FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA modulo-exercicio

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Exercício
 avalie sua aprendizagem
O matemático Arthur Cayley (1821 - 1899) foi o primeiro a fazer uso da tábua para representar os grupos �nitos.
Com ela podemos veri�car as propriedades que caracterizam a existência do grupo (associatividade, existência do
elemento neutro e existência do elemento simétrico) de forma mais simples. Sabendo disso, considerando o grupo
(Z, +) determine 2-4
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
Lupa  
 
DGT0717_202001506209_TEMAS
Aluno: JONES ROSA DE LIMA Matr.: 202001506209
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG  2023.3 EAD (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
TEORIA DOS GRUPOS
 
1.
-8
8
4
-16
16
Data Resp.: 30/08/2023 14:43:17
Explicação:
 
2.
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
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f6
f3
f1
f4
f2
Data Resp.: 30/08/2023 14:43:40
Explicação:
 
3.
Data Resp.: 30/08/2023 14:43:52
Explicação:
x−1 = −   −  1
6
√7
6
x−1 = −1  −  √7
x−1 = −   +  1
3
√7
3
x−1 = −   +  1
6
√7
6
x−1 = −1  +  √7
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Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O conjunto
Ha diz-se a classe lateral direita de H em G contendo a. O elemento a diz-se um representante da classe lateral aH
(ou Ha). Sejam G=(Z12,+) e H = {0,4,8} um subgrupo de G. A tábua do grupo quociente (G/H,+) está logo abaixo, mas
falta uma operação. Marque a alternativa que indica o resultado dessa operação.
Homomor�smo de grupos é um conceito importante e presente, por exemplo, na álgebra linear no estudo das
transformações lineares. Seja f:Z×Z→R×R de�nida por f(x,y) = 2x + 3y um homomor�smo. Marque a alternativa
que indica um elemento do N(f).
03636GRUPOS DE PERMUTAÇÕES, SUBGRUPO NORMAL E GRUPO QUOCIENTE
 
4.
9 + H
H
2 + H
3 + H
1 + H
Data Resp.: 30/08/2023 14:44:07
Explicação:
De acordo com o enunciado (G/H,+) é um grupo quociente, então todas as propriedades de grupos são válidas.
Na tábua de operação os elementos do grupo con�guram apenas uma vez na linha e coluna da tabela. Portanto,
o único elemento que falta é a classe lateral 2 + H.
 
5.
(1,1)
(-3,2)
(1,-2/3)
(1,0)
(1,-2)
Data Resp.: 30/08/2023 14:44:21
Explicação:
O elemento neutro de  é (0,0). .
Mas , então .
Portanto, 
Analisando as alternativas veri�ca-se que a única que atende a essa condição tem . Logo, um elemento do
núcleo de  é , quando .
 
6.
R × R N(f) = (x, y) ∈ R2; 2x + 3y = 0.
2x + 3y = 0 y = − 2x
3
N(f) = {(x, y) ∈ R2/y = − } .2x
3
x = 1
f (x, − ) = (1, − )2x
3
2
3
x = 1
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O isomor�smo de grupos desempenha um papel importante dentro da álgebra, pois através dele podemos
comparar duas estruturas e veri�car se elas são semelhantes. Ou seja, se elas possuem as mesmas propriedades
algébricas. O grupo  G1= {e,a,b,c} é isomorfo ao multiplicativo G2= {1,i,-1,-i}. Marque a alternativa que indica a tábua
do grupo G1. 
Data Resp.: 30/08/2023 14:44:42
Explicação:
Seja G1= {e,a,b,c} e G2= {1,i,-1,-i} dois grupos isomorfos. Então os elementos desses grupos que possuem
características comuns. Vamos veri�car a bijeção entre os elementos desses grupos. Podemos ter a seguinte
bijeção, por exemplo:
e → 1
a → i
b → -1
c → -i
Construir a tábua de G2= {1,i,-1,-i}
Agora podemos construir a tábua de G1 de acordo com a bijeção apresentada e a tábua de G2.
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Em 1914, o alemão A. Franenkel, a partir dos seus estudos, apresentou a de�nição formal de anel. Onde este é uma
estrutura algébrica, ou seja, um conjunto não vazio, onde estão de�nidas duas composições internas, a adição e a
multiplicação. Neste contexto, as tábuas abaixo representam as operações de adição e multiplicação no anel A =
{a,b,c} com três elementos distintos. As tábuas estão incompletas. Marque a alternativa que apresenta os
elementos que estão faltando na tabela da adição e na tabela da multiplicação, respectivamente.
Em 1914, o alemão A. Franenkel, a partir dos seus estudos, apresentou a de�nição formal de anel. Onde este é uma
estrutura algébrica, ou seja, um conjunto não vazio, onde estão de�nidas duas composições internas, a adição e a
multiplicação. Neste contexto, o conjunto  dotado das leis de composição  e  é um anel.
Note que na bijeção levamos o elemento neutro de G1 no elemento neutro de G2. Logo, ee = e. A primeira linha e
a primeira coluna permanecem com os mesmo elementos da linha e coluna fundamental. Os demais elementos
da tábua devem ser determinados do seguinte modo:
a∙a=i∙i  olhar a bijeção a→i. Substituir a por i.
Olhar na tábua de G2 o resultado da operação de i∙i. 
i∙i=-1 e -1 está associado a b → -1. Logo, na tábua de G1 teremos a operação a∙a=b. 
Esse é o procedimento para encontrarmos todos os compostos da tábua de G1.
03637ANÉIS
 
7.
tábua da adição b e tábua da multiplicação a.
tábua da adição c e tábua da multiplicação b.
tábua da adição b e tábua da multiplicação c.
tábua da adição a e tábua da multiplicação c.
tábua da adição a e tábua da multiplicação b.
Data Resp.: 30/08/2023 14:44:55
Explicação:
Na tábua da operação de adição devemos analisar a condição de grupo. Nesse caso, veja os elementos nas linhas
e colunas não podem se repetir. Logo, o elemento que falta na tabela da adição é o c.
Na tábua da multiplicação basta veri�car que c operado com b tem como resultado b. Logo, b operado com c tem
resultado b.
 
 
8.
Z ∗ Δ
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A partir dessa informação marque a alternativa que indica o elemento simétrico.
Considere as seguintes a�rmações sobre um ideal do anel A.
(I) I = {0,3,6} é ideal do anel Z9.
(II) I = {x ∈ Z ; mdc {x,5} = 1  é um ideal em Z.
(III) I = Q é um ideal do anel dos reais.
(IV) I = {x ∈ Z ; x | 12} não é um ideal de Z.
 
Podemos a�rmar que são verdadeiras:
Data Resp.: 30/08/2023 14:45:13
Explicação:
Determinar inicialmente o elemento neutro do anel com a operação de adição.
x * y = x + y + 1
x * e = x
x + e + 1 = x ⇒ e = -1  elemento neutro do anel.
Agora vamos determinar o elemento simétrico. Vamos considerar a notação a-1.
x * a-1 = e
x + a-1 + 1 = - 1 ⇒ a-1 = -2 - x  elemento simétrico do anel.
03638CORPOS, IDEAIS DE UM ANEL E ANÉIS DE POLINÔMIOS
 
9.
II, III
I
II
I, IV
I, III, IV
Data Resp.: 30/08/2023 14:45:42
Explicação:
(I) VERDADEIRA. O ideal é gerado pelo elemento 3.
(II) FALSA. I = {x ∈ Z ; mdc {x,5} = 1  não é um ideal em Z. Considerando dois elemento de I, por exemplo, x = 7 e y
= 2. Veja que x ¿ y = 7-2 = 5 ∉ I. Ele é um anel de integridade.
(III) FALSA. I não é um ideal. R é um corpo e seus únicos ideais são os triviais.
∀x ∈ Z,  ∃(−2 + x) ∈ Z
∀x ∈ Z,  ∃(1 − x) ∈ Z
∀x ∈ Z,  ∃(2 + x) ∈ Z
∀x ∈ Z,  ∃(−1 − x) ∈ Z
∀x ∈ Z,  ∃(−2 − x) ∈ Z
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Considerando dois ideais A = [12] e B = [21] em Z, determine  [12] + [21]
(IV) VERDADEIRA. I não é um ideal. Por exemplo, x = 6 é um elemento do ideal, mas x.x = 6.6 = 36 é um elemento
que não pertence ao conjunto I.
 
10.
84
12
3
21
72
Data Resp.: 30/08/2023 14:38:15
Explicação:
Dados os ideais A = [12] e B = [21] em Z, basta calcular o mdc (12,21) = 3.
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício inciado em 30/08/2023 14:09:27.