Material de Estudo - Calculo Diferencial de uma Variavel - Unidade I

Prévia do material em texto

Autoras: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
 Profa. Valéria de Carvalho
Colaboradores: Profa. Mirtes Mariano
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
 Prof. José Carlos Morilla 
Cálculo Diferencial 
de uma Variável
Professoras conteudistas: 
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa / Valéria de Carvalho
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre 
em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), leciona no Ensino Superior desde 1981.
Professora do curso de Pós-Graduação lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz e 
professora da Universidade Paulista – UNIP na modalidade presencial e na modalidade EaD – Educação a Distância.
Coautora dos livros:
• Geometria analítica para computação, Editora LTC.
• Álgebra linear para computação, Editora LTC.
• Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia, Editora Ícone.
Valéria de Carvalho, especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação 
Científica), mestre e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação – Unicamp, é professora do Ensino 
Superior desde 1988.
Trabalha com temas envolvendo Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de Educação 
Continuada, envolvendo docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na 
Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora.
Possui publicações em anais de congressos fora do Brasil e capítulos de livros em nossa língua, pensando o 
trabalho docente, a educação matemática crítica e a sociedade.
Atualmente é professora da Universidade Paulista – UNIP e coordenadora do curso de Matemática na modalidade 
EaD – Ensino a Distância.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
E77c Espinosa, Isabel
Cálculo diferencial de uma variável / Isabel Espinosa; Valéria de 
Carvalho. - São Paulo: Editora Sol, 2019.
236 p., il.
Notas: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVV, n. 2-109/19, ISSN 1517-9230.
1. Funções 2. Cálculo 3. Aplicações ao Maxima I. Título
CDU 517.2
U502.50 – 19
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Ana Luiza Fazzio
 Elaine Fares
Sumário
Cálculo Diferencial de uma Variável
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 FUNÇÕES ...............................................................................................................................................................9
1.1 Representação de par ordenado no plano cartesiano .............................................................9
1.1.1 Plano cartesiano ...................................................................................................................................... 10
1.1.2 Produto cartesiano ..................................................................................................................................11
1.1.3 Relação ........................................................................................................................................................ 12
1.2 Conceituação de funções .................................................................................................................. 14
1.2.1 Elementos de uma função .................................................................................................................. 18
1.2.2 Operações com funções ....................................................................................................................... 20
1.2.3 Gráfico ......................................................................................................................................................... 22
1.2.4 Funções par e ímpar .............................................................................................................................. 26
1.2.5 Tipos de funções ...................................................................................................................................... 27
1.2.6 Função inversa ......................................................................................................................................... 28
1.2.7 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 30
2 FUNÇÕES POLINOMIAIS................................................................................................................................ 36
2.1 Função de 1° grau ................................................................................................................................ 36
2.1.1 Função de 1° grau (ou função afim) ............................................................................................... 36
2.1.2 Gráfico ......................................................................................................................................................... 37
2.1.3 Crescimento da função de 1° grau .................................................................................................. 39
2.1.4 Sinais da função ...................................................................................................................................... 40
2.1.5 Função constante ................................................................................................................................... 41
2.2 Função quadrática (ou de 2° grau) ............................................................................................... 42
2.2.1 Gráfico ......................................................................................................................................................... 43
2.2.2 Concavidade.............................................................................................................................................. 43
2.2.3 Sinais da função ...................................................................................................................................... 47
2.2.4 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 49
Unidade II
3 OUTRAS FUNÇÕES REAIS ............................................................................................................................. 55
3.1 Função exponencial ............................................................................................................................. 55
3.1.1 Gráfico .........................................................................................................................................................56
3.2 Função logarítmica .............................................................................................................................. 58
3.3 Função modular .................................................................................................................................... 60
3.3.1 Gráfico ......................................................................................................................................................... 60
3.4 Funções trigonométricas ................................................................................................................... 62
3.4.1 Função seno .............................................................................................................................................. 62
3.4.2 Função cosseno ....................................................................................................................................... 63
3.4.3 Função tangente ..................................................................................................................................... 64
3.5 Assíntotas ................................................................................................................................................ 65
3.5.1 Assíntotas horizontais........................................................................................................................... 65
3.5.2 Assíntotas verticais ................................................................................................................................ 68
3.6 Ampliando seu leque de exemplos.................................................................................................71
4 LIMITE ................................................................................................................................................................... 74
4.1 Uma visão intuitiva ............................................................................................................................. 74
4.1.1 Função contínua ..................................................................................................................................... 78
4.1.2 Propriedades operatórias dos limites.............................................................................................. 80
4.1.3 Limites envolvendo infinito ................................................................................................................ 84
4.1.4 Limites fundamentais............................................................................................................................ 92
4.2 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 96
Unidade III
5 DERIVADAS ......................................................................................................................................................104
5.1 Notações de derivada .......................................................................................................................106
5.2 Regras de derivação ...........................................................................................................................111
6 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ........................................................................................................ 117
6.1 Alguns teoremas .................................................................................................................................120
6.2 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................124
Unidade IV
7 APLICAÇÕES ....................................................................................................................................................131
7.1 Variação aproximada – diferencial ..............................................................................................131
7.2 Sinais da 1ª derivada – crescimento da função .....................................................................133
7.3 Concavidade da função – sinais da 2ª derivada ....................................................................136
7.4 Construção de gráficos ....................................................................................................................138
7.4.1 Assíntota horizontal ........................................................................................................................... 140
8 REGRAS DE L’HOSPITAL ..............................................................................................................................142
8.1 Logaritmo e exponencial .................................................................................................................143
8.2 Derivadas ...............................................................................................................................................150
8.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................156
7
APRESENTAÇÃO
O objetivo desta disciplina é oferecer ao aluno material de apoio para o acompanhamento da 
disciplina Cálculo Diferencial de uma Variável.
Estudaremos, nesse livro-texto, as noções iniciais de funções, utilizando representações gráficas 
e notações mais formais. Estudaremos também o conceito intuitivo de limites, deixando a definição 
formal para outra ocasião.
O estudo de derivada será feito utilizando interpretação geométrica e definição formal, faremos 
também o estudo geral das funções deriváveis.
Ao final, teremos aplicações dos conceitos estudados por meio de problemas em várias áreas.
Apresentamos o aplicativo computacional Maxima, com exemplos ligados aos assuntos estudados 
para você se familiarizar com as novas tecnologias.
Inicialmente, estudaremos o conceito de plano cartesiano e daremos início ao estudo das funções e 
de algumas funções polinomiais e suas principais características. Até aqui não tratamos de novidades, 
visto que todos já tiveram contato com esses conceitos em etapas anteriores de seus estudos.
Trataremos de algumas funções reais como exponencial, logaritmo e algumas trigonométricas. 
Começaremos também a tratar do cálculo e sua teoria, iniciando com a noção intuitiva de limite.
Teremos noção de derivadas e suas aplicações, primeiro as aplicações com a intenção de facilitar a 
construção de gráficos mais elaborados e depois a resolução de problemas aplicados a várias áreas.
Mostraremos, no Apêndice, um aplicativo computacional para orientá-lo no estudo do Cálculo 
Diferencial utilizando software matemático Maxima. O software apresentado é livre permitindo 
que todos tenham acesso. Em especial, focamos aplicações em limites, continuidade e derivadas.
Ao final de cada assunto, temos o item “Ampliando seu leque de exemplos”, no qual você 
encontrará mais exemplos relacionados aos assuntos estudados. Nesse item você deve, após uma 
leitura detalhada, refazer todos, afinal, o estudo de vários modelos diferentes melhorará o seu 
aprendizado.
Esperamos que este material desperte seu espírito científico e interesse no Cálculo Diferencial e que 
possa auxiliá-lo em seus estudos. Bom estudo!
8
Unidade I
INTRODUÇÃO
Neste livro-texto, estudaremos os aspectos iniciais do Cálculo Diferencial de uma Variável. Esses 
conceitos servirão de base para que você possa se aprofundar no estudo do Cálculo Diferencial. Os 
conceitos que serão vistos, podem ser aplicados nas mais variadas áreas, além da Matemática.
As aplicações passam por várias partes da Física, por exemplo, é comum o uso de derivadas para 
facilitar os cálculos em Economia. Da mesma forma, temos vários conceitos que são definidos utilizando 
derivadas, como por exemplo, o conceito de análise marginal. Encontramos aplicações também na 
Engenharia, Biologia, entre outras.
Algumas destas aplicações serão encontradas nesse livro-texto,no entanto, é importante frisar que 
você deve adaptar os enunciados de modo a torná-los mais ligados à realidade de seus educandos. Esse 
procedimento facilita bastante o entendimento dos conceitos. São apresentadas situações-problema 
que se aproximam de fatos que despertem a atenção para o assunto que está sendo tratado, tornando 
o processo ensino-aprendizagem mais proveitoso.
Não faremos aqui as demonstrações dos teoremas citados, estas podem ser encontradas nos livros 
indicados na bibliografia.
O Cálculo Diferencial requer bastante estudo e dedicação, sendo assim, é importante que você 
complete seus estudos utilizando, além desse livro-texto, materiais complementares (pesquisas em 
livros e sites, resolução de problemas e exercícios).
Esperamos que você, aluno, seja capaz de identificar os conhecimentos matemáticos necessários 
para que se torne um bom profissional de ensino Fundamental, Médio ou Superior e que esteja sempre 
preocupado com o papel social na função que desempenha.
Você deve ser um profissional capaz de trabalhar de forma integrada com os professores da sua área 
e de outras, de modo a contribuir efetivamente com a proposta pedagógica da sua escola.
Esperamos ainda que você, aluno, se torne um professor que saiba reconhecer as dificuldades 
individuais de seu educando e sugerir caminhos alternativos que permita a ele desenvolver e prosseguir 
os estudos.
9
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Unidade I
PLANO CARTESIANO E FUNÇÕES
1 FUNÇÕES
1.1 Representação de par ordenado no plano cartesiano
Muitas vezes, em nosso dia a dia, nos deparamos com situações que envolvem localização, por 
exemplo, você marca uma consulta com um médico e como é a primeira vez que vai ao consultório, a 
atendente lhe informa o endereço. Como você não sabe chegar até lá, vai procurar a localização num 
guia de ruas e encontra a seguinte indicação: 22 J6.
Qual o significado dessa informação?
O número 22 indica a página do guia e a letra J e o número 6 indicam a coluna e a linha para a 
localização da rua.
No jogo batalha naval, também utilizamos o plano cartesiano para localizar e destruir os navios do 
adversário, para isso, são indicadas as coordenadas linha e coluna.
Veja o exemplo a seguir:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a a
b b
c c
d d
e e
f f
g g
h h
i i
j j
L L
m m
n n
o o
p p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10
Unidade I
Nesse exemplo, se você escolher a2 conseguirá afundar o navio adversário que está na linha “a” 
coluna “2”. Porém, se escolher d3 será água, isto é, não conseguirá acertar o adversário.
A ideia de termos uma forma de localizar pontos num plano é utilizada desde a Antiguidade. Nós 
utilizamos, atualmente, o sistema cartesiano que estudaremos a seguir.
1.1.1 Plano cartesiano
O sistema cartesiano é baseado no sistema criado pelo matemático e filósofo francês René Descartes, 
cujo pseudônimo era Cartesius, daí o nome plano cartesiano.
O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares (formam ângulo de 90º) e o ponto de 
encontro delas é denominado origem. Cada eixo representa um dos conjuntos do produto cartesiano, o 
eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas e o eixo vertical (y) é o eixo das coordenadas.
Como você pode ver, os eixos coordenados dividem o plano em 4 quadrantes, conforme a figura a 
seguir. O eixo x será positivo no 1º e no 4º quadrantes, e negativo no 2º e 3º quadrantes, o eixo y será 
positivo no 1º e no 2º quadrantes, e negativo no 3º e 4º quadrantes:
y
2º Q
1º Q
4º Q3º Q
(ordenadas)
(abscissas)
x
Um par ordenado pode ser representado geometricamente como um ponto em um plano 
cartesiano.
Assim, para representarmos o par ordenado (2, 3) no plano cartesiano, devemos marcar 2 no eixo x 
e 3 no eixo y.
 Lembrete
As retas auxiliares utilizadas para localizar o ponto A devem ser paralelas 
aos eixos.
11
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
y
3 A (2,3)
2 x
Exemplo:
Represente os pontos A (1, 3), B (3, 1), C (–1, –3), D (0, 2), E (–2, 4) e F (2, –2):
y
A (1,3)
x
D (0,2)
B (3,1)
4
3
2
-1 1 2 3-2
1
-2
-3
E (-2,4)
F (2,-2)
(-1,-3) C
1.1.2 Produto cartesiano
Consideremos dois conjuntos A e B não vazios. Chamamos de produto cartesiano de A e B ao 
conjunto formado por todos os pares ordenados, com 1º elemento de A e 2º elemento de B.
Produto cartesiano de A e B:
A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo:
Se A = {0, 2} e B = {0, 2, 3} calculando A x B e B x A, temos:
A x B = {(0, 0), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2, 2), (2, 3)}
B x A = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (3, 2)}
12
Unidade I
Representando geometricamente, temos:
(2,3)
(2,2)
y (B)
(0,3)
(0,2)
(2,0)(0,0) x (A)
A x B B x A
y (A)
(3,2)(0,2)
(0,0) (2,0) (3,0) x (B)
(2,2)
Notemos que, como os pares são ordenados, o par (0, 2) é diferente do par (2, 0) e representam 
pontos diferentes no plano.
O número de elementos do produto cartesiano A x B, sendo A e B finitos, é dado pela multiplicação 
do número de elementos de A pelo número de elementos de B.
Assim, n(A x B) = n(A) . n(B)
Exemplo:
Sendo A = {–1, 0, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos:
• Número de elementos de A é n(A) = 4.
• Número de elementos de B é n(B) = 6.
Logo, o número de elementos de A x B é n(A x B) = 4 x 6 = 24.
1.1.3 Relação
Em vários momentos, trabalhamos com conjuntos de pares ordenados. Por exemplo, quando 
estudamos o movimento de um carro em uma estrada, podemos construir uma tabela com a posição 
do carro (S) e o tempo (t):
t ( s) 0 1 2 3 4 5 6
S ( m ) 0 10 20 30 40 50 60
Temos uma relação entre tempo (t) e distância (S) dada pelos pares ordenados:
{(0, 0), (1, 10), (2, 20), (3, 30), (4, 40), (5, 50), (6, 60)}.
13
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Observando o que ocorre com os valores da tabela, podemos escrever uma expressão para encontrar 
a posição do carro em um dado tempo S = 10 t.
Definimos relação binária de A em B como todo subconjunto de A x B.
R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ A x B
Exemplo:
Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 4}.
Determine o produto cartesiano A x B e a relação R dada pelos pares ordenados (x, y), tais que y = 2x
Temos:
A x B = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 1), 
(3, 2), (3, 4)}
Como a relação é dada por y = 2x, temos:
x y (x, y)
0 2 . 0 = 0 (0, 0)
1 2 . 1 = 2 (1, 2)
2 2 . 2 = 4 (2, 4)
3 2 . 3 = 6 (3, 6)
Assim, a relação é dada pelo conjunto R = {(0, 0), (1, 2), (2, 4)}.
Podemos também representar a relação por meio de um diagrama ou no plano cartesiano.
Observando o nosso exemplo, temos:
a) Representação por diagramas:
1
2
3
A B
0
1
2
4
0
14
Unidade I
Cada par ordenado é representado por uma flecha do 1° elemento do par para o 2° elemento do par.
b) Representação no plano cartesiano:
y (B)
4
(2,4)
2 x (A)
(1,2)
2
31(0,0)
1.2 Conceituação de funções
Uma locadora de automóveis está com uma promoção para essa semana: “alugue um carro pagando 
R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por Km rodado”.
Você precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo 
aluguel, aproveitando a promoção.
Como saber esse valor, se ele depende dos quilômetros rodados?
Veremos, a seguir, um conceito que permitirá que você responda a questão acima.
Função é uma relação f de A em B, indica-se f: A → B, que obedece às seguintes regras:
• Não há elemento em A sem representante em B.
• Qualquer elemento de A tem um único correspondente em B.
Note que no 2° conjunto podemos ter elementos sem correspondente e também elementos com 
mais de um correspondente.
A seguir, temos algumas situações para verificar se são funções ou não, isto é, se satisfazem as duas 
condições da definição.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}; B = {0, 1} e a relação f de A em B dada pelo diagrama, 
verifiquemos se f é uma função:
15
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Nesse exemplo, notamos que a relação f é uma função, pois obedece às duasregras dadas.
1
2
3
A B
1
0
f
2) Sejam A = {0, 1, 2, 3}; B = {0, 2, 4} e consideremos a relação f de A em B dada pelo diagrama a 
seguir, verifiquemos se f é uma função:
1
2
3
A B
0
2
4
0
f
Note que a relação f não é uma função, pois não satisfaz a primeira regra, o elemento x = 3 do 
conjunto A não tem correspondente no conjunto B.
3) Sejam A = {0, 1}; B = {–1, 0, 1} e a relação f de A em B dada pelo diagrama, verifiquemos se f é 
uma função:
1
A B
0
-1
1
0
f
16
Unidade I
A relação f não é uma função, pois não satisfaz a 2ª segunda regra, o elemento x = 1 do conjunto 
A tem 2 correspondentes em B.
Chamamos de lei de uma função f de A em B a sentença aberta y = f(x) que relaciona os elementos de A e B.
 Observação
Nem sempre é prático escrever a lei de uma função, nesses casos 
usaremos os pares ordenados.
Exemplos:
1) Sejam A = {–1, 0, 1, 2, 3}; B = {–3, 0, 3, 6, 9} e f a função de A em B dada pelo conjunto 
R = {(–1, –3), (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)}, determinemos a lei da função f: A → B:
Notemos que o 2° número de cada par é o triplo do 1° número, assim, podemos escrever a lei de f, então:
y = 3x ou ƒ(x) = 3x
2) Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e f a função de A em B dada pelo diagrama abaixo, 
determinemos a lei da função f: A → B:
1
2
3
A B
0
2
4
f
4
5
3
5
1
6
Comparando os valores dos pares ordenados, notamos que cada elemento de B é o elemento de A 
mais 1, assim, podemos escrever a lei de f:
y=x+1 ou ƒ(x) = x+1
3) Sejam A = {1, 2, 3, 4}; B = {0, 5, 6, 10} e f a função de A em B dada pelo diagrama a seguir, 
determinemos a lei da função f: A → B:
17
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
1
2
3
A B
0
f
4
5
10
6
Comparando os pares ordenados, não encontramos facilmente uma relação entre os valores, nesse 
caso, não escrevemos a lei da função f.
Vamos retornar ao problema do aluguel do carro.
4) Uma locadora de automóveis está com uma promoção para essa semana:
“alugue um carro pagando R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por quilômetro rodado”.
Você precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo 
aluguel, aproveitando a promoção.
Como saber esse valor, se ele depende dos quilômetros rodados?
Notemos que o valor a ser pago depende do km rodado, isto é, “está em função do km rodado”. 
Temos, então, uma função e queremos estabelecer uma lei para ela, se for possível.
Pensemos inicialmente em alguns casos particulares:
• Andar 10 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (10) = 50 + 10 = 60 reais.
• Andar 20 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (20) = 50 + 20 = 70 reais.
• Andar 40 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (40) = 50 + 40 = 90 reais.
Observando os cálculos que foram feitos, notamos que uma parte é fixa e a outra é o produto de 1 
pelos km rodados, podemos, então, representar a quantidade de km rodados pela variável x.
Assim, teremos que a expressão V(x) = 50 + 1x indica, para nós, o valor em função de x, isto é, você 
muda o valor de x e, fazendo os cálculos, determina o valor do aluguel.
Por exemplo, se sua viagem for de 90 km, você deverá pagar por um dia de aluguel: 
V(90) = 50 + 1. 90 = 140 reais.
18
Unidade I
1.2.1 Elementos de uma função
Se f: A → B é uma função, chamamos o conjunto A de domínio de f e o conjunto B de contra 
domínio de f.
Indicamos o domínio de f por Dom f = D (f) = A e o contradomínio CD(f) = B.
Ao conjunto formado pelos elementos de B, que são correspondentes de algum elemento de A, 
chamamos de imagem de f e escrevemos Im (f).
Exemplos:
1) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama abaixo:
1
2
3
A B
0
f
4
5
10
6
8
Observando o diagrama, notamos que:
D(f) = {1, 2, 3, 4} = A
CD (f) = {0, 5, 6, 8, 10} = B
Im (f) = {0, 5, 6, 8}
Nem todos os elementos de B são correspondentes de algum elemento de A, por exemplo, 10 está 
no contradomínio, mas não está na imagem de f.
 Observação
Mesmo sobrando um elemento no conjunto B, temos uma função e, 
nesse caso, temos CD (f) ≠ Im (f).
2) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir:
19
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
1
2
4
A B
2
f
6
12
10
5
Novamente observando os diagramas, notamos que:
D(f) = {1, 2, 4, 6} = A
CD (f) = {2, 5, 10, 12} = B
Im (f) = {12}
 Observação
Como no exemplo anterior, vemos que existem elementos em B que 
não estão no conjunto imagem e novamente temos CD (f) ≠ Im (f).
3) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama abaixo:
A
3
6
9
12
B
3
f
Notamos que:
D(f) = {3, 6, 9, 12} = A
CD (f) = {3} = B
Im (f) = {3} = B
Nesse caso, não sobram elementos em B, isto é, Im (f) = B.
20
Unidade I
1.2.2 Operações com funções
Dadas as funções f e g, podemos fazer as seguintes operações:
adição (ƒ + g) (x) = ƒ(x) + g(x)
subtração (ƒ - g) (x) = ƒ(x) - g(x)
multiplicação (ƒ . g) (x) = ƒ(x) . g(x)
divisão (f/g) (x) =
 
ƒ(x)
g(x)
Produto por número real (k f)(x) = kƒ(x)
Veja a seguir uma representação da função f composta com g (fog)(x). Calculamos, inicialmente, a 
função g em x e depois calculamos f no resultado obtido:
g f
x y = g(x) z = ƒ(g(x))
ƒog
 Lembrete
Para que possamos calcular a função (fog), devemos ter a imagem de g 
igual ao domínio de f.
Observemos que o domínio das funções f + g, f – g, f. g é a intersecção dos domínios de f e g.
O domínio de f / g é a intersecção dos domínios de f e g, menos os pontos no qual g(x) = 0.
O domínio de k f é o mesmo de f.
O domínio de f o g é formado pelos pontos x do domínio de g, tais que g(x) está no domínio de f, isto 
é, D(fog) = {x ∈ D(g) | g(x) ∈ D(f)}.
Vejamos agora alguns exemplos, para que você entenda melhor como trabalhar com as funções e 
suas operações.
21
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Exemplos:
1) Dadas as funções f(x) = –2x – 4 e g(x) = x + 5, determine as funções f + g,
f – g, f. g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domínio de cada uma delas:
Resolução:
Calculando as funções, temos:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (–2x – 4) + (x + 5) = –x + 1
(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (–2x –4) – (x + 5) = – 2x – 4 – x – 5 = –3x – 9
(f . g) (x) = f(x) . g(x) = (–2x – 4) . (x + 5) = –2x2 – 14x – 20
(f / g) (x) =
f x
g x
x
x
( )
( )
  

2 4
5
(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (–2x – 4) = –6x – 12
(fog) (x) = f(g(x)) = f(x + 5) = –2 (x + 5) – 4 = –2x – 14
(gof) (x) = g(f(x)) = g(–2x – 4) = (–2x – 4) + 5 = –2x + 1
Como o domínio das funções f e g é IR, temos:
D(f + g) = D(f – g) = D(f . g) = D(3 f)= D(f o g) = D(g o f) = IR
Para determinar o domínio da função (f / g), devemos observar os valores que anulam o denominador, 
isto é, resolver a equação x + 5 = 0 e excluir a solução do domínio.
Resolvendo a equação, encontramos x = –5, logo, o domínio da função será todos os reais menos x = –5.
Assim, D(f / g) = IR – {–5}, ou D(f / g) = {x | x ≠ –5}.
2) Dadas as funções f(x) = 3x – 2 e g x x( )  1, determine as funções f + g,
f – g, f . g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domínio de cada uma delas:
Resolução:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (3x – 2) + x +1
22
Unidade I
(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (3x – 2) – x +1
(f. g) (x) = f(x) . g(x) = (3x – 2). x +1
f / g (x) =
f x
g x
x
x
( )
( )
 

3 2
1
(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (3x – 2) = 9x – 6
(fog) (x) = f(g(x)) = f( x +1 ) = 3 x +1 – 2
(gof) (x) = g(f(x)) = g(3 x – 2) = ( )3 2 1 3 1x x   
O domínio da função f é IR e o domínio da função g é D(g) = {x | x ≥ –1}, pois a função tem uma 
raiz quadrada e devemos ter a expressão x + 1 ≥ 0, isto é, x ≥ –1.
Assim, pelas expressões das funções f + g, f – g, f . g e fog, todas têm o mesmo domínio de g, isto é:
D(f+g) = D(f – g) = D(f. g) = D(fog) = {x | x ≥ –1}.
A função (3f) tem o mesmo domínio de f, isto é, D(3f) = IR.
A função gof tem em sua expressão a raiz quadrada de 3x – 1, assim, para determinar o seu domínio, 
devemos ter a expressão 3x – 1 ≥ 0, daí 3x ≥ 1, logo, D(g o f) = {x | x ≥ 1/3}.
A função (f / g) tem em seu denominador a raiz quadrada de x – 1, assim,a expressão x – 1 > 0, logo, 
D(f / g) = {x | x > –1}. Note que o valor x = –1 não está no domínio de f / g, pois zera o denominador.
1.2.3 Gráfico
Muitas vezes, encontramos em livros, jornais e revistas gráficos representando alguma situação. Veja 
os exemplos a seguir:
O PIB (Produto Interno Bruto) do Brasil mede o crescimento econômico do país e é calculado a partir 
da soma de todos os bens e serviços produzidos em um dado período. No Brasil, desde 1990, o IBGE 
(Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) é o único responsável pelo cálculo desse índice.
A carga tributária é formada por impostos diretos – que incidem sobre a renda e o patrimônio – e 
por impostos indiretos – que incidem sobre o consumo.
O gráfico a seguir mostra a relação entre a carga tributária anual no Brasil e o nosso PIB:
23
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Gráfico 1 – Carga tributária anual – Brasil
37,00
29,60
22,20
14,80
7,40
0,00
19
39
19
52
19
58
19
64
19
70
19
76
19
82
19
88
19
94
20
00
20
07
% do PIB
Fonte: www.ibge.com.br
Esse gráfico mostra a carga tributária no Brasil, indicando anualmente o percentual do PIB que ela 
representa, no período de 1939 a 2007.
A seguir, temos outro gráfico que também mostra como utilizar a representação gráfica para 
representar uma situação de forma simplificada:
Gráfico 2 – Taxa de abandono escolar no Ensino Médio
13,00
10,40
7,80
5,20
2,60
0,00
1999 2000 2001 2003 2004 2005
Abrangência: Estados 
Unidade territorial: São Paulo 
Categorias: médio 
Unidade: percentual
Fonte: www.ibge.com.br
24
Unidade I
Nesse gráfico, temos dados sobre as taxas de abandono escolar nas turmas do Ensino Médio do 
estado se São Paulo, entre os anos de 1999 e 2005.
Observando o gráfico, é possível tirar várias informações, por exemplo, a taxa de abandono escolar em 
um determinado ano, ou se a taxa de abandono escolar diminuiu ou aumentou em determinado período.
Note que é uma forma prática de mostrar o que se quer, mesmo que não se saiba a expressão 
matemática relacionada ao gráfico. De forma simples, representamos o que queremos.
Vejamos, então, o que é e como construir o gráfico de uma função.
Ao conjunto dos pares ordenados que representam a função no plano cartesiano, chamamos de 
gráfico de f, isto é, a figura desenhada no plano cartesiano.
Exemplos:
1) Consideremos a função f de A em B, definida pela lei f(x) = x + 3, com
A = {–3, –2, –1, 0} e B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Construir o gráfico de f:
Resolução:
Para construir o gráfico da função, vamos determinar a imagem dos pontos do domínio montando 
a tabela de valores de x e y = f(x):
x y (x,y)
-3 -3 + 3 = 0 (-3,0)
-2 -2 + 3 = 1 (-2,1)
-1 -1 + 3 = 2 (-1,2)
0 -0 + 3 = 3 (0,3)
Colocando esses pares ordenados no plano cartesiano, temos:
y (B)
x (A)-3 -2 -1 0
1
2
3
25
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
 Lembrete
O domínio de f é um conjunto com 4 elementos, assim o gráfico de f 
será formado por 4 pontos isolados, não podemos unir os pontos.
Geralmente, trabalhamos com funções com domínio real e contradomínio real, então os seus gráficos 
serão linhas unindo os pontos do plano cartesiano.
Vejamos no próximo exemplo:
2) Seja f: IR → IR, dada pela expressão f(x) = 2 x, construir o gráfico de f:
Como o domínio de f é IR (infinitos valores), para encontrar o gráfico de f devemos montar uma tabela 
com alguns valores do domínio. Assim, escolhendo alguns valores de x para a nossa tabela, temos:
x y = ƒ(x) = 2 x (x,y)
-1 2 . (-1) = -2 (-1,-2)
0 2 . (0) = 0 (0,0)
1 2 . (1) = 2 (1,2)
2 2 . 2 = 4 (2,4)
Representando no plano cartesiano e unindo os pontos, temos:
y
0 1 2-1
1
2
4
-1
-2
 Lembrete
O domínio de f é o conjunto dos reais, assim, no gráfico de f serão 
formados infinitos pontos.
26
Unidade I
Nesse caso, devemos unir os pontos do gráfico da função, que é uma reta.
3) Construir o gráfico da função y = x2, sendo seu domínio e seu contradomínio o conjunto dos reais.
Inicialmente, montemos uma tabela com alguns valores de x:
x y = x2 (x,y)
-2 (-2)2 = 4 (-2,4)
-1 (-1)2 = 1 (-1,1)
0 02 = 0 (0,0)
1 12 = 1 (1,1)
2 22 = 4 (2,4)
Substituindo os pontos no plano cartesiano e unindo os pontos, temos o gráfico da função f(x) = x2:
y
-2 -1 1 2
1
2
x
3 4 5
-1
3
4
y=x^2
 Lembrete
Novamente, unimos os pontos, pois o domínio da função é real.
Da mesma forma que podemos, por meio da lei da função ou de uma tabela de pontos, montar o 
gráfico, é possivel fazer o contrário também, isto é, dado um gráfico, montar uma tabela com os pontos 
da função.
1.2.4 Funções par e ímpar
Definimos como função par toda função, tal que f(–x) = f(x) para qualquer x do seu domínio. 
E função ímpar toda função, tal que f(–x) = –f(x), para qualquer x de seu domínio.
27
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Uma função par tem seu gráfico simétrico em relação ao eixo y e uma função ímpar tem seu gráfico 
simétrico em relação à origem.
Exemplos:
Considere as funções a seguir e decida se são par ou ímpar:
a) f(x) = x2
Para saber se a função é par ou não, devemos calcular f(–x) e comparar com f(x).
Assim:
f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), temos que f(x) = x2 é uma função par.
b) f(x) = x3
f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x), temos que f(x) = x3 é uma função ímpar.
c) f(x) = x3 + 1
f(–x) = (–x)3 + 1 = –x3 + 1, então a função f(x) = x3 + 1 não é par e não é ímpar.
1.2.5 Tipos de funções
• Função sobrejetora
f: A → B é sobrejetora, se e somente se Imf = CD f:
f sobrejetora ⇔ Imf = CD f
• Função injetora
f: A → B é injetora, se e somente se valores diferentes do domínio têm imagem diferentes:
f injetora ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) f(x2)
• Função bijetora
f: A → B é bijetora, se e somente se f é sobrejetora e injetora:
f bijetora ⇔ f é sobrejetora e injetora
28
Unidade I
Exemplos:
Determinar o tipo das funções a seguir:
a) f: IR → IR, f(x) = x + 3
A função tem domínio e contradomínio reais, como a imagem de f também é real, temos que 
f(x) = x + 3 é função sobrejetora.
Para determinarmos se f é injetora, consideremos a e b dois valores quaisquer do domínio, com 
a ≠ b, daí:
f(a) = a + 3 e f(b) = b + 3, mas logo f(a) ≠ f(b).
Então, f é injetora e, portanto, é bijetora.
b) f: IR → IR, f(x) = x2
Não é sobrejetora, pois Imf = { x | x > 0} = IR+ e CD f = IR, isto é, Imf ≠ CD f.
Não é injetora, pois para a = 1 e b = –1 são dois valores diferentes do domínio, temos:
f(a) = f(1) = 12 = 1 e f(b) = f(–1) = (–1)2 = 1, isto é, f(a) = f(b).
 Observação
Nossa função, então, não é injetora e não é sobrejetora.
 Lembrete
Notemos, no entanto, que se o contradomínio da função for alterado 
de forma conveniente, podemos transformar nossa função em uma função 
sobrejetora, basta definir a função de IR em IR+.
1.2.6 Função inversa
Seja f uma função bijetora de A em B, chamamos de inversa de f a função g bijetora de B em A, tal 
que fog (x) = x e gof (x) = x.
Notação: f –1(x) representa a inversa da função f.
29
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Exemplos:
Determinar a inversa das funções:
 Observação
Para determinar a inversa de uma função, você deve isolar o valor 
de x e depois trocar as posições das letras x e y, a nova expressão será a 
função inversa.
a) f: IR → IR, definida por f(x) = 2x – 5 ou y = 2x – 5, função bijetora.
Isolando o valor de x, temos:
2 x = y + 5    x y 5
2
Trocando x e y de posição, temos: y 
x 5
2
 
Logo, f (x) 
x 5
2
-1   é a inversa de f e f –1: IR → IR.
b) f: IR+ → IR+, definida por f(x) = x
2 ou y = x2
A função é bijetora.
Isolando o valor de x, temos:
x2 = y   x y
Trocando x e y de posição, temos: y x=
Logo, f (x) x-1 = é a inversa de f e f –1: IR+ → IR+
A seguir, você encontrará alguns exemplos para que possa perceber melhor as várias possibilidades 
apresentadas na teoria.
 Lembrete
Estude atentamente os exemplos apresentados e, a seguir, tente refazê-los.
30
Unidade I
1.2.7 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determinar o conjunto que representa os elementos do produto cartesiano Ax B, sendo 
A = {–1, 0, 1} e B = {1, 2}
Resolução:
Lembrando que o produto cartesiano é formado pelos pares ordenados, no qual o primeiro elemento 
é do conjunto A e o segundo é do conjunto B, teremos:
A x B = {(–1, 1), (–1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}.
2) Determinar o domínio da função f(x) = 5
3 9
x
x −
Resolução:
Encontrar o domínio da função é indicar os valores que podem ser substituídos no lugar de x.
A nossa função possui uma fração e tem x tanto no numerador quanto no denominador. Observando 
o numerador, notamos que não há restrição, porém, o denominador deve ser diferente de zero.
3x – 9 ≠ 0 ⇒ 3 x ≠ 9 ⇒ x ≠ 3.
Assim, o conjunto domínio de f será dado por:
Df = { x ∈ IR / x ≠ 3} ou podemos também escrever Df = IR – { 3 }.
3) Sendo f(x) =
1
1
x
x


 , calcular o valor de f (½)
Resolução:
Para calcular o valor de f (½), devemos substituir o valor x = ½ na expressão, teremos:
f( )12
1
2
1
2
1
2
1
1
2 1
3





    . 2 6 
Logo, f (½) = 6.
4) Sendo f(x) = –4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar a soma das funções, isto é, determinar o valor 
de (f + g) (x)
31
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Resolução:
Sabemos que para determinar (f + g) (x), devemos somar os resultados de f e de g, então:
(f + g) (x) = –4x + 5 + x2 + 2x
Somando os termos correspondentes, ficamos com:
(f + g) (x) = x2 – 2x + 5
5) Sendo f(x) = –4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar o valor de (2f – g) (1)
Resolução:
Agora, queremos saber não só o valor de 2f – g mas também quanto ele vale quando x = 1.
Para determinar 2f – g, vamos inicialmente determinar 2f, depois encontrar a expressão para 2f – g 
e só então substituir o valor de x.
Sabemos que para determinar (2f)(x), devemos multiplicar f(x) = –4x + 5 por 2, assim, ficamos com 
(2 f)(x) = 2. (–4x + 5) = – 8x + 10.
Temos:
(2 f – g)(x) = (2 f) (x) – g(x) = –8x + 10 – (x2 + 2x) = –x2 – 10x + 10.
Não acabamos o exercício, ainda falta encontrar o valor da função para x = 1. Substituindo x por 1, 
temos:
(2 f – g)(1) = – (1)2 – 10. 1 + 10 = –1 – 10 + 10 = –1.
 Observação
Poderíamos ter resolvido esse exercício, calculando o valor de (2f)(1) e 
o de g(1) e depois efetuando a conta (2f – g)(1). Refaça o exercício desta 
outra forma e compare o procedimento e o resultado.
6) Dadas as funções f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2, determinar o valor de (f o g) (x)
Resolução:
Sabemos que a função composta (f o g) (x) é igual a f(g(x)), isto é, (f o g) (x) = f(g(x)), devemos 
substituir a expressão de g no lugar de x em f(x), assim, temos:
32
Unidade I
(f o g) (x) = f(g(x)) = f(x2) = 3 (x2) + 2 = 3x2 + 2.
7) Uma função é par se f(–x) = f(x), verifique qual das funções é par:
a) f(x) = x + 5
b) f(x) = x2
c) f(x) = x2 + 5x
Resolução:
Conforme a definição, devemos calcular f(–x) e comparar com f(x) para podermos decidir se a função 
é par ou ímpar.
a) Para a função f(x) = x + 5, temos:
f(–x) = (–x) + 5 = – x + 5 ≠ f(x), logo, a função não é par.
b) Para a função f(x) = x2, temos:
f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), logo, a função é par.
c) Para a função f(x) = x2 + 5x, temos:
f(–x) = (–x)2 + 5 (–x) = x2 – 5x ≠ f(x), logo, a função não é par.
Assim, a única das funções que é par é f(x) = x2.
8) Sabendo que f(x – 1) = 2x, determine o valor de f(2)
Resolução:
Para determinar o valor de f(2), devemos descobrir qual o valor de x que torna x – 1 = 2. Resolvendo 
a equação, encontramos x = 3.
Calculando o valor de f(x – 1) quando x = 3, temos:
f (3 – 1) = 2. 3 = 6, logo, f(2) = 6.
33
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
 Lembrete
O mesmo procedimento se aplica a qualquer outro valor que você queira 
determinar, basta descobrir o valor de x e substituir na expressão.
9) Determinar a inversa da função f(x) = 5x + 1
Resolução:
Para determinar a inversa de uma função, devemos substituir f(x) por y e trocar as posições de x e y 
na lei que define a função, depois isolar o valor de y.
Assim:
f(x) = 5x + 1 ⇒ y = 5x + 1
Trocando as posições de x e y, vem:
x = 5y + 1
Isolando y, encontramos:
x = 5y + 1 ⇒ – 5y = – x + 1 ⇒ x y y x y
x
y
x          

  5 1 5 1 1
5 5
1
5
Logo, f –1 (x) = f x
x  1
5
1
5
( )
10) Sabendo que uma função é bijetora se for injetora e sobrejetora, verifique qual das funções a 
seguir é bijetora:
a) f: IR → IR, tal que f(x) = x2 + 2x.
b) f: IR → IR, tal que f(x) = x + 1.
c) f: IR → IR, tal que f(x) = 3.
d) f: IR → IR, tal que f(x) = sen(x).
Resolução:
Lembrando: uma função é injetora se valores diferentes de x vão a valores diferentes de y, e uma 
função é sobrejetora se o seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem.
34
Unidade I
Vamos utilizar o gráfico das funções para saber se são injetoras e sobrejetoras.
Esboçando o gráfico das funções, temos:
a) f : IR → IR, f(x) = x2 + 2x
y
-2 -1 1
1
2
x
-1
y=x^2-2x
-3
Observando o gráfico da função, notamos que quando x = 0 e quando x = –2, temos f(0) = f(–2) = 0, 
logo, a função não pode ser injetora e, portanto, não será bijetora.
 Observação
Esta função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio é IR, 
mas sua imagem é formada pelos valores de y maiores que o y do vértice, 
yv = –1, logo, Im (f) = { y ∈IR / y ≥ –1}.
b) f : IR → IR, f(x) = x + 1
y
0 x–1
Observando o gráfico da função, notamos que a função é injetora e também sobrejetora, logo, 
será bijetora.
c) f : IR → IR, f(x) = 3
35
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
y
0 x–1–2 2
3
A função é constante, logo seu gráfico é paralelo ao eixo x, passando em y = 3. Essa função não é 
injetora, pois para todos os valores de x, temos a mesma imagem, y = 3.
Logo, a função não pode ser bijetora.
 Observação
Nesse caso, a função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio 
é IR, mas sua imagem é Im(f) = {3}.
d) f : IR → IR, f(x) = sen x
y
x
–1–2 2
2
–3
–1
1 3 4 5 6 7
1
π/2
–π
2 3π/2
2ππ
y=sen(x)
Observando o gráfico da função seno, notamos que não é injetora, pois existem vários valores 
de x que têm a mesma imagem, por exemplo, para x = 0 e x = π, temos a mesma imagem, isto é, 
f(0) = f(π) = 0.
Logo, não é bijetora.
 Observação
Nesse caso, a função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio 
é IR, mas sua imagem é o intervalo [–1, 1], isto é, Im(f) = [–1, 1].
36
Unidade I
2 FUNÇÕES POLINOMIAIS
Estudaremos agora algumas funções polinomiais importantes.
2.1 Função de 1° grau
2.1.1 Função de 1° grau (ou função afim)
É toda função f: IR → IR, dada por:
f(x) = a x + b, com a ∈ IR, a ≠ 0 e b ∈ IR.
Os valores de a e b são chamados de coeficientes da função:
 a: coeficiente angular 
 b: coeficiente linear 
Quando b = 0, a função de 1° grau f(x) = ax é chamada função linear.
Quando b = 0 e a = 1, a função de 1° grau f(x) = x é chamada função identidade.
Exemplos:
Determinar se as funções a seguir são lineares ou afins, e identificar os coeficientes angular e linear:
1) A função f(x) = 4x + 5 é uma função afim:
a = 4, coefiente angular
b = 5, coeficiente linear
2) A função y = –3x é uma função linear:
a = –3, coeficiente angular
b = 0, coeficiente linear
3) A função y = – x – 3 é uma função afim:
a = –1, coeficiente angular
b = –3, coeficiente linear
37
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
2.1.2 Gráfico
O gráfico de uma função de 1° grau é sempre uma reta.
 Lembrete
Bastam 2 pontos para determinar uma reta, assim, você deve encontrar 
dois pontos da função, representar no plano cartesiano e unir os pontos.
Exemplos:
1) Traçar o gráfico das funções lineares:
a) y = –2x
Você deve escolher pelo menos dois valores para x e calcular f(x), nesse caso, escolhemos x = 0 e x = 1:
x y = - 2x (x,y)
0 y = - 2 . 0 = 0 (0,0)
1 y = - 2 . 1 = -2 (1,-2)
y
10
-2
x
y = -2x
b) y = 3x
x y = 3x (x,y)
0 y = 3 . 0 = 0 (0,0)
1 y = 3 . 1 = 3 (1,3)
y
10
3
x
y = 3x
38
Unidade I
c) y = x
Nesse exemplo, vamos escolher outros valores para x, assim, você não vai concluir que só podemos 
colocar para x valores iguais a 0 e 1:
x y = x (x,y)
-1 y = -1 (-1,-1)
1 y = 1 (1,1)
y
10 xy = x
–1
–1
 Observação
A reta que representa a função linear sempre passa na origem, isto é, 
no ponto (0, 0).
2) Traçar o gráfico das funções de 1° grau:
a) y = 2x + 4
Ao invés de escolhermos dois valores quaisquer de x, vamos calcular os cortes da reta com os eixos, 
isto é:
x = 0 ⇒ y = 2. 0 + 4 = 4
y = 0 ⇒ 0 = 2x + 4 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2
Logo, a reta corta o eixo x em x = –2 e o eixo y em y = 4.
Graficamente, temos:
39
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
corte em y
corte em x
y = 2x + 4
x
y
-2 0 
4
b) y = –3x + 6
x = 0 ⇒ y = –3 . 0 + 6 = 6
y = 0 ⇒ 0 = 3 – x + 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
Graficamente, temos:
corte em y
corte em x
y = 3x + 6
x
y
6
 2
2.1.3 Crescimento da função de 1° grau
O coeficiente angular da função de 1°grau indica se nossa função é crescente ou decrescente.
decrescente (a < 0) e crescente (a > 0)
Exemplos:
a) y = –4x + 5 é uma função decrescente, pois a = –4 < 0.
b) y = 3x – 6 é uma função crescente, pois a = 3 > 0.
c) y = 2x é uma função crescente, pois a = 2 > 0.
d) Graficamente, para verificar se uma função de 1º grau é crescente ou decrescente utilizando o seu 
gráfico, devemos observar a sua inclinação, assim:
40
Unidade I
y
x
y
x
decrescente
(inclinação à esquerda)
crescente
(inclinação à direita)
00
2.1.4 Sinais da função
Muitas vezes, queremos saber o intervalo no qual a função y = a x + b é positiva e no qual é negativa. 
Para isso, devemos determinar x0 raiz da equação ax + b = 0 e observar a inclinação da reta.
Temos:
+ -
X0 x
- +
X0 x
a < 0 - inclinação à 
esquerda; decrescente
a > 0 - inclinação à 
direita; crescente
Resumindo
X0 x
sinal contrário à a sinal de a
Exemplos:
Determinar os sinais das funções:
a) y = –4x + 12
Determinando a raiz da função, temos:
–4x+12=0 ⇒ x=3
Como a = –4 < 0, a reta tem inclinação para a esquerda, assim:
ƒ(x) > 0 se x < 3
ƒ(x) < 0 se x > 3
ƒ(x) = 0 se x = 3
+ -
3 x
41
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
b) y = 3x – 15
Determinando a raiz da função, temos:
3x–15=0 ⇒ x=5
Como a = 3 > 0, a reta tem inclinação para a direita, assim:
ƒ(x) > 0 se x > 5
ƒ(x) < 0 se x < 5
ƒ(x) = 0 se x = 5
 
- +
5 x
2.1.5 Função constante
Toda função dada por f(x) = c, no qual c é uma constante, é chamada função constante. Seu gráfico 
será uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, c).
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x) = 2 (ou y = 2)
Vamos montar uma tabela com alguns valores de x, assim:
x y = 2 (x,y)
0 y = 2 (0,2)
1 y = 2 (1,2)
2 y = 2 (2,2)
3 y = 2 (3,2)
Quando colocados esses valores no sistema cartesiano, obtemos a reta paralela ao eixo x passando 
pelo ponto (0, 2):
y = 2
x
y
1 2 30
2
corte em y
42
Unidade I
b) f(x) = –3 (ou y = –3)
Notemos que não é necessária a construção da tabela de pontos, basta traçar uma reta paralela ao 
eixo x passando pelo ponto (0, –3):
x
y
0
-3
y = -3
 Saiba mais
Para ver uma aplicação de função do 1º grau em economia, assista ao 
vídeo:
<http://www.youtube.com/watch?v=NsOLoXAIo7g>.
2.2 Função quadrática (ou de 2° grau)
Se jogamos para o alto um objeto a partir do chão e observamos a sua trajetória, notamos que o 
objeto sobe até um determinado ponto e depois começa a cair até retornar ao chão. Representando a 
sua trajetória graficamente, temos:
S
t
O gráfico fornece várias informações sobre o movimento do objeto, por exemplo: a altura máxima 
atingida, tempo para retornar ao solo, o tempo necessário para atingir a altura máxima.
Esse gráfico, uma parábola, é o gráfico de uma função do 2º grau.
Vamos agora estudar as funções quadráticas, ou de 2º grau, isto é, uma função dada pela relação:
y = ax2 + bx + c, com a, b, c números reais e a ≠ 0
43
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Exemplos:
a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 é uma função quadrática completa, com a = 3, b = 2 e c = 1.
b) y = –5x2 + 10x é uma função quadrática incompleta, pois tem a = –5, b = 10 e c = 0.
c) f(x) = 10x2 é uma função quadrática incompleta, pois tem a = 10, b = 0 e c = 0.
d) y = 2x2 – 6 é uma função quadrática incompleta, com a = 2, b = 0, c = –6.
2.2.1 Gráfico
O gráfico de uma função do 2° grau é sempre uma parábola que pode ser obtida por uma tabela de 
pontos ou por meio dos cortes nos eixos coordenados e de seu vértice.
Para determinarmos os cortes, devemos:
• No eixo x: ⇒ encontrar as raízes da equação de 2° grau correspondente.
• No eixo y: ⇒ determinar o valor de y, quando x = 0.
Para as coordenadas do vértice, usaremos a fórmula: x
b
 a
y
 av v
   
2 4. .
e

2.2.2 Concavidade
A parábola terá concavidade para cima ou para baixo, dependendo do sinal de a. Assim:
a > 0 ⇔ concavidade para cima
a < 0 ⇔ concavidade para baixo 
a > 0 a < 0
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções de 2°grau:
a) y = –x2 + 2x + 3
Inicialmente, vamos destacar os valores de a, b e c, assim:
44
Unidade I
a = –1 < 0 (concavidade para baixo), b = 2 e c = 3.
Utilizando a tabela de pontos, vamos determinar valores do gráfico de y, como é uma parábola, não 
bastam 2 pontos para a construção, serão necessários mais valores, assim, escolhemos 4 valores de x:
x y = –x2 + 2x + 3 (x, y)
–1 y = – (–1)2 + 2(–1) + 3 (–1, 1)
0 y = –(0)2 + 2(0) + 3 (0, 3)
1 y = –(1)2 + 2(1) + 3 (1, 4)
2 y = –(2)2 + 2(2) + 3 (2, 3)
Colocando esses pontos nos eixos coordenados, temos:
y
1
x
-1
-1-2-3
2
4
(0,3)
1 2 3 4
(2,3)
(1,4)
(1,0)
 Lembrete
Você pode escolher outros valores para x e também pode fazer a tabela 
com mais pontos e mais valores, melhor qualidade do gráfico.
b) y = x2 + 2x + 1
Agora, vamos esboçar o gráfico da função sem a utilização de tabela de pontos.
Inicialmente, devemos identificar os valores de a, b e c:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 2 e c = 1.
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 2 x + 1 = 0:
45
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL



 
    
       
b ac
x
b
a
2
2
4
2 4 1 1 4 4 0
2
2 0
2 1
1
. .
. .
. .
Corta o eixo no ponto (–1, 0).
Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 2. 0 + 1 = 1.
Corta o eixo no ponto (0, 1).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av
     
2
2
2
1
.
 y
 av
    
4
0
4
0
.
V = (–1, 0).
Colocando todos os dados no sistema cartesiano, temos:
y
-2 -1 1
1
2
x
3
2-3
c) y = x2 – 4
Inicialmente, devemos identificar os valores de a, b e c:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 0 e c = –4
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 – 4 = 0:



 
   
         
b ac
x
b
a
2
2
4
0 4 1 4 16
2
0 16
2 1
4
2
2
. .
. .( )
. .
46
Unidade I
Corta o eixo nos pontos (–2, 0) e (2, 0).
Eixo y ⇒ para x = 0, temos y = 02 – 4 = –4.
Corta o eixo no ponto (0, –4).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av
   
2
0
2
0
.
 y
 av
     
4
16
4
4
.
V = (0, –4).
Substituindo todos os pontos no plano cartesiano, temos:
y
-2 -1 1
1
2
x
2-3 3
-1
-2
-3
-4
d) y = x2 + 3x
Identificando os valores de a, b e c, temos:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 3 e c = 0
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 3 x = 0:



 
  
         
   
b ac
x
b
a
x
2
2
1
4
3 4 1 0 9
2
3 9
2 1
3 3
2
3 3
2
0
. .
. .( )
. .
xx1
3 3
2
3    






47
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Corta o eixo nos pontos (0, 0) e (–3, 0).
Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 3. 0 = 0.
Corta o eixo no ponto (0, 0).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av
     
2
3
2
1 5
.
.
 y av
     
4
9
4
2 25
.
.
V = (1.5, 2.25).
y
-2 -1 1
1
x
-3
-1
-2
-1,5
-2,25
-4
 Saiba mais
Para saber mais sobre Baskara, acesse:
< h t t p : / / w w w . p u c r s . b r / e d i p u c r s / e r e m a t s u l /
comunicacoes/26KAMILACELESTINO.pdf>.
2.2.3 Sinais da função
Queremos saber o intervalo no qual a função y = ax2 + bx + c é positiva e negativa.
Inicialmente, resolvemosa equação a x2 + b x + c = 0 e determinamos as suas raízes:
∆ < 0 ⇒ não existe raiz real
mesmo sinal de a
x
48
Unidade I
∆ > 0 ⇒ duas raízes reais
mesmo sinal de a contrário de a mesmo sinal de a
x1 x2
∆ = 0 ⇒ existe 1 raiz real
mesmo sinal de a mesmo sinal de a
x1
Exemplos:
Determinar o sinal das funções:
a) y = x2 – 2x + 1
A equação tem uma raiz real x 1 = 1, pois ∆=0.
Como a = 1 > 0, temos:
+ +
1
Logo, 
f x x
f x x
( )
( )
  
  



0 1
0 1
b) y = x2 – x – 2
A equação tem duas raizes reais x1 = –1 e x2= 2, pois ∆=9>0.
Como a = 1 > 0, temos:
 + — +
—1 2 x
Logo, 
f x x
f x x
f x
( )
( )
( )
   
    
   
0 2
0 1
0 1
 ou x -1
 ou x 2
 x 2




c) y = –x2 + 2 x – 2
A equação não tem raiz real, pois ∆= –4<0.
49
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Como a = –1 < 0, temos:
— —
x
Logo, f(x) < 0 para todo x.
2.2.4 Ampliando seu leque de exemplos
1) Dada a função f(x) = 3x + 5, determine os zeros da função e seu crescimento:
Resolução:
Para determinar os zeros da função, devemos determinar o valor de x, tal que f(x) = 0.
Assim:
3x + 5 = 0 ⇒ 3x = –5 ⇒ x = –5/3. O zero da função será x = –5/3.
Segundo a teoria para verificar o crescimento da função, devemos ver o sinal de a, coeficiente de x, 
nesse caso, a = 3 > 0, logo, a função é crescente.
2) Seja f: IR → IR, tal que f(x) = –x 2 + mx + n, se o gráfico de f passa pelos pontos (0, 2) e (1, 3), 
determinar os valores de m e n:
Resolução:
Sabemos que se o gráfico da função passa por um ponto, podemos substituir os valores na expressão 
de f(x) e o resultado será verdadeiro, isto é:
Ponto (0, 2) significa que para x = 0, temos f(0) = 2.
Ponto (1, 3) significa que quando x = 1, temos f(1) = 3, substituindo esses valores na expressão de 
f(x), encontramos o sistema:
   
   






   
0
1
2
1 3
2
2
m
m
n
m n
 . 0 n 2
 . 1 n 3
 



Resolvendo o sistema, temos n = 2 e m = 2.
50
Unidade I
 Observação
A expressão –x2 indica que somente o valor de x será elevado ao 
quadrado, o sinal de menos permanece.
3) Considere a função y = x 2 – 8x + 15, determine o intervalo no qual y < 0:
Resolução:
Para determinar os sinais da função, devemos inicialmente encontrar os zeros de f, para isso, vamos 
igualar a expressão a zero.
Resolvendo a equação x 2 – 8x + 15 = 0, temos:
∆=b2 –4 . a . c = (–8)2 –4 . 1 . 15 = 64 – 60 = 4
Calculando as raízes:
x
b
a
        
2
8 2
2
8 2
2
( )
Teremos: x e x1 2
8 2
2
10
2
5
8 2
2
6
2
3       
Vamos agora colocar esses valores na reta e estudar os sinais de f conforme o sinal de a. Nesse caso, 
a = 1 > 0:
 + — +
m/m a contrário de a m/m a
3 5
Assim, teremos y < 0 para valores de x entre as raízes (zeros da função), isto é, no intervalo aberto 
]3, 5[.
 Lembrete
O intervalo deve ser aberto, pois nos pontos x = 3 e x = 5, temos y = 0.
51
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
 Resumo
Nessa unidade, vimos o conceito de função e seus elementos. Por 
meio de alguns exemplos, você pode notar que esse conceito está no seu 
cotidiano, embora a expressão matemática nem sempre apareça.
Vejamos a seguir um resumo dos itens estudados.
Operações com funções:
adição (f + g) (x) = f(x) + g(x)
subtração (f - g) (x) = f(x) - g(x)
multiplicação (f. g) (x) = f(x). g(x)
divisão ( / )( )
( )
( )
f g x
f x
g x
=
composição (fog)(x) = f(g(x))
produto por número real k (k f) (x) = k f (x)
função par: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ Df
função ímpar: f(-x) = - f(x), ∀ x ∈ Df
função sobrejetora: f: A → B é sobrejetora ⇔ Imf = Df
função injetora: f injetora ⇔(x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
função bijetora: injetora e sobrejetora
Aprendemos as funções de 1º e 2º grau, além das coordenadas do vértice.
Função de 1° grau (ou função afim):
f(x)=ax + b, com a ∈ IR, a ≠ 0 e b ∈ IR
função linear: f(x) = a x
função identidade: f(x) = x
52
Unidade I
Função de 2° grau:
y = a x2 + b x + c
O seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima, se a > 0 e 
para baixo e a < 0 –
fórmula de Baskara:
∆ = b2 –4.a.c x
b
a
   
2.
 
Coordenadas do vértice: x
 . a
 e y
 . a
 
v v
  b
2 4

 
 Exercícios
Questão 1. (Enem 2007, adaptada) O gráfico a seguir, obtido a partir de dados do Ministério 
do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas 
de extinção.
1983
239
461
N
úm
er
o 
de
 e
sp
éc
ie
s a
m
ea
ça
da
s d
e 
ex
tin
çã
o
1987 1991 1995 1999 2003 2007 ano
Figura
Se mantida a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de 
extinção em 2011 foi igual a:
A) 465.
53
CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
B) 493.
C) 498.
D) 838.
E) 899.
Resposta correta: alternativa C.
Resolução da questão
A partir do gráfico, podemos obter o coeficiente angular (a) da reta. Logo:
2 1
2 1
y y y 461 239 222 111
a
x x x 2007 1983 24 12
∆ − −
= = = = =
∆ − −
Então:
111
a
12
=
Assim, podemos encontrar a equação da reta que representa a função do 1o grau:
Considerando-se o ponto (x0; y0) = (1983; 239), fazemos:
0 0
111 111 111
y y a(x x ) y 239 (x 1983) y x 1983. 239
12 12 12
111 220113 12.239 111 220113 2868 111 217245
y x y x y x
12 12 12 12 12 12 12 12
− = − ⇒ − = − ⇒ = − + ⇒
⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = −
Então, a função do 1o grau é dada por:
111 217245
y x
12 12
= −
Para encontrarmos o valor de y para x = 2011, fazemos:
111 217245 111 217245 223221 217245 5976
y x y (2011) y y
12 12 12 12 12 12 12
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =
y = 498
54
Unidade I
Questão 2. (Enade 2008, adaptada) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta 
diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que 
a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 
3 metros do chão, como ilustra a figura a seguir.
R
Gol
Barreira
Parábola
y
Q
x
P
3
8 12
0
Posição de falta
Figura
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
A) 3/2 m.
B) 4/3 m.
C) 1 m.
D) 2 m.
E) 5/3 m.
Resolução desta questão na plataforma.