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4 Superficies estendidas - Transferência de Calor
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Transferência de Calor SUPERFÍCIES ESTENDIDAS PROF: JESÚS ALFONSO PUENTE ANGULO TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Uma Análise Geral da Condução 𝑑 𝑑𝑥 𝐴𝑡𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑥 − ℎ 𝑘 𝑑𝐴𝑠 𝑑𝑥 𝑇 − 𝑇∞ = 0 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2 + 1 𝐴𝑡𝑟 𝑑𝐴𝑡𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑇 𝑑𝑥 − 1 𝐴𝑡𝑟 ℎ 𝑘 𝑑𝐴𝑠 𝑑𝑥 𝑇 − 𝑇∞ = 0 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2 − ℎ𝑃 𝑘𝐴𝑡𝑟 𝑇 − 𝑇∞ = 0 𝜃 𝑥 = 𝑇 𝑥 − 𝑇∞ 𝑚2 = ℎ𝑃 𝑘𝐴𝑡𝑟 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme 𝜃 𝑥 = 𝐶1𝑒 𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒 −𝑚𝑥 𝜃 0 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = 𝜃𝑏 Condições de contorno TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme 𝜃𝑏 = 𝐶1+ 𝐶2 Condições de contorno ℎ𝐴𝑡𝑟 𝑇 𝐿 − 𝑇∞ = −𝑘𝐴𝑡𝑟 ቤ 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑥=𝐿 ℎ𝜃 𝐿 = −𝑘 ቤ 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑥=𝐿 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme ℎ 𝐶1𝑒 𝑚𝐿+ 𝐶2𝑒 −𝑚𝐿 = −𝑘𝑚 𝐶2𝑒 −𝑚𝐿+ 𝐶1𝑒 𝑚𝐿 𝜃 𝜃𝑏 = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑚 𝐿 − 𝑥 + ℎ 𝑚𝑘 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑚(𝐿 − 𝑥) 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑚𝐿 + ℎ 𝑚𝑘 𝑆𝑖𝑛ℎ 𝑚𝐿 Após manipulações algébricas obtem-se TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme a taxa de transferência de calor na aleta qa pode ser avaliada como segue 𝑞𝑎 = 𝑞𝑏 = −𝑘𝐴𝑡𝑟 ቤ 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑥=0 𝑞𝑎 = 𝑞𝑏 = −𝑘𝐴𝑡𝑟 ቤ 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑥=0 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme Da qual, conhecendo a distribuição de temperaturas, θ(x), qa pode ser determinada, fornecendo 𝑞𝑎 = ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟𝜃𝑏 𝑆𝑖𝑛ℎ 𝑚𝐿 + ℎ 𝑚𝑘 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑚𝐿 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑚𝐿 + ℎ 𝑚𝑘 𝑆𝑖𝑛ℎ 𝑚𝐿 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Distribuição de temperaturas e taxas de perda de calor em aletas de seção transversal uniforme DESEMPENHO DE ALETAS DESEMPENHO DE ALETAS Efetividade da Aleta e Resistência da Aleta em que Atr,b é a área da seção transversal da aleta na sua base. Em geral, o uso de aletas será raramente justificado a não ser que εa ≳ 2. 𝜀𝑎 = 𝑞𝑎 ℎ𝐴𝑡𝑟,𝑏𝜃𝑏 DESEMPENHO DE ALETAS Efetividade da Aleta infinitamente longa 𝜀𝑎 = 𝑘𝑃 ℎ𝐴𝑡𝑟 1/2 DESEMPENHO DE ALETAS Resistência térmica da Aleta 𝑅𝑡,𝑎 = 𝜃𝑏 𝑞𝑎 Combinando a expressão para a resistência térmica convectiva na base exposta 𝑅𝑡,𝑏 = 1 ℎ 𝐴𝑡𝑟,𝑏 DESEMPENHO DE ALETAS Eficiência da Aleta 𝜂𝑎 = 𝑅𝑡,𝑏 𝑅𝑡,𝑎 𝜂𝑎 = 𝑞𝑎 𝑞𝑚á𝑥 = 𝑞𝑎 ℎ𝐴𝑎 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = 𝑞𝑎 ℎ𝐴𝑎𝜃𝑏 𝜂𝑎 = 𝑀 tanh𝑚𝐿 ℎ𝑃𝐿𝜃𝑏 = tanh𝑚𝐿 𝑚𝐿 DESEMPENHO DE ALETAS Eficiência da Aleta 𝜂𝑎 = 𝑞𝑎 𝑞𝑚á𝑥 = 𝑞𝑎 ℎ𝐴𝑎 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = 𝑞𝑎 ℎ𝐴𝑎𝜃𝑏 𝜂𝑎 = 𝑀 tanh𝑚𝐿 ℎ𝑃𝐿𝜃𝑏 = tanh𝑚𝐿 𝑚𝐿 DESEMPENHO DE ALETAS Resistência térmica da aleta 𝑅𝑡,𝑎 = 1 ℎ𝐴𝑎𝜂𝑎 DESEMPENHO DE ALETAS Comprimento da aleta corrigido 𝐿𝑐 = 𝐿 + 𝑡/2 Correção da aleta plana retangular Correção da aleta piniforme 𝐿𝑐 = 𝐿 + 𝐷/4 DESEMPENHO DE ALETAS Taxa de transferência de calor na aleta 𝑞𝑎 = 𝑀 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑚𝐿𝑐 eficiência 𝜂𝑎 = 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑚𝐿𝑐 𝑚𝐿𝑐 Erros associados a esta aproximação são desprezíveis se (ht/k) ou (hD/2k) ≲ 0,0625 DESEMPENHO DE ALETAS 𝑚𝐿𝑐 = ℎ𝑃 𝑘𝐴𝑡𝑟 1/2 𝐿𝑐 = 2ℎ 𝑘𝑡 1/2 𝐿𝑐 Se a largura de uma aleta retangular é muito maior do que sua espessura, w ≫ t Usando a área corrigida do perfil da aleta 𝑚𝐿𝑐 = 2ℎ 𝑘𝐴𝑝 1/2 𝐿𝑐 3/2 DESEMPENHO DE ALETAS Eficiência de aletas planas (perfis retangular, triangular e parabólico) 𝜂𝑎 = 𝐿𝑐 3/2 ℎ 𝑘𝐴𝑝 1/2 DESEMPENHO DE ALETAS Eficiência de aletas anulares de perfil retangular 𝜂𝑎 = 𝐿𝑐 3/2 ℎ 𝑘𝐴𝑝 1/2 ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO UNIFORME Considerando As = 2π(r 2 − r1 2) obtemos ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO UNIFORME Com m2 = 2h/kt e θ = T - T∞ 𝑑2𝜃 𝑑𝑟2 = 1 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑟 − 𝑚2𝜃 = 0 Resolvendo obtem-se uma distribuição de temperaturas com a forma 𝜃 𝜃𝑏 = 𝐼0 𝑚𝑟 𝐾1 𝑚𝑟2 + 𝐾0 𝑚𝑟 𝐼1 𝑚𝑟2 𝐼0 𝑚𝑟1 𝐾1 𝑚𝑟2 + 𝐾0 𝑚𝑟1 𝐼1 𝑚𝑟2 ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO UNIFORME A taxa de transferência de calor na aleta representada por 𝑞𝑎 = −𝑘𝐴𝑡𝑟,𝑏 𝑑𝑇 𝑑𝑟 = −𝑘 2𝜋𝑟1𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝑞𝑎 = 2𝜋𝑡𝑘𝑟1𝜃𝑏𝑚 𝐾1 𝑚𝑟1 𝐼1 𝑚𝑟2 − 𝐼1 𝑚𝑟1 𝐾1 𝑚𝑟2 𝐾0 𝑚𝑟1 𝐼1 𝑚𝑟2 + 𝐼0 𝑚𝑟1 𝐾1 𝑚𝑟2 ou ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO UNIFORME A eficiência da aleta se torna 𝜂𝑎 = 𝑞𝑎 2ℎ𝜋 𝑟2 2 − 𝑟1 2 𝜃𝑏 𝜂𝑎 = 2𝑟1 𝑚 𝑟2 2 − 𝑟1 2 𝐾1 𝑚𝑟1 𝐼1 𝑚𝑟2 − 𝐼1 𝑚𝑟1 𝐾1 𝑚𝑟2 𝐾0 𝑚𝑟1 𝐼1 𝑚𝑟2 + 𝐼0 𝑚𝑟1 𝐾1 𝑚𝑟2 ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO UNIFORME Eficiência de perfis de aletas comuns ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO UNIFORME Eficiência de perfis de aletas comuns EFICIÊNCIA GLOBAL DA SUPERFÍCIE Conjuntos representativos de aletas. (a) Aletas retangulares. (b) Aletas anulares. 𝜂0 = 𝑞𝑡 𝑞𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑡 ℎ𝐴𝑡𝜃𝑏 EFICIÊNCIA GLOBAL DA SUPERFÍCIE Area superficial total 𝐴𝑡 = 𝑁𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 Taxa total de transferência de calor por convecção 𝑞𝑡 = 𝑁𝜂𝑎ℎ𝐴𝑎𝜃𝑏 + ℎ𝐴𝑏𝜃𝑏 A eficiência global também pode ser escrita como segue 𝜂0 = 1 − 𝑁𝐴𝑎 𝐴𝑡 1 − 𝜂𝑎 EFICIÊNCIA GLOBAL DA SUPERFÍCIE Resistência térmica de um conjunto de aletas 𝑅𝑡,0 = 𝜃𝑏 𝑞𝑡 = 1 𝜂0ℎ𝐴𝑡 Resistência térmica de contato 𝑅𝑡,0(𝑐) = 𝜃𝑏 𝑞𝑡 = 1 𝜂0(𝑐)ℎ𝐴𝑡 EFICIÊNCIA GLOBAL DA SUPERFÍCIE Conjunto de aletas e circuitos térmicos. (a) Aletas integradas à base. (b) Aletas fixadas na base. Obrigado!
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