Trigonometría de Quinto Ano

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Trigonometría
Quinto Año
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Índice
TRIGONOMETRÍA
QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
 ● Sistemas de medición angular.. .............................................................. 7
 ● Sector circular ......................................................................................... 14
 ● Razones trigonométricas de ángulos agudos .......................................... 21
 ● Razones trigonométricas de ángulos notables ........................................ 28
 ● Propiedades de las Razones Trigonométricas ............................................... 36
 ● Resolución de triángulos rectángulos .. ................................................... 42
 ● Ángulos verticales .................................................................................. 49
 ● Repaso ..................................................................................................... 56
 ● Ángulos en posición normal .................................................................... 61
 ● Ángulos cuadrantales y tabla de signos de las razones trigonométricas . 68
 ● Reducción al primer cuadrante ................................................................ 75
 ● Circunferencia Trigonométrica ............................................................... 81
 ● Variación de senos y cosenos .................................................................. 88
 ● Identidades Trigonométricas Fundamentales .......................................... 94
 ● Identidades Trigonométricas Auxiliares ................................................. 100
 ● Repaso ..................................................................................................... 106
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 ● Ángulos compuestos I.. .......................................................................... 109
 ● Ángulos compuestos II ............................................................................ 115
 ● Ángulo doble .......................................................................................... 122
 ● Ángulo mitad .......................................................................................... 128
 ● Ángulo triple ............................................................................................. 134
 ● Transformaciones trigonométricas I.. .................................................... 140
 ● Transformaciones trigonométricas II ..................................................... 146
 ● Repaso ..................................................................................................... 152
 ● Resolución de triángulos oblicuángulos I (Senos y proyecciones) ......... 153
 ● Resolución de triángulos oblicuángulos II (Cosenos y Tangentes) ........ 160
 ● Ecuación trigonométrica ......................................................................... 167
 ● Solución general de una ecuación trigonométrica .................................. 173
 ● Funciones inversas I ................................................................................ 179
 ● Funciones inversas II ............................................................................... 185
 ● Funciones trigonométricas (seno y coseno) ............................................ 191
 ● Repaso ..................................................................................................... 198
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7
TRIGONOMETRÍA
Sistemas de medición angular
1
113 trigonometría 1
Sistemas de medición angular
ÁnGuLO TRIGOnOMÉTRICO
Es la rotación de un rayo alrededor de su origen, 
desde una posición inicial a una posición final.
Observación:
Si se cambia el sentido de la rotación de un 
ángulo su medida cambiará de signo.
 
Advertencia pre:
Para convertir un ángulo en un sistema 
distinto, se tiene que multiplicar a 
dicho ángulo por un factor de la forma: 
 x → Sistema que quiero
 y → Sistema que no quiero
Quinto.indb 113 25/02/2014 10:06:10 a.m.
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5TO AÑO
8
114trigonometría1
5.o año
sistemas de 
medición anguLar
Trabajando en clase
1. Halla el valor de “x”.
2. Halla el valor de “x”.
3. Halla el valor de “x”, si:
63° = (4x – 6)g
4. Halla el valor de “x” si se cumple:
 20g = x rad20
π
Resolución:
 x rad20
200 10
g
g
π π= =
 rad
x
rad
10 20
π π
=
 x = 2
5. Halla el valor de “x” si:
40g = x40
π rad
6. En un triángulo rectángulo sus ángulos agudos 
miden 20mg y 12m°. Expresa en el sistema radial 
el siguiente ángulo:
a = (1 + m + m2 + m3)g
7. En un triángulo ABC, sus ángulos internos mi-
den: 10xg, 21x° y x6
π rad. Señala el valor de “x”.
8. Halla el valor de: a + b + c, si se cumple:
7
π rad = a° b’ c’’
Resolución:
º ºrad rad7
180
7
180π
π# =
º
7 7
180π = = 25° 42’ 51’’
 ⇒ a = 25
 b = 42
 c = 51
Piden: 
a + b + c = 25 + 42 + 51 = 118
9. Si: 21
π rad = a° 3b’ 1c’’
Calcula: R = a c
b
-
10. Si un ángulo se expresa como ab° y también 
como (a+1)0g, halla: “a + b”.
11. Halla un ángulo en radianes, tal que: 2C – S = 55
12. Señala la medida radia de un ángulo que verifica:
3S – C + 20R = 20,1416
Resolución:
3S – C + 20R = 20,1416
3(9k) – (10k) + k20
20
π
f p = 20,1416
144424443
 17k + pk = 20,1416
Reemplazando: p = 3,1416
17 k + 3,1416k = 20,1416
 144424443
 20,1416 20,1416k =
 k = 1
Piden: 
R = k rad20 20
π π=
13. Señala la medida radial de un ángulo que verifica:
S + C + R = 383,1416
14. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-
tes miden: x
x x18 1 g2 + +d n cada uno. Si dicha 
medida es mínima (x ∈ R+), ¿cuál es la medida 
radial del ángulo desigual?
Quinto.indb 114 25/02/2014 10:06:15 a.m.
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9
TRIGONOMETRÍA
Sigo practicando
1. Calcula el valor de «x»:
g50�5�
 
a) 1° c) 5° e) 9°
b) 3° d) 7°
2. Determina el valor de «x»:
(�
�x
��
)�
g(4x) 
a) 15 c) 19 e) 23
b) 17 d) 21
3. Calcula el valor de «x»:
 90g = (4x + 5)°
a) 19 c) 15 e) 11
b) 17 d) 13
4. Señala lo correcto:
x y 
a) x + y = 180° d) x + y = 90°
b) x – y = 90° e) y – x = 90°
c) y – x = 180°
5. Si los ángulos agudos de un triángulo rectángulo 
miden (8x – 1)° y (4x – 2)g, expresa en el sistema 
radial el siguiente ángulo:
 
a) c) e) 
b) d) 
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5TO AÑO
10
1. e
2. a
3. a
4. b
5. a
6. b
7. a
8. b
9. a
10. d
Claves
6. Si en un triángulo ABC, los ángulos internos son 
(4x)°, (3x – 1)g y (4x – 1)°, señala el valor de «x».
a) 16 c) 18 e) 20
b) 17 d) 19
7. Calcula la medida de un ángulo expresado en 
radianes:
 
2S – C = 16
a) c) e) 
b) d) 
8. Simplifica:
a) 100 c) 102 e) 202
b) 101 d) 201
9. Si un ángulo se expresa como y también 
como , determina el valor de a – b.
a) 5 b) 6
c) 7 d) 8
e) 9
10. Determina el valor de ángulo expresado en radianes:
C + S = (C2 - S2)
a) c) e) 
b) d) 
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11
TRIGONOMETRÍA
Esquema formulario
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Se determina al girar un rayo alrededor de su punto de origen,
desde una posición inic al hasta una posición finali .
Sistema de medición angular
Sexagesimal Centesimal Radial
Unidad: grado sexagesimal (°)
Se obtiene:
Unidad: grado centesimal ( )g
Se obtiene:1 vuelta = 1°
360°
1 vuelta = 1
g
400
g
Unidad: radián(rad)
Se obtiene: 1 vuelta = 1rad
2�
1 vuelta=360°=400 =2 radg �
CONVERSIÓN DE SISTEMAS
Método 1 Método 2
Se multiplican factores de
conversión:
Se reemplaza: Se relacionan:
g
g
9 180200; ;rad rad10
� �
� �
S = Número de (°)
C = Número de ( )g
R = Número de (rad)
S 180K;C 200K;R K
o
S 9K;C 10K R k20
� � � �
�� � � �
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5TO AÑO
12
UNMSM
Integral PUCP
1. Halla el valor de “x”.
a) 25
b) 27
c) 29
d) -27
e) -25
2. Halla el valor de “x”.
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
3. Halla el valor de “x” si:
 72° = (3x + 11)g
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25
4. Señala lo correcto de acuer-
do al gráfico.
a) x + y = 90°
b) x – y = 90° 
c) x + y = 0°
d) x + y =–90°
e) y – x = 90°
Tarea
8. Si A°B’C’’<> 13g90m, 
 calcula: A C
B
+
a) 1,5
b) 1,6
c) 1,7
d) 1,8
e) 1,9
9. Si un ángulo se expresa 
como abº y también como
 ( )b
g
−2 0 . Halla “a+b”
 
a) 13
b) 12
c) 11
d) 10
e) 9
10. Halle un ángulo en radia-
nes, tal que: 
C S C S+ + − =
38 10
3
a) π
4 
b) π6
c) π7
d) π
8
e) π9
(5x–9)°
160g
 
(–3x+
1)g
(2x+11)°
 
x
y
5. En un triángulo rectángulo 
sus ángulos agudos miden 
(2x)° y (9x – 1)g. Expresa en 
el sistema radial el siguiente 
ángulo.
 
β = + + + +( )ϒx x x3 4 3 2
a) π3
b) π4
c) π
5
d) π
6
e) 2
3
π
6. En un triángulo ABC, sus 
ángulos internos mide: 
 (3x)°(7x – 1)g π
3
rad y. 
 Señala el valor de “x”.
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
7. Si (x + 2)g <> (x – 2)°, calcu-
la “x”.
a) 20
b) 38
c) 16
d) 14
e) 12
°
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13
TRIGONOMETRÍA
UNI
Claves
01. d
02. c
03. c
04. b
05. b
06. a
07. b
08. b
09. e
10. a
11. e
12. b
13. c
14. a
15. b
13. Indica la medida radial de 
un ángulo que cumple:
 3S - 2C + 20R = 10,1416
 Siendo “S”, “C” y “R” lo con-
vencional.
a) π
2
rad
b) π
3
rad
c) π
20
rad
d) π16
rad
e) π
12
rad
14. Los ángulos iguales de un 
triángulo isósceles miden: 
(x-1)° y (x+1)g. Calcula la 
medida del tercer ángulo 
agudo en el sistema radial.
a) 45
π
b) 3
2
π
c) 3
8
π
d) 25
π
e) 2
8
π
11. Según la relación
 ≠32
rad a b c<> ϒ ’ ’’ . 
 Determine la medida radial 
del “a”, si se sabe: 
 a = + − ϒ( )a b c
a) π
3
b) π6
c) π9
d) π12
e) π
15
12. Se tiene 2 ángulos, tales que 
el número de grados cente-
simales de uno de ellos es 
igual al número de grados 
sexagesimales del otro, y la 
diferencia del número de 
grados centesimales de este 
último y el primero es 19. 
Determina la diferencia de 
los número de radianes de 
estos ángulos.
a) 9
200
π
b) 19
200
π
c) 9
20
π
d) π
20
e) 13
20
π
°b
°
π
15. Cuánto vale en radianes: el 
complemento del ángulo 
externo de un polígono re-
gular de “n” lados.
a) ≠
2
4
3
n rad−( )
b) ≠
2
4n
n
rad−( )
c) ≠3
2n
n
rad−( )
d) ≠
4
1
12
n rad−( )
e) ≠
3
1n
n
rad−( )
π
π
π
π
π
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5TO AÑO
14
SECTOR CIRCULAR
2
115 trigonometría 1
Sector circular
L: longitud de arco
q: ángulos en radianes
R= radio de la circunferencia
Tener en cuenta:
 Se cumple
( )
c
a b
S a b c2
θ = -
= +
Z
[
\
]]
]]
Integral
1. En un sector circular el ángu-
lo central mide 3rad y el radio 
5cm. Calcula el perímetro del 
sector circular.
2. Si OA =AB=8m, halla el área 
del sector AOB.
3. Halla el área de la región som-
breada.
PuCP
4. Halla la medida del radio de la 
circunferencia mostrada.
Resolución:
Trabajando en clase
Quinto.indb 115 25/02/2014 10:06:16 a.m.
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15
TRIGONOMETRÍA
116trigonometría2
5.o año sector circuLar
L = q R
2 R2π
π
= 
R = 4
5. Halla la medida del radio de la 
circunferencia mostrada.
6. Calcula: E = S S
S S
2 3
1 4
+
+
7. Halla el área sombreada
unMSM
8. Calcula: S
S
2
1
Resolución:
* 15° × º180 12
π π=
* 30° × º180 6
π π=
Piden:
( )
( )
S
S
2
1
6 6
2
1
12 4
2
1
2
2
π
π
=
 1
 4 1
.
.
S
S
6
36
12
16
36 12
16 6
2
1
π
π
π
π
= =
 6 3
 3
S
S
9
2
2
1 =
9. Calcula: S
S
2
1 
10. En la figura AOB y COD son 
sectores circulares. Si el área 
de COD es 9cm2 y la longitud 
del arco AB es 10 cm, halle el 
área de la región sombreada. 
11. En la figura mostrada:
 OA = OB = 60 cm. O y B son 
centros. Calcula la longitud 
del arco PQ
!
.
unI
12. En la figura AOB y DOC son 
sectores circulares, si AC=8, 
halle el área sombreada.
Resolución:
S = – 
 S = b a2
1
5 2
1
5
2 2π π-
 S = b a10
2 2π -_ i
 S = 10
π (82) ← pitágoras
S = 10
64π
S = 6,4 p
13. En la figura AOB y DOC son 
sectores circulares. Si AC = 10, 
halla el área sombreada.
14. Calcula el área de la región 
sombreada.
 L L LAC CD BD= =_ i! ! !
Quinto.indb 116 25/02/2014 10:06:22 a.m.
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5TO AÑO
16
Sigo practicando
1. Es un sector circular, el ángulo central mide 2rad 
y el radio 8cm. Calcula el perímetro del sector cir-
cular.
a) 30 cm c) 32 cm e) 34 cm
b) 31 cm d) 33 cm
2. Si OA = AB = 6, halla el área del sector AOB.
A
B
O
 
a) d) 
b) e) 
c) 
3. Halle el área de la región sombreada.
22

10
10
 
a) c) e) 
b) d) 
4. Calcula el arco del sector mostrado
g80
10
10
 
a) p c) 3p	 e) 5p
b) 2p	 d) 4p
5. Del gráfico, calcula 
S4 S3 S2 S1
 
a) 1/3 c) 1 e) 3
b) 1/2 d) 2
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17
TRIGONOMETRÍA
6. Halle el área sombreada.
3
6
30°
 
a) c) e) 
b) d) 
7. Calcula el área de la región sombreada, sonde 
BCE es un sector circular.
B
CD
E
8
45°
 
a) c) e) 
b) d) 
8. Determine la relación si ON=3OM
S1 S2O
M
N
P
Q
 
a) 1/7 c) 1/9 e) 1/11
b) 1/8 d) 1/10
9. En la figura AOB y COD son sectores circulares. 
Si el área de COD es 8cm2 y la longitud del arco 
AB. Es 8 cm, halla el área de la región sombreada.
O
A
BC
D4cm
 
a) 20 cm2 c) 24 cm2 e) 28 cm2
b) 22 cm2 d) 26 cm2
10. En la figura, OA=OB=36 cm. O y B son centros. 
Calcula la longitud del arco .
M
N
A O
B
 
a) 2p	 c) 4p	 e) 6p
b) 3p	 d) 5p
1. c
2. a
3. a
4. d
5. e
6. a
7. b
8. c
9. b
10. e
Claves
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5TO AÑO
18
Esquema formulario
LrS 2
 c dS m2
2rS 2
2LS 2
2 2a bS 2


a b
m


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19
TRIGONOMETRÍA
Integral
Tarea
PUCP
3. Halla el área de la región 
sombreada.
a) 28p u2
b) 32p u2 
c) 36p u2 
d) 40p u2 
e) 44p u2 
4. Calcula 2 3 1
2
L L
L
+ ,
 
 del siguiente gráfico:
a) 2
b) 5/2
c) 9/2
d) 2/9
e) 2/5
5. Del gráfico S S
S
1 2
3
3
2
+ , calcula 
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
6. Halla el área sombreada.
a) pu2
b) 2p/5u2
c) 21p/20u2
d) 20p/201u2
e) 5p/2u2
3θ
2θ
θ
16
16
 
L1L3 L2
S3 S2 S1
3
5
20g
1. Es un sector circular el án-
 gulo central mide π6
rad y 
 el radio mide 12u. Calcule 
el perímetro del sector cir-
cular.
a) 2 12( )+ ≠ u
b) 3 10( )+ ≠ u
c) 3 8( )+ ≠ u
d) 3 12 5( )+ ≠ u
e) 5 2( )+ ≠ u
2. Si OA = AB = 9, halla el área 
sombreada.
a) 27
2
81 8
14
≠ −
 
b) 27
3
16 3
4
≠ −
c) 27
2
81 3
4
≠ −
d) 27
2
81 3
4
≠ −
e) 19
5
8 3
3
≠ −
A
B
O
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
7. Calcula el área de la región 
sombreada, donde ABO es 
un sector circular.
a) 9 15
2
2− ≠ m
b) 18 92
2− ≠ m
c) 17 9
2
2− ≠ m
d) 19 8
3
2− ≠ m
e) 8 3
2
2− ≠ m
8. Es un sector circular, el área 
es de 20 m2. Si triplicamos el 
radio y reducimos el ángulo 
central a la mitad, se gene-
ra un nuevo sector circular, 
con área de:
a) 70 m2
b) 80 m2
c) 90 m2
d) 100 m2
e) 110 m2
B
OE
B
6m
45°
π
π
π
π
π
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5TO AÑO
20
UNMSM
Claves
01. a
02. c
03. b
04. b
05. c
06. c
07. b
08. c
09. a
10. d
11. a
12. a
13. c
14. a
15. b
UNI
12. Un arreglo de flores debe 
tener la forma de un sectorcircular de radio “r” y un 
ángulo central de medida a 
(es decir como un trozo de 
pastel). Si el área es 1
4
 y el 
 perímetro es mínimo, hallar 
“a”
a) 2rad
b) 3rad
c) 1rad
d) π
3
rad
e) π
2
rad
13. En la figura, AOB y DOC 
son sectores circulares. Si 
AC=20, halla el área som-
breada.
a) 12p	 d) 24p
b) 16p	 e) 28p
c) 20p
14. Calcula el área de la región 
sombreada. 
 
L L LMN NP PQ� � �= =( )
a) 3p2 d) 6p2
b) 4p2 e) 7p2
c) 5p2
O
A
B
D
C
20
18°
M
O
N
P
Q
6
15. Según la figura, AOP es un 
cuarto de circunferencia, 
QAM	 ∧	RMP son sectores 
circulares. Calcula el área 
mínima de la parte som-
breada si: OA=OP= 2
a) 
6
π u2
b) 
4
π u2
c) 
2
π u2
d) 2pu2	
e) pu2
M
R
A
Q
PO
9. En la figura, AOB y COD 
son sectores circulares. Si el 
área de COD es 2cm2 y la 
longitud del arco AB. Es 5 
cm, halla el área de la región 
sombreada.
 
a) 21
2
2cm
b) 10 cm2
c) 5 cm2
d) 11 cm2
e) 11
2
2cm
10. En la figura mostrada 
OA=OB=24cm. O y B son 
centros. Calcula la longitud 
del arco CD�
a) p/2cm
b) p/3cm
c) pcm
d) 2p cm
e) 3p cm
11. En la figura mostrada, calcu-
la el área de la región som-
breada. (ABCD es un cua-
drado)
a) 2 4≠−
b) ≠− 4
c) ≠−3
2
d) ≠−8
3
e) 2 3≠−
 
O
A
BD
C2cm
D
C
A O
B
 
A B
CD
2
π
π
π
π
π
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21
TRIGONOMETRÍA
OPERADOR TRIGONOMÉTRICO
Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a 
los ángulos. El día de hoy se estudiaran a seis de ellos, 
los cuales son:
 
Operador Abreviatura
Seno Sen
Coseno Cos
Tangente Tan
Cotangente Cot
Secante Sec
Cosecante Csc
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
La razón trigonométrica en un triángulo rectángulo, 
es el valor que se obtiene al comparar dos lados de 
dicho triángulo con respecto a uno de sus ángulos 
agudos.
Sea un triángulo rectángulo ABC.
b2 = a2 + c2
(Teorema de Pitágoras)
Donde:
 a y c son catetos
 b es la hipotenusa
 a y b son los ángulos agudos
Cateto 
opuesto
Cateto 
adyacente Hipotenusa 
Respecto al 
ángulo a a c b
Respecto al 
ángulo b c a b
Con respecto al ángulo agudo a se tiene: 
Sena = hipotenusa
cateto opuesto
b
a=
Cosa = hipoteusa
cateto adyacente
b
c=
Tana = cateto adyacente
cateto opuesto
c
a=
Cota = cateto opuesto
cateto adyacente
a
c=
Seca = cateto adyacente
hipotenusa
c
b=
Csca = cateto opuesto
hipotenusa
a
b=
Razones trigonométricas de 
ángulos agudos
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5TO AÑO
22
Trabajando en clase
Integral
1. Si: Tanx = 3
1
 Calcula: L = 10 Cscx
 (x: agudo)
2. Calcula: Cot
Cot Cot
α
θ β+
3. Calcula: 
Tana . Tanb
PUCP
4. Del gráfico mostrado, calcula: 
N = Tana + Tanq
Resolución:
Piden:
N = Tana + Tanq
N = a b
a
a b
b
+
+
+
N = a b
a b
+
+ = 1
5. Del gráfico mostrado, calcula: 
L = Tanf – Tany
6. En un triángulo ABC, recto en 
A, reduce la siguiente expresión: 
a2 TanB . SenB . SenC
7. En un triángulo rectángulo 
ABC, recto en C, se cumple: 
4SenA=7SenB. 
Calcula: 
65Sen2A – 42TanB.
UNMSM
8. El perímetro de un triángulo 
rectángulo es 150u y la cose-
cante de uno de sus ángulo 
agudos es 2,6. Calcula la lon-
gitud del mayor cateto.
Resolución:
Csca = 2,6 = CO
H
10
26
5
13
!
!=
Dato:
 perímetro = 150
 1442443
13K + 12K + 5K = 150
 30K = 150
 K = 5
Piden: 12K = 12(5) = 60u
9. Si el perímetro de un triángu-
lo rectángulo es de 210 m, la 
tangente de uno de sus ángu-
los agudos es 2,4. Halla cuánto 
mide el cateto menor.
10. Del gráfico calcula Cota, si:
Cotf = 2,4 
11. Si en el gráfico “I” es el incen-
tro del triángulo ABC, calcula: 
R = Cota + Cotb
UNI
12. Si AB=BC, calcula: 
Q = Cota – Cscf
Resolución:
Aplicando Pitágoras en los 
triángulos ABO y BCO
a2 + b2 = 52 ( ABO)
a2 + 32 = b2 ( BCO)
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23
TRIGONOMETRÍA
Resolviendo las ecuaciones:
a = 2 2
Piden: 
Q = Cota – Cscf
Q = 
2 2
3
2 2
5-
Q = 
2 2
2
2
1- =-
13. Calcula: Tanb 14. Si AC es diámetro. 
 Calcula Cotq, siendo AF = 20 
∧ ED = 16 (EB = BD)
Esquema formulario
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
TEOREMA DE PITÁGORAS
AB
C
a b
c
2 2 2a c b 
Cateto opuesto
SenA Hipotenusa
Cateto adyacente
CosA Hipotenusa
Cateto opuesto
TgA Cateto adyacente
Cateto adyacente
CtgA Cateto opuesto
HipotenusaSecA Cateto opuesto
HipotenusaCscA Cateto opuesto






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5TO AÑO
24
Sigo practicando
1. Si , calcula: (b: agudo)
a) 25 c) 1 e) 3
b) 26 d) 2
2. Calcula: 
 
62 2 
a) 5 c) 1/5 e) 2
b) 4 d) 1/4
3. Calcula: Tana+Tanb
2a
a

 
a) 2/5 c) 2/3 e) 1/2
b) 2/7 d) 1
4. Calcula 
 
2 3
A
D PE 
a) 0,3 c) 0,5 e) 0,7
b) 0,4 d) 0,6
5. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en A. 
Calcula: 
a) b c) e) 
b) c d) ab
6. En un triángulo ABC recto en C, se cumple:
 3SenA=5SenB
 Calcula: E = 3Sen2A – 5TanB 
a) 21 c) 23 e) 25
b) 22 d) 24
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25
TRIGONOMETRÍA
1. b
2. a
3. c
4. b
5. a
6. b
7. d
8. b
9. a
10. a
Claves
7. Calcule .
A
B
C 2 1


 
a) 1 c) 3 e) 1/2
b) 2 d) 1/3
8. Si: 
 
 Donde q es un ángulo agudo.
 Calcule: 
a) 29/17 c) 15/29 e) 17/15
b) 21/29 d) 8/15
9. Del gráfico, calcula “Cota”. Si 


 
a) 3 c) e) 
b) d) 2
10. Si en el gráfico “I” es el incentro del triángulo 
ABC. Calcula: .
A
B
C
3 4


I
 
a) 5 c) 7 e) 1/5
b) 6 d) 1/6
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5TO AÑO
26
Integral
PUCP
1. Si Tana = 1
7
, calcula: 
 P Sen= 50 a (a: agudo)
a) 1
b) 2
c) 50
d) 50
e) 7
2. Calcula:
 
Cot Cot
Cot Cot
b a
q b
+
+
a) 3/4
b) 3/7
c) 2/7
d) 3/2
e) 2/9
3. Del gráfico, calcular:
 cotb·coty: 
a) 2/5 d) 5/2
b) 4/5 e) 4/3
c) 5/4
Tarea
4. Calcula “Cota” 
a) 3 2/
b) 4 2/
c) 5 2/
d) 2 2/
e) 1 2/
7. Si Tana = 0 333, ... (a: agudo)
 Calcula 10Sena
a) 1 d) 4
b) 2 e) 1/3
c) 3
8. Siendo “a”un ángulo agu-
do, además: Tana = 5 , 
calcula P Cos= +2 1a : 
a) 11
3
 
b) 7
6
 
c) 2
3
d) 4
5
e) 7
9
 
θα β
85 2
2
B
A CD
3
17α
5. En un triángulo rectángulo 
ABC, recto en C, reduce:
 E Sec A Cot B= −
22
 
a) a3
b) a
c) b2
d) 1
e) 1
a
6. En un triángulo rectángu-
lo, recto en C, se cumple se 
que: 3ab = c2.
 Calcula: TgA + CotA
a) 1
2
b) 1
3
c) 1
d) 2
e) 3
UNMSM
9. Del gráfico “Coty”, 
 calcula, si Cotb = 15
8 
a) 1/4 d) 4
b) 1/3 e) 2
c) 1/2
A
B C
D
3a
a β
5a
ψ
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27
TRIGONOMETRÍA
10. Si en el gráfico “I” es el in-
centro del triángulo ABC. 
Calcula ABC. Calcula:
 R Cot Cot= +a b
a) 2/13
b) 1/13
c) 5/13
d) 13/2
e) 13/5
11. La hipotenusa de un trián-
gulo es el triple de la longi-
tud de uno de sus catetos. 
Halla la tangente del ángulo 
opuesto a este cateto.
a) 2 2
b) 3 2/
c) 2 4/
d) 5 3/
e) ½
12. En un triángulo rectángulo 
el semiperímetro es 60, la 
secante de uno de sus ángu-
lo agudos es 2,6. Calcula la 
mediana relativa a la hipote-
nusa.
a) 22 d) 28
b) 24 e) 29
c) 26
UNI 15. Si O y O1, son centros, cal-
cula Tana.
a) 2 1+
b) 2 2+
c) 2 1
3
+
d) 2 1
3
+
e) 2
Claves
01. a
02. d
03. e
04. a
05. d
06. e
07. a
08. b
09. d
10. d
11. a
12. c
13. a
14. a
15. b
13. Del triángulo calcula Tanb
a) 10 4/
b) 5 3/
c) 7 4/
d) 3 2/
e) ½
14. Si AC es diámetro. Calcula 
“Cotq” siendo 
 AF = 5, BE = 2 y BD = 1.
a) 3 6 4/
b) 6 2/
c) 3
4
2
d) 2
3
e) 6
4
A
B
CD
β
6
4
α O1
O
A
B
C
5 12
β
α
I
A
F
C
D
OE
θ
B
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5TO AÑO
28
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la 
proporción existente entre sus lados.Destacan los siguientes triángulos:
a) De 30° y 60° b) De 45° y 45° c) De 37° y 53°
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
30° 45° 60° 37° 53°
Seno
2
1
2
2
2
3
5
3
5
4
Coseno
2
3
2
2
2
1
5
4
5
3
Tangente
3
3 1 3
4
3
3
4
Cotangente 3 1
3
3
3
4
4
3
Secante
3
2 3 2 2
4
5
3
5
Cosecante 2 2
3
2 3
3
5
4
5
Advertencia pre Por lo tanto: 
 Tan A c b
a
2 = +
 Cot A a
c b
2 =
+
Razones trigonométricas de 
ángulos notables
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29
TRIGONOMETRÍA
Integral
1. Calcula “x” en la igualdad: 
2xSen30° + 2Sec260° = 4xTan45° + 5Cos53°
2. Halla el valor de:
L=(Sec53°+Cot37°)Cos60°Cot45°
3. Del gráfico, calcula Tanq
PUCP
4. Del gráfico, calcula Tanq si en triángulo ABC es 
equilátero.
Resolución:
Tanq = 6
3
5. Del gráfico, calcula Tana (ABC: equilátero)
6. Del gráfico, halla: SenxCscy
7. Halla: Cot 2
45
UNMSM
8. Calcula:
M = 4Tana + 7Tanq
Resolución:
 
Piden:
M = 4Tana + 7Tanq
M = 
2
4
8
3
7
7
3 3+
 M = 4 3
9. Del gráfico, calcula: 
N = 27Tana – 29Tanq
Trabajando en clase
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5TO AÑO
30
10. Si Senq = Tan37°
 Calcula: 
E = Tan7 1θ +
11. Del cubo mostrado, halla Cos2a + Tan230°
UNI
12. Del gráfico, calcula Tanq 
 (ABCD es un cuadrado)
Resolución
Del gráfico: Tanq = 2
1
13. Del gráfico mostrado calcular “Tanq + Tan60°”
 (ABCD: cuadrado)
14. De la figura mostrada, calcula el perímetro del 
triángulo.
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31
TRIGONOMETRÍA
Sigo practicando
1. Calcula “x” en: 
a) 1 c) e) 
b) 2 d) 
2. Halla el valor de:
 
a) 6 c) 8 e) 10
b) 7 d) 9
3. Del triángulo, calcula: 
A
B
C
10
45° 
11 
a) 1,1 c) 2,3 e) 6,2
b) 1,8 d) 4,5
4. Calcula Cotq 
45°  53° 
a) 1/6 c) 8 e) 1/3
b) 1/7 d) 1/8
5. Si: 
 Calcular: f(2)
a) 2° c) 22 e) 24
b) 2’ d) 23
6. Halla: 
 
a) c) 3 e) 2
b) d) 
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5TO AÑO
32
1. b
2. b
3. a
4. a
5. d
6. c
7. d
8. c
9. d
10. b
Claves
7. Del gráfico, halla “x”.
2x-13x+1
37° 
a) 2 c) 6 e) 10
b) 4 d) 8
8. Del gráfico, calcula Tanq

37°
 
a) c) e) 
b) d) 
9. Si Tanq=Sen37º, calcula 
a) c) e) 3
b) d) 6
10. Del cubo mostrado, halla 

 
a) 1 c) 1/2 e) 3
b) 2 d) 1/3
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33
TRIGONOMETRÍA
Esquema formulario
60°
30°
K 2K
K 3
45°
45°
K
K
K 2
37°
53°
4K
3K
5K
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5TO AÑO
34
Integral PUCP
1. Calcula “x” si: 
 xTan245°-Csc230°= 8Tan37°.
a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
2. Halla el valor de:
 N = (Sec37° - Tan37°).
Sec260°
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3. Del gráfico, calcula " "Cotq
a) 1 d) 3
b) 2 e) 1/3
c) 1/2
4. Del gráfico, halla " "Tanq
a) 2/3 d) 3/5
b) 3/2 e) 1/2
c) 5/3
Tarea
5. Del gráfico, halla: 
 Sen Csca q.
a) 5/6
b) 6/5
c) 3/2
d) 2/3
e) 1
6. Halla: Cot 53ϒ
2a) 1
b) 2
c) 3
d) 1/2
e) 1/3
7. Calcula “x” si: 
5 53 45
2 30
4 60Cos xTan
Sen
Secϒ+ ϒ
ϒ
= ϒ
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
8. Del gráfico, calcula tanb
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 2
e) 3
UNMSM
9. Si Cos Cotq = ϒ53
 Calcula:
 
 N Csc Cot= +7( )q q
a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
10. Del cubo mostrado, halla:
 Csc Tan2 260q+ ϒ 
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
11. Calcula 
E Tan Sen Cos= + +4
4
6
6
3
3
≠ ≠ ≠
a) 5,5
b) 6,5
c) 7,5
d) 8,5
e) 9,5
12. Si en el gráfico: AB=BC. 
Halla " "Tanq
a) 2/9 d) 1/3
b) 4/9 e) 2/5
c) 2/3
37°
θ
α θ
37° 30°
10
45° β
m 3m
θ
A
B
C
53°θ
M
5 2
B
15 CA
45º θ
π
°
° ° °
°
°
°
π π
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35
TRIGONOMETRÍA
13. Del gráfico, calcula " "Cota
 (ABCD: cuadrado)
a) ½
b) 2
c) 1/3
d) 3
e) 1
UNI Claves
01. e
02. b
03. b
04. a
05. b
06. b
07. e
08. b
09. d
10. c
11. d
12. b
13. b
14. b
15. e
14. De la figura mostrada, cal-
cula el perímetro del trián-
gulo 
a) 14
b) 24
c) 34
d) 44
e) 54
15. Del gráfico, obtén " "Tanq
a) 4/3
b) ¾
c) 5/4
d) 2/3
e) 4/5
α
53°
4b 6a
53°
37°
θ
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5TO AÑO
36
Si tomamos el triángulo ABC, recto en C, como 
referencia:
RAZONES RECÍPROCAS
Son aquellas parejas de R. T. cuyos valores son 
inversos, por ejemplo:
SenA = c
a ⇒ CscA = a
c
Ahora, si multiplicamos estas R.T. tendríamos:
SenA . CscA = . 1c
a
a
c =
En conclusión:
 SenA . CscA = 1
 CosA . SecA = 1 ⇒	 Ángulos iguales
 TanA . CotA = 1
RAZONES COMPLEMENTARIAS
Llamadas también co–razones, se caracterizan por 
tener igual valor numérico solo si sus ángulos suman 
90°, por ejemplo:
SenA = c
a y CosB = c
a
→ SenA = CosB
Generalizando:
 SenA = CosB
 TanA = CotB ⇒	 A + B = 90º
 SecA = CscB
También se puede escribir: 
R.T.(q) = Co-R.T. (90º – q)
Tener en cuenta:
Para que estas propiedades se cumplan los 
ángulos tienen que ser agudos.
Trabajando en clase
Integral
1. Indica V o F según corresponda:
I. Sen25° = Cos65° ..................................... ( )
II. Tan20°.Cot70°=1 .................................... ( )
III. Cos50°.Sec40°=1 .................................... ( )
IV. Tan(15°+x)=Cot(75°-x) ......................... ( )
2. Calcula “Sen3x”, si: 
Sec(3x–20°) = Csc(5x+30°)
3. Sabiendo que:
Tan3x.Cot(48°-x)=1
Calcula: 
E = Sec25x - 4Tan(3x + 1°)
UNMSM
4. Si: (Cos17°+5Sen73°).Sec17=4Tana
(0°< a <90°) halla el valor de: 
M = Sena + 5Cosa
UNMSM2002
Propiedades de las Razones 
Trigonométricas
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37
TRIGONOMETRÍA
Resolución:
(Cos17 + 5 Sen73°) . Sec 17° = 4Tana
(Cos17 + 5 Cos17°) . Sec 17° = 4Tana
6Cos17°Sec17° = 4Tana
144424443
 6(1) = 4Tana
CA
CO Tan2
3 α=
"
"
Piden:
M = Sena + 5Cosa
 M = .
13
3 5
13
2+
M = 
13
13 13=
5. Reduce: P=(7Sen42°+2Cos48°).Csc42°+5Sec60°
6. Reduce: 
M = º º º... º
º º º... º 3 20º 70ºCos Cos Cos Cos
Sen Sen Sen Sen Tan Tan1 2 3 89
1 2 3 89 +
(UNMSM 2005)
7. Si: Sen(4x+10°)Tan(3x+30).Secx=Cot(60°-3x)
 Calcula: P = 6Tan2(3x - 18°) + 7Tan6(x+29°)
(UNMSM 1992)
PUCP
8. Si Tan5x=Cot6x, simplifica: 
L = Cos x
Sen x
Cotx
Tan x
3
8 10+
Resolución:
Dato: Tan5x = Cot6x
 5x + 6x = 90°
 11x = 90°
 
 11x = 90° 11x = 90°
 14243	 	 	 14243	
8x + 3x = 90° 10x + x = 90°
Sen8x = Cos3x Tan10x = Cotx
Cos x
Sen x
3
8 1= Cotx
Tan x10 1=
Piden:
L = Cos x
Sen x
Cotx
Tan x
3
8 10+
L = 1 + 1 ⇒ L = 2
9. Si Cos4x.Sec(90° - 3x) = 1. Halla el valor de: 
L = Cosx
Sen x
Cot x
Tan x
Csc x
Sec x6
2
5
3
4+ +
10. Considera a = x y 60+ +_ i° y b = x y 10- +_ i° 
en el primer cuadrante de modo que: 
 SenaSecb = 1. Hallar “x”. 
(UNMSM 2008-II)
11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se tiene: 
SenA SenA SenA CosB SenA= _ i
 Halla. “CscA”
UNI
12. Si q es la medida de un ángulo agudo que verifica 
la igualdad:
Sec Tan Csc Tan3 4
≠ θ ≠ θ=b bl l
Calcula el valor de: 
E
Cos Sen
Sen Cos2
θ θ
θ θ= -
-
Resolución:
Dato: 
Sec Tan Csc Tan3 4
≠ θ ≠ θ=b bl l
90Tan Tan3 4
≠ θ ≠ θ+ =
60ºTanq + 45
Tan105 906θ =7
CA
CO Tan7
6 θ=
"
" 
Piden: 
E = 
Cos Sen
Sen Cos2
θ θ
θ θ
-
-
E = 
m m
m m
7 6
2 6 7
-
-
 ⇒ E = 
m
m
1
5
 ⇒ E = 5
13. Si q es la medida de un ángulo agudo que verifica 
la igualdad: 
 Sen Cot6
≠ θb l = Cos Cot4
≠ θb l
 Calcula el valor de: E
Cos Sen
Cos Sen
θ θ
θ θ= -
+
14. Sabiendo que:
Tan(40°+x).Sen(50°-x)=Cos(10°+x) Tan(2x-5°).
Tany=Tan1°.Tan2°.Tan3°.Tan4°…..Tan89°.
Calcula: E=Sec2(2x+5°)+Tan2(y+5°)+Csc2(y-x-5°)
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5TO AÑO
38
Sigo practicando
1. Indica V o F según corresponda:
 I. Sen20°=Cos20°
 II. Tan10°.Cot80°=1
 III. Sec(2x+10°)=Csc(80°-2x)a) VVV c) FFV e) VFF
b) FFF d) VVF
2. Calcula “Sen(x+14°)”
 Sen(2x-10°)=Cos(3x+20°)
a) 1/2 c) e) 4/5
b) d) 3/5
3. Sabiendo que:
 Tan5x.Cot(22°+3x)=1
 Calcula:
 E=2Sen(3x-3°)+3Tan(4x+1°)
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
4. Calcula “z” en:
 Tan(z+25°)=Cot(z-15°)
a) 10° c) 40° e) 8°
b) 20° d) 16°
5. Reduce: 
 
a) 3 c) 5 e) 7
b) 4 d) 6
6. Sen(4x+20°).Tan(x+10°).Secx=Cot(80°-x)
 Calcula: P=2Sen(x+16°)+Tan2(x+46°)
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
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39
TRIGONOMETRÍA
1. c
2. a
3. d
4. c
5. c
6. c
7. e
8. e
9. c
10. e
Claves
7. Si: Sen5x.Csc(80°-3x)=1
 
 Calcula: N Sec x Tan x= ( )+2 92 3 6
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
8. Si: Cos(9x-40°).Sec(50°-2x)=1, 
 calcula: 
a) 3/2 c) 3 e) 4
b) 5/4 d) 2
9. Sean: y , 
de modo que: 
 Halla el valor de “x”. 
a) 1 c) 9 e) 25
b) 4 d) 16
10. En un triángulo ABC, recto en B, se tiene: 
 
 
 Hallar “CosC”
a) ¼ c) 4/5 e) 7/8
b) 3/5 d) ½
Esquema formulario
RAZONES RECÍPROCAS
Sen A · Csc A = 1
Cos A · Sec A = 1
Tg A · Ctg A = 1
RAZONES COMPLEMENTARIAS
Sen A = Cos C
Tg A = Ctg C
Sec A = Csc C
mA + mC = 90°
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5TO AÑO
40
Integral PUCP
1. Indica V o F según corresponda:
I. Sen75°=Cos15°
II. Tan22°.Cot68°=1
III. Secx=Csc(90°-x)
a) VVV
b) VVF
c) VFF
d) VFV
e) FFF
2. Calcula “Sen(x+12°)” si: Sec(2x+30°)=Cs-
c(3x-30°)
a) 3 2/
b) 1/2
c) 1 2/
d) 3/5
e) 4/5
3. Sabiendo que:
 Tan5x.Cot(45°-4x)=1
 Calcula: 
 E=Tan9x+Sen6x
a) 1 
b) 2 
c) 3
d) 3/2
e) 2/3
4. Calcula el valor de “x” si: 
 Sen(x+10°) = Tany Csc(2x-10°)=Coty
a) 15° d) 20°
b) 10° e) 30°
c) 25°
Tarea
5. Reduce: 
N Cos Cos Cos Cos
Sen Sen Sen Sen
= ϒ ϒ ϒ ϒ
ϒ ϒ ϒ ϒ
+1 2 3 9
1 2 3 89
. . .....
. . .....
55 20 70Sen Secϒ ϒ
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
6. Si: Sen(3x+10°)Tan(x+60°)Sec2x=Cot(30°-x)
 Calcula: P=5Sen(2x+5°)+Tan(3x-3°)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. Calcula: 
 E
Sec Sec Sec Sec
Csc Csc Csc
= ϒ+ ϒ+ ϒ+ + ϒ
ϒ+ ϒ+ ϒ+ +
10 20 30 80
10 20 30
...
... CCsc80ϒ
a) 1
b) 2
c) 2
d) 3
e) 3 2−
8. Si: Cos(2x).Sec(48°-x)=1 ∧ Tan2y=Cot4x
 Calcula E=Cot2(x+y+1°).Cot(3y-2°)
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Cos1°, Cos2°, Cos3°....Cos9°,
Sen1°, Sen2°, Sen3°....Sen9°, 5Sen20° Sec70°
Sec10° + Sec20° + Sec30° +...+ Sec80°
Csx10° + Csc20° + Csc30° +...+ Csc80°
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41
TRIGONOMETRÍA
Claves
01. d
02. b
03. d
04. d
05. c
06. d
07. a
08. d
09. d
10. a
11. b
12. a
13. e
14. e
15. b
UNI
UNMSM
9. Consideremos q = + + ϒ( )x y3 65 y 
 a = − + ϒ( )x y3 15 en el primer cuadrante de 
 modo que: Sen Secq a. =1, halla “x”.
a) 1 d) 25
b) 4 e) 36
c) 9
10. En un triángulo ABC, recto en C, se tiene:
 CosB CosB CosB SenA CosB= ( ) . 
 Halle “SecB”
a) 8/7 d) 7/6
b) 7/8 e) 2
c) 6/7
11. Si Tan3x=Cot7x, calcula: E=Tan5x+Sen5x.
Sec4x
a) 1 d) 2 1+
b) 2 e) 3 1+
c) 3
12. Si Tan3x.Tan(x+42°)=1
 Calcula E=Sec25x-4Tan(3x+1°)
a) 1 d) 3
b) -1 e) 0
c) 2
13. Si “q” es la medida de un ángulo que verifica:
 
Sec Tan Csc Tan≠ q ≠ q
6 18( ) = ( )
 Calcula el valor de: E Sen Cos
Sen Cos
= +
−
q q
q q
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
13
e) 13
5
°
°
π π
14. Sabiendo que:
 Tan(70°+x).Sen(20°-x)=Sen3x
 Calcula: E=Sec2(x+10°)+Tan2(x+25°)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
15. Si a y b son complementarios, además: 
 
 
Sen Sen Cos Cos( ( )) ( )a ≠ a b b ≠ a b− ⋅ = + ⋅ 
 Calcula 1 1
a b
+
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
UNI
ππ
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5TO AÑO
42
REGLA GENERAL
 
Lado incógnita = (Lado dato) × R.T.(q)
Caso 1
 
Caso 2
Caso 3
Advertencia pre
 
S: área
S abSen2
θ=
Resolución de triángulos rectángulos
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43
TRIGONOMETRÍA
Integral
1. Halla “x” en función de los da-
tos dados.
2. Halla “x” en función de q y a
3. Determina el área del triángu-
lo ABC.
PUCP
4. En un triángulo rectángulo 
ABC (B=90°) uno de los ángu-
los agudos mide “q” y el cateto 
opuesto a este mide “n”. Obtén 
el perímetro del triángulo.
Resolución:
n
AB Cot AB nCot
n
AC Csc AC nCsc
"
"
θ θ
θ θ
= =
= =
Piden: 
 perímetro
1444442444443
n + nCotq + nCscq
n(1 + Cotq + Cscq)
5. En un triángulo rectángulo, 
uno de los ángulos agudos 
mide a y su cateto adyacente 
mide “a”. Halla el perímetro de 
dicho triángulo.
6. Determina “x” en función de 
“m” y “a”
7. Determina “x” en función de 
“m”, “a” y “q”
UNMSM
8. Si ABCD es un cuadrado, ha-
lla “x”.
Resolución:
m
DC Cot
DC mCot
a
a
=
=
ABCD: cuadrado
⇒ AD = DC
 x + m = mCota
x = m(Cota – 1)
9. Si ABCD es un cuadrado, ha-
lla “x”
10. Halla AB es función de “R” y 
“q“
11. En la figura, halla “x” 
(UNMSM - 2003)
UNI
12. Del gráfico mostrado, halla 
“x”.
Trabajando en clase
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5TO AÑO
44
Resolución
 .
a
ED Sen
ED a Sen
θ
θ
=
=
14. Del gráfico, halla ED en fun-
ción de “R” y “q”.
 
.
b
FD Cos
FD b Cos
θ
θ
=
=
(EBCF: rectángulo)
→ BC = EF
 14243
 BC = ED – FD
 x = aSenq – bCosq
13. Halla “x” en función de “m” y 
“n” y “q”.
Esquema formulario
A B
C
a
 A B
C
a

aSen
aCos
A B
C
a
 A B
C
aSec

aTan
a
A B
C
a
 A B
C
aCsc

a
aCot
A
B
C
a

b
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45
TRIGONOMETRÍA
Sigo practicando
1. Halla “x” en función de los datos dados:
m x

 
a) mCota c) mSena e) mCosa 
b) mTana d) mSeca 
2. Halla “x” en función de “a” y “q”
x m

 
a) Tana c) mTana e) mCosa
b) mCota d) mSeca 
3. Determine el área del triángulo
m
 
a) mCos2a/2 c) m2Cota/2 e) m2Seca/2
b) m2Tana/2 d) m2Sena/2
4. Halla “x”
x
m

 
a) mSecaCota b) mTanaSena 
c) mSenaCosa d) mCosa
e) mCotaCosa
5. Halle “x” en función de “m” y “a”
x
m

 
a) mSenaCosa d) mCosaCota
b) MsecaTana e) mCotaSena
c) mCosaSena
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5TO AÑO
46
6. Halla “x”:
m
x


 
a) d) 
b) e) 
c) 
7. Calcula “x”.
 
x
a 
a) d) 
b) e) 
c) 
8. En la figura, calcula “x” en términos de “a”, “f” y 
m.
 
x m
 
a) d) 
b) e) 
c) 
9. Halla CD en función de “m” y “a”.
C D
O
m
2 
a) d) 
b) e) 
c) 
10. Halla “x”

K
x
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
1. a
2. b
3. c
4. c
5. d
6. b
7. c
8. a
9. b
10. a
Claves
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47
TRIGONOMETRÍA
Integral
PUCP
1. Halla “x” en función de los 
datos dados 
 
 
a) aSena d) aSeca
b) aCosa e) aTana
c) aCsca
2. Halla “x” en función de " "q 
y “m”
a) mSecq d) mTanq
b) mSenq e) mCotq
c) mCosq
3. Determina el área del trián-
gulo
a) m Cos Sec
2
2
a a
b) mSenq
c) m Tan Cot
2
2
a a
d) m Tan Sec
2
2
a a
e) m Sen Cos
2
2
a a
Tarea
5. Halla “x” en función de 
 " ", " " " "b a y m
a) mCos Seca b
b) mCos Cosa b
c) 2 mSen Tana b
d) mSec Seca b
e) mSen Cota b
6. Calcula “x”
a) mSen Tana q
b) mSen Cosa q
c) mCos Cosa q
d) mTan Cota q
e) mTan Sena q
7. Del gráfico, halla AC
a) mSenx+nCosy
b) mTanx+nCoty
c) nCosx+mtany
d) mCosx+nCosy
e) nSenx+mCosy
8. Del gráfico " "Tanf halla en 
función de “q”
a) 0 5, Tanq
b) 0 6, Tanq
c) 0 7, Tanq
d) 0 8, Tanq
e) 0 9, Tanq
x
a
α
x
m
θ
4. Halla “x”
a) mSen Cotb a
b) mCos Seca b
c) mCot Secb a
d) mTan Tana b
e) mSen Cota b
x
βα
m
α
β
m x
α
θ
x
m
A
B
C
x y
nm
θ φ
23
α
m
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5TO AÑO
48
9. Halla EF en función de “b” 
y “a”
 
a) aTanb
b) 2Cosb
c) 2aCosb
d) 2aCotb
e) aSeca
10. Halla “x”
a) KTan Sec2 4ψ ψ
b) KTan Cosψ ψ
c) KTan Secψ ψ4
d) KTan Senψ ψ
e) KTan Senψψ2
11. Calcula “x” si “M” es punto 
medio de AC.
a) 2Senψ
b) 2Tanψ
c) Tanψ
d) 2 1Tanψ −
e) 3 2Tanψ −
UNI
Claves
01. a
02. c
03. e
04. e
05. d
06. c
07. d
08. b
09. c
10. c
11. a
12. d
13. c
14. a
15. c
13. Halla “x”
a) mCot nSeca a+
b) mSec Cosa a−
c) mSen mCosa a−
d) mCot nTana a−
e) mCsc Tana a+
14. Halla ED
a) R Csc( )1+ ψ
b) R Sen( )1+ ψ
c) R Sen1
2
+( )ψ
d) R Sen1 2+( )ψ
e) 2R+1
UNMSM
180°-2β
O
E
F
a
ψ
K
x
A
B
CM
E
x
2
ψ
12. Calcula “Cotx”
a) 3Csc Cotq b
b) 1 2/ Tan Senq b
c) 2Sen Cotq b
d) 2Csc Cotq b
e) 3Cot Secq b
β
θ
x
2
4
x
m
n
α
 
ψ
E
F
DO
R
15. Del gráfico, halla “R” si: 
EC=m
a) m
Tanq −1 
b) m
Cscq −1 
c) m
Secq −1 
d) m Sec( )q −1 
e) m Csc( )q −1
θ
R
A E CO
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49
TRIGONOMETRÍA
DEFINICIÓN
Son aquellos ángulos formados en el plano vertical con dos líneas llamadas visual (línea de mira) y horizontal. 
Si la visual se encuentra sobre la horizontal el ángulo recibe el nombre de “elevación”, de lo contrario recibe el 
nombre de “depresión”
Advertencia pre
Se conoce como ángulo de observación al ángulo formado por dos visuales.
Trabajando en clase
Integral
1. Desde la parte superior de un 
acantilado de 48m se observa 
una lancha con un ángulo de 
depresión de 37 °. ¿A qué dis-
tancia del pie del acantilado se 
encuentra la lancha?
2. Una persona de estatura “ b” 
metros; observa la parte alta 
de un árbol con un ángulo de 
elevación “q”. Halla la altura 
del árbol si la visual para la vi-
sión efectuada mide “a” metros.
3. Un niño de 1 m de estatura ob-
serva los ojos de una señorita de 
estatura 3 con un ángulo de 
elevación a. Calcula la distancia 
que los separa, sabiendo que: 
1Cot 3α = +
PUCP
4. Una persona observa lo alto 
de un edificio con un ángulo de 
elevación de 30° , luego de ale-
jarse 40 m observa nuevamente 
con un ángulo de elevación de 
15° . Halla la altura del edificio
Resolución:
 ∴ x = 20m
Ángulos verticales
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5TO AÑO
50
5. Una persona observa lo alto 
de un árbol con un ángulo 
de elevación de 15°, luego de 
acercarse 12m observa nueva-
mente con un ángulo de ele-
vación 30°. Halla la altura del 
árbol.
6. Desde un punto en el suelo se 
observa la parte superior de 
una estatua con una ángulo 
de elevación de 60° y a la par-
te superior de su pedestal con 
un ángulo de elevación de 30°. 
Si la altura del pedestal es de 
2 m. Halla la altura de la es-
tatua.
7. Desde un punto ubicado en 
la parte superior de un faro 
a 20m sobre el nivel del mar 
, se observa a dos barcos que 
se encuentran colineales con 
ángulos de depresión a y b . 
Si: Cota – Cotb = 10, halla la 
distancia entre dichos barcos.
UNMSM
8. En la parte superior de un 
edificio se encuentra una ban-
dera; a 12 m de distancia del 
edificio se observa la parte 
inferior y superior del asta de 
la bandera con ángulos de ele-
vación a y b, respectivamente. 
Halla la altura del asta si: 
Tana = 1,5 y Cotb = 0,6
Resolución:
Dato: Tana = 1,5
 a12 2
3=
 → a = 18
Dato: Cotb = 0,6
 
2 12 6
x a 10+ =
 20=x+a
 20=x+18
 x=2
9. Es la parte superior de un edi-
ficio, se encuentra una antena, 
a 15 m de distancia del edifi-
cio se observa la parte inferior 
y superior de la antena con 
ángulo de elevación a y q res-
pectivamente: halla la longi-
tud de la antena si:
 Tana = 2 y Tanq = 3
7 
10. Desde la azotea de dos edifi-
cios de 20 y 12 metros de al-
tura, se observa un punto en 
el suelo entre ambos edificios 
con ángulos de depresión de 
53° y 37°, respectivamente. 
Calcula la distancia entre am-
bos edificios.
11. A 20 de una torre, se observa 
su parte más alta con un án-
gulo de elevación a y si nos 
alejamos 10 m el ángulo de 
elevación es el complemento 
de a. Halla Tana.
UNI
12. Un avión que inicialmente se 
encuentra a 2800 m de altura 
sobre un objeto, empieza a 
descender con un ángulo de 
37° por debajo de la línea ho-
rizontal 500 m en total, luego 
avanza en forma horizontal 
una distancia “x” y en ese pre-
ciso instante el piloto observa 
el objeto con un ángulo de de-
presión de 45°. Halla “x”.
Resolución:
 Objeto
Del gráfico: 400 + x = 2500
 x = 2100m
13. Un avión que inicialmente se 
encuentra a 2700m de altura 
sobre un objeto, empieza a des-
cender con un ángulo de de-
presión de 45°, 600 2 m, lue-
go avanza en forma horizontal 
“x” y en ese instante el piloto 
observa el objeto con un án-
gulo de depresión de 37°, halla 
“x”.
14. Desde un punto en el suelo se 
observa lo alto de un edificio 
con un ángulo de elevación 
a, si avanzamos el triple de la 
longitud de dicho edificio, el 
nuevo ángulo de elevación se-
ría el complemento de a. Ob-
tener el valor de: .
K = Tan2a + Cot2a
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51
TRIGONOMETRÍA
Sigo practicando
1. Desde la parte superior de un edificio de 42 m 
se observa un carro con un ángulo de depresión 
de 30°. ¿A qué distancia del pie del acantilado se 
encuentra el carro?
a) 42 3m c) 48 m e) 52 3 m
b) 42 m d) 84 m
2. Una persona de cierta estatura observa la parte 
más alta de un árbol con un ángulo de elevación 
“b”. Halla la distancia que separa el árbol de la 
persona si la visual para la visión efectuada mide 
“z” metros.
a) c) e) 
b) d) 
3. Una persona de 2 m de altura observa la base de 
un poste de luz con un ángulo de depresión “a”. 
Calcula la longitud de la visual, sabiendo que: 
 
a) 3 m c) 5 m e) 7 m
b) 4 m d) 6 m
4. Desde lo alto de un edificio de 7,5 m de altura se 
ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación 
de 16°. Si la torre mide 21,5 m, ¿qué distancia se-
para a la casa del edificio?
a) 24 m c) 40 m e) 56 m
b) 32 m d) 48 m
5. Desde un punto ubicado en tierra, se observa la 
parte superior de una estatua con un ángulo de 
elevación de 60° y la parte superior de su pedestal 
con un ángulo de elevación de 45°. Si la altura del 
pedestal es 4m, halla la altura de la estatua.
a) c) e) 
b) d) 
6. Desde un punto ubicado en la parte más alta de 
un faro de 45 m sobre el nivel del mar, se observa 
a dos barcos con ángulo de depresión de b y q. Si 
Cotb-Cotq=6, halla la distancia entre dichos bo-
tes.
a) 250 m c) 290 m e) 350 m
b) 270 m d) 310 m
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5TO AÑO
52
1. a
2. c
3. b
4. d
5. d
6. b
7. a
8. c
9. b
10. e
Claves
7. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un 
faro con un ángulo de elevación de 15°. Si nos 
acercamos 40 m, el ángulo de elevación se dupli-
ca. ¿Cuánto mide el faro?
a) 20 m c) 30 m e) 40 m
b) 25 m d) 35 m
8. Si a 20 m de un poste se observa su parte más 
alta con un ángulo de elevación de 37° y luego nos 
acercamos al poste un distancia igual a su altu-
ra, con el nuevo ángulo de elevación es q. Calcula 
Cotq.
a) 3 c) 1/3 e) 1
b) 2 d) 1/2
9. Desde la parte superior de dos torres de 36 y 24 
m de altura se observa un punto en el suelo entre 
ambas torres con ángulos de depresión de 53° y 
74°, respectivamente. Calcula la distancia entre 
ambos edificios.
a) 32 m c) 36 m e) 42 m
b) 34 m d) 40 m
10. Desde lo alto de un faro se divisan dos barcos con 
ángulos de depresión de “a” y “90-a” a una dis-
tancia de su base iguales a 90 y 40 m respectiva-
mente. Calcula Cota.
a) 3/2 c) 1/6 e) 2/3
b) 1/2 d) 4/3
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53
TRIGONOMETRÍA
Esquema formulario
Línea horizontal
Líne
a vi
sual
: Ángulo de elevación
Observación: 0°<<90°
Línea horizontal
Línea visual
: Ángulo de depresión
Observación: 0°<<90°
ÁNGULOS VERTICALES
Á
N
G
U
LO
S 
V
ER
TI
C
A
LE
S
Á
N
G
U
LO
S 
D
E 
O
BS
ER
VA
C
IÓ
N

Líne
a Vis
ual
Línea Visual
Observador
El ángulo formado por dos líneas visuales se 
denomina ángulo de observación:
0°<<90°
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5TO AÑO
54
Integral
PUCP
1. Desde la parte superior de 
un acantilado de 40 m se 
observa una lancha con un 
ángulo de depresión de 53°. 
¿A qué distancia del pie del 
acantilado se encuentra la 
lancha?
a) 25 m d) 40 m
b) 30 m e) 45 m
c) 35 m
2. Una persona de estatura “a” 
metros, observa la parte alta 
de un árbol con un ángulo 
de elevación “a”. Halla la 
altura del árbol si la visual 
para la visión efectuada 
mide “x” metros.
a) xSen aa +
b) xCos aa +
c) xTan aa +
d) xCot aa +
e) xCsc aa +
3. Un niño de 1 m de estatura 
divisa los ojos de su madre 
de 1,8 m de estatura, con 
un ángulo de elevación “q” 
y mira además sus pies con 
un ángulo de depresión “y”. 
Calcula K Cot Tan= y q
a) 0,8 d) 0,6
b) 0,7 e) 0,4
c) 0,9
Tarea
5. Desde un punto ubicado en 
tierra, se observa la parte 
superior de una estatua con 
un ángulo de elevación de 
60°, y la parte superior de su 
pedestal con un ángulo de 
elevación de 30°. Si la altura 
del pedestal es 3m, halla la 
altura de la estatura.
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
e) 7 m
6. Desde el punto ubicado 
en la parte superior de un 
acantilado de 30 m sobre 
el nivel del mar, se observa 
a dos botes con ángulos de 
depresión y y f. Si Coty–
Cotf = 5, halla la distancia 
entre dichos botes.
a) 100 m
b) 150 m
c) 180 m
d) 200 m
e) 250 m
7. Desde lo alto de un acanti-
lado se ve un barco a 24 m,. 
de su base con un ángulo de 
depresión de 53°. Calcula la 
altura del faro.
a) 32 m
b) 38 m
c) 46 m
d) 52 m
e) 60 m
8. A 20 m de la base de una 
torre, un hombre observa 
la parte superior de la torre, 
con un ángulo de elevación 
“a”. Si se aleja 20 m y aho-
ra la ve con un ángulo “b”. 
Si Tan Tana b+ = 0 75, , y el 
hombre mide 1,7 m, calcula 
la altura de la torre.
a) 10,7m
b) 11,5m
c) 11,7m
d) 12,5m
e) 13,5m
4. Desde lo alto de un edificio 
de 24 m de altura se divisa 
un poste con un ángulo de 
elevación de 30° y la base 
del poste con un ángulo de 
depresión de 60°. Calcula la 
diferencia de alturas entre el 
edificio y el poste.
a) 8 3 m
b) 8 m
c) 6 m
d) 6 3 m
e) 16 m
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55
TRIGONOMETRÍA
9. Desde la parte superior de 
dos edificios de 26 y 20 m de 
altura, se observa un punto 
en el suelo entre ambos edi-
ficios con ángulos de depre-
sión de 30° y 53°, respectiva-
mente. Calcula la distancia 
entre ambos edificios.
 
a) 26 5 15+ m
b) 26 3 15+ m
c) 24 3 20+ m
d) 46 m
e) 46 3 m
10. José se encuentra a 20 m de 
una torre y observa su parte 
más alta con un ángulo de 
elevación “b” y alejándose 
10 m más el ángulo de ele-
vación es el complemento de 
b. Calcula Cot b.
a) 2 6/
b) 2/5
c) 2 5/
d) 1/6
e) 2/5
11. Desde la parte superior de 
una torre se observan dos 
piedras en el suelo con án-
gulos de depresión de 37° y 
53°, respectivamente. Si la 
altura de la torre es 12m y las 
piedras están en línea recta y 
a un mismo lado de la base 
de la torre, calcula la distan-
cia entre las piedras.
a) 7 m
b) 8m
c) 9m
d) 10m
e) 11m
UNI
Claves
01. b
02. a
03. a
04. b
05. d
06. b
07. a
08. c
09. b
10. a
11. a
12. c
13. c
14. b
15. c
13. Un avión que inicialmente 
se encuentra a 3600 m de 
altura sobre un objeto, em-
pieza a descender con un án-
gulo de 53° por debajo de la 
línea horizontal 1000 m en 
total. Luego avanza en forma 
horizontal una distancia “x” 
y en ese preciso instante, el 
piloto observa el objeto con 
un ángulo de depresión de 
45°. Halla “x”.
a) 2100 m
b) 2000 m
c) 2200 m
d) 1900 m
e) 2300 m
14. Desde un punto en el sue-
lo se observa lo alto de un 
edificio con un ángulo de 
elevación “b” y si avanza-
mos el doble de la longitud 
de dicho edificio, el nuevo 
ángulo de elevación sería el 
UNMSM
12. Una persona se dirige a un 
edificio y observa la par-
te más alta del mismo con 
un ángulo de elevación “a” 
después de avanzar 10 m, en 
la misma dirección observa 
otra vez la parte más alta 
del edificio con un ángulo 
de elevación q. Si el edificio 
mide 30 m de altura, halla 
 3
1
3
Tan Cota q +( )
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
complemento de “b”. Obte-
ner el valor de:
 K Tan Cot= +
2b b2
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
15. Subiendo por un camino 
inclinado, de ángulo “q” 
respecto a la horizontal, se 
observa lo alto de una torre 
con un ángulo de elevación 
“2q”. Verificándose que la 
torre mide 3 m y la visual 
7m, ¿Cuál es el valor de 
“Tanq”?
a) 1/7
b) 2/7
c) 3/7
d) 4/7
e) 7/2
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5TO AÑO
56
5. En el gráfico adjunto, calcula la medida del arco 
AB
!
. 
(UNMSM 2006-I)
a) 13 b) 14 c) 27
d) 35 e) 15
6. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe que 
BC=65. Si además CosA = 85
84 determina el pe-
rímetro de dicho triángulo.
(UNFV - 2008)
a) 195 b) 810 c) 910
d) 728 e) 546
7. Halla el valor de “x” en la ecuación: 
6(x–1)Cos245º – (x–40)Csc30º = x2 Tan
260º
(UNMSM 2006-II)
a) 10 b) 21/5 c) 15
d) 21/4 e) 14
Trabajando en clase
Repaso
1. Dos de los ángulos de un triángulo miden 60g y 
12
≠
rad. Calcula el tercer ángulo en grados sexa-
gesimales. 
(UNFV - 2004)
a) 99° b) 111° c) 122°
d) 133° e) 144°
2. ¿Cuántos segundos hay en: b = 2°4’5’’?
(PUCP-2004)
a) 7444’’ b) 7445’’ c) 7446’’
d) 7404’’ e) 7448’’
3. Calcula la longitud del radio de una circunferen-
cia de 56 m de longitud de arco que subtiende un 
ángulo central de 4 radianes.
(PUCP 1995)
a) 12m b) 14m c) 16m
d) 18m e) 20m
4. Calcula q (en radianes) 
(UNAC-1990)
a) 1/2 b) 3/4 c) 2/3
d) 5/2 e) 4/3
π
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57
TRIGONOMETRÍA
8. En la figura, AOC es un cuadrante y AOD es un 
triángulo equilátero. Calcula: 
Q Cot3 34 θ= +
(UNALM 1996)
a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) 3
9. Siendo los menores ángulos positivos que verifi-
can las relaciones:
 Sena . Sec(3a + q) = 1 ...................(I)
 Tana . Tan(2a + q) = 1 ...................(II)
 Determina el valor de:
 M = 2Sen(4a – q) + Tan(2q – a)
(UNALM - 2006)
a) 5 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
10. En la figura, calcula “x” si “D” es punto medio de 
AC
(UNAC 2006-I)
a) 2aCosaSenb b) 2aCotaSenb
c) 2aCscaCscb d) 2aSenaCosb
e) 2aCotaCosb
11. Halla la longitud de la piscina “x” en función de 
los datos mostrados.
(UNI 1998-I)
a) LCosq + d + (h + LSenq) Cotf
b) LCosq + d + (h + LSenq) Tanf
c) LSenq + d + (h + LCosq) Tanf
d) LSenq + d + (h + LCosq) Cotf
e) LSenq + d + (h + LSenq) Cotf
12. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un 
edificio y de la antena que se encuentra en su par-
te más alta. Los ángulos de elevación son 45° y 
53°, respectivamente. Si la longitud de la antena 
es de 6 m, ¿Cuál es la altura del edificio?
(UNALM - 2001)
a) 2 b) 12 c) 18
d) 24 e) 36
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5TO AÑO
58
Sigo practicando
1. Dos ángulos de un triángulo miden 50g y . 
Calcula el tercer ángulo en grados sexagesimales.
a) 117° c) 112° e) 98°
b) 107° d) 100°
2. Indica la cantidad de segundos en: N=3°6’7’’
a) 10167’’ d) 9667’’
b) 11167’’ e) 12157’’
c) 10067’’
3. Calcula la longitud de radio de una circunferen-
cia de 36 m de longitud de arco que subtiende un 
ángulo central de 3 radianes.
a) 10 m c) 12 m e) 14 m
b) 11 m d) 13 m
4. Calcula S1/S2, si son áreas

2
S1
S2
 
a) 1 c) 2,5 e) 4,5
b) 1,5 d) 3,5
5. En un triángulo rectángulo DEF (recto en E), 
donde DE=3 y EF=7. Si se prolonga EF hasta el 
punto G y , calcula la longitud de 
FG.
a) 5 c) 3 e) 1
b) 4 d) 2
6. Halla el valor de “x” en la ecuación:
 
a) -1 c) 3 e) 1
b) -2 d) 0
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59
TRIGONOMETRÍA
1. a
2. b
3. c
4. b
5. a
6. d
7. e
8. d
9. d
10. c
Claves
7. Calcula:
 B=(2Sen10°+3Cos80°)(3Csc10°-2Sec80°)
a) 6 c) 7 e) 5
b) 8 d) 9
8. Calcula “x” en: Cot(x-15°)=Tan(x+25°)
a) 30° c) 15° e) 10°
b) 16° d) 40°
9. Calcula Tanb. (DEFG:es un cuadrado)
D E
F G

 
a) 2 2/ c) 2 e) 3 
b) 3 d) 2
10. Indique “x” en términos de “b”, “b” y “y”
b

x
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
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61
TRIGONOMETRÍA
Ángulos en posición normal
Un ángulo trigonométrico está en posición normal 
si su vértice está en el origen de coordenadas y su 
lado inicial coincide con el lado positivo del eje de las 
abscisas. El lado final se ubica en cualquier cuadrante 
que indicará a que cuadrante pertenece el ángulo. Si 
el lado final coincide con un semieje; el ángulo no 
pertenece a ningún cuadrante.
Ejemplo:
a
b
g
q x
y
a ∈ IC b ∈ IIC
 g ∈ IIIC q ∈ IVC 
Nota: Los ángulos en posición normal también se 
denominan ángulos canónicos o stándard.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN 
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Si q es un ángulo canónico; sus razones trigonométricas 
se obtienen conociendo un punto del lado final como 
P(x;y) y se aplican las definiciones siguientes:
y
y
x
r
P(x;y)
x
q
 
Observaciones:
y: ordenada
x: abscisa
r: radio vector
r = x y2 2+
Sen q = r
y
radio vector
ordenada= ⇔ Cscq = y
r
ordenada
radio vector=
Cosq = r
x
radio vector
abscisa= ⇔ Secq = x
r
abscisa
radio vector=
Tanq = x
y
abscisa
ordenada= ⇔ Cotq = y
x
ordenada
abscisa=
Nota
Para recordar las definiciones anteriores, 
utilice los siguientes cambios:
Cateto opuesto < > Ordenada
Cateto adyacente < > Abscisa
Hipotenusa < > Radio vector
ÁNGULOS COTERMINALES
Son aquellos, ángulos trigonométricos en posición 
normal cuyos lados finales coinciden, siendo la 
diferencia de sus medidas un múltiplo de 360°, es 
decir, un número positivo de vueltas.
Si a y b son coterminales tal que a > b, entonces se 
cumple:
a – b = k(360°); k ∈ Z
a = 360°k + b
b
a
y
x
a y b: canónicos y coterminales
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5TO AÑO
62
Trabajando en clase
Integral
1. El punto P(1;–3) pertenece 
al lado final de un ángulo en 
posición normal “a”, calcula el 
valor de:
E = 10 Seca + Tana
2. El punto Q(–2;3) pertenece al 
lado final de un ángulo están-
dar q, calcula:
Q = 13 Cscq – Cotq
3. Calcula K = 2
1 Seny – 2Cosy
y
x
(–15;8)
y
PUCP
4. Calcula: Cscq – Sena
y
x
(–12;5)
(4;3)
a
q
Resolución:
y
x
(–12;5)
(4;3)
x y
x y
r=13 r=5a
q
Piden: Cscq – Sena
 5
13
5
3-
 5
10 2=
5. Calcula: Tana + Senq
y
x
(5;13)
(4;–3)
q
a
6. Obtén el valor de Tanb
y
x
53º
b
7. Calcula:
M = Tan
Tan
Sen
Sen
Sec
Sec3 2
θ
α
α
θ
θ
α- -
y
x
q
a
UNMSM
8. Si Cotq = –3
 Calcula el valor de m.
y
x
q
P(m–2;m–3)
Resolución:
P(m–2; m–3)
 ↓ ↓
 x y
Del dato: Cotq = –3
 m
m
3
2
-
- = -3
m – 2 = –3m + 9
4m = 11 → m = 11/4
9. Calcula el valor de “a” si Tana = 4
y
x
(a+1;a–2)
a
10. Calcula:
R = Sen
Sen Sen
Tan
Tan Tan
α
α β
α
α β+ + +
a
b
y
x
11. Obten el valor de “Tanq”
q
y
53º x
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63
TRIGONOMETRÍA
UNI
12. Calcula: E = 3Tana + 1
y
53º
x
a
Resolución:
y
53º
x
a
4
33
(–6;4)
x y
Piden: 3Tana + 1
3
6
4
-d n
 + 1
–2 + 1
–1
13. Calcula 2Cotq – 1, si CB = 2BA
y
45º
x
q
ABC
14. Calcula: Tanq – Cotq
y
x
q
3
C
A
5
O B
Esquema formulario
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
q
y
r
x
(x;y) Elementos:
x: abscisa
y: ordenada
r: radio vector
r = x y2 2+ ; r > 0
Senq = r
y Cscq = y
r
Cosq = r
x Secq = x
r
Tanq = x
y Cotq = y
x
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5TO AÑO
64
Sigo practicando
16. El punto P(1;–5) pertenece al lado final de un 
ángulo en posición normal b, calcula el valor de:
Q = 26 Secb + Tanb
a) 17 b) 19 c) 21
d) 23 e) 25
17. El punto (–3;4) pertenece al lado final de un án-
gulo canónico q, calcula:
R = Secq + Tanq
a) –1 b) –2 c) –3
d) 2 e) 3
18. Calcula:
P = Senq – Cosq
q
y
x
(–12;5)
a) 17/13 b) 17/15
c) 17/12 d) 13/5
e) 13/12
19. Calcula:
E = Secq + Tanq
a
y
13
x
(x;5)
a) 3/2 b) –3/2
c) 3/4 d) –3/4
e) –4/3
20. Obtén el valor de Cota
a
y
45º
x
a) 2 b) 1/2
c) –2 d) –1/2
e) –1
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65
TRIGONOMETRÍA
21. Calcula:
N = Sen
Sen
Tan
Tan3 2
b
q
q
b
-
b
q
y
x
a) 5 b) 3
c) 1 d) –1
e) –3
22. Calcula:
E = Cotb – Cscb
b
y
x
(15;m)17
a) 1/2 b) –1/2
c) 1/4 d) –1/4
e) –4
23. El punto (–9;40) pertenece al lado final 
de un ángulo negativo en posición nor-
mal a, halla el valor de:
E = Csca + Cota
a) 4/5 b) –5/4
c) –4/5 d) 5/4
e) –4/3
24. Calcula:
N = 
Csc
Csc Csc
Tan
Tan Tan2
q
a q
q
a q+ + +
a
q
y
x
a) 5 b) 3
c) 1 d) –1 
e) –3
25. Obtén el valor de Tana
a
y
45º x
a) 2 b) 1/2
c) –2 d) –1/2
e) –3/2
16. C
17. C
18. A
19. B
20. C
21. C
22. C
23. A
24. D
25. D
Claves
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5TO AÑO
66
Integral
1. El punto P(1;–4) pertenece 
al lado final de un ángulo en 
posición normal q, calcula el 
valor de:
Q = 17 Secq + Tanq
a) 9 b) 11 c) 13
d) 15 e) 17
2. El punto Q(–3;2) pertenece al 
lado final de un ángulo están-
dar a, calcula:
P = 13 Sena – 1
a) 0 b) 1 c) 2
d) –2 e) –3
3. Calcula K = Sena + Cosa
a
y
x
(15;–8)
a) 3/13 b) 4/13 c) 5/13
d) 7/17 e) 9/17
4. Si Cota = – 2
3 , calcula “m”
a
y
x
(–9;m)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
PUCP
5. Obten el valor de Tanq
q
y
37º
x
a) –4/7 b) –3/7 c) –5/7
d) –1/7 e) 1/2
6. Calcula: Sen
Sen
Cot
Cot2 4
β
ψ
ψ
β-
y
b
y
x
a) 0 b) 2 c) –2
d) 6 e) –6
7. Si el punto (6;–8) pertenece al 
lado final de un ángulo a en 
posición normal, calcula:
L = 5Cosa + 6Tana
a) –3 b) –4 c) –6
d) –5 e) –10
8. Calcula: SenaCosa
a
y
x
(–2;5)
a) –10/29 b) –5/29
c) 5/29 d) 10/29
e) 20/29
UNMSM
9. Calcula:
L = Cos
Cos Cos
Cot
Cot Cot
θ
α θ
θ
α θ+ + +
a
q
y
x
a) 0 b) 2 c) –2
d) 4 e) –4
10. Obten el valor de Cotq
q
y
37º x
a) –3/7 b) –7/3
c) –4/7 d) –7/4
e) 2/3
11. Calcula el valor de:
E = 5 Cscq – Cotq
q
y
x
(–2;1)
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
Tarea
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67
TRIGONOMETRÍA
Claves
01. C
02. B
03. D
04. D
05. A
06. C
07. D
08. A
09. A
10. B
11. D
12. B
13. E
14. D
15. E
12. Calcula Tan135°
y
135º
x
a) –1/2 b) –1 c) 1/2
d) 1 e) 
UNI
13. Calcula: Q = 8Tana – 1
y
37º
x
a
a) 0 b) –1 c) –2
d) –3 e) –4
14. Calcula: Tanq
y
x
q
4
5
O
a) 3 b) –3 c) 1/3
d) –1/3 e) –1/2
15. Un punto P del lado final de 
un ángulo q en posición nor-
mal es tal que sus coordenadas 
están en progresión geométri-
ca. Al agregarse el doble de la 
ordenada a las coordenadas de 
P, se tiene el punto Q del lado 
final del ángulo a en posición 
normal. Calcula:
E = Tana(Cotq + 2)
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
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5TO AÑO
68
Ángulos cuadrantales y tabla de signos 
de las razones trigonométricas
SIGNOS DE LAS R.T. EN LOS CUADRANTES
IC
VIC
IIC
IIIC
Todas (+)Sen 
(+)Csc
Tan 
(+)Cot
Cos 
(+)Sec
0º; 360º180º
90º
270º 
Obs.: 
Las que no aparecen en los 
cuadrantes, son consideradas 
negativas
ÁNGULO CUADRANTAL
Es aquel en posición normal cuyo lado final coincide con alguno de los semiejes del sistema coordenado, los 
ángulos cuadrantales son de la forma:
Ang. Cuadrantal = 90° . k (k ∈ Z)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
Grados Sexagesimales 0º 360º 90º 180º 270º
Radianes 0 2p
2
≠ p 2
3≠
Seno 0 0 1 0 –1
Coseno 1 1 0 –1 0
Tangente 0 0 N.D. 0 N.D.
Cotangente N.D. N.D. 0 N.D. 0
Secante 1 1 N.D. –1 N.D.
Cosecante N.D. N.D. 1 N.D. –1
π π
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TRIGONOMETRÍA
Trabajando en clase
UNMSM
8. Si Sena = 41
9 , a ∈ IIC
 Calcular: L = Seca + Tana
Resolución
Sena = yr41
9 #
#
r2 = x2 + y2
412 = x2 + 92
x = –40 (ya que a ∈ IIC)
Piden:
L = Seca + Tana
L = 40
41
40
9
- + -
L = 40
50
4
5
- =-
9. Si: Cosx = – 3
1 (x ∈ IIIC)
 Calcula el valor de:
 N = 2 (Cscx – Cotx)
10. Si se tiene que Tana > 0, además:
 Sena = Tan230° – Cot45°, calcula el valor de Cosa
11. Si q es un ángulo en posición normal del tercer 
cuadrante positivo y menor que una vuelta, deter-
mina el signo de:
E = Sen2q . Cot 2
θ . Csc 3
θ
UNI
12. Si: Sen1 θ- + Sen 1θ - = Cosf + 1
 Cuando q y f son positivos y menores que 1 vuel-
ta, calcular:
K = 
Sen
Csc Cos
1
2
φ
θ φ
-
+
Resolución
Dato: Sen Sen1 1θ θ- + - = Cosf + 1
1 – Senq ≥ 0 → 1 ≥ Senq
Senq – 1 ≥ 0 → Senq ≥ 1
→ Senq = 1 ∧ q = 90°
Reemplazando en el dato:
1 1 1 1- + - = Cosf + 1
Cosf = -1 ∧ f = 180°
Integral
1. Señala el signo de:
L = Tan
Sen Cos
320
140 200-
c
c c
2. Indica el cuadrante al cual pertenece q, si se cum-
ple:
Secq < 0 ∧ Tanq > 0
3. Calcula el valor de:
E = (Cos270°)Sen90° – Cos
Tan
0
360
c
c
PUCP
4. Si: 
f(x) = Cos x Cos x Tanx Sec x
Sen x Sen x Sen x
2 4 4 4
2 4 6
+ + -
+ -
 Calcula f 4
≠
b l
Resolución
f(x) = Cos x Cos x Tanx Sec x
Sen x Sen x Sen x
2 4 4 4
2 4 6
+ + -
+ -
f 4
≠
b l = 
Cos Cos Tan Sec
Sen Sen Sen
2 4 4 4 4 4 4 4
2 4 4 4 6 4
≠ ≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
+ + -
+ -
f 4
≠
b l = 
Cos Cos Tan Sec
Sen Sen Sen
2 4 4
2 3 2
≠ ≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
+ + -
+ -
f 4
≠
b l = ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1 1 4 1
1 0 1
+ - + - -
+ - -
f 4
≠
b l = 4
2
2
1=
5. Si: f(x) = 2Sen2x – Cos4x + Csc6x – 3Tan8x
 Calcula f(45°)
6. Indica el cuadrante al que pertenece “q”, si se 
cumple: Senθ . Cotq < 0
7. Calcula el valor de:
Q = (Sec180°)Cot270° + Cos
Csc
360
3 90
c
c
π
π π π
ππ
π
π
π
πππ
πππ
π
π
π
π
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5TO AÑO
70
Piden:
K = 
Sen
Csc Cos
1
2
φ
θ φ
-
+
K = Sen
Csc Cos
1 180
90 1802
-
+
c
c c
K = 
1 0
1 1 2
-
+ -
_
_ _
i
i i
K = 1
2 2=
13. La expresión:
E = 2 4θ θ- + - 
 es real, halla el valor de:
M = Senq + Tanq + Cosq 
 (q: es un ángulo cuadrantal)
14. Si: Sen2a = Sen12
1a + ∧ a ∈ IIIC
 Calcula: 
E = Cota – 4Cosa
UNI - 2001
Esquema formulario
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales
0° - 360º 90º 180º 270º
Seno 0 1 0 –1
Coseno 1 0 –1 0
Tangente 0 ND 0 ND
Cotangente N.D. 0 ND 0
Secante 1 ND –1 ND
Cosecante N.D. 1 ND –1
ND: No definido
IC
VIC
IIC
IIIC
Todas 
(+)
Sen 
(+)Csc
Tan 
(+)Cot
Cos 
(+)Sec
Signos de las razones trigonométricas en 
los cuadrantes:
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71
TRIGONOMETRÍA
Sigo practicando
16. Indica el signo:
T
Sen
Csc Cot
293
168 345= -
%
% %
a) (+)
b) (–)
c) (+) / (–)
d) (+) 0 (–)
e) No se puede determinar
17. Indica el cuadrante al cual pertenece “b”, si se 
cumple:
Cotb < 0 Secb > 0
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) III y IVC
18. Calcula el valor de:
( )
( )
Z
Csc
Sen
Cot
2
2
3
2p
p
p= -
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
19. Indica el cuadrante al cual pertenece “f”, si se 
cumple:
Senf > 0 Cosf < 0
a) IV C b) III C
c) II C d) I C
e) IV y II C
20. Indica el cuadrante al que pertenece “w” si se 
cumple que:
Cotw . Secw < 0
a) IV C b) III C
c) II C d) I C
e) I y III C
21. Calcula el valor de:
Z = (Cos2p)Cot( )2
3p
 + 
Sec
Cos
0
4 2p
%
a) N.D. b) –4
c) 3 d) 4
e) 5
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5TO AÑO
72
22. Si se cumple que:
Tga = 15
8 , a ∈ III C
 Halla: (Sena + Cosa) . 17
a) –7/2
b) –23
c) –1
d) 8
e) –17/2
23. El punto Q(– 2 ;– 7 ) pasa por el final de un án-
gulo en posición normal cuya medida es f.
 Calcula “3Cosf”
a) 2- b) 7
7 
c) 7
9- d) 7
2 3
e) 7
2 7
24. Si se tiene que Sena < 0, además:
 Tana = Sen30°, calcula el valor de Csca
a) –1
b) 2
c) 3-
d) 2
e) – 5
25. Si “a” es un ángulo en posición normal del se-
gundo cuadrante positivo y menor que una vuel-
ta, determina el signo de:
Q = Cosa . Tan 2
a . Sen 3
2a
a) (+)
b) (–)
c) (+) (–)
d) (+) (–)
e) No se puede precisar
16. B
17. D
18. B
19. C
20. B
21. E
22. B
23. A
24. E
25. B
Claves
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73
TRIGONOMETRÍA
10. Si q es un ángulo en posición 
normal del primer cuadran-
te positivo y menor que una 
vuelta, determina el signo de:
P = Sen2q . Cotq . Sec(q + 90°)
a) (+) b) (–)
c) (+) (–) d) (+) (v)
e) No se puede precisar
11. Calcula:
E= ( ) ( )
abCsc
a b Sec a b Cos
2 270
360 1802 2+ + -
c
c c+1
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
12. Los cuadrantes en los cuales la 
cosecante y el seno tengan el 
mismo signo
a) 1° y 2°
b) 1° y 3°
c) Todos los cuadrantes
d) 2° y 3°
e) 3° y 4°
UNI
13. Si Cos1 θ- + Cos 1θ - = 
Senf + 1 cuando q y f están 
comprendidos entre 〈0°;360°], 
calcular:
L = Senq + Cosf + Tanq
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –2
14. Si Cos2a = Cos12
1α + ∧ 
a ∈ IV C
Tarea
Integral
1. Señala el signo:
P = Tan
Sen Cos
125
320 269+
c
c c
a) (+)
b) (–)
c) (+) ∧ (–)
d) (–) ∨ (+)
e) No se puede determinar
2. Indica el cuadrante al que per-
tenece f, si se cumple:
Cscf > 0 Cotf < 0
a) IC b) IIC
c) IIIC d) IVC
e) I y II C
3. Calcula el valor de:
F = Cos2pSenp + Sec
Csc
2
2
3
≠
≠
b l
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
4. Indica el signo de cada expre-
sión
 I. Cos120°Tan100°
 II. Sen200°Tan240°
 III. Sen150°Cos340°
a) +, –, + b) –, +, +
c) –, –, + d) +, +, +
e) –, –, –
PUCP
5. Indica el cuadrante el que per-
tenece “a” si se cumple que:
Seca . Cscα < 0
π
π
a) IC b) IV C
c) I y II C d) III
e) IIC
6. Calcula el valor de:
P = (Cosp)Sec2p – Cos
Csc
2
3 2
3
≠
≠
b l
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
7. Si se cumple que:
Tanb = 3
2 , b ∈ III
 Halla (Secb – Cscb) 13
a) 13/7 b) 6/17 c) 13/6
d) 6/11 e) 1/7
8. Si a y b son medidas de ángu-
los coterminales y se cumple 
que:
Tana < 0 y |Cosb| = –Cosb
 ¿A qué cuadrante pertenece 
“b”?
a) IIIC b) IIC
c) IC d) IVC
e) I y IIC
UNMSM
9. Si se tiene que Tana < 0
 Sena = Cos60° – Tan37°, cal-
cula el valor de Cosa
a) 154 b) 1/3
c) –1/4 d) – 8
15
e) 1/5
π
π
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5TO AÑO
74
 Calcula: Tana
a) 2 b) – 2 c) 2 2
d) –2 2 e) 3 2
15. Con el gráfico mostrado, cal-
cula:
E=
( )
Sen
Cos Sen
3 2
3 6
θ φ
θ φ θ φ
-
- + -
d
d
n
n
R
T
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
=2
f
q
a) – 2
3 
b) 3
2
c) 2
d) 3
4
e) 3
Claves
01. A
02. B
03. C
04. A
05. E
06. C
07. C
08. B
09. A
10. B
11. B
12. C
13. A
14. D
15. E
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75
TRIGONOMETRÍA
Reducción al primer cuadrante
En este capítulo buscaremos determinar las razones 
trigonométricas de ángulos de cualquier medida en 
función de un ángulo agudo.
CASO 1: 
ÁNGULOS NEGATIVOS
Se aplica el siguiente criterio
Sen(–x) = –Senx
Csc(–x) = –Cscx
Tan(–x) = –Tanx
Cot(–x) = –Cotx 
Cos(–x) = Cosx
Sec(–x) = Sec
CASO 2: 
ÁNGULOS MAYORES DE 1 VUELTA (360°)
En este caso se procede a dividir el ángulo entre 360°, 
tomando el residuo en lugar del ángulo original.
CASO3: 
ÁNGULOS MENORES A 1 VUELTA (360°)
En este caso se descompone el ángulo usando un 
ángulo cuadrantal sumado o restado con un ángulo 
agudo, luego se aplica el siguiente criterio.
 
R.T. (180° ∨ 360° ± q) = ± R.T. (q)
R.T.(90° ∨ 270° ± q) = ± Co – R.T. (q)
El signo ± depende de analizar la expresión original 
con la tabla de signos de las razones trigonométricas.
Trabajando en clase
Integral
1. Simplificar:
Q = ( ) ( ) ( )Sen
Sen
Cos
Cos
Tan
Tan2 3
α
α
θ
θ
β
β- + - + -
2. Calcula:
E = Sec1860° – Tan1485°
3. Obtén el valor de:
Q = 4Sen210° + 3Tan315°
PUCP
4. Calcula:
L = Sen150° – Cos240° + Sec2315°
Resolución
 II C
Sen150°= Sen(180° – 30°) = +Sen30° = 2
1
 III C
Cos240° = Cos(180° – 60°) = –Cos60° = – 2
1
 IV C
Sec315° = Sec(360° – 45°) = +Sec45° = 2
Reemplazando:
L = Sen150º – Cos240º + Sec2315º
L = 2
1
2
1 2 2- - +b b _l l i
L = 3
5. Calcula:
E = Cos210º – Tan120º + Cot330º
6. Reduce:
E = Sec(–60º) . Cos(–37º) [5Tan(–45º) + 6Sen(–30º)]–1
7. Calcula:
P = Csc1110º + Cos1440º
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5TO AÑO
76
UNI
12. Si x + y = 180º
 Calcula: 
Sen(Cosx) + Sen(Cosy)
Resolución
Dato: x + y = 180º
 y = 180º – x
Piden:
Sen(Cosx) + Sen(Cosy)
Sen(Cosx) + Sen(Cos(180º-x))
Sen(Cosx) + Sen(–Cosx)
Sen(Cosx) + –Sen(Cosx)
0
13. Si a + q = 360º
 Calcula: P = Sen(Tana) + Sen(Tanq)
14. Siendo q un ángulo agudo tal que:
Cos 1 k
k 1
7
θ-
=
_ i: D( 2/ = 5
 Calcula:
Tan 1 k
k 1
7
θ-
=
_ i: D( 2/
Esquema formulario
ÁNGULOS NEGATIVOS
Sen(–x) = –Senx
Csc(–x) = –Cscx
Tan(–x) = –Tanx
Cot(–x) = –Cotx
Cos(–x) = Cosx
Sec(–x) = Secx
 
ÁNGULOS MAYORES DE 1 VUELTA (360°)
R.T. (2pn ± q) = R.T. (q); n ∈ Z
ÁNGULOS MENOR A 1 VUELTA (360°)
 
R.T. (180° ∨ 360° ± q) = ± R.T. (q)
R.T.(90° ∨ 270° ± q) = ± Co – R.T. (q)
UNMSM
8. En un triángulo ABC, simplificar:
Q = ( )SenC
Sen A B+ – 2Tan(A + B + 2C) . Cot(A + B)
Resolución
A + B + C = 180º
Q = ( )SenC
Sen C180 -c – 2Tan(180º + C) . Cot(180º – C)
Q = SenC
SenC – 2(TanC)(–CotC)
Q = 1 + 2TanC.CotC
 1442443
Q = 1 + 2(1) = 3
9. En un triángulo ABC, simplifica:
L = ( )CosA
Cos B C+ + Tan(A + B + C)
10. De la siguiente expresión:
( ) ( )
x
Sen x Sen x
2
≠ ≠+ + - + x < 2
 Calcula “x”
11. Simplifica:
E = ( )
( ) ( )
Sen x
Sen x Cos x
180
360 270
-
- + -
c
c c
ππ
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77
TRIGONOMETRÍA
Sigo practicando
16. Simplifica:
H = ( ) 2 ( ) ( )Cos
Cos
Cot
Cot
Sen
Sen
q
q
q
q
b
b- + - + -
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
17. Calcula:
J = Sen1110º.Tan413º
a) 1/3 b) 2/3 c) 3/2
d) 3 e) 2
18. Obtén el valor de:
F = Sen233º + Cos307º
a) 0 b) 1/3 c) –1/5
d) 2/5 e) 3/5
19. Calcula:
E = Sen315º.Tan150º
a) 6
6 b) 6
1
c) 6
3 d) 3
2
e) 1/2
20. Reduce:
Q = [Cos(–60º) + Tan(–45º)].2
a) –1 b) 0 c) 1
d) 3 e) 5
21. Calcula:
Cos780º + Tan1117º
a) 3/4 b) 5/4 c) 4/5
d) 6/5 e) 2/5
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5TO AÑO
78
22. Señale el equivalente de Cos(270 – x)
a) Senx b) –Cosx
c) –Senx d) Tanx
e) Cosx
23. Halla el valor de Cos1741p
a) –2 b) –1
c) 0 d) 1
e) –1/2
24. De la siguiente expresión:
 ( ) ( )x
Sen x Sen x
4
p p- + + + x < 4
a) ]–∞;3[ – {0}
b) ]–∞;4[ – {0}
c) ]–∞;4[
d) ]1;4[ 
e) 3
25. Simplifica:
 B = ( )
( ) ( )
Cos x
Cos x Sen x
360
180 90
-
- - +c c
a) –2 b) –1
c) 0 d) 1
e) 2
16. A
17. B
18. C
19. A
20. A
21. B
22. C
23. B
24. B
25. A
Claves
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79
TRIGONOMETRÍA
Tarea
Integral
1. Simplifica:
A = ( ) ( ) ( )
Cos
Cos
Sen
Sen
Tan
Tan3
θ
θ
φ
φ
α
α- - - - - 
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
2. Calcula:
M = Sen1500º – Cos750º
a) 0
b) – 2
3
c) 1
d) 3
e) – 3
3. Obtén el valor de:
P = 8Sen120º + Tan300º
a) 3 3
b) 2 3
c) 3
d) 2
3
e) 1
4. Halla el valor de Sen1680º
a) 2
3-
b) 22
c) 3
2
d) – 2
1
e) 2
1
a) ]–∞;3[ – {0}
b) ]0;3[
c) ]0;2[
d) ]0;3[
e) 2
10. Simplifica:
A = ( )
( ) ( )
Sen x
Sec x Csc x
180
180 270
-
- - -
a) –1
b) 0
c) 1
d) Indeterminado
e) 2
11. Halla el equivalente de:
Z = ( )
( )
Cos x
Sen x
90
180
-
-
c
c
a) –1
b) 0
c) 1
d) Tanx
e) Cotx
12. Halla Tanq
37º q
a) 3/4 b) 3/5
c) 3/10 d) 1/20
e) 3/7
Tarea
PUCP
5. Hallar:
R = Sen(–30º) + Tg(–53º)
a) 611
b) 3/2
c) –11/6
d) 1/2
e) 5
6. Calcula:
M = Tan376º + Sec757º
a) 35/29
b) 38/24
c) 37/24
d) 1/2
e) 3 /2
7. Determina el equivalente de:
Sen(90º + x)
a) Cosx
b) Senx
c) Cscx
d) Sen90º
e) Tanx
8. Determina el equivalente de:
Cos629418p
a) –1
b) 0
c) 1
d) 1/2
e) –1/2
UNMSM
9. De la siguiente expresión, halle x
( ) ( )
x
Tan x Tan x
3
≠ ≠+ + - + x < 3 
ππ
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5TO AÑO
80
UNI
13. Si: x + y = 180º
Calcula: Sen(Tanx) + Sen(Tany)
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –2
14. Siendo q un ángulo del II C, 
tal que:
2Tan 1 k
k 1
5
θ- =
=
_ i: D( 2/
 Calcula el valor de Senq
Claves
01. D
02. A
03. A
04. A
05. C
06. C
07. A
08. C
09. A
10. B
11. A
12. E
13. A
14. B
15. B
a) 
5
1 b) 
5
2 c) 
5
3
d) 3
5 e) 6
5
15. Hallar f sabiendo que está en 
el tercer cuadrante, es positivo, 
mayor que una vuelta y menor 
que dos vueltas “y”
Cosf = –Sen 11
≠
a) 22
5≠ b) 22
75≠ c) 29
33≠
d) 22
41≠ e) 22
69≠π π
π π π
π
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81
TRIGONOMETRÍA
Circunferencia Trigonométrica
I. DEFINICIÓN
 Se llama circunferencia trigonométrica (C.T.) a 
aquella circunferencia cuyo centro coincide con 
el origen del sistema cartesiano y su radio es igual 
a la unidad del sistema
B
A
B’
A’
N
M
a(+)
b(–)
a
b
 A: (1;0) Origen de Arcos
 M y N Extremos de Arco
 B: (0;1) Origen de complementos de arcos
 A’: (–1;0) Origen de suplementos de arcos
 B’: (0;–1) Sin denominación
 a y b Arcos en posición normal
2. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS (L.T.)
 Representan los valores numéricos de las R.T. de 
un arco, ángulo o número real siempre que este 
definido.
A. L.T. Seno
 El seno de un arco se representa por la perpendi-
cular trazada del extremo del arco hacia el eje de 
las abscisas.
Senq
(–)
Senf
(–)
Sena
(+)
Senb
(+)
q
f
a
bN
M
QP
 a, b, q y f son arcos en posición normal
B. L.T. Coseno
 El coseno de un arco se representa por la perpen-
dicular trazada del extremo del arco hacia el eje 
de ordenadas.
Cosa
(+)
Cosb
(–)
(–)
Cosq
(+)
Cosfq
f
a
b
N M
Q
P
 a, b, q y f son arcos en posición normal
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5TO AÑO
82
Trabajando en clase
Integral
1. Coloca el signo >, < o =
 I. Sen110º ( ) Sen20º
 II. Sen200º ( ) Sen250º
2. Coloca el signo >, < o =
 I. Cos20º ( ) Cos340º
 II. Cos100º ( ) Cos195º
3. Halla el área sombreada
C.T.
O
a
PUCP
4. Halla el área sombreada
C.T.
O
q
Resolución
C.T.
1
q
Senq
14243
S = ( )( )Sen2
1 θ
S = Sen2
θ
5. Calcula el área sombreada
C.T.
b
6. Calcula el área de la región 
sombreada
C.T.
q
y
x
7. Si 90º < q < 180º, entonces se-
ñala verdadero (V) o falso (F) 
según corresponda
 Sena < Cosq ....................... ( )
 Cosa > Cosq ....................... ( )
 |Cosa| > |Cosq| ................... ( )
UNMSM
8. Señala verdadero (V) o falso 
(F) según corresponda
 I. Sen69º > Sen21º ........... ( )
 II. Sen215º > Sen255º ....... ( )
 III. |Sen310º| > |Sen320º| ... ( )
Resolución
–––180º
215º
255º 310º
320º
21º
69º
90º
–
++
Del gráfico:
I. verdadero
II. verdadero
III. verdadero
9. Señala verdadero (V) o falso 
(F) según corresponda
 I. Cos70º > Cos21º .......... ( )
 II. Cos100º > Cos170º ...... ( )
 III. |Cos230º| > |Cos160º| .. ( )
10. Halla la longitud del segmento 
MN
C.T.
N
M a
11. Halla la longitud PO.
C.T.
q
OP
UNI
12. Calcula el área de la región 
sombreada
C.T.
a
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83
TRIGONOMETRÍA
Resolución
C.T.
a
1
1
14243
14
2
43
A
B
C
O
–Sena
–Cosa
Ssombreada = S9AOB + S9BOC – S9AOC
Ssombreada = 
( ) ( ) .Sen Cos
2
1
2
1
2
1 1α α- + - -
Ssombreada = 
Sen Cos
2
1α α- - -
13. Calcula el área sombreada.
C.T.
q
14. Coloca >, < o = según corresponda.
 I. Sen(Sen1) Sen(Sen2)
 II. Cos(Sen1) Cos(Sen2)
 III. Cos(Cos1) Cos(Cos2)
Esquema formulario
Senq
(–)
Senf
(–)
Sena
(+)
Senb
(+)
q
f
a
bN
M
QP
Cosa
(+)