ALGEBRA LINEAR AULA 1

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Álgebra Linear II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Junqueira
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
Espaços vetoriais
5
 · Espaço Vetorial
 · Subespaços Vetoriais
 · Espaço Soma
 · Subespaço Gerado
 · Espaço-Solução de um Sistema Homogêneo
 · Considerações Finais
Os objetivos desta unidade são:
 » Apresentar a noção de espaço vetorial, procurando relacionar com as ideias 
que os educandos trazem sobre vetores;
 » Trabalhar espaços vetoriais do R2 e R3 e outros espaços vetoriais sobre R;
 » Definir subespaços vetoriais e explorar as propriedades de espaços e 
subespaços vetoriais;
 » Trazer exemplos significativos e algumas aplicações.
Nesta Unidade trataremos de espaços e subespaços vetoriais. A primeira coisa que devemos 
pensar é que o plano cartesiano R2 é um espaço vetorial com as operações já conhecidas de 
adição e multiplicação por escalar dos vetores de R2. 
Isso também se dá com o espaço euclidiano R3 com seus vetores e as mesmas operações. 
Então o que faremos aqui? Vamos ver que este tipo de estrutura pode ser estendida para 
outros conjuntos, então chamados de espaços vetoriais.
Veremos também como alguns subconjuntos mantêm a mesma estrutura do conjunto que 
os contém, sendo assim considerados subespaços vetoriais. Outro aspecto importante é 
que você acompanhe o desenvolver da teoria, preste bem atenção nas características das 
definições, nas propriedades das operações definidas e confira estas propriedades nos 
exemplos dados, preparando-se, assim, para resolver as atividades propostas na unidade. 
Também é importante você acompanhar as demonstrações e ir se familiarizando com 
a escrita algébrica, pois a matemática tem uma linguagem e uma lógica próprias, muito 
importantes de serem decodificadas e compreendidas, ao mesmo tempo em que adquirimos 
desenvoltura com essa linguagem. 
Desejamos que ao término da Unidade você seja capaz de reconhecer espaços vetoriais, 
bem como seus possíveis subespaços, compreender as técnicas e operações algébricas do 
conteúdo e saiba utilizá-las em outras situações que as demandem.
Espaços vetoriais
6
Unidade: Espaços vetoriais
Contextualização
Vocês já devem ter ouvido falar em sinal, como sinal da televisão ou sinal de frequências de 
ondas de rádio, por exemplo. E o que é um sinal? É uma função de uma ou mais variáveis, que 
veicula informações sobre a natureza de um fenômeno físico.
Sinal da
mensagem
Sinal
Transmitido
Transmissor Canal Receptor
Sinal
Recebido
Estimativa
do sinal da
mensagem
E um sistema? É uma entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma ação 
produzindo novos sinais, como por exemplo, sistema digital de reconhecimento de voz, sistema 
de geoprocessamento ou sistema de controle de algum objeto e o objeto a ser controlado 
chama-se planta, sendo exemplos de sistemas de controle: piloto automático de avião, 
motores de automóveis, refinarias de petróleo, usinas elétricas, robôs, temperatura ambiente, 
funcionamento do elevador, controle remoto de um aparelho, entre tantos outros. 
Diz-se que um sistema é robusto se tem boa regulação, ou seja, se há um processo de 
filtragem de perturbações externas, levando a uma realimentação.
Controlador
Entrada de
referência x(t)
Sinal de
realimentação r(t)
+
–
e(t) v(t)
v(t)
y(t)
Sensor(es)
Planta
Perturbação
SaídaΣΣ
Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema são funções. E é muito 
importante que essas funções sejam somadas e multiplicadas por escalar (número real). 
Essas duas operações em funções têm propriedades algébricas análogas à soma de vetores 
e multiplicação de vetor por escalar (número real) nos espaços euclidianos, ou mesmo similar 
a estas operações com matrizes, vistas na Disciplina Álgebra Linear I. Por isso, o conjunto de 
todas as entradas possíveis (funções) é chamado de Espaço Vetorial. 
7
No contexto histórico, a ideia original associada à definição de espaço vetorial costuma ser 
atribuída a Hermann Grassmann (1808-1887), teólogo e filósofo polonês, devido a uma 
publicação sua, de 1844, denominada Lineale Ausdehnungslehree conhecida como Teoria 
Linear de Extensão, anunciada por ele como uma primeira parte de uma teoria mais geral. 
Nesse trabalho, Grassmann discutiu e obteve boa parte dos resultados elementares da 
teoria atual de espaços vetoriais e de álgebra linear, perto de uma formalização axiomática. 
Na época da publicação, seu trabalho não teve muita repercussão, talvez pela forma 
obscura de apresentação ou mesmo pela incompreensão dos seus pares acerca do 
assunto. Sentindo-se pouco reconhecido, desanimou e acabou por não completar o 
pretendido na versão original. Por não ter influenciado seus contemporâneos, a maior 
parte de seus resultados foi redescoberta, independentemente de seu trabalho. 
Entretanto, 44 anos depois, o matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) publicou 
uma interpretação condensada dos conceitos tratados por Grassmann. 
No entanto, as definições correntes de espaço vetorial, subespaço vetorial, bases e dimensão 
foram estabelecidas pelo matemático alemão Hermann Weyl (1895-1955), que reconheceu a 
magnitude e relevância do trabalho originalmente proposto por Grassmann.
8
Unidade: Espaços vetoriais
Espaço Vetorial
Na Matemática, muitas vezes lidamos com conjuntos e é interessante realizar algumas 
operações com os elementos destes conjuntos. Vocês devem ter visto na disciplina Álgebra 
Linear I que podemos somar matrizes de mesmo tamanho, como também multiplicar uma 
matriz por um número real. E muita coisa foi feita a 
partir disto, dependendo destas operações. 
Também o R3 pode ser visto como o conjunto 
formado por todos os vetores do espaço, de tal 
forma que podemos multiplicar um vetor por um 
número real ou somar dois ou mais vetores do 
espaço, como indicado na figura a seguir. 
Pois o R3, com as operações de adição de 
vetores e multiplicação de vetor por um número 
real (escalar), é um espaço vetorial. 
A definição de espaço vetorial envolve um corpo K, cujos elementos são chamados de 
escalares e um conjunto não vazio E, munido de duas operações com seus elementos, chamados 
vetores. Para o nosso estudo, o corpo K = R, ou seja, o conjunto dos números reais.
Um corpo K é um conjunto não vazio munido de duas operações, adição 
e multiplicação, satisfazendo as seguintes propriedades: comutatividade e 
associatividade em relação a cada operação, elemento neutro aditivo, elemento 
neutro multiplicativo, elemento inverso aditivo, elemento inverso multiplicativo 
para todo elemento não nulo de K, distributividade da multiplicação em relação à 
adição. Observe que o conjunto R dos números reais constitui um corpo com as 
operações usuais de adição e multiplicação.
Definição 1
Dizemos que um conjunto não vazio E de 
elementos, chamados vetores, é um espaço 
vetorial sobre R, se E é munido de duas 
operações, adição e multiplicação por escalar, 
satisfazendo as seguintes condições (ou 
axiomas), para todos os vetores u, v e w de E 
e todos escalares α e β em R:
Glossário
Um axioma ou postulado é uma 
sentença ou proposição que não 
é provada ou demonstrada; é tida 
como verdade; um consenso inicial 
necessário para a construção ou 
aceitação de uma teoria. É aceito 
como verdade e serve como ponto 
inicial para dedução e inferências de 
outras verdades.
9
1 A soma de u e v, denotada por u + v, pertence a E (propriedade de fechamento sob a adição)
2 u + v = v + u (propriedade comutativa)
3 (u + v) + w = u + (v + w) (propriedade associativa)
4
Existe um vetor nulo 0 em E tal que v + 0 = v, para todo v em E (elemento neutro ou 
identidade aditiva)
5
Para cada v em E, existe um vetor –v em E, tal que v + (-v) = 0 (elemento oposto, ou 
inversoaditivo)
6
O múltiplo escalar de v por α, denotado por αv, pertence a E (propriedade de fechamento 
sob a multiplicação por escalar)
7 α(u + v) = αu + αv (propriedade distributiva em relação à soma de vetores)
8 (α + β)u = αu + βu (propriedade distributiva em relação à soma de escalares)
9 α(βu) = (αβ)u (propriedade associativa da multiplicação por escalar)
10 1.u = u (elemento neutro ou identidade para multiplicação por escalar). 
Usando os axiomas, é fácil verificar que o vetor 0 é único em E, pois veja: suponhamos que exista 
outro vetor w tal que w + v = v, para todo v de E. Daí w + 0 = 0(1) e w + 0 = w(2); igualando as 
equações (1) e (2), temos w = 0
Agora, tente você mostrar que o elemento oposto é único!
Observe ainda que: 0v = 0, 
α0 =0 e 
(-1)v = -v.
Um conjunto V não vazio com duas 
operações satifazendo os 10 axiomas é 
um espaço vetorial
X
Caso algum dos 10 axiomas (basta um!) 
não seja confirmado, então V não será 
um espaço vetorial
10
Unidade: Espaços vetoriais
Exemplo 1
Espaço vetorial dos vetores do plano R2. 
Recordemos que um vetor u do R2 pode ser escrito 
u = (x, y), em que x é a coordenada projetada no 
eixo horizontal, a abscissa, e y é a coordenada 
projetada no eixo vertical, a ordenada, como indica 
a figura a seguir. 
Consideremos os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, 
y2) em R2 e o escalar a em R. Então, u + v = (x1 
+ x2, y1 + y2) e au = (ax1, ay1), são vetores que 
pertencem ao R2. Como as abscissas e ordenadas, bem como os escalares, são números 
reais e os números reais constituem um corpo, a adição e a multiplicação por escalar dos 
vetores de R2 satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial. 
Importante!
Verifique!
Da mesma forma, podemos mostrar que espaços 
euclidianos de ordem superior, Rn, cujos vetores 
são as n-uplas u = (x1,x2,x3, ...,xn) com as mesmas 
operações de adição de vetores e multiplicação de 
vetor por escalar, são espaços vetoriais sobre R.
Exemplo 2
Seja E o conjunto das matrizes 2x2, com elementos reais, e munido das operações de 
adição de matrizes e multiplicação de matriz por escalar. E é um espaço vetorial.
Vejamos!
Sejam as matrizes 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
, ,
a a b b c c
a a b b c c
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= =ê ú ê ú ê úë û ë ë
=
û û
u v w e os escalares r, s, em R.
1
11 12 11 12 11 11 12 12
21 22 21 22 21 21 22 22
a a b b a b a b
a a b b a b a b
é ù é ù é ù+ +ê ú ê ú ê ú+ = + = Îê ú ê ú ê ú+ +ë û ë û ë û
u v E
2
11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22
a a b b b b a a
a a b b b b a a
é ù é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú ê ú+ = + = + = +ê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û
u v v u
3
( )
( )
11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22
11 11 12 12 11 11 12 12 11 12
21 21 22 22 21 21 22 22 21 22
a a b b c c a a
a a b b c c a a
b c b c a b a b c c
b c b c a b a b c c
æ öé ù é ù é ù é ù÷çê ú ê ú ê ú ê ú÷+ + = + + = +ç ÷çê ú ê ú ê ú ê ú÷çè øë û ë û ë û ë û
é ù é ù é ù+ + + +ê ú ê ú ê ú= + = +ê ú ê ú ê ú+ + + +ë û ë û ë û
u v w
u v +w
11
4 Existe a matriz nula 
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
0 00 0 0 0
0 tal que 
0 00 0 0 0
a a a a a a
a a a a a a
é ù é ù é ùé ù é ù + +ê ú ê ú ê úê ú ê ú= + = + = = =ê ú ê ú ê úê ú ê ú + +ë û ë ûë û ë û ë û
u 0 u
5
Para cada 11 12
21 22
a a
a a
é ù
ê ú= ê úë û
u existe a matriz 11 12
21 22
( )
a a
a a
é ù- -ê ú- = ê ú- -ë û
u tal que
( ) 11 12 11 12 11 11 12 12
21 22 21 22 21 21 22 22
0 0
0
0 0
a a a a a a a a
a a a a a a a a
é ù é ù é ù é ù- - +- +-ê ú ê ú ê ú ê ú+ - = + = = =ê ú ê ú ê ú ê ú- - +- +- ë ûë û ë û ë û
u u
6 A matriz 
11 12 11 12
21 22 21 22
 
a a ra ra
r r
a a ra ra
é ù é ù
ê ú ê ú= = Îê ú ê úë û ë û
u E
7 ( )
11 11 12 12 11 11 12 12 11 12 11 12
21 21 22 22 21 21 22 22 21 22 21 22
 
a b a b ra rb ra rb a a b b
r r r r r r
a b a b ra rb ra rb a a b b
é ù é ù é ù é ù+ + + +ê ú ê ú ê ú ê ú+ = = = + = +ê ú ê ú ê ú ê ú+ + + +ë û ë û ë û ë û
u v u v
8
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
11 1211 12 11 12
21 2221 22 21 22
 
r s a r s aa a ra ra
r s r s
r s a r s aa a ra ra
é ùé ù é ù+ +ê úê ú ê ú+ = + = = +ê úê ú ê ú+ +ê úë û ë ûë û
u
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
 
sa sa a a a a
r s r s
sa sa a a a a
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= + = +ê ú ê ú ê úë û ë û ë û
u u
9 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
11 12 11 12
21 22 21 22
 
rs a rs a sa sa
rs r r s s r
rs a rs a sa sa
é ù é ùê ú ê ú= = = =ê ú ê úê ú ë ûë û
u u u
10 O escalar 1∈R é tal que 
11 12 11 12
21 22 21 22
1. 1.
1. 1
1. 1.
a a a a
a a a a
é ù é ù
ê ú ê ú= = =ê ú ê úë û ë û
u u
Para demonstrar cuidadosamente, exige certo trabalho. Entretanto, muitas vezes, apenas 
usamos e argumentamos sobre o que já é conhecido. O mais importante é perceber e nos 
convencermos de quando é um espaço vetorial.
Exemplo 3
Considere o conjunto E de todas as funções reais a valores reais, f: R → R, tal que para cada 
x ∈ R, f(x) ∈ R, com as operações de soma de funções e multiplicação de função por escalar, a 
saber: (f + g) (x) = f(x) + g(x) e (αf) (x) = α.f(x). 
Observe que também neste caso estaremos trabalhando com números reais que, sendo 
um corpo, já satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial para estas duas operações, nas 
quais a adição de funções lida com a adição de números reais e a multiplicação de função por 
escalar (também um número real) lida com a multiplicação de números reais. Sendo assim, E 
é um espaço vetorial sobre R. 
Se você quiser treinar um pouco mais, mostre a validade dos 10 axiomas neste caso.
12
Unidade: Espaços vetoriais
Exemplo 4
Considere V um plano qualquer do R3 que passa pela origem. Nesse caso, a equação geral 
desse plano é dada por: ax+by+cz = 0, com a, b, c números reais fixos.
Vamos mostrar que V é um espaço vetorial, com as operações usuais do R3. Sejam dois pontos 
de u e v de V, u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). Então, temos ax1 + by1 + cz1 = 0 e ax2 + by2 + cz2 = 0, 
pois satisfazem a equação do plano. 
Temos então u+v=(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e tu=(tx1, ty1, tz1). Daí, vamos verificar se u + v e 
tu pertencem a V:
a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 + z2) = 
ax1 + ax2 + by1 + by2 + cz1 + cz2 = 
(ax1 + by1 + cz1) + (ax2 + by2 + cz2) = 
(ax2 + by2 + cz2) + (ax1 + by1 + cz1) = 
0 + 0 = 0, com o que u + v ∈ V.
Também a(tx1) + b(ty1) + c(tz1) = t(ax1 + by1 + cz1) = t.0 = 0, e assim tu ∈ V, o que satisfaz as 
propriedades de fechamento em relação às duas operações (axiomas 1 e 6).
Como o plano passa pela origem, existe o vetor 0 = (0, 0, 0) em V (axioma 4), e 1 . u = u, 
para todo u de V (axioma 10). É fácil de ver que u + v = v + u pela propriedade comutativa 
dos números reais: 
(ax1 + by1 + cz1) + (ax2 + by2 + cz2) = 
(ax2 + by2 + cz2) + (ax1 + by1 + cz1) = 0 + 0 = 0 (axioma 2). 
 Também não é difícil verificar a propriedade associativa u+(v+w) = (u+v)+w, pois
(ax1+by1+cz1) + [(ax2 + by2 + cz2) + (ax3 + by3 + cz3)] = 
[(ax2 + by2 + cz2) + (ax1 + by1 + cz1)] + (ax3 + by3 + cz3) = 
0 + 0 + 0 = 0 (axioma 3). 
O axioma 4 é trivial, vez que a(-x1) + b(-y1) + c(-z1) = –(ax1 + by1 + cz1) = 0, daí o vetor –u ∈ V. 
O axioma 7 pode ser verificado, pois
t[(ax1 + by1 + cz1) + (ax2 + by2 + cz2)] = 
t(ax1 + by1 + cz1) + t(ax2 + by2 + cz2) = t.0 + t.0 = 0; 
logo, t(u + v) ∈ V. 
 E (r + s)u pertence a V, pois
(r + s).(ax1 + by1 + cz1) = 
(r + s) ax1 + (r + s)by1 + (r + s)cz1 = 
a[(r + s) x1] + b[(r + s)y1] + c[(r + s)z1] = 0,
vez que o vetor (r + s) u = tu ∈ V (axioma 8). 
O axioma 9 pode ser verificado da mesma maneira.
Assim sendo, todos os axiomas foram verificados, ou seja, são válidos. Portanto, um plano 
V do R3 que passa pela origem é sempre um espaço vetorial. 
Mostre, por analogia, que uma reta do R2 que passa pela origem é um espaçovetorial. 
13
Exemplo 5
Um conjunto que não é espaço vetorial.
Seja E = R2 com as seguintes operações assim definidas: Se u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são dois 
vetores do R2, u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e para todo escalar (real) t, tu = (tx1, x2). 
Como a adição é a mesma usualmente conhecida, valem os axiomas de 1 a 5. Mas a 
operação multiplicação por escalar é diferente da usual. Então, vamos verificar. Claro é que 
tu = (tx1, x2) ∈ R2,(axioma 6), mas vejamos o axioma 7:
t(u + v) = t[(x1, y1) + (x2, y2)] = t(x1 + x2, y1 + y2) = 
(t(x1 + x2), y1 + y2) = (tx1 + tx2, y1 + y2) = t(x1 + x2) + (y1 + y2) =
tu + v
Vimos, portanto, que o axioma 7 não é satisfeito. Logo, com essas operações assim 
definidas, o conjunto E=R2 não é espaço vetorial. 
O que isto nos mostra? 
Evidencia que as operações comumente definidas em conjuntos não o foram de forma 
arbitrária, mas intencional, para atender algumas propriedades, o que os tornam, em geral, 
espaços vetoriais. 
Também serve para vermos que basta um dos axiomas não ser verdadeiro para não 
configurar um espaço vetorial. 
Vale lembrar que este é um dos raciocínios lógicos da Matemática: se todas as condições 
da hipótese são verificadas, então a conclusão (tese) é verdadeira. Entretanto, basta um contra 
exemplo para que a tese não possa ser verificada.
Para pensar
Como definir uma soma de vetores do R2 de forma que este conjunto não 
seja um espaço vetorial?
14
Unidade: Espaços vetoriais
Subespaços Vetoriais
Na seção anterior, vimos que os planos do R3 que passam pela origem formam um espaço 
vetorial, enquanto que o próprio espaço euclidiano R3 é um espaço vetorial. 
Mas, observe que o plano passando pela origem é um espaço vetorial com as operações 
herdadas do R3. Isto pode ocorrer para alguns subconjuntos de um espaço vetorial, quando o 
subconjunto, por si só, é um espaço vetorial com as operações do espaço vetorial. Nesse caso, 
recebem um nome especial. 
É o que veremos agora.
Definição 2
Um subconjunto W de um espaço vetorial E é chamado de subespaço vetorial de E, se W é 
um espaço vetorial em relação às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em E. 
Para mostrar que os planos do R3 que passam pela origem formam um espaço vetorial, 
tivemos de verificar todos os axiomas, o que deu certo trabalho, mas vimos que as demonstrações 
dependeram basicamente das propriedades das operações usuais do R3 como espaço vetorial. 
Então, veremos que é isso mesmo.
Para verificar se um subconjunto não vazio de E é um subespaço vetorial, precisaremos 
verificar apenas duas propriedades. 
Vejam!
Teorema 1
Se W é um subconjunto não vazio de um espaço vetorial E, então W é um subespaço 
vetorial de E se, e somente se, forem válidas as seguintes condições: 
a. Se u e v são vetores de W, então u + v pertence a W;
b. Se k é um escalar qualquer e u um vetor de W, então ku pertence a W.
Demonstração
Se W é um subespaço vetorial de E, então valem todos os axiomas de espaço vetorial, em 
particular, as condições (a) e (b), que são os axiomas 1 e 6, respectivamente.
Reciprocamente, se as condições (a) e (b) são válidas, então são válidos os axiomas 1 e 6 
do espaço vetorial. 
15
Em relação aos demais, observemos que são válidos os axiomas 2, 3 e 7, bem como os 
axiomas 8, 9 e 10, vez que os vetores de W são vetores de E, já que W é um subconjunto de E. 
Basta, então, verificar os axiomas 4 e 5. Vimos (axioma 6) que para qualquer escalar k e 
qualquer vetor u de W, o vetor ku pertence a W. Considere, então, o escalar k = 0; daí temos 
que 0.u = 0 pertence a W, com o que W tem um vetor nulo 0 (axioma 4). 
Agora para qualquer vetor u de W, tome o escalar k = -1 e (-1) u = -u pertence a W (axioma 
5). Portanto, como todos os axiomas de espaço vetorial são válidos para os elementos de W 
com as operações herdadas de E, w é um subespaço vetorial de E. 
Você agora deve ter se animado, pois ficou mais simples verificar se um subconjunto de um 
espaço vetorial E é um subespaço vetorial de E. 
Vejamos, então, alguns exemplos.
Exemplo 6
Seja E o espaço vetorial das matrizes 2x3, a valores reais, com as operações usuais de 
adição de matrizes e multiplicação de matriz por um escalar real. Considere o subconjunto W 
de E, tal que uma matriz A de W é da seguinte forma:
11 12
21 22
0
 
0
a a
A
a a
é ù
ê ú= ê úë û
Vamos mostrar que W é subespaço vetorial de E. Para tal, basta que os vetores de W 
satisfaçam as duas condições (a) e (b) do teorema 1.
Sejam u e v dois vetores de W. Logo, 11 12
21 22
0
 
0
a a
A
a a
é ù
ê ú= = ê úë û
u e 11
21 22
0
0
b b
B
b b
é ù
ê ú= = ê úë û
v . 
Então 11 11 12 12
21 21 22 22
0
0
a b a b
A B
a b b a
é ù+ +ê ú+ = + = ê ú+ +ë û
u v que pertence a W.
Também para qualquer escala k real, a matriz 11 12 11 12
21 22 21 22
0 0
 
0 0
a a ka ka
k kA k
a a ka ka
é ù é ù
ê ú ê ú= = =ê ú ê úë û ë û
u 
pertence a W. Logo, W é subespaço vetorial de E.
16
Unidade: Espaços vetoriais
Exemplo 7
Considere o espaço vetorial E das funções reais a valores reais, definidas por f: R→R, tal que 
para todo x ∈ R, y = f(x) ∈ R, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação de 
função por um escalar real (como definidas no exemplo 3). 
Seja W o subconjunto de E constituído das funções f de E, assim definido:
W = {f ∈ E, tal que f(x) = ax + b, a, b ∈ R}.
Então, dados dois vetores u e v de W, u = f(x) = ax + b, v = g(x) = cx + d, daí u + v = f(x) 
+ g(x) = (a + c)x + (b + d). Logo, u + v ∈ W. Seja agora k um escalar (real) qualquer, então 
ku = k . f(x) = k(ax + b) = (ka)x + kb. Com isso, ku ∈ W. 
Dessa forma, W satisfaz as condições (a) e (b) do teorema 1 e, portanto, W é subespaço 
vetorial de E.
Exemplo 8
Considere agora o conjunto P dos polinômios de grau menor ou igual a n, n ≥ 0. Então, se 
u ∈ P, u = p(x) = anxn + an - 1xn-1 + an - 2xn-2 +.....a1x + a0., nem todos os coeficientes são nulos. 
Observe que P é um subconjunto do espaço vetorial E das funções reais a valores reais, com 
as operações usuais, dado no exemplo anterior. Assim é fácil verificar que dados dois vetores 
u e v de W, u = p(x), v = q(x), nas condições definidas em W, então u + v = p(x) + q(x) ∈ P, vez 
que a soma de dois polinômios é um polinômio de grau igual ao maior grau entre p(x) e q(x). 
Também, para qualquer escalar k real, ku = k . p(x) ∈ P, vez que é um polinômio de mesmo 
grau de p(x).
Então, como as condições (a) e (b) do teorema 1, P é um subespaço vetorial de E. 
Exemplo 9
Na figura ao lado, o prisma triangular tem um dos 
vértices na origem e o plano α é um plano do R3 que 
contém a face verde do prisma triangular. 
Observe que o plano α não passa pela origem. 
Portanto, o plano α não é um subespaço vetorial do R3.
17
Exemplo 10
Seja E um espaço vetorial e S o subconjunto de E, que só contém o vetor nulo de E, ou 
seja, S = {0}, então S é subespaço vetorial de E, chamado subespaço trivial. O próprio E é 
considerado subespaço de E, nesse caso também chamado de subespaço trivial. 
Na verdade, se E é um espaço vetorial, então {0} e E são subespaços impróprios ou triviais. 
Qualquer outro subespaço de E é chamado de subespaço próprio.
Importante!
Todo subespaço vetorial V de E contém o vetor nulo de E.
Um subespaço V de E é também um espaço vetorial com todos os axiomas 
herdados de E.
Todo espaço vetorial E admite pelo menos dois subespaços, V1 = {0} e V2 = E, 
chamados subespaços triviais de E. Qualquer outro subespaço W de E, diferente 
desses, é chamado subespaço não trivial, ou próprio, de E.
Exemplo 11
O espaço vetorial R2 não é subespaço vetorial de R3, aliás, o R2 não é nem mesmo um 
subconjunto do R3, vez que os vetores do R2 têm apenas duas coordenadas, enquanto os vetores 
doR3 têm três. Já o subconjunto V do R3 tal que V = {(x,y,0), x, y ∈ R} é subespaço vetorial do R3.
Ocorre que V desse exemplo não é o espaço vetorial R2, apenas se ‘parece’ e ‘age’ como ele.
Exemplo 12
Seja E o espaço vetorial das matrizes 
3 x 3 e considere V o subconjunto das 
matrizes simétricas de E.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 , tal que , , 1,2,3ij ji
a a a
Então V a a a a a i j
a a a
ì üé ùï ïï ïê úï ïï ïê ú= = =í ýê úï ïï ïê úï ïë ûï ïî þ
Como a soma de matrizes simétricas é uma matriz simétrica, bem como o múltiplo de uma 
matriz simétrica também é uma matriz simétrica, então V é um subespaço vetorial de E. 
Observe que o mesmo é verdade para E, o espaço das matrizes nxn e V, o subconjunto das 
matrizes simétricas de E.
Exemplo 13
Sejam U e V dois subespaços de um espaço vetorial E. Então W = U∩V é também subespaço 
vetorial de E. Vejamos: certamente W ≠ ∅, que 0 ∈ W, pois 0 ∈ U e 0 ∈ V. Ainda se w1,w2 
∈ W, então w1,w2 ∈ U ∩ V, daí w1 + w2 ∈ U ∩ V, e também kw1 ∈ U ∩ V, satisfazendo as 
condições (a) e (b) do teorema 1. 
Logo, W = U ∩ V é subespaço vetorial de E. 
Para pensar
Vimos que a intersecção de dois subespaços de um espaço vetorial E é 
também um subespaço vetorial de E. Mas será que o mesmo ocorre com 
a união de dois subespaços vetoriais? 
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Unidade: Espaços vetoriais
Espaço Soma
Definição 3
Sejam U e V dois subespaços do espaço vetorial E. O espaço soma de U e V, denotado 
por U + V, é o conjunto de todos os vetores w que podem ser escritos como soma de um 
vetor de U e um vetor de V, isto é, U+V = {w = u + v, u∈ U, v∈ V}. Assim definido, U + 
V é um espaço vetorial de E. 
Caso U ∩ V = {0}, diz-se que o espaço soma U + V é soma direta de U e V e denota-se 
por U⊕V(Confira o exemplo 15 mais adiante).
Subespaço Gerado
Vamos ver agora que podemos ter subespaços vetoriais que são gerados por um conjunto 
de vetores de um espaço vetorial. Para isto, temos de definir o termo combinação linear.
Definição 4
Dado um conjunto de vetores S = {u1,u2, ...,uk} de um espaço vetorial E, uma combinação 
linear dos vetores de S é uma soma de múltiplos desses vetores, ou seja, a1u1 + a2u2 +....+akuk, 
com a1, a2, ...,ak escalares.
Teorema 2
Considere um conjunto de vetores S = {u1,u2, ...,uk} de um espaço vetorial E. Seja [S] o 
conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de S. Então [S] é um subespaço vetorial 
de E, denominado subespaço gerado por S.
Demonstração
Vemos que a própria definição de combinação linear garante a validade das condições (a) e 
(b) do teorema 1 para [S]. Então, [S] é um subespaço vetorial de E.
Exemplo 14
Sejam os vetores u = (1, 2, 0) e v = (0, 1, 1) do R3. Então [S] = [u, v] é o subespaço do R3 
gerado por S = {u, v}. Entretanto, vamos ver qual é este subespaço gerado. Um vetor genérico 
de [S] é uma combinação linear de u e v. Então, temos que se w ∈ [S], w = au + bv = a(1, 2, 0) 
+ b(0, 1, 1) = (a, 2a, 0) + (0, b, b) = (a, 2a + b, b), com a, b números reais. 
Logo, [S] = {(a, 2a + b, b), a, b ∈ R}.
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Exemplo 15
Sejam S e T dois subespaços gerados por vetores do R3 assim definidos S = [(1, 0, 0),(0, 1, 
0)] e T=[(0, 0, 1)]. S representa um plano e T uma reta do R3 , ambos passando pela origem 
(0,0,0) e T ortogonal a S. Daí temos que S ∩ T = ∅ e, nesse caso, S ⊕ T = R3 . 
Espaço-Solução de um Sistema Homogêneo
Seja Ax = b é um sistema linear de m equações e n incógnitas, no qual A é a matriz mxn 
dos coeficientes, x é a matriz coluna nx1 ou vetor das incógnitas e b o termo independente. 
Então, cada vetor x que satisfaz esta equação é chamado de vetor-solução.
Teorema 3
Se Ax = 0 é um sistema linear homogêneo de m equações e n incógnitas, então o conjunto 
dos vetores-solução é subespaço de Rn.
Demonstração
Seja V o conjunto dos vetores-solução de Ax = 0. Certamente V ≠ ∅, pois existe pelo 
menos a solução x = 0. Sejam x e x’ dois vetores-solução em V.
Lembremos que os vetores de V são matrizes-coluna com n elementos. Temos A(x + x’) = 
Ax + Ax’ = 0 +0 = 0, logo x + x’ ∈ V. Temos também A(tx)= t.Ax=t.0=0, logo tx∈ V. 
Portanto, como foram satisfeitas as condições (a) e (b) do teorema 1, o espaço-solução V é 
um subespaço vetorial do Rn.
Exemplo 16
Seja o sistema homogêneo de equações lineares Ax = 0, cuja representação matricial é dada por:
1 2 3 0
2 4 6 0
3 6 9 0
x
y
z
é ù é ù é ù-ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú- =ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û
Já sabemos que tem solução e que o conjunto V dos vetores-solução é um subespaço do R3. 
Queremos saber quem é o conjunto V. 
Agora, vamos recordar o que já dever ter sido visto em álgebra linear sobre resolução de 
sistemas: se observarmos bem a matriz A dos coeficientes, vemos que a segunda e terceira 
linhas são múltiplas da primeira linha de A. 
20
Unidade: Espaços vetoriais
Isto significa que a matriz escalonada por linhas A’ associada à matriz A tem posto 1, 
ou seja, terá apenas uma linha não nula.Então, o grau de liberdade será 2, já que o vetor-
solução tem 3 componentes.
Também é fácil de ver que a matriz A’ = 
1 2 3
0 0 0
0 0 0
é ù-ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
 e, portanto, o sistema equivalente A’x = 
0 nos dá como solução a equação x-2y+3z = 0, que é um plano do R3 passando pela origem.
Considerações Finais
Vimos, nesta Unidade, o que é um espaço vetorial e quais axiomas devem ser satisfeitos para 
garantir que um conjunto não nulo seja espaço vetorial. Em seguida, tratamos de subespaços 
vetoriais e vimos que bastam duas condições para garantir que um subconjunto não vazio de 
um espaço vetorial seja subespaço vetorial dele.
Apresentamos variados exemplos de espaços e subespaços vetoriais, como espaços 
euclidianos, espaços de funções, espaço de matrizes, espaço-solução de sistemas lineares 
homogêneos, entre outros, com o objetivo de dar uma visão ampla desses importantes 
conceitos e esclarecer procedimentos de verificação ou demonstração de suas características, 
contribuindo, assim, para a construção das estruturas algébricas. Afinal, sempre podemos nos 
lembrar da frase do matemático alemão Hermann Henkel (1839-1873): 
“Na maior parte das ciências uma geração põe abaixo o que outra construiu 
e o que uma estabeleceu, a outra desfaz. Somente na matemática é que cada 
geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.”
Espero que você tenha aproveitado! E se teve dúvidas, recomendo que retorne aos exemplos 
e procure refazê-los você mesmo. 
Além disso, você pode também consultar outras referências, como as indicadas.
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Material Complementar
Se você deseja aprofundar seus estudos sobre Álgebra Linear, consulte os links a seguir. 
São livros sobre o tema e estão disponíveis na internet. Afinal é sempre bom poder ver 
outras abordagens, exemplos e aplicações.
Leitura:
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt2.pdf;
http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/textos/alglin/CursoAlgLin-livro.pdf;
http://www.icmc.usp.br/pessoas/szani/alglin.pdf.
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Unidade: Espaços vetoriais
Referências
ANTON, H. Álgebra Linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. Álgebra linear. 3.ed. São Paulo: Harbra, 1986.
EDWARDS JR, C. H., PENNEY, D. E. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall do Brasil, 1998.
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. 2.ed. Rio de janeiro: LTC Editora, 1999.
LAWSON, T. Álgebra Linear. São Paulo: Edgard Blücher, 1997. 
STEINBRUCH, A. Álgebra linear. 2.ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
23
Anotações