Livro - Fundamentos de Algebra

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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
Maria Eugênia de Carvalho e Silva
Daniele Cristina Thoaldo
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Curitiba
2016
Fundamentos 
de Álgebra
Maria Eugênia de Carvalho e Silva
Daniele Cristina Thoaldo
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
S586f Silva, Maria Eugênia de Carvalho e
Fundamentos de álgebra / Maria Eugênia de Carvalho e Silva, Daniele
Cristina Thoaldo. – Curitiba: Fael, 2016. 
224 p.: il.
ISBN 978-85-60531-75-2
1. Álgebra I. Thoaldo, Daniele Cristina II. Título
CDD 512
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão e Diagramação Editora Coletânea
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Vitor Bernardo Backes Lopes
Imagem da Capa Shutterstock .com/9george
Revisão de diagramação Evelyn Caroline dos Santos Betim
Sumário
 Carta ao aluno | 5
1. Os Números Inteiros | 7
2. Relações | 29
3. Aplicações e Operações | 63
4. Grupos | 99
5. Anéis e Ideais | 125
6. Anéis de Polinômios | 173
7. Anéis e Corpos Ordenados | 193
8. Anéis Fatoriais | 207
 Conclusão | 219
 Lista de símbolos | 221
 Referências | 223
Carta ao aluno
Prezado(a) Aluno(a),
O estudo da Matemática, tal qual se apresenta hoje, é voltado 
para suas aplicações. Ninguém pode prescindir da sua utilização, 
seja no gerenciamento de suas finanças pessoais ou de sua empresa, 
seja para a compreensão de fenômenos sociais, como o crescimento 
da população ou o comportamento da economia e da inflação, seja 
para a validação de procedimentos médicos ou medicamentos, atra-
vés da estatística.
Mas a Matemática, do alto de sua importância como ciência, 
também é útil a todas as outras ciências. A Matemática se constitui 
numa poderosa ferramenta simbólica que pode explicitar relações 
entre grandezas e relações lógicas e traduz, essencialmente, a lingua-
gem da Ciência. Desta forma, não há outra linguagem que possa 
melhor representar o pensamento humano.
– 6 –
Fundamentos de Álgebra
O estudo da Álgebra abstrata, pelo alto grau de abstração e pela carac-
terística de seus fundamentos, leva a uma melhoria na compreensão de con-
ceitos de outras áreas do conhecimento, pois requer o desenvolvimento de 
habilidades e raciocínios necessários a todas as ciências.
Ao se iniciarem os estudos da Matemática, é necessário estabelecer 
alguns entes primitivos. Assim, ponto, reta e plano são entes primitivos da 
Geometria. A partir destes entes primitivos, podem ser definidos outros obje-
tos, e a partir destes, os estudos vão sendo ampliados, num estudo sem fim. 
No século XX, os estudos de várias áreas da Matemática, como a aná-
lise, geometria, topologia e também a Álgebra, tiveram um alto grau de 
abstração formal e muitas obras escritas foram produzidas nesse sentido, ao 
lado do desenvolvimento da Matemática aplicada. Esses estudos aprofun-
dados mostraram que a Álgebra tem grande aplicação em vários campos, 
daí sua importância.
Neste livro, procurou-se dar ênfase a exemplos que possam permitir a 
significação dos conceitos, através da união de novos e antigos conhecimen-
tos. Pretende-se que o leitor compreenda a importância do conteúdo estu-
dado e que talvez sinta a necessidade de novos conhecimentos, a partir de sua 
própria autonomia.
A Álgebra é muito mais que este livro, mas, por meio dele, talvez se pos-
sam abrir caminhos e novos horizontes ao leitor.
Alguns objetos matemáticos são admitidos de forma primi-
tiva , não necessitando de definição . Como exemplo , temos o ponto 
e a reta , que não são definidos . Também podemos conceber um 
objeto matemático estabelecendo propriedades que ele deve satisfa-
zer . Essas propriedades são chamadas axiomas ou postulados e diz-
-se que tal objeto foi construído axiomaticamente .
Os Números Inteiros
1
– 8 –
Fundamentos de Álgebra
Em uma teoria axiomática , os objetos são obtidos de forma primitiva e 
sobre eles são estabelecidas propriedades que eles devem satisfazer . Um exem-
plo de teoria axiomática é a Geometria Euclidiana , que foi construída a partir 
dos entes primitivos ponto , reta e plano e de axiomas , os chamados Postula-
dos de Euclides , como :
 2 dados dois pontos distintos , por eles passa uma única reta ;
 2 uma reta sempre contém dois pontos distintos ;
 2 existem três pontos que não pertencem a uma mesma reta ;
 2 dados uma reta e um ponto que não pertence a ela , por esse ponto 
passa uma única reta paralela à reta dada .
Uma teoria matemática pode ser ampliada a partir de novas proprieda-
des estabelecidas por meio de lemas , proposições , teoremas e corolários . Um 
lema serve de base para a demonstração de teoremas , que são essenciais no 
desenvolvimento das teorias matemáticas . Um corolário é uma consequência 
imediata de uma proposição ou de um teorema . Lemas , teoremas e corolários 
devem ser devidamente demonstrados , pois tudo o que é demonstrado mate-
maticamente tem sua veracidade comprovada , indubitavelmente .
1 .1 O conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é indicado por Z  , sendo 
{ }... 3, 2, 1, 0,1 , 2, 3, ...Z = − − −  .
No conjunto Z estão definidas as operações de soma e produto que 
admitem as seguintes propriedades :
I. ( ) ( )x y z x y z+ + = + + : propriedade associativa da soma
II. 0 Z∃ ∈ tal que 0 0x x x+ = + = : existência do elemento 
neutro
III. x Z∃ − ∈ tal que ( ) ( ) 0x x x x+ − = − + = : existência do 
inverso aditivo de cada x Z∈
IV. x y y x+ = + : propriedade comutativa da soma
– 9 –
Os Números Inteiros
V. ( ) ( )x y z x y z⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ : propriedade associativa do produto
VI. 1 Z∃ ∈ tal que 1 1x x x⋅ = ⋅ = : existência da unidade
VII. x y y x⋅ = ⋅ : propriedade comutativa do produto
VIII. ( )x y z x y x z⋅ + = ⋅ + ⋅ : propriedade distributiva do produto 
em relação à soma
IX. 0 0 0x y x ou y⋅ = ⇒ = = : Z não possui divisores de zero
Observações
 2 Veremos , adiante , que existem estruturas algébricas que não satisfa-
zem a propriedade (IX) , isto é , estruturas nas quais 0 x y⋅ =  , mas 
0x ≠ e 0y ≠  .
 2 Para representar o produto dos elementos x e y em Z  , usaremos 
a notação xy em vez de x y⋅  .
Dizemos que Z  , munido de soma e produto , é um domínio de integri-
dade , por satisfazer as nove propriedades citadas .
Em Z existem as noções de ordem ( )≤ e de módulo ( )  .
1 .2 Relação “menor ou igual”
A noção de ordem leva à relação “menor ou igual” , que satisfaz às seguin-
tes propriedades :
I. x x≤  , x Z∀ ∈ : reflexiva
II. x y≤ e y x x y≤ ⇒ = : antissimétrica
III. x y≤ e y z x z≤ ⇒ ≤ : transitiva
IV. Dados x e y em Z  , então x y≤ ou y x≤ : totalidade
V. x y x z y z≤ ⇒ + ≤ +  , z Z∀ ∈ : compatibilidade com a adição
VI. x y≥ e 0 0y xy≥ ⇒ ≥ : compatibilidade com a multiplicação
– 10 –
Fundamentos de Álgebra
Observações
 2 O conjunto dos inteiros positivos é indicado por Z +  , 
sendo { } 0,1 , 2, 3, ...Z + =  . Z + é um subconjunto de Z e 
{ }0,1,2,3,...Z N+ = = é o conjunto dos números naturais . Se 
x Z +∈  , 0x ≥  .
 2 O conjunto dos inteiros estritamente positivos também é um sub-
conjunto de Z e é indicado por *Z +  , sendo { }* 1, 2, 3, ...Z + =  .
 2 Dado x Z∈  , se x Z +− ∈ dizemos que x é negativo ; e se 
*x Z +− ∈  , 
dizemos que x é estritamente negativo .
As regras de sinais são válidas nas seguintes implicações :
a) 0x > e 0 0y xy> ⇒ >
b) 0x > e 0 0y xy< ⇒ <
c) 0x < e y xy< >0 0
1 .3 Princípio da boa ordenação (ou 
do menor número inteiro)
Todo subconjunto não vazio S de Z de elementos não negativos pos-
sui um primeiro elemento , isto é , 0 x S∃ ∈ tal que 0x x≤  , x S∀ ∈  . Dizemos , 
então , que S é limitado inferiormente . Damos o nome de mínimo de S ao 
elemento 0x assim definido .
Exemplo1 .1
O conjunto { } 4, 5, 6, 7, ...S = é limitado inferiormente . Os limites infe-
riores de S são 4, 5, 6, ...  . O mínimo de S é 4 .
Exemplo 1 .2
O conjunto { } ..., 2, 1, 0,1 , 2, 3L = − − não é limitado inferiormente . Não 
existe o mínimo de L  .
– 11 –
Os Números Inteiros
1 .4 Primeiro princípio de 
indução (ou indução fraca)
Dado a Z∈  , suponhamos que , a cada inteiro , n a≥ esteja associada a 
uma afirmação ( )P n  .
Então , ( )P n será verdadeira para todo n a≥ desde que seja possível 
provar que :
a) ( )P a é verdadeira ;
b) se ( )P r é verdadeira para r a≥  , então ( )1P r + também é ver-
dadeira .
Em outras palavras :
a) ( )0P é verdadeira . Significa que 0 tem a propriedade P  .
b) Para qualquer inteiro positivo k  , ( ) ( )1P k P k⇒ +  . Significa que , 
se algum número tem a propriedade P  , então o número seguinte 
também a tem .
Se pudermos provar as sentenças a e b , então ( )P n vale para qualquer 
inteiro positivo n  .
De uma maneira prática , podemos exemplificar como :
a) Você pode subir o primeiro degrau de uma escada . Esta é a tese
( )0P  .
Se você está em um degrau qualquer da escada , isso implica que você 
pode subir mais um degrau : ( ) ( )1P k P k⇒ +  . Conclusão : então você pode 
subir todos os degraus da escada .
Exemplo 1 .3
Provar que , para qualquer inteiro n  , 2n n>  , 0n∀ ≥  .
Solução
Para 0n =  , isso é verdadeiro , pois 02 1 0= >  .
– 12 –
Fundamentos de Álgebra
Vamos supor 2k k>  , 0k ≥ (hipótese de indução) como verdadeira e pro-
curar concluir , a partir daí , que também é verdadeiro 12 1k k+ > +  .
Multiplicando ambos os lados da hipótese de indução por 2 , temos que
1
2
2 2 2
2 2
k
k
k
k
k
k+
>
⋅ > ⋅
>
12 1 k k k k+ > + ≥ + para qualquer inteiro 0k >  .
Portanto , 12 1.k k+ > +
Isso prova que , para qualquer inteiro n  , 2n n>  , 0n∀ ≥  .
Exemplo 1 .4
Provar que , para qualquer inteiro positivo n  , ( ) 21 3 5 ... 2 1n n+ + + + − =  .
Solução
Neste exemplo , a propriedade ( )P n é que a equação anterior é verda-
deira . No primeiro membro dessa equação , temos a soma de todos os 
inteiros ímpares de 1 até ( )2 1n −  . Certamente, se substituirmos os termos 
por alguns inteiros ímpares, veremos que essa equação é sempre verdadeira. 
Mas , para provarmos essa afirmação , devemos prová-la para todos os infini-
tos inteiros ímpares . Por meio da indução matemática , estabelecemos ( )1P 
quando 1n =  : 21 1 .=
A hipótese de indução é que ( )P k é verdadeira para qualquer inteiro positivo 
k  . Então , substituindo n por k  , temos : 21 3 5 ... (2 1)+ + + + − =k k  .
No próximo passo , queremos mostrar que ( )1P k + também é verdadeira  , ou 
seja , a equação é verdadeira quando n assume o valor de 1k +  . Isso ocorre 
quando acrescentamos mais um termo ao primeiro membro de ( )1P k +  . 
Como agora n é igual a 1k +  , o resultado da expressão é 2 2( 1)n k= +  .
– 13 –
Os Números Inteiros
( ) ( )( ) 21 3 5 ... 2 1 2 1 1 ( 1)k k k+ + + + − + + − = +
Mas , pela equação ( )P k  , sabemos que a primeira parte da expressão  , no 
primeiro membro , vale 2k  .
1 3 5 2 1 2 1 1 1
2
2+ + + + - + + - = +... ( ) ( ( ) ) ( )k k k
k
� ���� ����
Substituindo , temos :
( )( )2 22 1 1 ( 1)k k k+ + − = +
Desenvolvendo o primeiro membro , vem :
2 2
2 2
2 2
2 2 1 ( 1)
2 1 ( 1)
( 1) ( 1)
k k k
k k k
k k
+ + − = +
+ + = +
+ = +
Encontramos uma igualdade verdadeira , portanto , a propriedade ( )1P k + 
é verdadeira , o que prova que , para qualquer inteiro positivo n  , 
( ) 21 3 5 ... 2 1 .n n+ + + + − =
Exemplo 1 .5
Provar que 2 11 2 2 ... 2 2 1, 1k k k++ + + + = − ∀ ≥  .
Solução
( )1P é verdadeira , pois 21 2 2 1 3 3+ = − ⇒ =  .
Supomos ( )P k verdadeira : 2 11 2 2 ... 2 2 1, 1k k k++ + + + = − ∀ ≥ e pro-
vamos para 1n k= +  : ( )1 12 11 2 2 ... 2 2 2 1kk k + +++ + + + + = −  .
Substituímos , no primeiro membro , a expressão equivalente a ( )P k  :
( )1 11 1
1 2
2 2
2 1 2 2 1
2.2 1 2 1
2 1 2 1
kk k
k k
k k
+ ++ +
+ +
+ +
− + = −
− = −
− = −
conforme queríamos demonstrar .
– 14 –
Fundamentos de Álgebra
Exemplo 1 .6
Provar que , para qualquer inteiro positivo n  , 
( )1
1 2 3 ... 
2
n n
n
+
+ + + + =  .
Solução
Esta é a soma de Gauss  , que descobriu , ainda criança , como calcular a soma 
dos n primeiros números naturais .
( )1P é verdadeira , pois ( )1 1 11 1 1
2
+
= ⇒ =  .
Supomos ( )P k verdadeira : ( )11 2 3 ... 
2
k k
k
+
+ + + + = e provamos para 
1n k= +  : ( )
( ) ( )1 1 1
1 2 3 ... 1
2
k k
k k
+ + +  + + + + + + =  .
Substituímos , no primeiro membro , a expressão equivalente a ( )P k  :
( ) ( )
( ) ( )1 1 11
1
2 2
k kk k
k
+ + + +  + + =  .
Desenvolvendo ambos os membros :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2
1 1 11
1
2 2
1 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2
2 2
3 2 3 2
2 2
k kk k
k
k k k k k
k k k k k k
k k k k
+ + + +  + + =
+ + + + +
=
+ + + + + +
=
+ + + +
=
conforme queríamos demonstrar .
Exemplo 1 .7
Provar que 2 3n n>  , para 4.n ≥
– 15 –
Os Números Inteiros
Solução
Neste caso , a hipótese de indução deve ser feita para 4n =  .
( )4P é verdadeira , pois 24 3 4 16 12> ⋅ ⇒ >  .
Supomos ( )P k verdadeira : 2 3k k> e provamos para 1n k= +  :
2 3n n>
( )2( 1) 3 1k k+ > +
Desenvolvendo apenas o primeiro membro dessa desigualdade :
2 2( 1) 2 1k k k+ = + +
Mas , pela hipótese de indução :
2 3k k>
Substituindo 2k na igualdade anterior , ela se torna uma desigualdade :
2 2( 1) 2 1k k k+ = + +
2 2 1 3 2 1k k k k+ + > + +
Como 4k ≥  , podemos substituir k por 4 e escrever :
3 2 1 3 8 1
3 2 1 3 9
k k k
k k k
+ + ≥ + +
+ + ≥ +
que é maior que 3k + 3 .
Então ,
( )
( )2
3 2 1 3 1
( 1) 3 1
k k k
k k
+ + ≥ +
+ ≥ +
conforme queríamos demonstrar .
– 16 –
Fundamentos de Álgebra
1 .5 Segundo princípio de indução 
(ou indução completa)
Dado a Z∈  , suponhamos que a cada inteiro n a≥ esteja associada uma 
afirmação ( )P n  .
Então , ( )P n será verdadeira para todo n a≥ desde que seja possível 
provar que :
a) ( )P a é verdadeira ;
b) dado r a>  , se ( )P k é verdadeira para todo k tal que a k r≤ <  , 
então ( )P r também é verdadeira .
Demonstração
Seja ( ){ | }L x Z a x e P x é falsa= ∈ ≤  . Queremos mostrar que L é o 
conjunto vazio , ou seja , não existe x nessas condições .
Se { } L ≠  , como L é limitado inferiormente , então existe o mínimo 0l 
de L  . Mas temos em (a) que 0l a≠  . Sendo 0l o mínimo de L  , então ( )P k
é verdadeira , ,x Z∀ ∈ tal que 0 a x l≤ <  .
Com base em (b) podemos concluir que ( )0P l é verdadeira , o que é um 
absurdo . Portanto , o segundo princípio de indução é verdadeiro .
Observação
As proposições para o primeiro e o segundo princípios da indução pode-
riam ser enunciadas a partir do número inteiro 1 em vez de zero . Nesse caso , 
a hipótese (a) de indução seria ( )1P e verdadeira . A demonstração continua 
válida , com as devidas alterações .
As seguintes implicações são verdadeiras :
 2 indução forte implica em indução fraca ;
 2 indução fraca implica em princípio da boa ordenação ;
 2 princípio da boa ordenação implica em indução forte .
Portanto , esses princípios são equivalentes e , quando um deles é verda-
deiro , todos os outros também o são .
– 17 –
Os Números Inteiros
1 .6 Múltiplos e divisores
Os múltiplos de um número inteiro a são os números também inteiros 
obtidos de sua multiplicação por qualquer número inteiro 0, 1, 2, ...± ±  , ou 
seja , 0, , 2 , ...a a± ±  .
Se ka e ha são múltiplos de a  , então sua soma e seu produto também 
são múltiplos de a  , pois ( )ha ka h k a+ = + e ( )( ) ( )ha ka hak a= também 
são múltiplos de a  .
Na expressão , , , c ab a b c Z= ∈  , a é um divisor de c e dizemos que :
 2 a divide c ou que a é um divisor de c  ;
 2 c é divisível por a ou c é múltiplo de a  .
Notação : a c  .
Assim , sendo , ,a b c Z +∈  , tem-se :
I. a a  , pois 1a a= ⋅  .
II. Se a b e b a  , então a b=  .
III. Se a b e b c  , então |ac  .
IV. Se a b e a c  , ( )|a bx cy+  , x∀  , y Z∈  .
De fato , se 1b ad= e 2c ad=  , tem-se ( )1bx a xd= e ( )2cy a yd=  .
Portanto , ( ) ( ) ( )1 2 1 2 bx cy a xd a yd a xd yd+ = + =  .
O que prova que a divide ( )bx cy+  .
Na divisão , temos que um número n dividido pelo dividendo tem 
como resultado o divisor , sobrando um resto r  .
1 .7 Algoritmo da divisão
Sejam , n d N∈ e 0d >  , então existem únicos q  , r N∈  , tais que 
n qd r= + e 0 r d≤ <  .
– 18 –
Fundamentos de Álgebra
Demonstração
Usando o segundo princípio da indução sobre n  : se n d< exis-
tem 0, q r n= =  , assim , temos que 0n d≥ >  . Então temos 0 n d n≤ − < 
e , pela hipótese (b) do segundo princípio de indução , temos que 1q∃  , 
r N∈
 , tais que 1n d q d r− = +  , onde 0 r d≤ < de onde vem que 
( )1 1 n q d r= + +  , onde 0 r d≤ <  . Portanto , existem ( )1 1 q q e r N= + ∈  , 
como queríamos demonstrar .
Provando a unicidade : suponhamos que existam 1q  , 1r  , 2q  , 2r N∈  , 
tais que 1 1 1 0n q d r e r d= + ≤ < e 2 2 2 0n q d r e r d= + ≤ <  . Então 
1 1 2 2 q d r q d r+ = +  , onde 10 r d≤ < e 2 0 r d≤ <  . Mas 0d > e basta pro-
varmos que 1 2 r r=  , pois nesse caso teríamos 1 2q d q d=  , ou seja , 1 2 .q q= 
Suponhamos , por absurdo , que 1 2 r r≠  , por exemplo , 1 2 r r> Sendo assim , 
teríamos ( )1 2 2 10 r r q q d< − = −  .
Mas temos também que 1 2r r d− <  , pois 1r d> e 2r d<  , portanto , 
segue que ( )1 2 2 10 r r q q d d< − = − <  , o que é um absurdo , como quería-
mos demonstrar .
Esse resultado recebe o nome de algoritmo da divisão ou algoritmo de 
Euclides .
Exemplo 1 .8
Dividindo 7 por 3 , temos que 7 2 3 1= ⋅ +  , onde o quociente é 2q = 
e o resto é 1r =  .
Exemplo 1 .9
Dividindo 30 por 6 , temos que 30 6 5 0= ⋅ +  , onde o quociente 5q = 
e o resto 0r = indicam que a divisão é exata .
1 .8 Máximo divisor comum
Sejam a  , b  , d Z∈  . Dizemos que d é máximo divisor comum entre 
a e b se , sendo 0d ≥  , e d a  , 'd é um número inteiro tal que 'd a e 
' 'd b d d⇒
 .
– 19 –
Os Números Inteiros
Observações
a) Se d e 'd são máximos divisores comuns entre a e b  , então 
'd d=
 .
b) Se 0a b= =  , então 0d =  .
c) Se 0a = e 0b ≠  , então d b=  .
d) Se d é máximo divisor comum entre a e b  , então d também é 
máximo divisor comum entre a e b−  , entre a− e b e entre a− 
e b−  .
Costumamos indicar o máximo divisor comum entre a e b por 
( ),mdc a b  .
1 .9 Números primos
Um número p Z∈ é chamado número primo se :
I. 0p ≠
II. 1p ≠ ±
III. Os únicos divisores de p são 1 , 1−  , p  , p−  .
Os números 1 , 1−  , p  , p− são os divisores triviais de p  . . Se um 
número é primo , então seus únicos divisores são os triviais .
Um número a Z∈  , tal que 0 , 1a a≠ ≠ ± e não primo é chamado 
de número inteiro composto . Por exemplo , o número 10 é composto , pois , 
além dos divisores 1 , 1−  , 10 e 10−  , que são os triviais , admite também os 
divisores 2 , 2−  , 5 e 5−  .
1 .10 Congruências
Seja 1m > um número inteiro , dizemos que a é côngruo de b  , módulo 
m
 , se , e somente se , ( )|m a b−  . Notação : ( )mod a b m≡  .
– 20 –
Fundamentos de Álgebra
Exemplo 1 .10
( )30 2 mod 4≡  , pois 30 2 28− = é divisível por 4 .
Propriedades das congruências :
I. ( )moda a m≡  , a Z∀ ∈  , pois 0a a− = é divisível por m  .
II. ( ) ( )mod moda b m b a m≡ ⇒ ≡  .
III. ( )moda b m≡ e ( ) ( )mod modb c m a c m≡ ⇒ ≡  .
IV. ( )moda b m≡ e ( ) ( )( )mod modc d m a c b d m≡ ⇒ + ≡ +  .
V. ( ) ( )mod moda b m ac bc m≡ ⇒ ≡  , c Z∀ ∈  .
Exemplo 1 .11
Demonstrar o critério de divisibilidade por 3 por meio da relação de 
congruência .
Solução
Quando se usa a base 10  , todo número natural maior ou igual a 1 pode ser 
decomposto em função dos algarismos das unidades , das dezenas , das cente-
nas , etc . Portanto , qualquer número natural a  , maior ou igual a 1  , pode 
ser escrito como :
 2 1 2 1 0 10( ... )n na a a a a a−=
 2 1 21 2 1 010 10 ... 10 10
n n
n na a a a a a
−
−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +
Usando a relação de congruência , tem-se :
( )0 0 mod3a a≡
( )1 110 mod3a a≡  , pois ( )10 1 mod3≡
( )2 2 210 mod3a a≡  , pois ( )210 1 mod3≡
 . . .
( )10 mod3n n na a≡  , pois ( )10 1 mod3n ≡
Somando as congruências , de acordo com a propriedade IV , vem :
– 21 –
Os Números Inteiros
 2 ( )0 1 1 2 ... mod3na a a a a a≡ + ≡ + + +
Portanto , concluímos que 0 1 2 ... na a a a a= + + + + é divisível por 3 
se , e somente se  , é côngruo a zero módulo 3  , isto é , o número a é divi-
sível por 3 se a divisão da soma de seus algarismos por 3 dá resto zero . 
Em outras palavras , o número a é divisível por 3 se a soma de seus 
algarismos for um número divisível por 3 .
Como exemplo desse critério , verificamos que os números 1251 , 255 e 
37821 são divisíveis por 3 , pois :
 2 1251 1 2 5 1 9⇒ + + + =  , que é divisível por 3 ;
 2 255 2 5 5 12 1 2 3⇒ + + = ⇒ + =  , que é divisível por 3 ;
 2 37821 3 7 8 2 1 21 2 1 3⇒ + + + + = ⇒ + =  , que é divisível por 3 .
Os números 344 , 5675 e 99992 não são divisíveis por 3 , pois :
 2 344 3 4 4 11⇒ + + =  , que não é divisível por 3 ;
 2 5675 5 6 7 5 23 2 3 5⇒ + + + = ⇒ + =  , que não é divisível por 3 ;
 2 99992 9 9 9 9 2 38 3 8 11 1 1 2⇒ + + + + = ⇒ + = ⇒ + =  , que não 
é divisível por 3 .
Exemplo 1 .12
Provar que , para qualquer inteiro positivo n  , o número 22 1n − é divi-
sível por 3 .
Solução
( )1P é verdadeira , pois 22 1 4 1 3− = − = é divisível por 3 .
Supomos ( )P k verdadeira : 22 1 3k m− =  , onde m é um número inteiro 
e , portanto , 3m é divisível por 3 .
Agora , provamos para 1n k= +  :
( )
( )
2 1
2 2
2 1
2 1
k
k
+
+
− =
= − =
– 22 –
Fundamentos de Álgebra
2 22 2 1k= ⋅ − = (utilizando a propriedade de produto de potências de 
mesma base)
2 22 2 1k= ⋅ − =
Da hipótese de indução , 2 22 1 3 2 3 1k km m− = ⇒ = +
Substituindo , vem :
( )
( )
( )
22 . 3 1 1 
4. 3 1 1
12 4 1
12 3
3 4 1
m
m
m
m
m
= + − =
= + − =
= + − =
= + =
= + =
Mas ( )4 1m + é um número inteiro , portanto ,
( )3 4 1m + é múltiplo de 3 , conforme queríamos demonstrar .
Exemplo 1 .13
Demonstrar o critério de divisibilidade por 5 por meio da relação de 
congruência .
Solução
Seja o número 1 2 1 0 10( ... )n na a a a a a−=
1 2
1 2 1 010 10 ... 10 10
n n
n na a a a a a
−
−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +
Considerando a divisão dos algarismos desse número por 5 , tem-se :
( )010 1 mod5≡  , pois ( )00 010 1 mod 5a a⋅ ≡ ⋅
( )110 0 mod5≡  , pois ( )11 110 0 mod 5a a⋅ ≡ ⋅
( )210 0 mod5≡  , pois ( )22 210 0 mod 5a a⋅ ≡ ⋅
 . . .
( )10 0 mod5n ≡  , pois ( )10 0 mod 5nn na a⋅ ≡ ⋅
– 23 –
Os Números Inteiros
Assim , 1 2 1 0 10( ... )n na a a a a a−= é divisível por 5 se o algarismo da unidade 
o for , ou seja , se o número terminar em 0 ou 5 .
Como exemplo do critério de divisibilidade por 5  , temos que os números 5  , 
505 , 9780 e 44630 são divisíveis por 5 , pois terminam em 0 ou 5 .
Já os números 564 , 9987 , 55461 e 12 não são divisíveis por 5 , pois não 
terminam em 0 ou 5 .
Exemplo 1.14
Provar, por indução, que 2 1 22 .3 1n n− + + é divisível por 11, , 1n N n∀ ∈ ≥  .
Solução
Para n = 1:
2.1 1 1 2 2 1 3 12 .3 1 2 .3 1 2 .27 1 2.27 1 54 1 55− + −+ = + = + = + = + = 
P(1) é verdadeira, pois 55 é divisível por 11.
Hipótese de indução
Supomos P(k) verdadeira:
2 1 22 .3 1k k− + + é divisível por 11.
Tese
Devemos provar para 1n k= + :
( )
2( 1) 1 ( 1) 2
2 2 1 1 2
2 2 1 1 2
2 1 2
2 1 2
2 .3 1
2 .3 1
2 .2 .3 .3 1
4.2 .3.3 1
12. 2 .3 1
k k
k k
k k
k k
k k
+ − + +
+ − + +
− +
− +
− +
+ =
+ =
+ =
+ =
+
Substituindo 12 por 11 + 1, vem:
( )2 1 2(11 1). 2 .3 1k k− ++ +
– 24 –
Fundamentos de Álgebra
Distribuindo:
( ) ( )2 1 2 2 1 211. 2 .3 2 .3 1k k k k− + − + + + 
Obviamente, ( )2 1 211. 2 .3k k− + é divisível por 11, e ( )2 1 22 .3 1k k− + +  é 
a hipótese de indução. A soma de dois números divisíveis por 11 também é 
divisível por 11, portanto a expressão toda é divisível por 11 e a proposiçãoé verdadeira.
Exemplo 1.15
Provar, por indução, que 22 15 1n n+ − é divisível por 9, , 1n N n∀ ∈ ≥ .
Solução
Para n = 1:
2.1 22 15.1 1 2 15 1 4 15 1 18+ − = + − = + − =
P(1) é verdadeira, pois 18 é divisível por 9.
Hipótese de indução
Supomos P(k) verdadeira:
22 15 1k k+ − é divisível por 9.
Tese
Devemos provar para 1n k= + :
2( 1)
2 2
2 2
2
2 15( 1) 1
2 15 15 1
2 .2 15 15 1
4.2 15 15 1
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+ + − =
+ + − =
+ + − =
+ + − 
Substituindo 4 por 3 + 1, vem:
2(3 1).2 15 15 1k k+ + + −
– 25 –
Os Números Inteiros
Distribuindo:
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
3.2 2 15 15 1
3.2 2 15 1 15
2 15 1 3.2 15
k k
k k
k k
k
k
k
+ + + − =
+ + − + =
+ − + +
 
Obviamente, ( )22 15 1k k+ − é a hipótese de indução e, portanto, é divi-
sível por 9. A soma de dois números divisíveis por 9 também é divisível por 
9, portanto a expressão toda será divisível por 9 se ( )23.2 15k + também for 
divisível por 9.
Vamos provar por indução novamente. Então, na segunda parte do pro-
blema, temos:
23.2 15k + é a hipótese de indução.
Para k = 1:
2 2.13.2 15 3.2 15 3.4 15 12 15 27k + = + = + = + =
P(1) é verdadeira, pois 27 é divisível por 9.
Hipótese de indução
Supomos P(k) verdadeira:
23.2 15k + é divisível por 9.
Tese
Devemos provar que ( )23.2 15k + é divisível por 9, para 1k h= + :
2
2( 1)
2 2
2 2
2
2
3.2 15
3.2 15
3.2 15
3.2 .2 15
3.4.2 15
12.2 15
k
h
h
h
h
h
+
+
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ 
– 26 –
Fundamentos de Álgebra
Substituindo 12 por 9+3, vem:
( )
2
2 2
2 2
(9 3).2 15
9.2 3.2 15
9.2 3.2 15
h
h h
h h
+ + =
+ + =
+ +
Como 29.2 h é divisível por 9 e, por hipótese, 23.2 15h + também é divi-
sível por 9, temos uma soma de dois números divisíveis por 9. Portanto, na 
segunda parte da demonstração, ( )23.2 15k + é divisível por 9. Concluí-
mos, então, que 22 15 1n n+ − é divisível por 9.
Exemplo 1.16
Provar, por indução, que ( )2 213| 9 4n n− , , 0n Z n∀ ∈ > .
Solução
Passo 1 − Para n = 1:
9 4 9 4 9 4 81 16 652 2 2 1 2 1 2 2n n- = - = - = - =. .
Concluímos que, para n = 1, a afirmação é verdadeira, pois 65 é múlti-
plo de 13.
Passo 2 − Supomos que a p(k) é verdadeira para n = k, isto é,
9 42 2k k-( ) é um múltiplo de 13.
Passo 3 − Para n = k + 1
9 4
9 4
9 9 4 4
9 81 4 16
2 1 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
. .
. .
k k
k k
k k
k k
+ +
+ +
- =
= - =
= - =
= -
Substituímos 81 por 65 + 16:
– 27 –
Os Números Inteiros
9 81 4 16
9 65 16 4 16
9 65 9 16 4 16
2 2
2 2
2 2 2
k k
k k
k k k
. .
.( ) .
. . .
- =
+ - =
+ -
Colocamos 16 em evidência:
= - +16 9 4 9 652 2 2( ) .k k k
A expressão que multiplica 16 é p(k), que supomos verdadeira. Logo 
16 9 42 2( )k k- é um múltiplo de 13.
No segundo termo, 65 é múltiplo de 13, portanto 9 652k. é um múltiplo 
de 13.
Logo, ficamos com uma soma de dois termos que são múltiplos de 13. 
Portanto, P(k + 1) é múltiplo de 13.
Concluímos, então, que 13 9 42 2| n n-( ) .
Atividades
1. Prove , por indução , que 
( )5 1
5 10 15 ... 5
2
n n
n
+
+ + + + =  .
2. Prove , por indução , que 
( )( )2 2 2 1 2 11 2 ... 
6
n n n
n
+ +
+ + + =  .
3. Prove , por indução , que a fórmula da soma dos n primei-
ros termos de uma progressão geométrica , para 1n ≥  , é 
2 1 ... 
1
n
n a ara ar ar ar
r
− −+ + + + =
−
 .
4. Enuncie o critério de divisibilidade por 9 e justifique-o .
5. Enuncie o critério de divisibilidade por 11 e justifique-o .
– 28 –
Fundamentos de Álgebra
Comentários
As atividades 1 e 2 têm como propósito fixar os conceitos de indução . 
Por meio do princípio da indução , é necessário seguir os três passos :
I. Provar que ( )1P é verdadeira ;
II. Supor ( )P k verdadeira ;
III. Provar para 1n k= +  .
A atividade 3 usa conceitos de progressão geométrica , que é toda sequên-
cia numérica em que cada termo , a partir do segundo , é igual ao produto do 
termo anterior por uma constante q  , chamado de razão da progressão . Nesta 
atividade também devem ser seguidos os três passos sugeridos anteriormente .
Na atividade 4 , observa-se que ( )10 1 mod9≡ e , portanto , 
( )10 1 mod9i ≡  , qualquer que seja o inteiro i  . Conclua para 10iia e some 
essas congruências .
Na atividade 5 , observa-se que ( )10 1 mod 1 1≡ −  . Conclua para 10i  , 
sendo i par ou ímpar .
O conceito de relação na Matemática é muito utilizado 
na Álgebra e na Geometria . Por exemplo , se quisermos definir 
se : um número é maior que ou se um número é múltiplo de  , entre 
outros conceitos .
Relações
2
– 30 –
Fundamentos de Álgebra
2 .1 Relações binárias
Relações entre dois elementos constituídos por pares ordenados são cha-
madas de relações binárias .
Definição
Sejam dois conjuntos A e B  , não vazios , sendo os conjuntos formados 
por todos os pares ordenados ( ),x y  , com x pertencente a A e y perten-
cente a B  . Chama-se relação binária o produto cartesiano de A por B 
representado por A B⋅  .
Assim , representamos por ( ){ }, / A B x y x A e y B⋅ = ∈ ∈  .
Onde :
 2 :R A B→ é um subconjunto R de A B⋅  ;
 2 :R A B R A B→ ⇒ ⊂ ⋅  ;
 2 ( ),a b R aRb∈ ⇒  .
Dizemos que o conjunto A é o conjunto de partida e o conjunto B é 
o conjunto de chegada de uma relação R .
Exemplo 2 .1
Considere os conjuntos { }0,1,2,3,4A = e { }1,0,1,2,3B = −  . Deter-
mine o subconjunto de A B⋅  .
Solução
A solução consiste em formar os pares ordenados
A B⋅ = −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −( ) ( ) ( ) (0 1 0 0 0 1 0 2 0 3 1 1 1 0 1 1 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , )){
( ) −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −( ) ( ) (
,
, , , , , , , , , , , , , , , , ,1 3 2 1 2 0 2 1 2 2 2 3 3 1 3 0 3 1))
( ) ( ) −( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
,
, , , , , , , , , , , , ,3 2 3 3 4 1 4 0 4 1 4 2 4 3
Observação
Podemos também utilizar a notação , por exemplo , para representar a 
relação do par ordenado ( )3,1 como 3 1R  , assim como para 4 1R − sendo 
– 31 –
Relações
( )4, 1−  . Agora , para representar um par ordenado que não faz parte dessa 
relação , escrevemos 3 R 4  ; observe que o par ordenado ( )3,4 não é solução 
no exemplo apresentado .
Qualquer subconjunto de é uma relação de em .
Exemplo 2 .2
No exemplo 2 .1 , foi obtido como solução o seguinte subconjunto :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
0, 1 , 0,0 , 0,1 , 0,2 , 0,3 , 1, 1 , 1,0 , 1,1 , 1,2 ,
1,3 , 2, 1 , 2,0 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3, 1 , 3,0 , 3,1 ,
3,2 , 3,3 , 4, 1 , 4,0 , 4,1 , 4,2 , 4,3
A B⋅ = − −
− −
−
Represente cada uma das relações a seguir :
a) A B→  , x y>  ;
b) A B→  , x y=  ;
c) A B→  , x y<  .
Solução
a) A B→  , x y>
Com relação ao subconjunto , temos como solução : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){
( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
1 1,0 , 2,0 , 2,1 , 3, 1 , 3,0 , 3,1 , 3,2 ,
4, 1 , 4,0 , 4,1 , 4,2 , 4,3
R = −
−
Outra forma de escrever a relação é : 1 0R  , 2 0R  , 2 1R  , 3 1R −  , 
3 0R
 , 3 1R  , 3 2R  , 4 1R −  , 4 0R  , 4 1R  , 4 2R e 4 3R  , por outro 
lado , podemos afirmar que a relação 1 3R entre outros 1 R 3  .
b) A B→  , x y=
Com relação ao subconjunto , temos como solução 
( ) ( ){ ( ) ( )} 2 0,0 , 1,1 , 2,2 , 3,3R = ou
0 0R
 , 1 1R  , 2 2R  , 3 3R  .
– 32 –
Fundamentos de Álgebra
c) A B→  , x y<
Com relação ao subconjunto , temos como solução 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}{ 3 0,1 , 0,2 , 0,3 , 1,2 , 1,3 , 2,3R = ou 0 1R  , 0 2R  , 
0 3R
 , 1 2R  , 1 3R  , 2 3R  .
2 .1 .1 Domínio
Chamamos de domínio todos os elementos x do conjunto A que esta-
rão relacionados com um y existente do conjunto B  .
Definição
Seja x um elemento pertencente ao conjunto A e y um elemento 
existente em B  , tal que xRy  .
Simbolicamente : ( ) { }/ ,D R x A y B xRy= ∈ ∃ ∈  .
Exemplo 2 .3
Seja { }2 2, / , , 4R x y x R y R x y= ∈ ∈ + =  . Obtenha o domínio de R .
Solução
A equação dada é a equação de uma circunferência de raio igual a 2 , assim , 
temos o domínio sendo ( ) { }/ 2 2D R x R x= ∈ − ≤ ≤  .
– 33 –
Relações
2 .1 .2 Imagem
Chamamos de imagem todos os elementos y do conjuntoB que esti-
verem relacionados com um x existente do conjunto A  .
Definição
Seja y um elemento pertencente ao conjunto B e x um elemento 
existente em A  , tal que xRy  .
Simbolicamente : ( ) { }Im / ,R y B x A xRy= ∈ ∃ ∈  .
Exemplo 2 .4
Seja { }2 2, / , , 4R x y x R y R x y= ∈ ∈ + =  . Obtenha a imagem de R .
Solução
A equação dada é a equação de uma circunferência de raio igual a 2 , assim , 
temos a imagem sendo ( ) { }Im / 2 2R y R y= ∈ − ≤ ≤  .
Imagem
Exemplo 2 .5
Considere os conjuntos { }1,2,3A = e { }1,0,1B = −  . Determine :
a) o subconjunto de A B⋅  ;
b) o domínio de R ;
c) a imagem de R .
– 34 –
Fundamentos de Álgebra
Solução
a) O subconjunto de A B⋅  .
( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}1, 1 , 1,0 , 1,1 , 2, 1 , 2,0 , 2,1 , 3, 1 , 3,0 , 3,1A B⋅ = − − −  .
b) ( ) ( ){ }1,2,3D R =  .
c) ( ) ( ){ }Im 1,0,1R = −  .
2 .1 .3 Representação
Serão apresentados dois tipos de representação de relação : a representa-
ção gráfica e a representação por meio de diagramas .
2 .1 .3 .1 Representação gráfica
A representação gráfica aqui apresentada é dada a partir de pares orde-
nados , por meio de uma relação em que sua representação é dada em um sis-
tema de plano cartesiano ortogonal . O conjunto A é o conjunto de partida 
e o conjunto B é o conjunto de chegada , ou seja , os elementos do conjunto 
A são os primeiros , conhecidos como abscissas , e os elementos do conjunto 
B são os segundos , conhecidos como ordenadas .
Figura 2 .1 – Plano cartesiano ortogonal
– 35 –
Relações
Exemplo 2 .6
Marque no plano cartesiano ortogonal os pontos 
( ) ( ) ( ){ } 1 0,1 , 2,4 , 3, 1R = −  .
Solução
No plano cartesiano ortogonal , apresentamos os pontos :
Têm-se três pontos : observe que o primeiro elemento do par ordenado refere-
-se ao eixo das abscissas e o segundo elemento refere-se ao eixo das ordenadas .
Exemplo 2 .7
Marque no plano cartesiano ortogonal os pontos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 2 2,2 , 1,1 , 0,0 , 1, 1 , 2, 2R = − − − −  .
Solução
No plano cartesiano ortogonal , apresentamos os pontos :
– 36 –
Fundamentos de Álgebra
Exemplo 2 .8
Marque no plano cartesiano ortogonal os pontos , sabendo-se que 
A R B R e R x y x= = = ( ) >{ }, , / 0  .
Solução
No plano cartesiano ortogonal , apresentamos os pontos :
– 37 –
Relações
Neste exemplo , temos infinitos pontos .
2 .1 .3 .2 Representação por meio de diagramas
A representação por meio de diagramas cabe a exemplos com pontos 
finitos , por isso aconselha-se a não usar diagramas para grandes quantidades 
de pontos . O diagrama de flechas recebe o nome de Diagrama de Venn .
Exemplo 2 .9
Represente os pontos 1 0,1 , 2,4 , 3, 1R = − por meio do Dia-
grama de Venn .
Solução
Observa-se que , para cada elemento do conjunto A  , existe um corres-
pondente no conjunto B  .
Exemplo 2 .10
Represente os pontos dados nos conjuntos { }0,1,2,3A = e { }1,0,1B = − 
sabendo-se que ( ) ( ){ }1, 1 , 1,1R = − por meio do Diagrama de Venn .
– 38 –
Fundamentos de Álgebra
Solução
2 .1 .4 Relação inversa
Chamamos de relação inversa quando os elementos do conjunto B são 
os primeiros e os elementos do conjunto A são os segundos .
Definição
Chama-se de relação inversa a relação de A em B de R a relação de B 
em A  , representada por ( ){ } 1 , ,R y x B A xRy− = ∈ ⋅  .
Exemplo 2 .11
Seja R uma relação de A em B  .
Dados os conjuntos { }1, 2, 3, 4, 5A = − − − − − e { }1,2,3,4,5B =  , 
sabendo-se que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5R = − − − − −  , deter-
mine a relação inversa 1R −  .
Solução
Para determinar a relação inversa , de acordo com a definição , temos :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5R − = − − − − −
 .
– 39 –
Relações
Exemplo 2 .12
Seja R uma relação de A em B  .
Dados os conjuntos { }1,2,3,4,5A = e { }1,2,3,4,5B =  , sabendo-se que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5R =  , determine a relação inversa 1R −  .
Solução
Para determinar a relação inversa de acordo com a definição , temos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5R − =  .
Como os elementos do conjunto A se relacionam com os mesmos elementos 
do conjunto B  , a relação de A em B é igual à relação de B em A  .
Nos exemplos apresentados , fica claro o posicionamento de cada ele-
mento quando determinada a relação inversa .
Exemplo 2 .13
Seja R uma relação de A em B  . Dada a relação 2, / 3R x y R x y= ∈ =  , 
determine a relação inversa 1R − e represente graficamente cada uma delas .
Solução
A relação inversa é dada por ( ){ }1 2, / 3R y x R y x− = ∈ =  .
– 40 –
Fundamentos de Álgebra
Com relação ao gráfico, as duas retas das extremidades representam a relação 
R e a relação inversa 1R −  . Podemos observar que as duas retas são simétricas 
em relação à reta central pontilhada dada por y x=  .
Exemplo 2 .14
Seja R uma relação de A em B  . Dada a relação 
( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3R = − − −  , determine a relação inversa 1R − e repre-
sente por meio do Diagrama de Venn .
Solução
A relação inversa é dada por ( ) ( ) ( ){ }1 1, 1 , 2, 2 , 3, 3R − = − − −  .
Relação de A em B :
Relação inversa de B em A :
– 41 –
Relações
2 .1 .4 .1 Propriedades da relação inversa
I. ( ) ( )1 ImD R R− =
II. ( ) ( )1Im R D R− =
III. ( ) 11R R R−− =
2 .1 .5 Relação sobre um conjunto
O conceito de relação sobre um conjunto será utilizado nos tópicos pos-
teriores em relações de equivalências e relações de ordem . É muito útil a 
representação do esquema de flechas quando se possui poucos elementos . A 
representação é feita por meio de flechas (origem, extremidade) indicadas por 
um par ordenado.
Definição
Seja o conjunto A B= e R uma relação de A em B  , ou seja , R é uma 
relação de A em A ou , ainda , R é uma relação em A  .
Exemplo 2 .15
Seja R uma relação sobre A  . Dada a relação 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 2,1R =  , determine a relação sobre A por 
meio do diagrama de flechas .
Solução
– 42 –
Fundamentos de Álgebra
2 .1 .5 .1 Propriedades da relação sobre um conjunto
Seja R uma relação sobre A  .
a) Reflexiva
Dizemos que R é relação sobre um conjunto reflexiva se todos os 
elementos de A se relacionam com ela mesma . Então escrevemos 
x A∀ ∈  , xRx  .
Exemplo 2 .16
Dada a relação ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 1,2 , 2,1R =  , verifique se é reflexiva .
Solução
É reflexiva , pois 1 1R  , 2 2R  .
Exemplo 2 .17
Suponha que um casal tenha 3 filhos : Antônio , Beatriz e Cleber . 
Definimos o conjunto { }, ,A a b c=  . Verifique se é reflexiva .
Solução
Temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , ,R a b a c b a b c c a c b=  .
Não é reflexiva , pois ninguém é irmão de si mesmo .
Observe que temos ( ),a a  , ( ),b b e ( ),c c  , que são os pares que não 
podem ocorrer .
b) Simétrica
Dizemos que R é relação sobre um conjunto simétrica se , quando 
x estiver se relacionando com y  , tivermos também y se relacio-
nando com x  .
Então escrevemos ,a b A∀ ∈ se aRb bRa⇒  .
Exemplo 2 .18
Dada a relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 2,1R =  , verifique se 
é simétrica .
– 43 –
Relações
Solução
É simétrica , pois temos 2 3R  , 3 2R  .
Exemplo 2 .19
Suponha que um casal tenha 3 filhos : Antônio , Beatriz e Cleber . 
Definimos o conjunto { }, ,A a b c= por xRy x↔ é irmã de y  . 
Verifique se é simétrica .
Solução
Não é simétrica , pois ( ) ( ){ }, , ,R b a b c=  , já que Beatriz possui apenas 
irmãos . Observe que , para ser simétrica , Beatriz deveria ter uma irmã .
c) Transitiva
Dizemos que R é relação sobre um conjunto transitivo se estiver se 
relacionando com y e y estiver se relacionando com z  , então x 
estará se relacionando com z  .
Por isso escrevemos , ,a b c A∀ ∈  , se aRb e bRc aRc⇒  .
Exemplo 2 .20
Dada a relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , 2,3 , 1,3R =  , verifi-
que se é transitiva .
Solução
É transitiva , pois temos 1 2R e 2 3R  , logo , 1 3R  .
d) Antissimétrica
Dizemos que R é relação sobre um conjuntoantissimétrico quando 
x estiver se relacionando com y e y estiver se relacionando com 
x
 , onde x y=  .
Então escrevemos ,a b A∀ ∈ se aRb e bRa a b⇒ =  .
Exemplo 2 .21
Dada a relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , 2,3R =  , verifique se é 
antissimétrica .
– 44 –
Fundamentos de Álgebra
Solução
Essa relação é antissimétrica pois temos  , por exemplo : 1 2R está na 
relação e 2 1R não está na relação ; embora 1 1R seja simétrico , isso não 
implica que a relação será simétrica .
2 .2 Relações de equivalências
Quando uma relação R sobre um conjunto A não vazio for reflexiva , 
simétrica e transitiva , dizemos que R é uma relação de equivalência sobre A  .
Na linguagem matemática , usamos o símbolo “ ≡ ” para representar 
equivalência , por exemplo : m n≡  , que se lê “ m é equivalente a n ” .
Exemplo 2 .22
Dada a relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , 2,1 , 2,3R =  , verifi-
que se R é uma relação de equivalência sobre { }1,2,3A =  .
Solução
Para que seja uma relação de equivalência , é necessário atender às três 
sentenças : reflexiva , simétrica e transitiva .
Iniciamos analisando a sentença reflexiva . É reflexiva , pois temos 1 1R  , 
2 2R e 3 3R  .
Agora vamos analisar a sentença simétrica  . É simétrica  , pois temos 
1 2R e 2 1R  .
E agora analisamos a sentença transitiva : 1 2R e 2 3R  .
Portanto , dizemos que é uma relação de equivalência sobre A  .
2 .2 .1 Classe de equivalência
Denomina-se classe de equivalência de a o conjunto de todos os ele-
mentos que são relacionados a um elemento a de A  .
– 45 –
Relações
Definição
Seja R uma relação de equivalência de a em A  , com a A∈  . Chamamos 
de classe de equivalência de a por intermédio de R o subconjunto ( )cl a de A  , 
formado pelos elementos x e x R a e denotado por ( ) { } / cl a x A x R a= ∈  .
Exemplo 2 .23
Dada a relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,3 , 3,1R =  , determine a(s) 
classe(s) da relação de equivalência sobre { }1,2,3A =  .
Solução
De acordo com a definição , temos :
 2 ( ) { }1 1,3cl =
 2 ( ) { }2 2cl =
 2 ( ) { }3 3,1cl =
Definição
Dado um conjunto A por R , no qual A divide R e é representado por 
/A R
 , é o conjunto das classes de equivalência módulo R .
Exemplo 2 .24
Dada a relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,3 , 3,1R =  , determine /A R 
da relação de equivalência sobre { }1,2,3A =  .
Solução
Iniciamos verificando quais são os elementos que se relacionam com o pró-
prio 1 :
{ }1 1,3=  .
Na sequência , fazemos a análise para verificar quais são os elementos que se 
relacionam com o 2 : { }2 2=  .
Fazemos também a análise para verificar quais são os elementos que se rela-
cionam com o 3 : { }3 1,3=  .
– 46 –
Fundamentos de Álgebra
De acordo com a definição  , estamos interessados em determinar o conjunto 
quociente /A R  , em outras palavras , queremos determinar quais são os conjuntos 
das classes de equivalências que formam o conjunto R .
Assim , temos { } { }{ }/ 1,3 , 2A R =  .
2 .2 .2 Partição sobre A
Consideramos partição sobre A os subconjuntos P não vazios de A  .
Definição
Seja uma classe P de subconjuntos do conjunto A não vazios uma 
partição se , e somente se :
I. a união de todos os elementos de P for o conjunto A  ;
II. para quaisquer dois conjuntos iP e jP têm-se i j iP P P∩ = ou 
 i jP P∩ =∅  .
Exemplo 2 .25
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5A = e os subconjuntos { }1 1,3,5P = e 
{ }2 2,4P =  . Verifique se 1P e 2P são subconjuntos de A  .
Solução
De acordo com a definição , temos :
I. 1 2A P P= ∪  ;
II. 1 2P P∩ =∅  .
Portanto , dizermos que 1P e 2P são subconjuntos de A  .
Quando a quantidade de elementos for finita , podemos representar o exem-
plo 2 .25 em forma de diagrama :
– 47 –
Relações
Teorema
Toda relação de equivalência de R em A gera uma partição P  , então 
/A R é uma partição de A  .
Demonstração
Seja R uma relação de equivalência em A e , para cada a A∈ e b A∈  , 
consideramos o conjunto P da partição , tal que P contém a e b  .
I. Como R é reflexiva , ou seja , cada elemento está relacionando com 
ele mesmo , aRa  , temos que para todo x em A existe uma classe 
em P tal que a A∈  .
II. Sendo a e b A∈  , temos que aR b  , o que implica que existe uma 
partição 1P em A  . Como b A∈ implica em b , logo a A∈ implica 
em bRa  . Portanto R é simétrica .
III. Sendo a , b e c A∈  , temos aRb que implica que existe um 1P em 
A tal que 1, a b P∈  , e bRc implica que existe um 2P em A tal que 
2, b c P∈  . Como 1P e 2P são conjuntos não vazios , então 1 2P P=  . 
Isso significa que aRc  . Logo , R é transitiva
Exemplo 2 .26
Considere o conjunto
{ }1,2,3,4,5A = e , dada a relação de equivalência 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,2 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 4,5 , 5,4 , 5,5R =  , determine a 
partição .
Solução
De acordo com a definição , temos { } { } { }{ }1,2 , 3 , 4,5P =  .
– 48 –
Fundamentos de Álgebra
2 .3 Relações de ordem
Podemos verificar a relação de ordem naturalmente em nosso cotidiano , 
por exemplo , na senha retirada ao entrar em um banco ou na lista de presença 
de sala de aula . O conceito de relações de ordem é muito intuitivo devido ao 
constante aparecimento em nossa vida .
Vamos separar o conceito de relações de ordem em dois casos : relação de 
ordem parcial em A e relação de ordem total em A  .
2 .3 .1 Relação de ordem parcial em A
Definição
Seja A um conjunto no qual R é uma relação sobre A não vazio . Dize-
mos que é uma relação de ordem parcial se , e somente se :
I. x A∀ ∈  , xRx (reflexiva) ;
II. , ,a b c A∀ ∈ se aRb e bRc aRc⇒ (transitiva) ;
III. ,a b A∀ ∈ se aRb e bRc a b⇒ = (antissimétrica) .
É importante que estabeleçamos algumas notações matemáticas :
 2 para indicar que a precede b em relação a R : a b≤  , ou seja , esta-
mos exprimindo que a é menor ou igual a b  ;
 2 para indicar que a precede estritamente b em relação a R : a b<  , 
ou seja , estamos exprimindo que a é apenas menor que b  , em 
outras palavras , a b≠  .
Exemplo 2 .27
Considere o conjunto { }, , , ,A a b c d e=  . A relação é dada por a b≤  , 
c b≤
 , c d≤ e d e≤  . Construa um diagrama que represente essa 
relação .
– 49 –
Relações
Solução
b
c
d
e
2 .3 .2 Relação de ordem total em A
Seja A um conjunto no qual R é uma relação sobre A não vazio . Dize-
mos que é uma relação de ordem total se , e somente se :
I. x A∀ ∈  , xRx (reflexiva) ;
II. , ,a b c A∀ ∈ se aRb e bRc aRc⇒ (transitiva) ;
III. ,a b A∀ ∈ se aRb e bRc a b⇒ = (antissimétrica) ;
IV. para quaisquer dois valores a e b  , tivermos que a b≤ ou b a≤  .
Exemplo 2 .28
Considere o conjunto { }, , ,A a b c d= e a relação 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , , , ,R a a b b c c d d a b b c c d a d=  . Construa um 
diagrama que represente a relação .
Solução
– 50 –
Fundamentos de Álgebra
A ordem é total  , pois pode-se observar no diagrama que todos os pontos 
estão sendo ligados  , ou seja  , não há dois pontos que não estejam ligados por 
uma flecha  .
2 .3 .3 Limites inferiores e superiores
Pode-se determinar os limites superiores e inferiores de um conjunto de 
números reais A se o conjunto for finito e contiver um elemento menor ou 
igual a todos os outros ou se contiver um elemento maior ou igual a todos 
os outros .
2 .3 .3 .1 Limites inferiores
Quando qualquer elemento do conjunto A for maior ou igual a esse 
elemento , dizemos que esse conjunto está limitado inferiormente .
Definição
Um elemento A∈� é limitado inferiormente em P se x P x∀ ∈ ⇒ ≤�  .
Exemplo 2 .29
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = e o subconjunto 
{ }7,9P =  . Determine os limites inferiores de acordo com o diagrama 
apresentado .
– 51 –
Relações
Solução
Observe no diagrama que tomamos o caminho mais curto até chegar aos ele-
mentos de P e que todos os valores que estão abaixo de { }7,9P =  , inclusive 
o 7 , são oslimites inferiores , ou seja , 1 , 2 , 4 , 5 e 7 .
2 .3 .3 .2 Limites superiores
Quando qualquer elemento do conjunto A for menor ou igual a esse 
elemento , dizemos que esse conjunto está limitado superiormente .
Definição
Um elemento L A∈ é limitado superiormente se x P x L∀ ∈ ⇒ ≤  .
Exemplo 2 .30
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = e o subconjunto 
{ }2,4,5P = no diagrama a seguir e determine os limites superiores .
– 52 –
Fundamentos de Álgebra
Solução
Observe no diagrama que todos os valores que estão acima de { }2,4,5P = 
são os limites superiores , ou seja , 7 e 9 .
2 .3 .4 Máximo e mínimo
O estudo de máximo e mínimo nos permite analisar um elemento em 
um subconjunto , quanto a ser o menor ou o maior elemento deste conjunto .
2 .3 .4 .1 Mínimo
Quando qualquer elemento do subconjunto P do conjunto A for 
maior ou igual a esse elemento , dizemos que esse elemento é o menor ele-
mento do conjunto A  .
Definição
Um elemento m P∈ é um mínimo de P se x P m x∀ ∈ ⇒ ≤  .
Exemplo 2 .31
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = e o subconjunto 
{ }2,4,5P =  . Determine o elemento mínimo com relação ao diagrama 
apresentado .
– 53 –
Relações
Solução
Observe no diagrama que , de todos os valores que estão sendo apresentados 
no subconjunto , o menor deles é o de valor do 2 .
 .
2 .3 .4 .2 Máximo
Quando qualquer elemento do subconjunto P do conjunto A for 
menor ou igual a esse elemento , dizemos que esse elemento é o maior ele-
mento do conjunto A  .
Definição
Um elemento M P∈ é um máximo de P se x P x M∀ ∈ ⇒ ≤  .
– 54 –
Fundamentos de Álgebra
Exemplo 2 .32
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = e o subconjunto 
{ }2,4,5P =  . Determine o elemento máximo com relação ao diagrama 
a seguir .
Solução
Observe no diagrama que não existe um valor máximo  , pois os valores 4 e 5 
possuem a mesma posição .
 .
2 .3 .5 Elementos maximais e minimais
No estudo dos elementos maximais e minimais , veremos os elementos 
que fecham o subconjunto P do conjunto A .
– 55 –
Relações
2 .3 .5 .1 Minimais
São chamados de elementos minimais os elementos que fecham o sub-
conjunto P do conjunto A por baixo , ou seja , quando o único elemento 
que o precede é ele mesmo .
Definição
Um elemento Pµ ∈ é um elemento minimal de P se µ∀ ∈ ⇒ ≤x P x  .
Exemplo 2 .33
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = e o subconjunto 
{ }2,4,5P =  . Determine o elemento minimal com relação ao diagrama 
a seguir .
Solução
No diagrama , observamos que o elemento que define o “início” do subcon-
junto P do conjunto A é o 2 .
 .
– 56 –
Fundamentos de Álgebra
2 .3 .5 .2 Maximais
São chamados de elementos maximais os elementos que fecham o sub-
conjunto P do conjunto A por cima , ou seja , quando o único elemento que 
o precede é ele mesmo .
Definição
Um elemento ϻ ∈ P é um elemento maximal de P se x P x∀ ∈ ⇒ ≤  ϻ .
Exemplo 2 .34
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = e o subconjunto 
{ }2,4,5P =  . Determine o elemento maximal com relação ao diagrama 
a seguir .
Solução
No diagrama , observamos que os elementos que definem o “fim” do subcon-
junto P do conjunto A são os elementos 4 e 5 .
 .
2 .3 .6 Supremo e ínfimo
Chama-se de supremo de P  , caso exista , o mínimo dos conjuntos dos 
limites superiores de P  .
– 57 –
Relações
Exemplo 2 .35
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = e o subconjunto 
{ }2,4,5P =  . Determine o elemento supremo com relação ao diagrama a 
seguir .
Solução
No diagrama , observamos que o elemento supremo , ou seja , o primeiro ele-
mento acima do subconjunto P  , é o 7 .
– 58 –
Fundamentos de Álgebra
Chama-se de ínfimo de P  , caso exista , o máximo dos conjuntos dos 
limites inferiores de P  .
Exemplo 2 .36
Considere o conjunto { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = e o subconjunto 
{ }2,4,5P =  .
Determine o elemento ínfimo com relação ao diagrama a seguir .
Solução
O elemento ínfimo para o diagrama apresentado é o 2 , pois é onde se inicia 
o subconjunto P máximo do limite inferior .
 .
Exemplo 2 .37
Considere o conjunto { }, , , , , , , ,A a b c d e f g h i= e o subconjunto 
{ }, ,P b d e= seguindo a ordem apresentada no diagrama . Determine :
– 59 –
Relações
a) limites superiores ;
b) limites inferiores ;
c) supremo ;
d) ínfimo ;
e) máximo ;
f ) mínimo ;
g) elementos maximais ;
h) elementos minimais .
Solução
 2 Limites superiores : g e i .
 2 Limites inferiores : a e b .
 2 Supremo : g .
 2 Ínfimo : b .
– 60 –
Fundamentos de Álgebra
 2 Máximo : não existe .
 2 Mínimo : b .
 2 Elementos maximais : d e e .
 2 Elementos minimais : b .
Atividades
1. Seja ( ){ }2 2, / , , 36R x y x R y R x y= ∈ ∈ + =  . Obtenha :
a) o domínio de R ;
b) a imagem de R ;
c) 1R −  .
2. Considere o conjunto A  , o conjunto de todas as retas paralelas de 
um plano . Verifique se é :
a) reflexiva ;
b) simétrica ;
c) transitiva ;
d) antissimétrica .
3. Considere o conjunto { }0,2,4,6,12A = e o subconjunto 
{ }4,6P =  . Determine os limites superiores e inferiores .
4. Seja R uma relação de A em B  . Dados os conjuntos { }3, 2, 1A = − − − 
e { }4,5,6B =  , sabendo-se que ( ) ( ) ( ){ }3,4 , 2, 5 , 1,6 R = − − −  , 
determine a relação inversa 1R −  .
Comentários
As atividades têm como propósito fixar os conceitos de relações . Na ati-
vidade 1 , tem-se como objetivo determinar o domínio , a imagem e a inversa . 
Logo , deve-se encontrar como solução :
– 61 –
Relações
a) ( ) { } / 6 6D R x R x= ∈ − ≤ ≤
b) ( ) { }Im / 6 6R y R y= ∈ − ≤ ≤
c) ( ){ }1 2 2 2, / 36R x y R x y− = ∈ + =
Na atividade 2 serão utilizados os conceitos de retas paralelas , assim , 
temos que :
a) vale a reflexiva ;
b) vale a simétrica ;
c) vale a transitiva ;
d) não vale a antissimétrica .
Na atividade 3 , temos como limite superior 12 e limite inferior 0 e 2 .
Na atividade 4, para determinar a relação inversa de acordo com a defi-
nição , temos que
 R - = -( ) -( ) -( ){ }1 4 3 5 2 6 1, , , , ,  .
Aplicações são relações que associam os elementos de dois 
conjuntos , através de regras específicas . Em especial , as funções são 
aplicações do conjunto dos números reais no conjunto dos números 
reais . As funções matemáticas são fundamentais em qualquer área , 
constituindo-se numa importante ferramenta para analisar o com-
portamento de fenômenos cotidianos .
Aplicações e Operações
3
– 64 –
Fundamentos de Álgebra
3 .1 Aplicações
Definição
Seja f uma relação de A em B  . Dizemos que f é uma aplicação de A 
em B se :
i. ( )D f A=  ;
ii. Dado ( )a D f∈  , existe um único elemento b B∈ tal que ( ),a b f∈  .
Se f é uma aplicação de A em B  , então dizemos que b é a imagem 
de a através de f  , ou seja , ( )b f a=  . De maneira simbólica , :f A B→ 
indica que f é uma aplicação de A em B  . Para essa aplicação , também pode-
mos utilizar a notação ( )x f x� para indicar que ( )f x é a imagem do 
elemento x  . O conjunto A é o domínio da aplicação f e o conjunto B é o 
contradomínio de f .
Observação
Se o contradomínio de uma aplicação f é um conjunto numérico , cha-
mamos f de função .
Exemplo 3 .1
Sejam { } { }1, 2, 3, 4 2, 4, 6, 8A e B= =  . Considere as seguintes relações 
de A em B  :
1R não é uma aplicação de A em B  , pois ( ) { }1 1, 2, 4D R A= ≠  , ou 
seja , ( )13 D R∉  .
– 65 –
Aplicações e Operações
2R não é uma aplicação de A em B  , pois o número 2 está associado a 
dois elementos de B , isto é , tem duas imagens .
3R é uma aplicação de A em B  , pois cada elemento de A tem a sua 
imagem em B  . Além disso , cada elemento de A tem uma única ima-
gem em B  .
Exemplo 3 .2
Considere as seguintes relações de R em R  , representadas pelos gráfi-
cos no sistema cartesiano :
( ) 2 21 2{ , | 4}R x y R x y= ∈ + =
1R representa uma circunferência com centro na origem e raio igual a 
2 . 1R não é aplicação , pois cada elemento do domínio , exceto 2 e –2 , 
está associado a dois elementosdo contradomínio .
– 66 –
Fundamentos de Álgebra
( )2 2{ , | }R x y R y x= ∈ =
2R representa a reta que passa pela bissetriz dos quadrantes ímpares . É 
aplicação , pois cada elemento do domínio está associado a um único ele-
mento do contradomínio . E todo elemento do domínio está associado 
a algum elemento do contradomínio . Então dizemos que 2R é uma 
função de R em R  , isto é , :f R R→  .
– 67 –
Aplicações e Operações
Exemplo 3 .3
Determinar todas as aplicações de { }2, 4, 6A = em { }, B a b=  .
Solução
As aplicações de A em B são dadas por todas as possibilidades de associação 
entre um elemento de A e um elemento de B  . Isso pode ser determinado 
através de uma tabela :
Imagem de 2 Imagem de 4 Imagem de 6 Aplicações
A
a
a {(2 ,a) ,(4 ,a) ,(6 ,a)}
b {(2 ,a) ,(4 ,a) ,(6 ,b)}
b
a {(2 ,a) ,(4 ,b) ,(6 ,a)}
b {(2 ,a) ,(4 ,b) ,(6 ,b)}
B
a
a {(2 ,b) ,(4 ,a) ,(6 ,a)}
b {(2 ,b) ,(4 ,a) ,(6 ,b)}
b
a {(2 ,b) ,(4 ,b) ,(6 ,a)}
b {(2 ,b) ,(4 ,b) ,(6 ,b)}
Exemplo 3 .4
Considere a aplicação :f R R→ definida por partes da seguinte forma :
( ) 2
2, 3
, 3 2
3, 2
se x
f x x se x
x se x
≤ −

= − < ≤
 + >
Determinar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 , 3 , 2 , 1 , 2 , 5 , 2f f f f f f f
 −  
 
 .
Solução
Essa função é definida em três intervalos distintos : ]-∞,-3], ]-3,2] e ]2,∞[
20 ] 3,2] (0) 0 0
3 ] , 3] ( 3) 2
f
f
∈ − ⇒ = =
− ∈ −∞ − ⇒ − =
– 68 –
Fundamentos de Álgebra
2
2
2
2
2 ] 3,2] (2) 2 4
1 ] 3,2] (1) 1 1
2 ] 3,2] ( 2 ) 2 2
5 ]2, ] ( 5) 5 3
1 1 1 1] 3,2]
2 2 2 4
f
f
f
f
f
∈ − ⇒ = =
∈ − ⇒ = =
∈ − ⇒ = =
∈ +∞ ⇒ = +
   ∈ − ⇒ = =   
   
Exemplo 3 .5
Seja a aplicação :f N N N× → tal que ( ) ( ), ,f x y mmc x y=  . Deter-
minar
( ) ( ) ( ) ( )2,3 , 5,10 , 6,8 , 13,2f f f f  .
Solução
( ) ( ) ( ) ( )2,3 6; 5,10 10; 6,8 24; 13,2 26f f f f= = = =
Exemplo 3 .6
Verificar se as funções ( ) ( )
2 5 6 3
2
x x
f x e g x x
x
− +
= = −
−
 são iguais 
para { | 2}x R x∈ ≠  .
Solução
São iguais , pois para 2x ≠ tem-se 
( ) ( )( )
( )
( )
2 3 25 6 3
2 2
x xx x
f x x g x
x x
− −− +
= = = − =
− −
 .
Exemplo 3 .7
Considere o diagrama de conjuntos que representa a aplicação 
:f A B→
 .
– 69 –
Aplicações e Operações
Determinar : { }( ) { }( ) ( ) ( ) ( )1 10,1 , 3,4 , , , f f f A f b f a− −  .
Solução
{ }( ) { }
{ }( ) { }
( ) { }
( ) { }
( ) { }
1
1
0,1 ,
3,4
, , ,
 
0
f a c
f d
f A a c d e
f b
f a
−
−
=
=
=
=
=
Exemplo 3 .8
Seja :f R R→ tal que ( ) f x sen x=  . Determinar : 
[ ]( ) ( ), 0, , 
2
f f f R
π π  
 
 .
Solução
1
2
f
π  = 
 
[ ]( ) [ ]0, 0,1f π = é a imagem do intervalo que vai de 0 a π  , no primeiro 
quadrante . O menor valor da imagem desse intervalo é 0 e o maior é 1 .
( ) [ ]1,1 f R = −
Para qualquer valor de x , a imagem sempre estará entre -1 e 1 .
– 70 –
Fundamentos de Álgebra
Exemplo 3 .9
Seja :f R R→ tal que ( ) *, nf x ax n N= ∈  .
Determinar a e n para que ( ) 4125fof x x=  .
Solução
( ) ( )( )
2
2
4
4
1 3 4
( ) 125
 . . 125
 . 5
n n
n n
n n
fof x f f x a ax x
a a x x
a x x+
= = =
= =
= =
Logo ,
2
5
1 3 2
4 2
a
n n
n n
=
+ = ⇒ =
= ⇒ =
Portanto , 25nax x=
Podemos fazer uma verificação : ( )( ) 2 2 4 45(5 ) 5 . 25 125f f x x x x= = =
3 .2 Aplicações injetoras
Definição
Considere a aplicação :f E F→  .
f é uma aplicação injetora quando a seguinte condição se verifica : para 
todo 1 2, ,x x E∈ se 1 2, x x≠  , então ( ) ( )1 2 f x f x≠  , ou seja , elementos distin-
tos de E têm imagens distintas em F , através da função f .
Disto , decorre : para todo 1 2, ,x x E∈ se ( ) ( )1 2 f x f x=  , então 1 2 x x=  .
3 .3 Aplicações sobrejetoras
Definição
Considere a aplicação :f E F→  .
– 71 –
Aplicações e Operações
f é uma aplicação sobrejetora quando a seguinte condição se verifica : 
( )Im f F=  . Se uma aplicação é sobrejetora , então para todo y F∈ existe 
um x E∈  , tal que ( )y f x=  . Em outras palavras , todo elemento de F é 
imagem de algum elemento de E .
3 .4 Aplicações bijetoras
Definição
Dizemos que f é uma aplicação bijetora quando f é injetora e sobrejetora , 
ao mesmo tempo .
Exemplo 3 .10
Se { }1, 2, 3, 4A = e { }3, 4, 5, 6B =  , a aplicação 
( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 3 , 2,4 , 3,5 , 4,6f = de A em B é injetora , pois para cada 
x em A existe uma única imagem em B  , e cada imagem em B corres-
ponde a um único x em A  . Além disso , todo elemento de B é imagem 
de algum elemento de A  .
Ao analisar o diagrama de conjuntos , observamos que todo elemento de 
A tem sua imagem , isto é , está associado a algum elemento de B  . Cada 
elemento de B é imagem de um único elemento de A . Todos os elemen-
tos de B são imagem de algum elemento de A .
– 72 –
Fundamentos de Álgebra
Exemplo 3 .11
O diagrama seguinte representa uma aplicação sobrejetora , porém não 
bijetora , pois existem elementos em B que são imagens de mais de um 
elemento em A .
Exemplo 3 .12
A função :f R R→ definida por ( ) 2f x x= é sobrejetora , pois todo
y R∈ é imagem de algum x R∈  . Porém , existem y R∈ que são ima-
gens de mais de um x R∈  . Observe :
 2 ( ) ( )1 1 1f f= − =
 2 ( ) ( )2 2 4f f= − =
 2 ( ) ( )3 3 9f f= − =  . . .
Portanto , ( ) 2f x x= não é bijetora .
Exemplo 3 .13
A função :f R R→  , definida por ( ) 2f x x= + é sobrejetora , pois 
todo y R∈ é imagem de algum x R∈  . Além disso , é bijetora , pois todo 
y R∈ é imagem de um único x R∈  .
3 .5 Imagem direta e imagem inversa
Definição
Considere a aplicação :f E F→  .
– 73 –
Aplicações e Operações
Dado ]A E⊂  , a imagem direta de C  , através de f , indicada por ( )f A  , 
é o seguinte subconjunto de B  : ( ) ( ){ | }f A f x x A= ∈  . Então , ( )f A é o 
conjunto das imagens de todos os elementos de A , através da função f .
Dado B F⊂  , a imagem inversa de B , através de f, indicada por 
( )1f B−  , é o seguinte subconjunto de E : ( ) ( )1 { | }f B x E f x B− = ∈ ∈  . 
Então , ( )1f B− é o conjunto dos elementos de E que têm imagem em B , 
através da função f.
Exemplo 3 .14
Seja a função :f R R→  , dada por ( ) 1f x x= +  .
{ }( ) { }0,1 , 2 1, 2, 3f = é a imagem dos elementos 1 , 2 e 3 .
[ ]( ) ( ) [ ]0, 2 { | 0 2} { 1| 0 2} 1, 3f f x x x x= ≤ ≤ = + ≤ ≤ =
3 .6 Aplicação inversa
Teorema
Seja a aplicação :f E F→  . Uma condição necessária e suficiente para 
que ( )1f x− seja uma aplicação de F em E é que f seja bijetora .
Demonstração
I. Condição necessária : se 1f − é aplicação , então f é bijetora .
a) Sejam 1 2, x x E∈  , tais que ( ) ( )1 2 f x f x y= =  . Então 
( ) ( )1 11 2 x f y e x f y− −= =  . Como 1f − é uma aplicação , 
( )1f y− é único e 1 2 x x=  . Portanto , f é injetora .
b) Seja y F∈  . Como 1f − é uma aplicação de F em E , existe 
x E∈
 , tal que ( )1f y x− =  , portanto ( ).y f x=   Logo , f 
é sobrejetora .
– 74 –
Fundamentos de Álgebra
II . Condição suficiente : se f é bijetora , então 1f − é aplicação .
a) Como f é sobrejetora , para cada y F∈ existe x E∈  , tal que 
( )y f x= e , portanto , ( ) 1, y x f −=  . Logo , ( )1D f F− =  .
b) Como f é injetora , se 1 2, x x E∈  , tem-se :
 2 se ( ) ( )1 2 f x f x y= =  , então 1 2 x x=  .
 2 se ( ) ( )1 11 2, , y x f e y x f− −∈ ∈  , então 1 2 x x=  .
Portanto , para todo y F∈  , existe um único elemento x E∈  , tal que 
( ) 1, y x f −∈  .
Exemplo 3 .15
Vimos anteriormente que :f R R→  , dada por ( ) 2f x x= +  , é bije-
tora , portanto admite inversa . Sua inversa é dada por :
( ) ( )
( )
( )
( )
1 2
2
2
2
{ , | , }
{ , | 2}
{ , | 2}
{ , | 2}
f y x R x y f
y x R y x
y x R x y
y x R y x
− = ∈ ∈ =
= ∈ = + =
= ∈ = + =
= ∈ = −
Portanto , a inversa da aplicação ( ) 2f x x= + é a aplicação 1 2f x− = −  .
Se f é bijetora , então 1f − também é . Como ( ) 11f f−− =  , temos que 
1 f e f − são inversas entre si .
3 .7 Composição de aplicações
Definição
Considere as aplicações :fE F→ e :g F G→  . A aplicação composta 
de f e g  , de E em G , indicada por gof (lê-se : g círculo f) é definida da 
seguinte maneira : ( )( ) ( )( )gof x g f x=  , tal que x E∈  , que é o domínio do 
primeiro conjunto .
– 75 –
Aplicações e Operações
Por meio de diagramas de conjuntos , tem-se :
Figura 3 .1
Exemplo 3 .16
Sejam :f R R→  , tal que ( ) 2 1f x x= + e :g R R→  , tal que 
( )g x x=  . A aplicação composta de f e g é a aplicação :gof R R→ 
tal que :
( )( ) ( )( ) 2 1gof x g f x x= = +
Exemplo 3 .17
Sejam :f R R→  , tal que ( ) xf x e= e :g R R→  , tal que 
( ) 3 2g x x= +  . A aplicação composta de f e g é a aplicação :gof R R→ 
tal que :
( )( ) ( )( ) ( )3 2 3 2x xgof x g f x e e= = + = +
Observe que a aplicação composta de f e g só é definida quando o con-
tradomínio de f coincide com o domínio de g , no caso , o conjunto F . A 
composta de f e g tem o mesmo domínio de f  , o conjunto E  , e o mesmo 
contradomínio de g , o conjunto G .
– 76 –
Fundamentos de Álgebra
Se E=G , temos : :f E F e g F E→ →  , então podemos definir , além 
de gof  , a aplicação fog  , que é a composta de g e f , indicada por :
( )( ) ( )( )fog x f g x=  , para todo x F∈  .
Neste exemplo , ( )( ) ( )( ) 3 2xfog x f g x e += =  .
3 .8 Aplicação idêntica
Definição
Dado um conjunto A diferente do conjunto vazio , a aplicação 
:AI A A→  , dada por ( )I x x= é chamada aplicação idêntica de A . Para cada 
conjunto A considerado , existe uma aplicação idêntica I  , pois os domínios 
são diferentes .
Exemplo 3 .18
Sejam as aplicações idênticas :AI A A→ e :BI B B→ dadas por 
( )I x x=  . Sendo { }1, 2, 3A = e { }, , , B a b c d=  , escrever os elementos 
dessas aplicações .
Solução
Os elementos de :AI A A→ são dados por ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2, 2 , 3, 3AI =  .
Os elementos de :BI B B→ são dados por ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , BI a a b b c c d d=  .
Proposição
Se :f A B→ é bijetora , então 1 Bfof I
− = e 1 Af of I
− =
 .
Demonstração
Sabemos que , se f é bijetora , então 1f − é uma aplicação bijetora de 
B em A .
Se x B∈  , então ( ) ( )( ) ( )1 1 1 Bfof x f f x x e fof x I− − −= = =  .
– 77 –
Aplicações e Operações
Analogamente , se x A∈  , então 
( ) ( )( ) ( )1 1 1 Af of x f f x x e f of x I− − −= = =  .
3 .9 Aplicações monótonas
Definição
Considere :f A B→  , com A e B parcialmente ordenados .
A aplicação f é crescente em A , se 
( ) ( ) ( )( )1 1 1, x x A x x f x f x∀ ∈ ≤ ⇒ ≤  .
A aplicação f é decrescente em A , se 
( ) ( ) ( )( )1 1 1, x x A x x f x f x∀ ∈ ≤ ⇒ ≥  .
Uma aplicação crescente ou decrescente é chamada de aplicação monótona .
Exemplo 3 .19
A função 2y x= é monótona crescente no intervalo ] [0, ∞  , e monó-
tona decrescente no intervalo ] [, 0 −∞  . A função 3 1y x= + é monó-
tona crescente em todo o seu domínio .
3 .10 Aplicação estritamente monótona
Definição
Uma aplicação estritamente monótona em A é uma aplicação :f A B→
que seja :
a) estritamente crescente − ( ) ( ) ( )( )1 1 1, x x A x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <  ;
b) estritamente decrescente − " ˛( ) < >( )x x A x x f x f x, ( ) ( )1 1 1  .
Exemplo 3 .20
A função 3 1y x= + é estritamente monótona crescente em todo o seu 
domínio . A função 6y x= − + é estritamente monótona decrescente 
em todo o seu domínio .
– 78 –
Fundamentos de Álgebra
3 .11 Operações
Definição
Sendo A um conjunto não vazio , toda aplicação :f A A A× → recebe 
o nome de operação sobre A ou lei de composição sobre A .
Uma operação f sobre A associa a cada par ordenado (x  , y) de A A× um 
elemento x*y de A . A . Portanto , é um conjunto munido da operação * .
Observações
1. Leitura de x*y : “x estrela y” .
2. x*y é a imagem ( ),f x y  .
3. * é uma notação geral para indicar uma operação sobre o conjunto 
A . Podemos ter outros símbolos para operações genéricas , como 
, , , ,T∆ ⊗ ⊕ entre outros que podem ser escolhidos .
O elemento x*y é composto de x e y pela operação f . Os elementos x e 
y de x*y são os termos da composição : x é o primeiro termo e y é o segundo 
termo do composto .
Exemplo 3 .21
Seja a aplicação :f N N N× →  , tal que ( ),f x y x y= +  . A aplicação f 
associa a cada par ordenado ( ),x y a sua soma x+y . A aplicação f é a ope-
ração de adição sobre N . Neste caso , o símbolo da operação é + , o com-
posto x+y é chamado soma e os termos x e y são as parcelas do composto .
Exemplo 3 .22
Seja a aplicação :f R R R× → tal que ( ),f x y x y= ⋅  . A aplicação f 
associa a cada par ordenado ( ),x y o seu produto x .y . A aplicação f é a 
operação de multiplicação sobre R . Neste caso , o símbolo da operação é 
“ .” , a operação é a multiplicação e os termos x e y são os fatores .
Exemplo 3 .23
A aplicação :f Z Z Z× → tal que ( ),f x y x y= − é a operação de 
subtração sobre Z .
– 79 –
Aplicações e Operações
Observação
As operações de soma e multiplicação acima podem ser estendidas aos 
conjuntos Z , Q , R e C . A operação de subtração pode ser estendida aos con-
juntos Q , R e C .
Exemplo 3 .24
Seja a aplicação :f A A A× →  , na qual m nA M ×=  , em R , é o conjunto 
das matrizes de ordem m n× e os elementos dessas matrizes são números 
reais . ( ),f x y x y= + é a operação de adição sobre m nM ×  , em R .
3 .12 Propriedades das operações
Considerando * uma lei de composição interna sobre o conjunto A , e 
, , x y z A∈
 , temos as seguintes propriedades :
I. Propriedade associativa :
( ) ( )* * * * , , , x y z x y z x y z A= ∀ ∈
Exemplo 3 .25
As adições em N  , Z , Q , R e C satisfazem a propriedade associativa . 
Por exemplo ,
 1 2 5 1 2 5
2 3 7 2 3 7
   + + = + +   
   
 .
As multiplicações em N , Z , Q , R e C satisfazem a propriedade asso-
ciativa . Por exemplo , 
( )( ) ( ) ( )0,37 0,555 1,23 0,37 0,555 1,23− × × = − × ×  .
Exemplo 3 .26
A adição sobre as matrizes de ordem sendo os elementos das matri-
zes números reais satisfaz a propriedade associativa . Por exemplo ,
– 80 –
Fundamentos de Álgebra
2 5 1 6 1 5 2 5 1 6 1 5
3 0 4 3 2 0 3 0 4 3 2 0
3 11 1 5 2 5 0 11
7 3 2 0 3 0 6 3
2 16 2 16
9 3 9 3
− −              
+ + = + +                               
−       
+ = +       
       
   
=   
   
Exemplo 3 .27
A multiplicação sobre as matrizes de ordem sendo os elementos 
dessas matrizes números reais satisfaz a propriedade associativa . 
Por exemplo ,
3 1 3 1
2 3 5 0 7 2 3 5 0 7
1 2 1 2
1 4 1 1 1 1 4 1 1 1
6 5 6 5
1 20
39 33 0 7 2 3 5
2 5
13 14 1 1 1 4 1
5 37
33 240 33 240
14 77 14 77
      
             × × = × ×             − −                   
 
       × = ×       −        
   
=   
   
Exemplo 3 .28
A divisão no conjunto dos números reais não é associativa . Veja o 
exemplo :
( ) ( )100 10 2 100 10 2
10 2 100 5
5 20
÷ ÷ ≠ ÷ ÷
÷ ≠ ÷
≠
Em operações associativas , o uso de parênteses é dispensável .
– 81 –
Aplicações e Operações
Se uma operação não é associativa , o uso de parênteses é obrigatório .
II. Propriedade comutativa :
* * , , x y y x x y A= ∀ ∈
Exemplo 3 .29
As adições em N , Z , Q , R e C satisfazem a propriedade comutativa . 
As multiplicações em N , Z , Q , R e C satisfazem a propriedade 
comutativa . Por exemplo ,
( ) ( )
5 8 8 5
3 7 7 3
+ = +
− × = × −
Exemplo 3 .30
A adição sobre as matrizes de ordem m n×  , sendo os elementos 
dessas matrizes números reais , satisfazem a propriedade comuta-
tiva . Por exemplo ,
2 5 1 6 1 6 2 5
3 0 4 3 4 3 3 0
3 1 1 3 1 1
7 3 7 3
       
+ = +       
       
   
=   
   
Exemplo 3 .31
A subtração no conjunto dos números reais não é comutativa . Veja 
o exemplo :
20 15 15 20
5 5
− ≠ −
≠ −
III. Propriedade do Elemento Neutro (e) :
e A∈ é um elemento neutro para a operação * se
* *e x x e x= =
– 82 –
Fundamentosde Álgebra
Exemplo 3 .32
O número 0 é o elemento neutro para a operação de adição sobre 
os conjuntos N , Z , Q , R e C , pois 0 0 , x x x x+ = + = ∀  .
O número 1 é o elemento neutro para a operação de multiplicação 
sobre os conjuntos N , Z , Q , R e C , pois 1 1 , x x x x× = × = ∀  .
Exemplo 3 .33
A matriz nula O de ordem m n× é o elemento neutro da adição 
de matrizes de ordem m n×  , pois ,A O O A A+ = + = para toda 
matriz A pertencente ao conjunto das matrizes de ordem m n×  .
Veja um exemplo no conjunto das matrizes de ordem 2 3×  :
2 1 3 0 0 0 0 0 0 2 1 3 2 1 3
1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 
         
+ = + =         
         
Exemplo 3 .34
A matriz identidade I de ordem m é o elemento neutro da mul-
tiplicação de matrizes de ordem m  , pois A I I A A× = × = para 
toda matriz A pertencente ao conjunto das matrizes de ordem m  .
Veja um exemplo no conjunto das matrizes quadradas de ordem 3 :
4 5 3 1 0 0 1 0 0 4 5 3
1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
2 2 3 0 0 1 0 0 1 2 2 3
4 5 3
1 0 1
2 2 3
       
       × = × =       
       − −       
 
 =  
 − 
– 83 –
Aplicações e Operações
Exemplo 3 .35
A subtração nos conjuntos N , Q , Z , R e C não admite elemento 
neutro , pois não existe elemento e em N  , Q , Z , R e C tal que 
* *e x x e x= =
 , para qualquer x em N , Q , Z , R e C .
Proposição
Unicidade do elemento neutro :
Se existe um elemento neutro para a operação * em A , ele é único .
Demonstração
Suponha que e e e’ sejam elementos neutros da operação * . Então :
 2 para o elemento neutro e , tem-se : e*e’=e’*e=e’
 2 para o elemento neutro e’ , tem-se : e’*e=e*e’=e
Portanto , e’=e .
IV. Propriedade do Elemento Simétrico :
Considere a operação * que tem elemento neutro e em A .
Dizemos que x A∈ tem um elemento simétrico em A se existe 
'x A∈
 , tal que * ' '*x x x x e= =  .
Se a operação é a adição nos conjuntos Z , Q , R ou C , então o simé-
trico de x é –x , chamado de oposto de x .
Se a operação é a multiplicação nos conjuntos Q , R ou C , então o 
simétrico de x é 1
1
x
x
− =
 , chamado de inverso de x .
Exemplo 3 .36
Vejamos o simétrico de alguns números em Q e Z .
 2 O simétrico de 5 para a operação de adição em Z é seu oposto 
-5 , pois 5 + (-5) = 0 , lembrando que 0 é o elemento neutro da 
adição em Z .
– 84 –
Fundamentos de Álgebra
 2 O simétrico de 5 para a operação de multiplicação em Q é 
seu inverso 
1
5
 , pois 
15 1
5
× =
 , lembrando que 1 é o elemento 
neutro da multiplicação em Q .
 2 O simétrico de -3 para a operação de multiplicação em Q é 
seu inverso
1
3
−  , pois 
13 1
3
 − × − = 
 
 .
 2 O simétrico de 0 para a operação de multiplicação em Q não 
existe , pois não existe seu inverso 1
0
 , já que a divisão por 0 
não é definida . Dizemos que 0 não é simetrizável para a mul-
tiplicação .
 2 O simétrico de 4 para a operação de multiplicação em Z não 
existe , pois não existe seu inverso 
1
4
 em Z . Dizemos que 
x Z∈ não é simetrizável para a multiplicação .
Exemplo 3 .37
4 5 3
1 0 1 
2 2 3
A
 
 =  
 − 
 é simetrizável para a adição de matrizes . Seu 
simétrico é sua matriz oposta de A , 
4 5 3
1 0 1
2 2 3
A
 − − −
 − = − − 
 − − 
 , pois
4 5 3 4 5 3 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 0 0
2 2 3 2 2 3 0 0 0
     − − −
     + − − =     
     − − −     
 ,
– 85 –
Aplicações e Operações
que é o elemento neutro da adição de matrizes de ordem 3 3×  .
Exemplo 3 .38
2 5
4 1 
A
 
=  
 
 é simetrizável para a multiplicação de matrizes . Seu 
simétrico é sua matriz inversa 1
1 5 
18 18
2 1 
9 9
A−
 − 
=  
 −
  
 , pois
1 5 1 5 2 5 2 5 1 018 18 18 18
2 1 2 14 1 4 1 0 1 
9 9 9 9
   − −        
× = × =        
        − −
      
 ,
que é o elemento neutro da multiplicação de matrizes quadradas 
de ordem 2 .
Exemplo 3 .39
Vejamos o exemplo de uma matriz não simetrizável .
A matriz 
 3 5 6
2 1 3
A
 
=  − 
 não é simetrizável para a mul-
tiplicação de matrizes , pois não existe 1A− tal que 1A A I−× =  . 
Lembre-se que apenas matrizes quadradas cujos determinantes 
sejam diferentes de 0 possuem inversa .
Exemplo 3 .40
14 7
4 2
A
 
=  
 
 não é simetrizável para a multiplicação de matrizes , 
apesar de ser uma matriz quadrada . Suponha que sua matriz inversa 
seja 1
 
 
a b
A
c d
−  =  
 
 .
– 86 –
Fundamentos de Álgebra
Então , 
14 7 1 0
4 2 0 1 
a b
c d
     
× =     
     
 .
Desenvolvendo o produto de matrizes , temos :
14 7 1
14 7 0
4 2 0
4 2 1
a c
b d
a c
b d
+ =
 + =
 + =
 + =
Este sistema é impossível , portanto a matriz 
14 7
4 2
A
 
=  
 
 não pos-
sui inversa . Observe que ( ) ( ) ( )det 14 2 4 7 28 28 0A = × − × = − =  .
Proposição
Considere a operação * sobre o conjunto A e um elemento x A∈ 
simetrizável .
Se a operação * em A é associativa e tem elemento neutro , então o 
simétrico de x é único .
Demonstração
Sejam x’ e x” simétricos de x . Então ,
( ) ( )' * ' "* * ' "* * ' "* "x e x x x x x x x x e x= = = = =  .
Proposição
Considere a operação * sobre o conjunto A com elemento neutro e  .
 2 Se x é simetrizável , então x’ também é e (x’)’=x .
 2 Se * é associativa e , x y A∈ são simetrizáveis , então x*y é 
simetrizável e ( )* ' '* 'x y y x=
– 87 –
Aplicações e Operações
V. Propriedade dos Elementos Regulares :
Definição
Dizemos que um elemento a A∈ é regular em relação à operação 
* se ,x y A∀ ∈  , sendo :
(1) * * a x a y x y= ⇒ = (a é regular à esquerda) .
(2) * * x a y a x y= ⇒ = (a é regular à direita) .
Se a operação * em A é comutativa , se a é regular à esquerda , tam-
bém é regular à direita .
Exemplo 3 .41
Qualquer a N∈ é regular para a adição em N , pois 
 , , .a x a y x y x y N+ = + ⇒ = ∀ ∈
Qualquer a Z∈ é regular para a multiplicação em Z , pois 
 , ,a x a y x y x y Z× = × ⇒ = ∀ ∈
0 não é regular para a multiplicação em R , pois 4 0 5 0 4 5.e× = × ≠
VI. Propriedade distributiva :
Definição
Sejam * e ◊ duas operações sobre o conjunto A  . Dizemos que ◊ é 
distributiva em relação a * se :
(1) ( ) ( ) ( ) * *x y z x y x z◊ = ◊ ◊ ◊ (é distributiva à esquerda de *) .
(2) ( ) ( ) ( )* *y z x y x z x◊ = ◊ ◊ ◊ (é distributiva à direita de *) .
Se a operação * em A é comutativa , se a é distributiva à esquerda , 
também é distributiva à direita .
Exemplo 3 .42
A multiplicação em R é distributiva em relação à adição em R , pois 
( ). , , ,x y z xy xz x y z R+ = + ∀ ∈  .
– 88 –
Fundamentos de Álgebra
Exemplo 3 .43
No conjunto nM de matrizes quadradas de ordem n , a multiplica-
ção é distributiva em relação à adição , pois
( ). . . , , , nA B C A B A C A B C M+ = + ∀ ∈  .
Exemplo 3 .44
Verifique se a operação * sobre R , definida como 
3*
2
x
x y
y
= é asso-
ciativa , comutativa e se tem elemento neutro .
Solução
Verificando se * é associativa :
( )
33
23 9 9* * *
2 2 2 .2 4
x
yx x x
x y z z
y z y z yz
 
 
 = = = =
( ) ( )
3 3 3 3* * 332 * 32
2
x x x xz xz
x y z yyy z y y
zz
= = = = =
 
 
 
Como ( ) ( )* * * *x y z x y z≠  , a operação * sobre R , assim definida , 
não é associativa .
Verificando se * é comutativa :
33* *
2 2
yx
x y e y x
y x
= =
Como * *x y y x≠  , a operação * sobre R  , assim definida  , não é 
comutativa  .
Verificando se * tem elemento neutro :
2 2 2 2
* *
3 3 6 6 
2 2
x e e x
x e
e x e x e x
e