EDO PRIMEIRA ORDEM

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM: 
 
As equações diferenciais de primeira ordem podem ser utilizadas para resolver 
problemas de mistura, por exemplo, em casos de problemas envolvendo 
a mistura de fluidos em tanques. Levando em conta essa possibilidade, imagine 
que você trabalha como químico em uma renomada empresa. No dia a dia, você 
está acostumado a resolver os mais variados problemas. Nesta semana, você se 
deparou com a seguinte situação para solucionar: 
 
 
CONCENTRAÇÃO DO SAL 
Considere um tanque grande mantendo 1.000 litros de água pura, no 
qual uma solução de salmoura começa a fluir a uma taxa constante de 6 
litros/min. A solução dentro do tanque é mantida agitada e está fluindo 
para fora do tanque a uma taxa de 6 litros/min, Se a concentração de 
sal na salmoura entrado no tanque é de 0,1 kg/l, você vai precisar 
verificar quando a concentração de sal no tanque alcançará 0,05 kg/l. 
6L/min 6/L/min 
0,1 kg/l 
 
Considerando o problema com o qual você se deparou nesta semana na 
empresa, sua tarefa será verificar quando a concentração de sal no tanque 
alcançará 0,05 kg/litro e justificar como você chegou a esse resultado. 
 
 
RESPOSTA: 
Uma solução geral é: 
A(t) = 100 - Ce^(-0.006t), onde C é uma constante que depende da 
condição inicial. 
No seu caso, a condição inicial é A(0) = 0 (o tanque começa com água 
pura). 
Substituindo essa condição na solução geral, você obtém: 
C = 100 
Portanto, a solução particular é: A(t) = 100 - 100e^(-0.006t) 
Essa função representa a quantidade de sal no tanque em função do 
tempo. 
Para encontrar o tempo em que a concentração de sal no tanque atinge 
0.05 kg/L, você precisa igualar essa concentração com A(t)/V e resolver 
para t. 
Qual seja, 
0.05 = A(t)/V 0.05 * V = A(t) 50 = 100 - 100e^(-0.006t) 50/100 + e^(-
0.006t) = 1 e^(-0.006t) = 1/2 -0.006t = ln(1/2) t = ln(2)/0.006 t ≈ 115 
min 
Portanto, o tempo em que a concentração de sal no tanque atinge 0.05 
kg/L é aproximadamente 115 minutos.