ProvasCDR-10-01

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
Campus de Palmas
Curso de Engenharia Elétrica/Civil
Nome : ........................................................................ Conceito: ............
Cálculo Diferencial em R
Primeira Prova
Observações:
(a) Os procedimentos a serem adotados na resolução das questões deverão constar na prova;
(b) A prova é individual e sem consulta;
(c) O tempo máximo para resolução da prova é de 02horas/aula;
(d) A interpretação das questões faz parte da prova.
(e) Justifique cada resposta. Prof. Dr. Sc. Christian Q. Pinedo
1. Determine o valor de z ∈ R, se: 3|z − 5| + 5
1 − |10 − 2z| ≥ 3.
2. Um navio navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando
o navio está em A, o comandante observa o farol em F , e calcula o ângulo F̂AC = 30o.
Após navegar 4 milhas até B, verifica-se o ângulo F̂BC = 75o. Quantas milhas separa o
farol do ponto B?
3. Determinar o domínio de definição da função
f(x) =
4
√
x2 − 4x + 12 + 3x
2
4
√
−x − 20 + x2
4. O nível de álcool presente no sangue de uma pessoa que ingeriu uma certa quantidade
de bebida alcoólica decresce de acordo com a relação N(t) = 3(2−t), sendo t o tempo,
medido em horas, a partir do momento t=0, em que o nível foi constatado. Sabendo-se
que o Código de Trânsito Brasileiro estabelece 0, 6. gramas por litro como limite máximo
de álcool no sangue, para quem dirige, e considerando-se log 2 = 0, 3, pode-se afirmar que
essa pessoa deve aguardar, antes de dirigir, no mínimo:
5.
Um retângulo encontra-se inscrito num triângulo
isósceles de base a e altura h como mostra a
Figura (5.1).
Determine a base do retângulo inscrito para que
sua superfície seja a maior possível.
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�
�
�
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@
@
@
@
@@
Palmas, 13 de abril de 2010
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
Campus de Palmas
Curso de Engenharia Elétrica/Civil
Cálculo Diferencial em R
Primeira Prova
Questão 1.
Determine o valor de z ∈ R, se: 3|z − 5| + 5
1 − |10 − 2z| ≥ 3.
Solução.
3|z − 5| + 5
1 − |10 − 2z| ≥ 3 ⇔
3|z − 5| + 5 − 3(1 − |10 − 2z|)
1 − |10 − 2z| ≥ 0 ⇔
9|z − 5| + 2
1 − |10 − 2z| ≥ 0 ⇔ 1 − |10 − 2z| > 0 ⇔
−1 < 2z − 10 < 1 ⇔ 9
2
< z <
11
2
Questão 2.
Um navio navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando
o navio está em A, o comandante observa o farol em F , e calcula o ângulo F̂AC = 30o. Após
navegar 4 milhas até B, verifica-se o ângulo F̂BC = 75o. Quantas milhas separa o farol do ponto
B?
Solução.
Figura 2.1:
Seja x o número de milhas que separa o farol
do ponto B.
Podemos considerar o gráfico da Figura (2.1),
logo temos que:
senB̂AD = sen300 =
1
2
=
h
4
de onde h = 2.
Pelas condições do problema, F̂BD = 450.
Portanto, x = 2
√
2 milhas.
Questão 3.
Determinar o domínio de definição da função
f(x) =
4
√
x2 − 4x + 12 + 3x
2
4
√
−x − 20 + x2
iii
Solução.
0 ≤ x2 − 4x + 12 e 0 < −x − 20 + x2 ⇔
x ∈ R e 0 < (x + 4)(x − 5) ⇔ (−∞, −4) ∪ (5, +∞)
Logo, D(f) = (−∞, −4) ∪ (5, +∞).
Questão 4.
O nível de álcool presente no sangue de uma pessoa que ingeriu uma certa quantidade de
bebida alcoólica decresce de acordo com a relação N(t) = 3(2−t), sendo t o tempo, medido em
horas, a partir do momento t=0, em que o nível foi constatado. Sabendo-se que o Código de
Trânsito Brasileiro estabelece 0, 6. gramas por litro como limite máximo de álcool no sangue,
para quem dirige, e considerando-se log 2 = 0, 3, pode-se afirmar que essa pessoa deve aguardar,
antes de dirigir, no mínimo:
Solução.
Pelas condições do problema, tem-se que 0, 6 = N(t0) = 3(2
−t0) para algum t0 > 0.
Isto é 3(2−t0) = 0, 6 então log 2−t0 = log 0, 2 ⇒ −t0 log 2 = log 0, 2 ⇒ −t0 log 2 =
log 2 − log 10.
Ainda podemos escrever 1 = (1 + t0) log 2 ⇒ 1 = 0, 3(t0 + 1) ⇒ t0 + 1 =
10
3
⇒
t0 = 2 +
1
3
.
Como t representa horas tem-se que t = 2hs20min.
Questão 5.
Um retângulo encontra-se inscrito num triângulo isósceles de base a e altura h como mostra
a Figura (5.1). Determine a base do retângulo inscrito para que sua superfície seja a maior
possível.
Solução.
�
�
�
�
��
@
@
@
@
@@
� y -
� a -
x
?
h
6
Figura 5.1:
Seja o retângulo de base y e altura x, pela reação de triân-
gulos tem-se que
y
a
=
h − x
h
, então y =
a
h
(h − x). A área A(x)
do retângulo pedido é
A(x) = xy =
ax
h
(h − x) = a
h
(hx − x2)
A(x) =
a
h
(hx − x2) = a
h
[
h2
4
− (x − h
2
)2
]
Quando x =
h
2
tem-se que y =
a
4
.
Portanto, a base deve medir
a
2
unidades.