Apol 2 - Geometria Diferencial

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Apol 2 - Geometria Diferencial 
 
 
Questão 1 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre a 
primeira e segunda forma fundamental, e a curvatura gaussiana de uma 
superfície regular S, denominada hiperboloide hiperbólico, definida por 
ϕ(u,v)=(u,v,uv). Dados os coeficientes da primeira e segunda forma 
fundamental de ϕ. Assinale a afirmativa que representa a curvatura gaussiana 
da superfície . 
 
Dados: 
E=1+v2 
F=uv 
G=1+u2 
e=0 
 
g=0. 
 
 
Curvatura gaussiana de s em p. 
Nota: 10.0 
 
A 
 
Você acertou! 
Esta é a afirmativa correta. Primeiro devemos determinar dNp: 
 
(livro-base, p. 94-98). 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
 
Questão 2 - Geometria Diferencial 
 
Considere as informações: 
 
Sejam a, b números reais não nulos e α:R→R3, a aplicação definida 
por α(t)=(acost,asent,bt), uma curva regular denominada hélice circular, cujo o 
traço está contido no cilindro {(x,y,z)∈R3:x2+y2=a2}. Dado que a 
reparametrização por comprimento de arco da função α é 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria 
local das curvas e superfícies regulares. Assinale a alternativa que representa 
os vetores tangente (T(t)) e normal (N(t)), da base ortonormal do triedro de 
Frenet. 
Nota: 10.0 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
Você acertou! 
Esta é afirmativa correta. Temos que os vetores tangente e normais são dados por: 
 
(livro-base p. 13-20) 
 
 
Questão 3 - Geometria Diferencial 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria 
local das curvas, sendo a curva regular α(t)=(1,t2/2),t∈R. Assinale a alternativa 
que representa reparametrização por comprimento de arco da curva α(t). 
 
Nota: 10.0 
 
A β(t)=(1,2t) 
 
B β(t)=(1,t
2
) 
 
C β(t)=(1,t) 
Você acertou! 
Esta é a afirmativa correta. 
Vamos determinar a derivada da curva e o seu módulo: 
α´(t)=(0,t) e |α´(t)|=√t
2
= t. 
 
Agora, calculamos o comprimento do arco: 
 
s(t)=∫|α´(t)|dt = ∫ tdt= t
2
/2 
a inversa de s é t=√2u. 
 
a reparametrização é dada por α∘s−1=(1,t) 
 
(livro-base p. 11-12). 
 
D β(t)=(1,t/2) 
 
E β(t)=(t,t
2
) 
 
 
Questão 4 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria 
local das curvas e seja a aplicação α(t):I→R2, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A curva α(t)=(3+3t/2,t) é uma parametrização da aplicação 2x−3y=6. 
II. O vetor tangente a curva α(t)=(et,t2) é o vetor v=(et,2t), para todo t∈I. 
III. A função comprimento de arco da catenária α(t)=(t,cosht), é s(t)=senht. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
Nota: 0.0 
 
A II 
 
B I 
 
C III 
 
D I e II 
 
E I, II e III 
Item I é verdadeira, porque se isolamos a variável x, temos 
 e fazendo x = t, temos 
 
Item II é verdadeiro, pois o vetor tangente é dado pela primeira derivada da 
curva: α´(t)=(e
t
,2t). 
 
Item III é verdadeiro, pois α´(t)=(t,senht) e 
 
(livro-base p. 4-13) 
 
 
Questão 5 - Geometria Diferencial 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre 
coeficientes da primeira forma fundamental e tendo em vista que a superfície 
parametrizada seja ϕ(x,y)=(x,y,f(x,y)), assinale a afirmativa que apresenta os 
coeficientes E, F e G da primeira forma fundamental: 
Nota: 0.0 
 
A 
 
Esta é a afirmativa correta. Determinamos as derivadas parciais: 
 
Temos que: 
 
(livro-base, p. 75-77). 
 
B 
 
 
C 
 
 
D E=1, F=0 e G=1 
 
E 
 
 
Questão 6 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre a primeira e 
segunda forma fundamental, e a curvatura gaussiana de uma superfície regular S, 
denominada hiperboloide hiperbólico, definida por ϕ(u,v)=(u,v,uv). Dados os 
coeficientes da primeira e segunda forma fundamental de ϕ.ϕ. Assinale a afirmativa que 
representa a curvatura média, H(p) da superfície ϕ. 
 
Dados: 
E=1+v2 
F=uv 
G=1+u2 
e=0 
 
g=0. 
 
 
Curvatura gaussiana de s em p. 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
Você acertou! 
Esta é a afirmativa correta. Primeiro devemos determinar dNp: 
 
 
(livro-base, p. 94-98). 
 
 
D 
 
 
E