FINAL 3_AM I

Prévia do material em texto

∫[3. 𝑓(𝑥) − 4. 𝑔(𝑥)]
5
−1
 𝑑𝑥 = 19 
3. ∫[𝑓(𝑥)]
5
−1
 𝑑𝑥 − 4. ∫[𝑔(𝑥)]
5
−1
 𝑑𝑥 = 19 
3 ∗ 17 − 4. [ ∫ 𝑔(𝑥)
3
−1
𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)
5
3
𝑑𝑥] = 19 
3 ∗ 17 − 4. [ ∫ 𝑔(𝑥)
3
−1
𝑑𝑥 + 5] = 19 
51 − 4. ∫ 𝑔(𝑥)
3
−1
𝑑𝑥 − 20 = 19 
 
Dimensiones del jardín de mayor superficie 
Longitud de la circunferencia= 2*pi*radio 
Longitud del sector circular=radio*ángulo (radian) 
𝑆
𝜋. 𝑥2
=
𝑥. 𝛼
2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑥
 
𝑆 =
𝑥. 𝛼
2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑥
∗ 𝜋. 𝑥2 
𝑆(𝑥, 𝛼) =
𝑥2. 𝛼
2
 
𝑃 = 𝑥 + 𝑥 + �̂� 
20 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥. 𝛼 
20 − 2𝑥 = 𝑥. 𝛼 
𝛼 =
20
𝑥
− 2 
𝑆(𝑥, 𝛼) =
𝑥2. 𝛼
2
 
𝑆(𝑥) =
𝑥2. (
20
𝑥
− 2)
2
=
20𝑥 − 2𝑥2
2
 
 
𝑆(𝑥) = 10𝑥 − 𝑥2 
𝑆′(𝑥) = 10 − 2𝑥 
𝑆′(𝑥) = 0 
10 − 2𝑥 = 0 
𝑥 = 5 
𝑆′′(𝑥) = −2 
𝑆′′(5) = −2 < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 
𝛼 =
20
𝑥
− 2 
𝛼 =
20
5
− 2 
𝛼 = 2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 
𝛼° = 2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 
𝛼° =
2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 ∗ 180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛
= 115° 
 
 
𝐴 = ∫ [1 − 𝑡𝑔3𝑥]
0,8
0
𝑑𝑥 
𝐴 = ∫ 1
0,8
0
𝑑𝑥 − ∫ [𝑡𝑔3𝑥]
0,8
0
𝑑𝑥 
𝐴 = 𝑥|0
0,8 − [
1
2
. 𝑡𝑔2𝑥 + ln|cos 𝑥|]
0
0,8
 
𝐴 = [0,8 − 0] − [(
1
2
. 𝑡𝑔20,8 + ln|cos 0,8|) − (
1
2
. 𝑡𝑔20 + ln|cos 0|)] 
𝐴 = 0,8 −
1
2
. 𝑡𝑔20,8 − ln|cos 0,8| 
Calculo auxiliar 
𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 
∫ 𝑡𝑔3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔 𝑥 . 𝑡𝑔2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔 𝑥 . (𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 
∫(𝑡𝑔 𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑡𝑔 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔 𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑡𝑔3 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
. 𝑡𝑔2𝑥 + ln|cos 𝑥| + 𝐶 
 
∫ 𝑡𝑔 𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢. 𝑑𝑢 =
𝑢2
2
+ 𝐶 =
1
2
. 𝑡𝑔2𝑥 + 𝐶 
𝑢 = 𝑡𝑔 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 𝑑𝑥 = ∫
−𝑑𝑢
𝑢
= − ∫
𝑑𝑢
𝑢
= − ln|𝑢| + 𝐶 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶 
𝑢 = cos 𝑥 
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
−𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
Las dimensiones de las chapas de manera tal que el costo total sea mínimo 
𝐴(𝑥, 𝑦) = 12. 𝑥2 + 14. 𝑦2 
𝑃 = 4. 𝑥 + 4. 𝑦 
16 = 4. 𝑥 + 4. 𝑦 
16 − 4. 𝑥 = 4. 𝑦 
𝑦 = 4 − 𝑥 
𝐴(𝑥, 𝑦) = 12. 𝑥2 + 14. 𝑦2 
𝐴(𝑥) = 12. 𝑥2 + 14. (4 − 𝑥)2 
𝐴′(𝑥) = 24𝑥 + 28. (4 − 𝑥). (−1) 
𝐴′(𝑥) = 24𝑥 − 112 + 28𝑥 
𝐴′(𝑥) = 52𝑥 − 112 
𝐴′(𝑥) = 0 
52𝑥 − 112 = 0 
𝑥 = 2,15 
𝐴′′(𝑥) = 54 
𝐴′′(2,15) = 54 > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 
𝑦 = 4 − 𝑥 
𝑦 = 4 − 2,15 
𝑦 = 1,85 
𝑥2 = 2,152 = 4,63 𝑚2 
𝑦2 = 1,852 = 3,42 𝑚2 
 
 
𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥
(𝑒2𝑥 − 1). (𝑒𝑥 + 1)
 
𝑓(𝑥) = ∫
𝑒𝑥
(𝑒2𝑥 − 1). (𝑒𝑥 + 1)
 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) =
1
4
𝑙𝑛|𝑒𝑥 − 1| +
1
2
.
1
𝑒𝑥 + 1
−
1
4
𝑙𝑛|𝑒𝑥 + 1| + 𝐶 
𝑃(0,5; 0,36) 
0,36 =
1
4
𝑙𝑛|𝑒0,5 − 1| +
1
2
.
1
𝑒0,5 + 1
−
1
4
𝑙𝑛|𝑒0,5 + 1| + 𝐶 
0,36 = −0,16 + 𝐶 
𝐶 = 0,52 
𝑓(𝑥) =
1
4
𝑙𝑛|𝑒𝑥 − 1| +
1
2
.
1
𝑒𝑥 + 1
−
1
4
𝑙𝑛|𝑒𝑥 + 1| + 0,52 
 
 
 
Calculo auxiliar 
∫
𝑒𝑥
(𝑒2𝑥 − 1). (𝑒𝑥 + 1)
 𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
((𝑒𝑥)2 − 1). (𝑒𝑥 + 1)
 𝑑𝑥 = 
∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 − 1). (𝑒𝑥 + 1). (𝑒𝑥 + 1)
 𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥 − 1). (𝑒𝑥 + 1)2
 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
∫
𝑑𝑢
(𝑢 − 1). (𝑢 + 1)2
= ∫ [
𝐴
𝑢 − 1
+
𝐵
(𝑢 + 1)2
+
𝐶
𝑢 + 1
] 𝑑𝑢 = 
∫ [
1/4
𝑢 − 1
+
−1/2
(𝑢 + 1)2
+
−1/4
𝑢 + 1
] 𝑑𝑢 =
1
4
. ∫
𝑑𝑢
𝑢 − 1
−
1
2
. ∫
𝑑𝑢
(𝑢 + 1)2
−
1
4
. ∫
𝑑𝑢
𝑢 + 1
= 
 
=
1
4
𝑙𝑛|𝑢 − 1| −
1
2
.
(𝑢 + 1)−1
−1
−
1
4
𝑙𝑛|𝑢 + 1| + 𝐶 
=
1
4
𝑙𝑛|𝑒𝑥 − 1| +
1
2
.
1
𝑒𝑥 + 1
−
1
4
𝑙𝑛|𝑒𝑥 + 1| + 𝐶 
 
1
(𝑢 − 1). (𝑢 + 1)2
=
𝐴
𝑢 − 1
+
𝐵
(𝑢 + 1)2
+
𝐶
𝑢 + 1
 
1
(𝑢 − 1). (𝑢 + 1)2
=
𝐴 ∗ (𝑢 + 1)2 + 𝐵 ∗ (𝑢 − 1) + 𝐶 ∗ (𝑢 − 1) ∗ (𝑢 + 1)
(𝑢 − 1). (𝑢 + 1)2
 
1 = 𝐴 ∗ (𝑢 + 1)2 + 𝐵 ∗ (𝑢 − 1) + 𝐶 ∗ (𝑢 − 1) ∗ (𝑢 + 1) 
𝑢 = 1 → 1 = 𝐴 ∗ (1 + 1)2 → 1 = 4𝐴 → 𝐴 =
1
4
 
𝑢 = −1 → 1 = 𝐵 ∗ (−1 − 1) → 1 = −2𝐵 → 𝐵 = −
1
2
 
𝑢 = 1 → 𝐴 ∗ 1 + 𝐵 ∗ (−1) + 𝐶 ∗ (−1) → 
1 =
1
4
+
1
2
− 𝐶 → 
1
4
= −𝐶 → 𝐶 =
1
4