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Capítulo 1 . L a geometría d e l e s p a c i o euclídeo 6 1 
3 8 . J u s t i f i c a r l o s p a s o s e n l o s s i g u i e n t e s cálculos: 
1 2 3 1 2 3 1 2 3 
4 5 6 0 - 3 - 6 = 0 - 3 - 6 
7 8 1 0 7 8 1 0 0 - 6 - 1 1 
- 6 
1 1 
3 3 - 3 6 = - 3 . 
3 9 . D e m o s t r a r q u e s u m a r u n múltiplo d e l a p r i m e r a f i l a a l a s e g u n d a fila d e u n a m a t r i z n o c a m b i a e l 
d e t e r m i n a n t e ; e s t o e s , 
a , bi C l 
a2 + b2 + Ibi c2 + Xc\ = a2 b2 c2 
«3 h C 3 a3 b3 C 3 
[ D e h e c h o , s u m a r u n múltiplo d e c u a l q u i e r fila ( c o l u m n a ) a o t r a fila ( c o l u m n a ) d e l a m a t r i z n o c a m -
b i a e l d e t e r m i n a n t e . ] 
1.4. C o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s y esféricas 
L a m a n e r a u s u a l d e r e p r e s e n t a r u n p u n t o e n e l p l a n o I R 2 e s m e d i a n t e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s 
( x , y ) ; s i n e m b a r g o , c o m o s e g u r a m e n t e aprendió e l l e c t o r e n cálculo e l e m e n t a l , l a s c o o r d e n a d a s 
p o l a r e s e n e l p l a n o p u e d e n s e r m u y útiles. C o m o s e m u e s t r a e n l a F i g u r a 1 . 4 . 1 , l a s c o o r d e n a -
d a s ( r , 9) están r e l a c i o n a d a s c o n (x, y) m e d i a n t e l a s fórmulas 
x = r e o s 9 y y = r s e n 9, 
d o n d e u s u a l m e n t e t o m a m o s r ^ 0 y 0 ^ í í < 2n. 
V 
F i g u r a 1 . 4 . 1 . L a s c o o r d e n a d a s p o l a r e s d e {x. y) s o n ( r . 0). 
R e c o m e n d a m o s a l o s l e c t o r e s q u e n o estén f a m i l i a r i z a d o s c o n l a s c o o r d e n a d a s p o l a r e s e s t u -
d i a r l a sección c o r r e s p o n d i e n t e e n s u l i b r o d e cálculo. A h o r a v a m o s a e x p o n e r d o s m a n e r a s d e 
r e p r e s e n t a r p u n t o s e n e l e s p a c i o d i s t i n t a s d e l a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s ( x , y, z ) . E s t o s s i s t e m a s 
d e c o o r d e n a d a s a l t e r n a t i v o s s o n p a r t i c u l a r m e n t e a d e c u a d o s p a r a c i e r t o s t i p o s d e p r o b l e m a s , t a -
l e s c o m o e l cálculo d e i n t e g r a l e s p o r m e d i o d e u n c a m b i o d e v a r i a b l e s . 
6 2 Cálculo v e c t o r i a l 
E n 1 6 7 1 I s a a c N e w t o n escribió u n m a n u s c r i t o t i t u l a d o 77i<? Method of Fuxions and Infinite 
Series, q u e c o n t i e n e m u c h o s u s o s d e l a geometría d e c o o r d e n a d a s p a r a e s b o z a r s o l u c i o n e s 
d e e c u a c i o n e s . E n p a r t i c u l a r , i n t r o d u c e l a s c o o r d e n a d a s p o l a r e s , además d e o t r o s v a r i o s 
s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s . 
E n 1 6 9 1 , J a c o b B e r n o u l l i publicó u n t r a b a j o u s a n d o también c o o r d e n a d a s p o l a r e s . D e -
b i d o a q u e e l m a n u s c r i t o d e N e w t o n n o f u e p u b l i c a d o h a s t a después d e s u m u e r t e e n 
1 7 2 7 , e l mérito d e l d e s c u b r i m i e n t o d e l a s c o o r d e n a d a s p o l a r e s s e a t r i b u y e u s u a l m e n t e a 
B e r n o u l l i . 
C o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s 
DEFINICIÓN L a s coordenadas cilindricas (r, 9, z ) d e u n p u n t o ( x , y, z) están d e f i n i d a s p o r 
{véase l a F i g u r a 1 . 4 . 2 ) 
x = r c o s f , y = rsenti, z — z. ( ! ) 
(*, y. z) 
F i g u r a 1 . 4 . 2 . Representación d e u n p u n t o (x, y, z) e n función 
d e s u s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s r , 0 y z. 
P a r a e x p r e s a r r , 9 y z e n función d e x , y, z, y p a r a a s e g u r a r q u e 9 está e n t r e 0 y 2 7 t , p o d e m o s 
e s c r i b i r 
Í
a r c t a n ( y / x ) s i x > 0 e y ^ 0 , 
7 i + a r c t a n (y/x) s i x < 0 , z = z, 
2n + a r c t a n (y/x) s i x > 0 e y < 0 , 
d o n d e a r c t a n (y/x) s e t o m a e n t r e — n/2 y 7 i / 2 . L a condición 0 ^ 9 < 2n d e t e r m i n a d e m a n e r a 
única 9 y r > 0 p a r a c u a l q u i e r x e y. S i x = 0 , e n t o n c e s 9 = n/2 p a r a y > 0 y 3n/2 p a r a y < 0 ; s i 
x = y = 0 , 9 n o está d e f i n i d o . 
Capítulo 1 . L a geometría d e l e s p a c i o euclídeo 6 3 
E n o t r a s p a l a b r a s , d a d o c u a l q u i e r p u n t o (x, y, z ) , r e p r e s e n t a m o s s u p r i m e r a y s e g u n d a c o o r -
d e n a d a s e n función d e l a s c o o r d e n a d a s p o l a r e s y n o c a m b i a m o s s u t e r c e r a c o o r d e n a d a . L a Fór-
m u l a ( 1 ) d e m u e s t r a q u e d a d o (r, 6, z ) , l a t e r n a (x, y, z) está c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a y v i c e -
v e r s a , s i r e s t r i n g i m o s 6 a l i n t e r v a l o [ 0 , 2n) ( a v e c e s , c o n v i e n e u t i l i z a r e l i n t e r v a l o ( — n, n]) y 
además r > 0 . 
P a r a v e r p o r qué u s a m o s e l término coordenadas cüíndricas, nótese q u e s i 0 ^ 9 < 2n, 
— o o < z < o o y r = a e s u n a c o n s t a n t e p o s i t i v a , e n t o n c e s e l l u g a r geométrico d e e s t o s p u n t o s 
e s u n c i l i n d r o d e r a d i o a (véase l a F i g u r a 1 . 4 . 3 ) . 
y 
F i g u r a 1 . 4 . 3 . L a gráfica d e l o s p u n t o s c u y a s c o o r d e n a d a s 
c i l i n d r i c a s s a t i s f a c e n r = a e s u n c i l i n d r o . 
E J E M P L O 1 . 4 2 
a ) H a l l a r l a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s d e ( 6 , 6 , 8 ) y d i b u j a r l a s . 
b ) S i u n p u n t o t i e n e c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s ( 8 , 2 n / 3 , - 3 ) , ¿cuáles s o n s u s c o o r d e n a d a s c a r t e -
s i a n a s ? D i b u j a r l a s . 
Solución 
P a r a l a p a r t e a ) , t e n e m o s r = ^ó2 + 6 2 = 6 N / 2 y 9 = a r c t a n ( 6 / 6 ) = a r c t a n ( 1 ) = n/4. P o r t a n -
t o , l a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s s o n ( 6 ^ / 2 , T T / 4 , 8 ) . E s e l p u n t o P d e l a F i g u r a 1 . 4 . 4 . P a r a l a p a r t e 
b ) , nótese q u e 2 7 t / 3 = 7 t / 2 + 7 t / 6 y , e n t o n c e s , 
2 T I 8 
x = r e o s 9 = 8 e o s — = = — 4 
3 2 
y 
2n 
y = r s e n 0 = 8 s e n — 
' 3 
Así, l a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s s o n ( - 4 , 4 ^ / 3 , - 3 ) . E s e l p u n t o Q d e d i c h a f i g u r a . 
Cálculo v e c t o r i a l 
F i g u r a 1 . 4 . 4 . E j e m p l o s d e transformación e n t r e c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s y c i l i n d r i c a s . 
C o o r d e n a d a s esféricas 
L a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s n o s o n l a única generalización p o s i b l e a t r e s d i m e n s i o n e s d e l a s 
c o o r d e n a d a s p o l a r e s . R e c o r d e m o s q u e , e n d o s d i m e n s i o n e s , l a m a g n i t u d d e l v e c t o r x i + y j ( e s t o 
e s , y/x2 + y 2 ) e s l a r e n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s p o l a r e s . C o n l a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s l a 
l o n g i t u d d e l v e c t o r x i + y j + z k , a s a b e r , 
P = sjx2 + y2 + z2, 
n o e s u n a d e l a s c o o r d e n a d a s d e l s i s t e m a : e n c a m b i o , u s a m o s l a m a g n i t u d r = sjx2 + y 2 , e l 
ángulo 9 y l a «altura» z . 
V a m o s a m o d i f i c a r e s t o i n t r o d u c i e n d o e l s i s t e m a d e coordenadas esféricas, q u e usa a p c o -
m o c o o r d e n a d a . L a s c o o r d e n a d a s esféricas s o n útiles c o n f r e c u e n c i a e n p r o b l e m a s d o n d e h a y 
simetría esférica (simetría r e l a t i v a a u n p u n t o ) , m i e n t r a s q u e l a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s s e p u e -
d e n u t i l i z a r c u a n d o h a y simetría c i l i n d r i c a (simetría r e l a t i v a a u n a r e c t a ) . 
D a d o u n p u n t o ( x , y , z ) e I R 3 , s e a 
p = Jx2 + y2 + z2 
y r e p r e s e n t e m o s x e y c o n c o o r d e n a d a s p o l a r e s e n e l p l a n o x y : 
x = r c o s f 9 , y = r s e n 0 ( 2 ) 
d o n d e r = ^Jx2 + y2 y 9 está d e t e r m i n a d o p o r l a Fórmula ( 1 ) [véase l a expresión d e 9 segúnl a 
Fórmula ( 1 ) ] . L a c o o r d e n a d a z v i e n e d a d a p o r 
z = p e o s (p 
Capítulo 1 . L a geometría d e l e s p a c i o euclídeo 6 5 
d o n d e 0 e s e l ángulo ( e n t r e 0 y n, a m b o s i n c l u s i v e ) q u e f o r m a e l r a d i o v e c t o r v = xi + yj + zk 
c o n e l e j e p o s i t i v o d e l a z, e n e l p l a n o q u e c o n t i e n e a l v e c t o r v y a l e j e z (véase l a F i g u r a 1 . 4 . 5 ) . 
U s a n d o e l p r o d u c t o e s c a l a r p o d e m o s e x p r e s a r 0 d e l s i g u i e n t e m o d o : 
e o s 0 
v k 
e s t o e s , 0 = a r c e o s 
v k 
(x,y,z) 
F i g u r a 1 . 4 . 5 . C o o r d e n a d a s esféricas (p, 9, <¡>); l a gráfica d e 
l o s p u n t o s q u e s a t i s f a c e n p = a e s u n a e s f e r a . 
T o m a m o s c o m o c o o r d e n a d a s l a s c a n t i d a d e s p, 9, 0 . D a d o q u e 
r = p s e n 0 , 
p o d e m o s u s a r l a Fórmula ( 2 ) p a r a o b t e n e r x, y, z e n función d e l a s c o o r d e n a d a s esféricas p, 9, 0 . 
DEFINICIÓN L a s coordenadas esféricas d e (x, y, z ) s o n (p, 9, 0 ) y s e d e f i n e n c o m o s i g u e : 
x = psen 0 c o s 0 , y = psen 0 s e n 9 , z = p c o s 0 ( 3 ) 
d o n d e 
p ^ 0 , 0 < 0 < 2 7 1 , 0 ^ 0 ^ Tí. 
Hoto, *&¿&tó>Uc<z 
E n 1 7 7 3 J o s e p h L o u i s L a g r a n g e e s t a b a t r a b a j a n d o e n l a teoría g r a v i t a t o r i a d e N e w t o n 
a p l i c a d a a l o s e l i p s o i d e s d e revolución. C u a n d o t r a t a b a d e c a l c u l a r l a atracción g r a v i t a t o -
r i a t o t a l d e t a l e s e l i p s o i d e s s e encontró c o n u n a i n t e g r a l q u e r e s u l t a b a difícil d e c a l c u l a r . 
M o t i v a d o p o r e s t e p r o b l e m a i n t r o d u j o l a s c o o r d e n a d a s esféricas, q u e l e p e r m i t i e r o n c a l c u -
l a r l a i n t e g r a l . N o s o t r o s e s t u d i a r e m o s e l método d e l c a m b i o d e c o o r d e n a d a s e n l a Sección 
6 . 2 , y a q u e s e p u e d e a p l i c a r a n u m e r o s a s i n t e g r a l e s múltiples, y s u s a p l i c a c i o n e s a l a g r a -
vitación e n l a Sección 6 . 3 , d o n d e v e r e m o s cómo l a l e y g r a v i t a t o r i a d e l i n v e r s o d e l o s c u a -
d r a d o s permitió a N e w t o n c o n s i d e r a r m a s a s esféricas c o m o m a s a s p u n t u a l e s . 
L a s c o o r d e n a d a s esféricas están también e s t r e c h a m e n t e l i g a d a s a l a navegación 
p o r m e d i o d e l a l a t i t u d y l a l o n g i t u d . P a r a v e r l a relación, o b s e r v e m o s p r i m e r o q u e l a e s -
f e r a d e r a d i o a c e n t r a d a e n e l o r i g e n s e d e s c r i b e m e d i a n t e u n a ecuación m u y s i m p l e e n 
Cálculo v e c t o r i a l 
c o o r d e n a d a s esféricas, a s a b e r , p = a. S i f i j a m o s e l r a d i o o , l a s c o o r d e n a d a s esféricas 6 \ 
<p s o n s i m i l a r e s a l a l a t i t u d y l a l o n g i t u d t o m a n d o e l e j e d e l a t i e r r a c o m o e j e z. H a y d i f e -
r e n c i a s , s i n e m b a r g o : l a l o n g i t u d geográfica e s | 0 | y s e l l a m a l o n g i t u d e s t e u o e s t e d e p e n -
d i e n d o d e s i 9 e s p o s i t i v o o n e g a t i v o m e d i d o c o n r e s p e c t o a l m e r i d i a n o d e G r e e n w i c h ; l a 
l a t i t u d geográfica e s \nl2 — cf>\ y s e l l a m a l a t i t u d n o r t e o s u r d e p e n d i e n d o d e s i n/2 - 0 e s 
p o s i t i v o o n e g a t i v o . 
E J E M P L O 1 . 4 3 
a ) C a l c u l a r l a s c o o r d e n a d a s esféricas d e l p u n t o ( 1 , - 1 , 1) y d i b u j a r l o . 
b ) C a l c u l a r l a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s d e l p u n t o ( 3 , n/6, ni A) d a d o e n c o o r d e n a d a s esféric 
y d i b u j a r l o . 
c ) C o n s i d e r e m o s e l p u n t o ( 2 , — 3 , 6 ) e n c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s . C a l c u l a r s u s c o o r d e n a d " 
esféricas y d i b u j a r l o . 
d ) C o n s i d e r e m o s u n p u n t o d a d o e n c o o r d e n a d a s esféricas ( 1 , — nl2, ni A). C a l c u l a r s u s c o o r d e -
n a d a s c a r t e s i a n a s y d i b u j a r l o . 
Solución 
a ) p = Jx2 + y2 + z2 = J l 2 + (-lf+ \ ¿ = J3, \ 2 , , 2 
2n + a r c t a n \ - ] = 2n + a r c t a n = 2n = —, 
1 / 4 4 
(/> = a r c e o s ( ^ j = a r c e o s \Á= ) % 0 , 9 5 5 ss 54,74°. 
Véase l a F i g u r a 1 . 4 . 6 ( a ) y l a expresión p a r a 6 d e d u c i d a d e l a Fórmula (1) . 
1 \ v / 3 3^/3 
b ) x — p s e n </>cos 9 = 3 s e n I - | c o s [ - I = 3 , 
\Aj \6J \./2j 2 2 . / 2 
y = p s e n ó s e n 9 = 3 s e n ( - ] s e n ( - ) = 3 (—— | ( - , 
W W \M\2j 2S2 
z = p e o s <j> = 3 e o s 
T A 3 3 . / 2 
2 2 
Véase l a F i g u r a 1 . 4 . 6 ( b ) . 
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Capítulo 1 . L a geometría d e l e s p a c i o euclídeo 6 7 
(a) 
P = N / 3 
- 1 , 1 ) 
M = 55° 
y 
F i g u r a 1 . 4 . 6 . Cálculo d e (a) l a s c o o r d e n a d a s esféricas d e l p u n t o ( 1 , - 1 , 1) y (b) l a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s 
d e (3. T I / 6 , T I / 4 ) . 
c ) p = Jx2 + y2 + z2 = J l 2 + ( - 3 ) 2 + 6 2 
M / - 3 
y = 2n + a r c t a n \ - ] = 2n + a r c t a n . 
/ 4 9 = 7 , 
5 , 3 0 0 4 r a d i a n e s % 303,69°, 
ó = a r c e o s I - \ = a r c e o s (- ) % 0 , 5 4 1 % 31,0°. 
\p \1, 
Véase l a F i g u r a 1 . 4 . 7 ( a ) . 
(a) z i 
l \ 7 
1 \ 31° 
/ - 5 6 ° 
x ' 
(b) 
F i g u r a 1 . 4 . 7 . Cálculo d e (a) c o o r d e n a d a s esféricas d e l p u n t o (2, 3 . 6) y (b) c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s d e 
( 1 . - T I / 2 . 7t/4). 
d ) x = p s e n 0 c o s 0 = 1 s e n ( - I e o s 
y = p s e n 0 s e n 0 = 1 s e n ( - ) s e n 
z = p e o s 0 = 1 e o s 
4 / 2 
• 0 = 0 , 
2 \ J2 
2 ) ' v . 
Véase l a F i g u r a 1 . 4 . 7 ( b ) . 
Cálculo v e c t o r i a l 
E J E M P L O 1 . 4 4 E x p r e s a r a ) l a s u p e r f i c i e xz = 1 y b ) l a s u p e r f i c i e x2 + y2 — z2 = 1 e n c o o r d e n 
d a s esféricas. 
Solución 
D e l a Fórmula ( 3 ) , x = p s e n 0 c o s 0,yz = p e o s 0 , y así l a s u p e r f i c i e xz = 1 d e a ) está f o r m a 
p o r l o s p u n t o s p, 6, 0 t a l e s q u e 
p 2 s e n 0 c o s 0 c o s 0 = 1 , e s t o e s , p 2 s e n 2 0 c o s 0 = 2 . 
P a r a e l a p a r t a d o b ) p o d e m o s e s c r i b i r 
x2+ y2 - z2 = x2+ y2 + z2 - 2z2 = p2 - 2 p 2 c o s 2 0 , 
d e m o d o q u e l a s u p e r f i c i e e s p 2 ( l — 2 e o s 2 0 ) = 1 ; e s t o e s , — p2 e o s ( 2 0 ) = 1 . 
A s o c i a d o s a l a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s y esféricas e x i s t e n v e c t o r e s u n i t a r i o s q u e s e c o r r 
p o n d e n c o n i , j y k e n l a s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s . S e m u e s t r a n e n l a F i g u r a 1 . 4 . 8 . P o r e j e 
pío, er e s e l v e c t o r u n i t a r i o p a r a l e l o a l p l a n o xy q u e t i e n e dirección r a d i a l , d e m a n e r a q 
er = ( e o s 9)i + ( s e n 0)j. D e l m i s m o m o d o , e n c o o r d e n a d a s esféricas, e s e l v e c t o r u n i t a r i o t~ 
g e n t e a l a c u r v a p a r a m e t r i z a d a p o r l a v a r i a b l e 0 m a n t e n i e n d o f i j a s l a s v a r i a b l e s p y 6. U t i l i z 
m o s e s t o s v e c t o r e s u n i t a r i o s más a d e l a n t e c u a n d o u s e m o s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s y esféricas 
cálculos v e c t o r i a l e s . 
( a ) (b) 
F i g u r a 1 . 4 . 8 . (a) V e c t o r e s o r t o n o r m a l e s e r , e„ y ez a s o c i a d o s c o n l a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s . E l v e c t o r e f 
e s p a r a l e l o a l a r e c t a r. (b) V e c t o r e s o r t o n o r m a l e s e p e H y e 0 a s o c i a d o s c o n l a s c o o r d e n a d a s 
esféricas. 
E J E R C I C I O S 
1 . a ) L o s s i g u i e n t e s p u n t o s v i e n e n d a d o s e n c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s ; e x p r e s a r c a d a u n o e n c o o r d e n a -
das r e c t a n g u l a r e s y esféricas: ( 1 , 45°,1 ) , (2 , n/2, - 4 ) , ( 0 , 45°, 1 0 ) , (3 , T E / 6 , 4 ) , ( 1 , n/6, 0 ) > 
(2 , 3? i /4 , - 2 ) . 
b ) T r a n s f o r m a r l o s s i g u i e n t e s p u n t o s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s a c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s y es 
féricas: (2 , 1 , - 2 ) , ( 0 , 3 , 4 ) , ( ^ 2 , 1 , 1 ) , ( - 2 ^ / 3 , - 2 , 3) . 
2. D e s c r i b i r e l s i g n i f i c a d o geométrico d e l a s s i g u i e n t e s a p l i c a c i o n e s e n c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s : 
Cálculo v e c t o r i a l 
E J E M P L O 1 . 4 4 
d a s esféricas. 
Solución 
E x p r e s a r a ) l a s u p e r f i c i e x z = 1 y b ) l a s u p e r f i c i e x2 + y2 — z2 = 1 e n c o o r d e i 
D e l a Fórmula ( 3 ) , x = p s e n 0 c o s 6,yz = p e o s 0 , y así l a s u p e r f i c i e xz — 1 d e a ) está f o r m a c 
p o r l o s p u n t o s p, 8, 0 t a l e s q u e 
p2 s e n 0 c o s 0 e o s 0 = 1 , e s t o e s , p2 s e n 2 0 c o s 6 = 2. 
P a r a e l a p a r t a d o b ) p o d e m o s e s c r i b i r 
x2 + y2 - z2 = x2+ y2 + z2 - 2z2 = p2 - 2 p 2 c o s 2 0 , 
d e m o d o q u e l a s u p e r f i c i e e s p 2 ( l — 2 e o s 2 0 ) = 1 ; e s t o e s , — p2 e o s ( 2 0 ) = 1 . 
A s o c i a d o s a l a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s y esféricas e x i s t e n v e c t o r e s u n i t a r i o s q u e s e c o r r e 
p o n d e n c o n i , j y k e n l a s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s . S e m u e s t r a n e n l a F i g u r a 1 . 4 . 8 . P o r e j e r 
pío, e r e s e l v e c t o r u n i t a r i o p a r a l e l o a l p l a n o xy q u e t i e n e dirección r a d i a l , d e m a n e r a 
e r = ( e o s 9)i + ( s e n 9)j. D e l m i s m o m o d o , e n c o o r d e n a d a s esféricas, e s e l v e c t o r u n i t a r i o 
g e n t e a l a c u r v a p a r a m e t r i z a d a p o r l a v a r i a b l e 0 m a n t e n i e n d o f i j a s l a s v a r i a b l e s p y 9. U t i l i z a r e - ] 
m o s e s t o s v e c t o r e s u n i t a r i o s más a d e l a n t e c u a n d o u s e m o s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s y esféricas e i j 
cálculos v e c t o r i a l e s . 
( a ) (b) 
F i g u r a 1 . 4 . 8 . (a) V e c t o r e s o r t o n o r m a l e s er. e» y ez a s o c i a d o s c o n l a s c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s . E l v e c t o r e r 
e s p a r a l e l o a l a r e c t a r . (b) V e c t o r e s o r t o n o r m a l e s e,, e„ y e 4 , a s o c i a d o s c o n l a s c o o r d e n a d a s 
esféricas. 
E J E R C I C I O S 
1 . a ) L o s s i g u i e n t e s p u n t o s v i e n e n d a d o s e n c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s ; e x p r e s a r c a d a u n o e n c o o r d e n a -
das r e c t a n g u l a r e s y esféricas: ( 1 , 45°, 1 ) , ( 2 , n/2, - 4 ) , ( 0 , 45°, 1 0 ) , ( 3 , T I / 6 , 4 ) , ( 1 , T I / 6 , 0 ) y 
( 2 , 3 7 E / 4 , - 2 ) . 
b ) T r a n s f o r m a r l o s s i g u i e n t e s p u n t o s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s a c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s y es-
féricas: ( 2 , 1 , - 2 ) , ( 0 , 3 , 4 ) , (Jl, 1 , 1 ) , ( - 2 ^ 3 , -2, 3 ) . 
2 . D e s c r i b i r e l s i g n i f i c a d o geométrico d e l a s s i g u i e n t e s a p l i c a c i o n e s e n c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s : 
Capítulo 1 . L a geometría d e l e s p a c i o euclídeo 6 9 
a ) ( r , 9, z) - > ( r , 0 , - z ) . 
b ) ( r , 0 , z ) - » ( r , 0 + 7 t , - z j . 
c ) ( r , 0 , z ) - * ( - r , 0 - 7 t / 4 , z ) . 
3. D e s c r i b i r e l s i g n i f i c a d o geométrico d e l a s s i g u i e n t e s a p l i c a c i o n e s e n c o o r d e n a d a s esféricas: 
a ) (P, e, <p) -^(p,e + TI, <pi 
b ) (p, 9, 0 ) ( p , 0 , T I - 0 ) . 
c ) ( p , 0 , 0 ) ( 2 p , 0 + T I / 2 , 0 ) . 
4. a ) D e s c r i b i r l a s s u p e r f i c i e s d a d a s e n c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s : r = c o n s t a n t e , 8 = c o n s t a n t e y z = c o n s -
t a n t e . 
b ) D e s c r i b i r l a s s u p e r f i c i e s dadas e n c o o r d e n a d a s esféricas: p = c o n s t a n t e , 9 = c o n s t a n t e y 0 = c o n s -
t a n t e . 
5. D e m o s t r a r q u e p a r a r e p r e s e n t a r c u a l q u i e r p u n t o d e I R 3 m e d i a n t e c o o r d e n a d a s esféricas b a s t a t o m a r 
v a l o r e s d e 9 e n t r e 0 y 27r, v a l o r e s d e 0 e n t r e 0 y n, y v a l o r e s d e p > 0 . ¿Son únicas e s t a s c o o r d e n a -
das s i a d m i t i m o s q u e p sí 0 ? 
6. U s a n d o c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s y l o s v e c t o r e s o r t o n o r m a l e s ( o r t o g o n a l e s n o r m a l i z a d o s ) e r , ee y ez 
(véase l a F i g u r a 1 . 4 . 8 ) , 
a ) e x p r e s a r c a d a u n o d e l o s v e c t o r e s e r , e e y ez e n función d e i , j , k y (x, y , z ) ; y 
b ) c a l c u l a r e e x j analíticamente, u s a n d o l a p a r t e a ) , y geométricamente. 
7. U s a n d o c o o r d e n a d a s esféricas y l o s v e c t o r e s o r t o n o r m a l e s ( o r t o g o n a l e s n o r m a l i z a d o s ) ep, e e y 
(véase l a F i g u r a 1.4.8 ( b ) ) , 
a ) e x p r e s a r c a d a u n o d e l o s v e c t o r e s e p , e e y e^, e n función d e i , j , k y (x, y, z ) ; y 
b ) c a l c u l a r e 9 x j y x j analítica y geométricamente. 
8. E x p r e s a r e l p l a n o z = x e n c o o r d e n a d a s a ) c i l i n d r i c a s y b ) esféricas. 
9. D e m o s t r a r q u e e n c o o r d e n a d a s esféricas: 
a ) p es l a l o n g i t u d d e xi + yj + z k . 
b ) 0 = a r c c o s ( v • k / | | v | | ) , d o n d e v = x i + y j + z k . 
c ) 9 = a r c c o s O J ^ i / H u l l ) , d o n d e u = xi + yj. 
10. D o s s u p e r f i c i e s están d e s c r i t a s e n c o o r d e n a d a s esféricas p o r m e d i o d e d o s e c u a c i o n e s p =f(8, <f>) y 
p = -2f(9, 0 ) , d o n d e f(9, 0 ) es u n a función d e d o s v a r i a b l e s . ¿Cómo se o b t i e n e geométricamente 
l a s e g u n d a s u p e r f i c i e a p a r t i r d e l a p r i m e r a ? 
1 1 . U n a m e m b r a n a c i r c u l a r e n e l e s p a c i o está s o b r e l a región x2 + y2 < a2. E l v a l o r máximo d e l a c o m -
p o n e n t e z d e l o s p u n t o s d e l a m e m b r a n a es b. S u p o n g a m o s q u e (x, y, z) es u n p u n t o d e l a m e m b r a n a . 
D e m o s t r a r q u e ese p u n t o e x p r e s a d o e n c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s ( r , 9, z ) s a t i s f a c e l a s c o n d i c i o n e s 
0 sí r sí a, 0 sí 0 $ 2%, | z | < b. 
Cálculo v e c t o r i a l 
12. U n t a n q u e q u e t i e n e f o r m a de c i l i n d r o c i r c u l a r r e c t o d e r a d i o 3 m y a l t u r a 5 m está l l e n o h a s t a 
m i t a d de líquido y r e p o s a de l a d o . D e s c r i b i r e l e s p a c i o vacío d e n t r o d e l t a n q u e e l i g i e n d o u n s i s t ema 
a d e c u a d o d e c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s . 
13. S e v a a diseñar u n vibrómetro q u e s o p o r t e l o s e f e c t o s d e l c a l e n t a m i e n t o d e s u c u b i e r t a esférica d i 
diámetro d, q u e d e b e e n t e r r a r s e a u n a p r o f u n d i d a d d e d/3 e n l a t i e r r a y c u y a p a r t e s u p e r i o r e s ta r , 
c a l e n t a d a p o r e l s o l ( s u p o n e m o s q u e l a s u p e r f i c i e t e r r e s t r e es p l a n a ) . E l análisis d e l a conducción de 
c a l o r r e q u i e r e u n a descripción d e l a p a r t e e n t e r r a d a d e l a c u b i e r t a e n c o o r d e n a d a s esféricas. E n c o n -
t r a r l a . 
14. U n c a r t u c h o de f i l t r o d e a c e i t e es u n c i l i n d r o r e c t o c i r c u l a r p o r o s o d e n t r o d e l c u a l e l a c e i t e se d i f u n d e 
d e s d e e l e j e h a c i a l a s u p e r f i c i e c u r v a d a e x t e r i o r . D e s c r i b i r e l c a r t u c h o e n c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s si e 
diámetro d e l filtro es de 1 1 , 4 c m , l a a l t u r a d e 1 4 , 2 c m y e l c e n t r o d e l c a r t u c h o está t a l a d r a d o ( a I 
l a r g o ) d e sd e a r r i b a p a r a p e r m i t i r l a e n t r a d a d e u n p e r n o d e | c m de diámetro. 
15. D e s c r i b i r l a s u p e r f i c i e q u e e n c o o r d e n a d a s esféricas v i e n e d a d a p o r p = e o s 29. 
. E l e s p a c i o euclídeo n - d i m e n s i o n a l 
V e c t o r e s e n e l e s p a c i o A - d i m e n s i o n a l 
E n l a s S e c c i o n e s 1 .1 y 1 . 2 e s t u d i a m o s l o s e s p a c i o s I R = I R 1 , I R 2 y I R 3 , y d i m o s s u s i n t e r p r e t a c i o -
n e s geométricas. P o r e j e m p l o , u n p u n t o ( x , y , z ) e n I R 3 s e p u e d e p e n s a r c o m o u n o b j e t o geomé-
t r i c o , a s a b e r , e l s e g m e n t o r e c t o d i r i g i d o o v e c t o r q u e s a l e d e l o r i g e n y t e r m i n a e n e l p u n t o ( x , y, 
z ) . P o r c o n s i g u i e n t e , p o d e m o s p e n s a r I R 3 d e c u a l q u i e r a d e e s t a s d o s f o r m a s : 
i ) A l g e b r a i c a m e n t e , c o m o u n c o n j u n t o d e t e r n a s ( x , y, z ) d o n d e x , y y z s o n números r e a l e s . 
i i ) Geométricamente, c o m o u n c o n j u n t o d e s e g m e n t o s r e c t o s d i r i g i d o s . 
E s t a s d o s f o r m a s d e v e r I R 3 s o n e q u i v a l e n t e s . P a r a u n a generalización, e s más fácil u s a r l a 
definición i ) . P r e c i s a m e n t e , p o d e m o s d e f i n i r I R " , d o n d e n e s u n e n t e r o p o s i t i v o ( p o s i b l e m e n t e 
m a y o r q u e 3 ) , c o m o e l c o n j u n t o d e t o d a s l a s n - t u p l a s o r d e n a d a s ( x , , x 2 , x„), d o n d e l o s x¡ s o n 
números r e a l e s . P o r e j e m p l o , ( 1 , ^ / 5 , 2 , N / 3 ) e I R 4 . 
E l c o n j u n t o I R " así d e f i n i d o s e c o n o c e c o m o espacio euclídeo n-dimensional, y s u s e l e m e n -
t o s , q u e s e d e n o t a n x = ( x , , x 2 , x„), s e l l a m a n vectores n-dimensionales o , s i m p l e m e n t e , vec-
tores. T o m a n d o n = 1 , 2 o 3 , o b t e n e m o s l a r e c t a , e l p l a n o y e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , r e s p e c t i -
v a m e n t e . 
C o m e n z a r e m o s n u e s t r o e s t u d i o d e l e s p a c i o euclídeo «-dimensional i n t r o d u c i e n d o v a r i a s 
o p e r a c i o n e s a l g e b r a i c a s . E s t a s s o n análogas a l a s i n t r o d u c i d a s e n l a Sección 1 .1 p a r a I R 2 y I R 3 . 
L a s d o s p r i m e r a s , s u m a y multiplicación p o r e s c a l a r e s , s e d e f i n e n c o m o s i g u e : 
i ) ( x , , x 2 , x„) + ( y , , y 2 , y„) = ( x , + y „ x 2 + y 2 , x„ + y„) ; 
y , 
i i ) p a r a c u a l q u i e r número r e a l oe, 
a ( * j , x 2 , xn) = ( a x 1 ; a x 2 , ax„). 
L a i m p o r t a n c i a geométrica d e e s t a s o p e r a c i o n e s e n e l c a s o d e I R 2 y I R 3 y a s e discutió e n l a S e c -
ción 1 . 1 .