Lista de Exercícios ENEM - Trigonometria - Com Gabarito Comentado - Prof Aruã Dias

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1. (Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, 
construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15 com a 
vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o 
segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e 
uma delas pode ser observada na imagem. 
 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15 e duas casas decimais nas 
operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço 
a) menor que 2100 m . 
b) entre 2100 m e 2300 m . 
c) entre 2300 m e 2500 m . 
d) entre 2500 m e 2700 m . 
e) maior que 2700 m . 
 
2. (G1 - cftmg) O valor de y cos150 sen300 tg225 cos90=  +  −  −  é 
a) 
3 3
2
− −
− 
b) 3 1− + 
c) 3 1− − 
d) 3 1− 
 
3. (Enem) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r 
quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, 
diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse 
satélite, o valor de r em função de t seja dado por 
 
( )
( )
5865
r t
1 0,15.cos 0,06t
=
+
 
 
 
 
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Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro 
da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, 
representada por S. 
 
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de 
a) 12 765 km. 
b) 12 000 km. 
c) 11 730 km. 
d) 10 965 km. 
e) 5 865 km. 
 
4. (Enem 2017) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma 
pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) A Bcos(kt)= + em que A, B e k são constantes reais 
positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento 
cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas. 
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados: 
 
Pressão mínima 78 
Pressão máxima 120 
Número de batimentos cardíacos por minuto 90 
 
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi 
a) P(t) 99 21cos(3 t)π= + 
b) P(t) 78 42cos(3 t)π= + 
c) P(t) 99 21cos(2 t)π= + 
d) P(t) 99 21cos(t)= + 
e) P(t) 78 42cos(t)= + 
 
5. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o 
seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um 
ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de 
modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . 
A figura ilustra essa situação: 
 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30º = e, ao chegar ao ponto B, verificou 
que o barco havia percorrido a distância AB 2000 m= . Com base nesses dados e mantendo a 
mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será 
a) 1000 m . 
b) 1000 3 m . 
c) 
3
2000 m
3
. 
d) 2000 m . 
 
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e) 2000 3 m . 
 
6. (Unifor) Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 
30 , como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de distância do solo, então podemos afirmar 
que a altura do prédio em metros é: 
a) 80,2 
b) 81,6 
c) 82,0 
d) 82,5 
e) 83,2 
 
7. (Enem 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada 
em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A 
representa uma de suas cadeiras: 
 
 
 
A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, 
rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo 
determinado pelo segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que descreve a 
altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t. 
 
 
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Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico: 
 
 
 
A expressão da função altura é dada por 
a) f(t) 80 sen(t) 88= + 
b) f(t) 80 cos(t) 88= + 
c) f(t) 88 cos(t) 168= + 
d) f(t) 168 sen(t) 88 cos(t)= + 
e) f(t) 88 sen(t) 168 cos(t)= + 
 
8. (Espcex (Aman)) O valor de ( )cos 165 sen 155 cos 145 sen 25 cos 35 cos 15 +  +  −  +  +  é 
a) 2. 
b) 1.− 
c) 0. 
d) 1. 
e) 
1
.
2
 
 
9. (Enem) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais 
são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. 
Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas 
ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre 
no mês de produção máxima da safra. 
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um 
certo produto sazonal pode ser descrito pela função 
x
P(x) 8 5cos ,
6
π π− 
= +  
 
 onde x 
representa o mês do ano, sendo x 1= associado ao mês de janeiro, x 2= ao mês de 
fevereiro, e assim sucessivamente, até x 12= associado ao mês de dezembro. 
 
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado). 
 
 
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é 
a) janeiro. 
b) abril. 
c) junho. 
d) julho. 
e) outubro. 
 
10. (Ebmsp 2017) 
 
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O círculo, na figura, representa, no sistema de coordenadas cartesianas, uma pista onde uma 
pessoa P costuma correr, visando os benefícios à saúde que essa prática traz. 
 
Um determinado dia, P parte do ponto representado por A (120, 0),= de onde começa a 
correr no sentido anti-horário, mantendo uma velocidade de 4 metros por segundo. 
 
Considerando-se 3,π = pode-se afirmar que após 32 minutos de corrida P estará no ponto de 
coordenadas x e y, tais que 
a) y 3 x= − 
b) y 2 x= − 
c) y 2 x= 
d) y 3 x= 
e) y 2 3 x= 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. 
 
 
 
Do triângulo ABC, obtemos 
 
BC BC
tgB A C tg15
114AB
BC 114 0,26
BC 29,64 m.
=   =
  
 
 
 
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a 
 
2 2 2BC (29,64) 878,53 m .=  
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Maior valor (cos (0,06t) = -1) 
5865
r(t) 6900
1 0,15.( 1)
= =
+ −
 
Menor valor(cos(0,06t) = 1)  
5865
r(t) 5100
1 0,15.(1)
= =
+
 
Somando, temos: 
6900 + 5100 = 12000 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Calculando: 
 
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máx
P(t) A Bcos(kt)
A B cos(kt) 120
2A 198 A 99
A B cos(kt) 78
P cos(kt) 1
99 B 120 B 21
90 batimentos 1 6 2
T s s
60 segundos T 9 3
2 3
k 2 3
T 2
Assim :
P(t) 99 21 cos(3 t)
π
π π
π
= +
+  =
 =  =
−  =
 =
+ =  =
=  = =
= =  =
= + 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
 
 
ABP é isósceles (AB BP 2000)= =Δ 
o
No PBC temos:
d
sen60
2000
3 d
2 2000
d 1000 3 m
=
=
=
Δ
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Seja h a altura do prédio. Logo, segue que 
 
h 1,6 3
tg30 h 1,6 80 3
380 3
h 81,6 m.
−
 =  − = 
 =
 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
A função f é do tipo f(t) a bsen(mt).= + Logo, sendo f(0) 88,= temos a 88.= Ademais, pelo 
gráfico, sabemos que o período de f é 2π e, portanto, vem m 1.= 
Finalmente, como f 168,
2
π 
= 
 
 obtemos 
 
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168 88 b b 80.= +  = 
 
A resposta é f(t) 88 80sent.= + 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
( )cos165 sen155 cos145 sen25 cos35 cos15
cos15 sen25 cos35 sen25 cos35 cos15 0
 +  +  −  +  +  =
−  +  −  −  +  +  =
 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
A produção é máximaquando preço é mínimo, ou seja, quando 
x
cos 1.
6
π π− 
= − 
 
 O menor 
valor positivo de x para o qual se tem o preço mínimo é tal que 
 
x x
cos cos 2k
6 6
x 12k 7, k .
π π π π
π π π
− − 
=  = + 
 
 = + 
 
 
Portanto, para k 0,= segue que x 7,= e o mês de produção máxima desse produto é julho 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
 
Calculando a distância (d) percorrida pela pessoa (P). 
d 4 32 60 7.680 m=   = 
 
Comprimento da pista (1 volta) 
2 120 2 3 120 720 mπ  =   = 
 
Sabendo que: 
( )7680 m 720 10 480 m=  + 
 
Concluímos que foram dadas 10 voltas na pista mais 480 m. Determinando quando mede, em 
graus, um arco de 480 na pista circular de raio 120 m. 
720 m 360
480 m

x
 
 
Resolvendo a regra de três acima, concluímos que x 240 .=  Ou seja a pessoa 10 voltas 
completas na pista e ainda percorre um arco de 240 , como nos mostra a figura abaixo. 
 
 
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Como as coordenadas do ponto (x, y) possuem o mesmo sinal, podemos escrever que: 
y
tg 60 y 3 x
x
 =  = 