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Métodos Matemáticos Introdução à Álgebra Linear Mariana Silva Ribeiro de Oliveira • Unidade de Ensino: 1 • Competência da Unidade: Conhecer os elementos básicos de matrizes, sistemas de equações lineares e espaço vetorial. • Resumo: Entender o conceito de matrizes e determinantes por meio de exemplos práticos e das definições dadas pela matemática em si. • Palavras-chave: Matriz, sistemas e espaço vetorial. • Título da Teleaula: Introdução à Álgebra Linear • Teleaula nº: 1 Contextualização • Uso do GPS (Sistema de Posicionamento Global) • Construção de malhas computacionais Matriz Elementos de uma matriz ]a[A ij mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A O par de números e é chamado de tamanho, tipo ou ordem da matriz. Exemplo de representação de uma matriz Matriz 𝐴 = (𝑎 ) , em que 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗. 𝑎 = 2 1 + 1 = 3 𝑎 = 2 1 + 2 = 4 𝑎 = 2 1 + 3 = 5 𝑎 = 2 2 + 1 = 5 𝑎 = 2 2 + 2 = 6 𝑎 = 2 2 + 3 = 7 Matriz do tipo 2 x 3 Tipos de matrizes • Matriz linha • Matriz coluna • Matriz nula: todos os elementos são nulos Tipos de matrizes • Matriz Diagonal: os elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero • Matriz triangular: os elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 300 050 002 A 613 025 004 B Situação-Problema 1 • Imagine que você foi convocado e nomeado para realizar uma verificação do último relatório bimestral de uma empresa de construção civil no ano de 2020 em relação às vendas de cimento e cal. Qual produto e em qual mês foi vendido menos sacos? Qual a maior diferença de vendas entre os produtos nos meses correspondentes? Resolvendo O menor número de sacos vendidos, basta olhar qual é a menor entrada da matriz. Resolvendo Foram vendidos 135 sacos de cimento a mais que sacos de cal. Operações com matrizes Adição e Subtração de Matrizes Dadas as matrizes abaixo, determine a matriz tal que: . 42 33 C 13 20 B 10 52 A Multiplicação de matrizes Considere as matrizes: 𝑚 × 𝑝 𝑖𝑗 𝑝 × 𝑛 𝑖𝑗 coluna linha m n m p p nC A B p 1k kjikij bac Exemplo Determinantes Determinante ordem 2 Determinante ordem 3 Onde podemos utilizar as matrizes no nosso dia a dia? Sistema de equações lineares Sistemas de equações lineares Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: Solução x = 3 e y = -1 Solução de um sistema (SPD) – Sistema possível e determinado: O sistema possui uma única solução. (SPI) – Sistema possível e indeterminado: O sistema possui infinitas soluções. (SI) – Sistema impossível: O sistema não tem solução. Geometricamente SPD SPI SI Resolução de um sistema Método da adição Multiplica por (-3) Soma as duas equações Método da adição Substituir x = 2 em alguma das duas equações Sistema Possível e Determinado Sistema escalonado • Existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação; • O número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. • Por exemplo: Situação-Problema 2 Situação-problema O sistema a seguir é usado para determinar as coordenadas do receptor em função do tempo. Qual valor dessas coordenadas? 26523 442 83 zyx yx zx Resolvendo 4 3 4 z y x Espaço Vetorial Espaço vetorial Seja um conjunto não vazio e um corpo. Defina a operação , chamada adição, tal que, dados as seguintes propriedades sejam válidas: Associatividade: Comutativa: Elemento neutro: Existe 𝑣 tal que 𝑣 Elemento oposto: Para cada em , existe um vetor em denotado por tal que Espaço vetorial Defina a operação , chamada multiplicação por escalar, tal que, dados e as seguintes propriedades sejam válidas: Associatividade: Elemento neutro: Existe 𝑣 tal que 𝑣 para todo . Distributiva: Distributiva: Transformação linear Se for uma função de um espaço vetorial num espaço vetorial , então é denominada transformação linear de em se as duas propriedades seguintes forem válidas com quaisquer vetores e em e qualquer escalar . • Homogeneidade: • Aditividade: No caso especial em que , a transformação linear é denominada operador linear do espaço vetorial . Exemplo Considere a transformação linear T: R³ em R³ tal que T(x, y, z) = ( 2x, -3y, -x+ 2z) e os vetores u = (– 1, 2, 2) e v = (-1, 1, -3) do espaço tridimensional a imagem de u + v, corresponde a: u = (– 1, 2, 2) e v = (-1, 1, -3) u + v = (-2, 3, -1) T(x, y, z) = ( 2x, -3y, -x+ 2z) T(-2, 3, -1) = ( -4, -9, 0) Atividade Dada a transformação T : R² em R² tal que T(x, y)= ( 2x, - 3y), os vetores u = (– 1, 2) e v = (1, -3) a imagem de u + v, correspondem respectivamente a: Resolvendo Dada a transformação T : R² em R² tal que T(x, y)= ( 2x, - 3y), os vetores u = (– 1, 2) e v = (1, -3) a imagem de u + v, correspondem respectivamente a: u = (– 1, 2) e v = (-1, -3) u + v = (0, -1) T(x, y) = (2x, -3y) T(0, -1) = (0, 3) Recapitulando Matrizes Operações com matrizes Sistemas de equações Métodos de resolução de sistemas Espaço Vetorial Combinação Linear Fonte: Google Imagens. Disponível em encurtador.com.br/psGNX Acesso em: 01 fev. 2021.
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