CÁLCULO_NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO
Docente: Luiz Carlos Pitzer
CÁLCULO NUMÉRICO
Apresentação
Ao longo das disciplinas já estudas, você teve contato com vários conteúdos, muitos deles possuem inúmeras aplicações práticas, seja no ramo da engenharia, biologia, física, economia, entre outras.
A disciplina de cálculo número, não apresentará nenhum conceito novo, apenas faz a ponte sobre o que você já aprendeu e as aplicações prática.
O cálculo numérico estuda formas de resolução de problemas matemáticos, de forma que eles possam ser facilmente calculados e implementado em programas computacionais.
UNIDADE 1
TÓPICO 1 - TEORIA DOS ERROS
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES
TÓPICO 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
TÓPICO 4 - SISTEMAS LINEARES – MÉTODOS ITERATIVOS
UNIDADE 2
TÓPICO 1 - ZEROS DAS FUNÇÕES
TÓPICO 2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
TÓPICO 3 - EQUAÇÕES POLINOMIAIS
TÓPICO 4 - INTERPOLAÇÃO
UNIDADE 3
TÓPICO 1 - TEORIA DA APROXIMAÇÃO – MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
TÓPICO 2 - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
TÓPICO 3 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Unidade 1 – Tópico 1
Teoria dos Erros
São métodos, algoritmos, desenvolvidos com a finalidade de obter à solução de problemas matemáticos de forma aproximada, usando de operações aritméticas simples, passíveis de implementar em programas computacionais.
O que é Cálculo Numérico? Qual o objetivo desta disciplina?
INTRODUÇÃO
Desenvolver e compreender os métodos numéricos aplicados para assuntos já estudos, porém, antes resolvidos de forma analítica.
ERROS DE MODELAGEM
Precisão de várias casas decimais.
Desprezando alguns fatores.
ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO
Erros por parte de computação
Exemplo simples, são os números irracionais
CONVERSÃO DE BASES
Máquinas pensantes trabalham com base binária
EXEMPLO:
Como seria representado o número 21,6 em uma máquina que suporta 10 bits, sendo 1 para o sinal da mantissa, 5 para a mantissa, 1 para o sinal do expoente e 3 para o expoente.
CONVERSÃO DE BASES
Primeiramente vamos escrever o número 21.6 na forma binária:
	21	2			
	1	10	2		
		0	5	2	
			1	2	2
				0	1
	0,6 x 2	1,2	1
	0,2 x 2	0,4	0
	0,4 x 2	0,8	0
	0,8 x 2	1,6	1
	0,6 x 2	1,2	1
			
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CONVERSÃO DE BASES
 
Sinal negativo 1, positivo 0
										
	
	
	
Mantissa
Expoente
										
	5	2	
	1	2	2
		0	1
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Unidade 1 – Tópico 2
Equações
Como o intuito é trabalhar com o cálculo numérico, ou seja, pensando em modelar problemas, as equações são um forte aliado nesta tarefa.
EQUAÇÕES
Principalmente os polinômios, são fáceis de:
Operar;
Derivar;
Integrar;
Manipular.
Tipo:
Tipo:
Incompletas:
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
ou
15
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Tipo Completa:
em que
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
As equações fracionárias são aquelas em que a incógnita aparece no denominador.
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Exemplo:
Para 
Para 
Unidade 1 – Tópico 3
Sistemas Lineares:
Métodos Diretos
MÉTODO DE CRAMER
MÉTODO DE CRAMER
MÉTODO DE CRAMER
MÉTODO DE CRAMER
MÉTODO DE CRAMER
MÉTODO DE CRAMER
Unidade 1 – Tópico 3
Sistemas Lineares:
Métodos Diretos
na forma matricial
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Unidade 1 – Tópico 3
Sistemas Lineares:
Métodos Diretos
na forma matricial
Denotadas por:
DECOMPOSIÇÃO LU OU FATORAÇÃO LU
 é uma matriz triangular inferior formada pelos pivôs usados no Método de Gauss (em inglês lower) 
 é uma matriz triangular superior obtida pelo escalonamento feito pelo método de Gauss (em inglês upper).
DECOMPOSIÇÃO LU OU FATORAÇÃO LU
Unidade 1 – Tópico 3
Sistemas Lineares:
Métodos Diretos
MATRIZ INVERSA POR LU
Primeiramente, vamos encontrar a inversa de que denotaremos por :
Para todos .
MATRIZ INVERSA POR LU
Agora, vamos encontrar a inversa de que denotaremos por :
MATRIZ INVERSA POR LU
Agora, vamos encontrar a inversa de que denotaremos por :
Para todos e 
MATRIZ INVERSA POR LU
 
DECOMPOSIÇÃO LU OU FATORAÇÃO LU
40
 
DECOMPOSIÇÃO LU OU FATORAÇÃO LU
41
 
 = 
DECOMPOSIÇÃO LU OU FATORAÇÃO LU
42
 = 
DECOMPOSIÇÃO LU OU FATORAÇÃO LU
43
Unidade 1 – Tópico 4
Sistemas Lineares:
Métodos Iterativos
MÉTODO DE JACOBI
MÉTODOS ITERATIVOS
Exemplo: Resolver o sistema a seguir, para um erro menor ou igual a .
MÉTODO DE JACOBI
Paso 
MÉTODO DE JACOBI
Paso 
47
MÉTODO DE JACOBI
Paso 
MÉTODO DE JACOBI
Unidade 1 – Tópico 4
Sistemas Lineares:
Métodos Iterativos
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODOS ITERATIVOS
Exemplo: Resolver o sistema a seguir, para um erro menor ou igual a .
Paso 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Paso 
; ; 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
53
Paso 
; ; 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
54
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Unidade 1 – Tópico 4
Sistemas Lineares:
Métodos Iterativos
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CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA
MÉTODOS ITERATIVOS
Métodos iterativos, podem ou não convergir;
A escolha inicial das iterações pode ser relevante
Uma escolha utilizada foi todos como zero;
A ordem da posição das equações;
Veremos dois métodos para verificar a convergência;
Os métodos garantem a convergência, mas não são necessários.
Critério de Linhas:
Então converge!
CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA
Critério de Sassenfeld:
Então converge!
CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA
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Unidade 1 – Tópico 4
Sistemas Lineares:
Métodos Iterativos
SISTEMAS LINEARES COMPLEXOS
Seja um sistema linear complexo, em que existem matrizes reais e tais que:
SISTEMAS LINEARES COMPLEXOS
Exemplo:
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Canais de contato:
0800 642 5000 Ambiente Virtual de Aprendizagem DaVinci Talk Professor de Plantão
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