2) +C.1
10
tg5(t2) +C.1
10
tg3 (t2) +C.1
10
∫ t sec2(t2) tg4(t2)dt
u = t2 → du = 2tdt → tdt = du
1
2
∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt = ∫ sec2(u)tg4(u)du
1
2
ν = tg(u) → dν = sec2(u)du
∫ sec2(u) tg4(u)du = ∫ ∇4dv = ⋅ v5 + c = tg5(u) +C
∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt = tg5 (t2) +C
1
2
1
2
1
2
1
5
1
10
1
10
∫ √1− 4x2dx
[2 arcsen(2x) + sen(2 arcsen(2x))] +C1
8
[ + sen(2 arcsen(2x))] +Carcsen(2x)
4
1
8
[ + sen(2 arcsen(x))] +Carcsen(x)
4
1
8
[ + sen(2 arcsen(2x))] +Carcsen(2x)
8
1
4
 Questão7
a
 Questão8
a
21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
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 .
Respondido em 21/08/2023 21:37:21
Explicação:
Utilizando a relaçāo trigonométrica:
Substituindo na integral:
Como . Assim:
Sabemos que . Assim:
Fatorando 
Integrando:
Retornando o valor de :
Substituindo na equaçäo:
Assim, temos que:
Acerto: 1,0  / 1,0
[ + sen(2 arcsen(2x))] +Carcsen(2x)
4
cos2(θ) = 1 − sen2(θ)
2x = sen(θ) → dx = dθ
cos(θ)
2
∫ √1 − 4x2dx = ∫ √1 − (2x)2dx = ∫ √1 − sen2 θ( dθ)
cos(θ)
2
√1 − sen2 θ = cos θ
∫ cos2(θ)dθ1
2
cos2(θ) = +
1
2
cos(θ)
2
∫ ( + ) dθ
1
2
1
2
cos(2θ)
2
1
2
∫ (1 + cos(2θ))dθ1
4
∫ dθ + ∫ cos(2θ)dθ = [ + sen(2θ)] +C
1
4
1
4
θ
4
1
8
x
2x = sen(θ) → θ = arcsen(2x)
θ
[ + sen(2 arcsen(2x))] +C
arcsen(2x)
4
1
8
∫ √1 − 4x2dx = [ + sen(2 arcsen(2x))] +C
arcsen(2x)
4
1
8
 Questão
9
a
21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
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Na engenharia, o cálculo de áreas entre funções é usado para determinar o volume de materiais em estruturas
complexas, como reservatórios, tanques de armazenamento e outras formas irregulares. Sabendo disso
determine o volume do solido de rotação, em unidade de volume (u.v.), da região A  em torno do eixo x, para os
seguintes critérios:
 
Respondido em 21/08/2023 21:34:30
Explicação:
Do enunciado tiramos os intervalos:
Desenhando as restrições das curvas, temos:
 
Onde A  representa a área que será rotacionada para gerar o sólido de revolução.
O volume será dado pela soma do volume de cada intervalo:
e
Calculado o volume de  :
A :
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
y = + 1  se  − 4 ≤ x < 0
y = √1− x2  se 0 ≤ x ≤ 1
y = 0  se 1 ≤ x ≤ 4
x
4
.
3π
2
2π.
.
π
2
.1
2
.π
3
A1 : −4 ≤ x < 0
A2 : 0 ≤ x ≤ 1
A3 : 1 ≤ x ≤ 4
V = V1 + V2 + V3
V = ∫ b
a
π[f(x)]2dx
A1
21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 8/9
Calculado o volume de  :
Calculado o volume de  :
O volume da terceira região vai ser zero, porque a função    não tem nada para rotacionar
Assim:
Acerto: 1,0  / 1,0
Calcule a área da região limitada superiormente pela função , e inferiormente
pela função f(x) = x2.
 
Respondido em 21/08/2023 21:34:11
Explicação:
A resposta correta é: 
V1 = ∫
b
a
π[f(x)]2dx = ∫
0
−4
π[ + 1]
2
dx = π∫
1
−4
[ + + 1] dx
= π[ + + x]
∣
∣
∣
0
−4
= π[0] − π[ + + (−4)] = 0− π[− + 4− 4] =
V1 =
x
4
x2
16
2x
4
x3
16 ⋅ 3
x2
4⋅ 2
(−4)3
16 ⋅ 3
(−4)2
4 ⋅ 2
4
3
4π
3
4π
3
A2
V2 = ∫
b
a
π[f(x)]2dx = ∫
1
0
π[√1 − x2]
2
dx = π∫
1
0
[1 − x2] dx = π[x− ]
∣
∣
∣
1
0
= π[1 − ] − π[0] = π[ ] − 0 =
V2 =
x3
3
1
3
2
3
2π
3
2π
3
A3
V3 = 0
V = V1 + V2 + V3 = + + 0 = = 2π
V = 2πu. v.
4π
3
2π
3
6π
3
g(x) = 8√x, x ≥ 0
56
3
36
3
75
3
45
3
64
3
64
3
 Questão10
a
21/08/2023, 21:44 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 9/9