Matemática para Ensino Superior REVISAO AV2 MA11 MT

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Revisão MA 11 - Avaliação 2
Geraldo Lúcio Diniz geraldo@ufmt.br
Cuiabá/MT, 15 de Junho de 2013
Geraldo L. Diniz Revisão MA 11 - Avaliação 2 [1]
Resumo
Revisão de conteúdo para a segunda avaliação da disciplina MA 11, relativa
aos conteúdos desta avaliação.
Serão destacados os principais conceitos, bem como teoremas importantes e
algumas aplicações.
Além disso, serão apresentadas algumas demonstrações que auxiliam na fixação
dos conceitos mais importantes.
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Conteúdos para a revisão:
– Função quadrática.
– Funções polinomiais.
– Função exponencial.
– Função inversa.
– Função logaŕıtmica.
– Funções trigonométricas.
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Função quadrática
1. Definição e preliminares:
– Uma função f : R −→ R é denominada quadrática quando existem números reais a, b e
c, com a �= 0, tais que f(x) = ax2 + bx + c, ∀ x ∈ R.
– Os coeficientes a, b e c ficam unicamente determinados pelos valores que essa função
assume para três valores distintos de x.
– Se duas funções quadráticas assumem os mesmos valores em 3 pontos distintos, então
essas funções são iguais.
– Dados 3 números reais distintos x1, x2 e x3 e números reais arbitrários y1, y2 e y3, existe
um, e somente um, terno de números a, b e c, tais que a função f(x) = ax2 + bx + c
cumpre a condição f(x1) = y1, f(x2) = y2 e f(x3) = y3.
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2. Condição de colinearidade:
– Se A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3) são três pontos distintos de R
2.
A condição necessária e suficiente para que estes pontos sejam colineares, conforme
apresentado na maioria dos textos escolares, é que seja nulo o determinante dado por:∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
No entanto, ao desenvolver esse determinante, se chega a seguinte condição:
y2 − y1
x2 − x1
=
y3 − y1
x3 − x1
(1)
Uma condição mais simples para se testar a colinearidade, sem o uso do determinante, e
que também permite verificar quando os 3 pontos determinam uma função quadrática.
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3. A forma canônica do trinômio:
A função quadrática possui alguns elementos importantes para a construção
de sua representação gráfica, como por exemplo, suas ráızes, que podem ser
determinadas pela equivalência das formas:
ax2 + bx+ c = a
[(
x+
b
2a
)2
+
4ac− b2
4a2
]
(2)
O termo do lado direito da igualdade é denominado forma canônica, através
dela é posśıvel determinar as ráızes de uma função quadrática, se existirem.
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4. Gráfico da função quadrática:
eixo
diretriz
F
V
P
QD
x
y
Figura 1: Parábola dada por y = ax2 + bx+ c
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Propriedade da parábola
Uma superf́ıcie de grande utilidade é obtida através do giro de uma parábola em
torno de seu eixo, denominada parabolóide de revolução ou superf́ıcie parabólica,
cuja fama remonta desde a antiguidade.
Na essência, muitos aparatos tecnológicos utilizam o prinćıpio matemático
segundo o qual os raios (ondas de luz, calor, rádio ou de outra natureza), quando
refletidos numa superf́ıcie parabólica, concentram-se no seu foco.
A propriedade geométrica destas superf́ıcie se baseiam no simples prinćıpio de
que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Com isso, é posśıvel
mostrar matematicamente que todos os raios incidentes convergem para um único
ponto, neste caso o foco da parábola.
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Caracterização das funções quadráticas
Teorema 1. Para que uma função cont́ınua f : R → R seja quadrática é
necessário e suficiente que toda progressão aritmética não constante x1, x2,
· · · , xn, · · · seja transformada por f numa progressão aritmética de segunda
ordem não degenerada y1 = f(x1), y2 = f(x2), · · · , yn = f(xn), · · ·
Obs.: Por progressão aritmética de segunda ordem não degenerada, entende-
se aquela cujas diferenças dos termos consecutivos formam uma progressão
aritmética de razão não nula.
Problema: Cavar um buraco retangular com um metro de largura, cujo volume
seja 300m3. Sabendo que cada metro quadrado de área cavada custa R$ 10,00 e
cada metro de profundidade custa R$ 30,00, determine as dimensões do buraco
para que seu custo seja ḿınimo.
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Funções polinomiais
Definição 1. Uma função p : R → R é dita polinomial quando existem números a0, a1, · · · ,
an tais que, ∀ x ∈ R se tem
p(x) =
n∑
i=0
aix
i
(3)
Se an �= 0, então p tem grau n.
Propriedades:
1. A soma e o produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Um caso interessante é
o produto (x − a)(xn−1 + axn−2 + · · · + an−2x + an−1) = xn − an.
Neste caso, dizemos que xn − an é diviśıvel por x − a.
2. α é uma raiz de p(x), quando p(α) = 0. Assim, α é raiz de p(x) ⇔ p(x) é diviśıvel por
x − α. Portanto, uma função polinomial de grau n não pode ter mais do que n ráızes.
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3. Uma função polinomial de grau n fica unicamente determinada quando se conhece os valores
que ela assume para n + 1 números reais distintos.
Uma maneira prática de se obter a função polinomial determinada pelo conjunto de n + 1
pares ordenados {(x0, y0), · · · , (xn, yn)} é usando a fórmula de interpolação de Lagrange
dada por
p(x) =
n∑
i=0
yi
∏
k �=i
(
x − xk
xi − xk
)
4. Se o grau de p(x) é maior que o grau de q(x), então ∀ x com valor absoluto suficientemente
grande se tem que |p(x)| > |q(x)|.
5. Se p(x1)·p(x2) < 0, então necessariamente existe uma raiz ς de p(x) tal que x1 < ς < x2.
Uma maneira eficiente para obter aproximações sucessivas da raiz de polinômios é o método
de Newton, dado por xn+1 = xn −
p(xn)
p′(xn)
.
Exerćıcio: Obtenha p(x) de menor grau, tal que p(1) = 2, p(2) = 1, p(3) = 4 e p(4) = 3.
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Função exponencial
Quando trabalhamos com a função afim, a propriedade fundamental era que a variação da função afim
f : R → R de f(x) até f(x + h), dependia apenas de h. Agora, trataremos de funções onde a razão
f(x + h) − f(x)
f(x)
depende apenas de h.
Problemas envolvendo situações deste tipo ocorrem nas mais variadas áreas do conhecimento, tais como:
Medicina (absorção de drogas), Engenharia Nuclear (decaimento radioativo), Biologia (dinâmica populacional),
Economia (aplicações de capital a juros fixos), entre outras.
Essencialmente, é preciso caracterizar funções f : R → R que possam ser representadas na forma f(x) = b ax,
para a e b números reais fixados.
Para entender as funções que se comportam desta forma é necessário relembrar algumas propriedades da
potenciação, tais como: a0 = 1; am · an = am+n e amn = n√am.
Lema 1. Dado um número real positivo a �= 1, em todo intervalo de R+ existe alguma potência ar, com r ∈ Q.
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Definição 2. Seja a um número real positivo, distinto de 1. A função exponencial de base a, f : R → R,
indicada pela notação f(x) = ax, é aquela que satisfaz as propriedades seguir, quaisquer que sejam x, y ∈ R.
i. ax · ay = ax+y;
ii. a1 = a;
iii. x < y ⇒ ax < ay, quando a > 1;
x < y ⇒ ax > ay, quando 0 < a < 1.
Obs.: Cabe observar que qualquer função real que goze da primeira propriedade acima, só assume o valor 0, se for
identicamente nula e a terceira propriedade diz que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.
Outras propriedades da função exponencial
1. A função f : R → R+, definida por f(x) = ax é ilimitada superiormente.
2. A funçãoexponencial é cont́ınua, ou seja, dado x0 ∈ R é posśıvel obter |ax − ax0| tão pequeno quanto se
queira.
3. A função exponencial f : R → R+, a �= 1 é sobrejetiva.
Obs.: Pela monotonicidade, toda função exponencial é injetiva (Prove!).
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Teorema 2 (Caracterização da função exponencial). Seja f : R → R+ uma função monótona injetiva (crescente
ou decrescente), então são equivalentes
1. f(nx) = f(x)n, para todo n ∈ Z e todo x ∈ R;
2. f(x) = ax para todo x ∈ R, onde a = f(1);
3. f(x + y) = f(x) · f(y), quaisquer que sejam x, y ∈ R.
Progressões e funções exponenciais
Seja f : R → R, f(x) = bax, uma função do tipo exponencial. Se x1, x2, · · · , xn, · · · é uma progressão
aritmética de razão h, ou seja, xn+1 = xn + h, então os valores f(x1), f(x2), · · · , f(xn), · · · formam uma
progressão geométrica de razão ah.
Teorema 3. Seja f : R → R+ uma função monótona injetiva (crescente ou decrescente) que transforma toda
progressão aritmética em progressão geométrica, então se 0 �= b = f(0) e a = f(1)
f(0)
, então f(x) = bax.
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Função inversa
Definição 3. Uma função g : Y → X é dita a inversa de f : X → Y quando g(f(x)) = x
e f(g(y)) = y, quaisquer que sejam x ∈ X e y ∈ Y .
Obs.:
1. Se g(f(x)) = x, ∀ x ∈ X, então f é injetiva.
2. Por outro lado, se f(g(y)) = y, ∀ y ∈ Y , então f é sobrejetiva.
Portanto, uma função f possui inversa quando é biuńıvoca, ou seja, f tem inversa se, e só se, f
é injetiva e sobrejetiva.
Uma propriedade geométrica da função inversa de f é que seu gráfico G′ é simétrico ao
gráfico G de f em relação a diagonal ∆ do primeiro e terceiro quadrantes de R2.
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Propriedade geométrica da função inversa
G
G’
∆
Y
X
Figura 2: Condição de simetria da função inversa.
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Função logaŕıtmica
Do fato ja visto que para todo número real positivo a �= 1, a função exponencial f :
R → R+, f(x) = ax, é uma correspondência biuńıvoca entre R e R+, crescente se a > 1 e
decrescente se 0 < a < 1, com a propriedade adiconal f(x + y) = f(x) · f(y). Logo, f
possui função inversa.
Definição 4. A inversa da função exponencial de base a é a função loga : R
+ → R que
associa a cada número real positivo x o número loga x, denominado logaŕıtmo de x na base
a.
Assim, pela definição de função inversa se tem que aloga x = x e loga(a
x) = x. Donde,
y = loga x ⇔ ay = x.
Além disso, da propriedade au · av = au+v segue que loga(xy) = loga x+ loga y, para x
e y positivos quaisquer.
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Propriedades da função logaŕıtmica
1. A função loga : R
+ → R é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.
2. Como a0 = 1, então loga 1 = 0.
3. Sendo loga x crescente quando a > 1 e loga 1 = 0, então para a > 1 se tem que
loga x < 0, ∀ 0 < x < 1 e loga x > 0, ∀ x > 1.
4. Se 0 < a < 1, então loga x > 0, ∀ 0 < x < 1 e loga x < 0, ∀ x > 1.
5. loga x = loga b · logb x é a chamada fórmula de mudança de base. Isto implica que duas
funções logaŕıtmicas quaisquer diferem por um fator constante.
6. Como loga : R
+ → R é uma correspondência biuńıvoca, portanto sobrejetiva, então
y = loga x é ilimitada superiormente e inferiormente.
7. Ao contrário da função exponencial ax que cresce rapidamente quando a > 1, a função
loga x cresce lentamente, o que pode ser notado pela figura 3(b) a seguir.
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Gráficos comparativos da função logaŕıtmica
y = log
a
 x, a > 1
y
x
y = log
a
 x, a < 1
(a) Gráficos de loga x, x > 0
y = ax
∆
y = log
a
 x
y
x
(b) Gráficos de ax e loga x, a > 1.
Figura 3: Comparação gráfica da função logaŕıtmica.
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Caracterização da função logaŕıtmica
Teorema 4. Seja f : R+ → R uma função monótona injetiva (crescente ou decrescente),
tal que f(xy) = f(x) + f(y), para quaisquer x, y ∈ R. Então, existe a > 0 tal que
f(x) = loga x, ∀ x ∈ R+.
y =
1
x
y
x1 x=e
Área = 1
Figura 4: Definição do número e.
Definição 5. Pelo teorema da caracterização
das funções logaŕıtmicas, existe um número
real denotado por e | f(x) = loge x, ∀x ∈ R+
e denominamos ln x de logaŕıtmo natural de x.
O número e é caracterizado pela propriedade
geométrica (cf. figura 4) cuja área de He1 = 1,
ou seja, ln e = 1. O número e é irracional e
pode ser aproximado, por falta, pela sequência
de racionais
(
1 + 1n
)n
.
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Função exponencial de base e
Considerando a definição do número e, base dos logaŕıtmos naturais, como
sendo o único número real positivo tal que a área da faixa de hipérbole He1 é igual
a 1 e pelo fato do número e ser o limite da sequência
(
1 + 1n
)n
. Então
Definição 6. A função exponencial x �→ ex, de base e, pode ser definida por
meio do limite ex = lim
n→∞
(
1 +
x
n
)n
, ou então, geometricamente, pelo fato de
que y = ex é o único número real positivo tal que a área da faixa de hipérbole
Hy1 é igual a x.
Obs.: As funções do tipo exponencial f(x) = bex, surgem em vários fenômenos
naturais onde se tem variação cont́ınua, por isso é a que mais se aplica para
representar fenômenos naturais, tais como decaimento radioativo, resfriamento
de um corpo, ou rendimento de capital.
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Propriedade da função ex
A taxa de crescimento de uma função f no intervalo de extremidades x+ h e
x é, por definição, o quociente
f(x+ h)− f(x)
h
e chama-se derivada da função
f ao limite da taxa
f(x+ h)− f(x)
h
, quando h → 0, isto é, a taxa de variação
instantânea.
No caso da função do tipo exponencial y = beαx se tem que
f(x+ h)− f(x)
h
= beαx
eαh
h
= f(x)
eαh
h
, ou seja, a taxa de crescimento de
uma função do tipo exponencial é, em cada ponto x, proporcional ao valor da
função naquele ponto, ou seja, se f(x) = beαx, então f ′(x) = αf(x), que decorre
do fato que o limite lim
h→0
eh − 1
h
= 1 (Prove!)
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Funções trigonométricas
As funções trigonométricas constituem um importante tema da Matemática,
principalmente pela sua utilidade no dia a dia, cujo ińıcio se deu na antiguidade
devido ao interesse em relacionar o comprimento da corda de uma circunferência
com o ângulo central por ela compreendido, surgindo a relação c = 2rsen
(
α
2
)
,
onde c é o comprimento da corda, α é o ângulo e r é o raio da circunferência.
Inicialmente, a trigonometria servia para a resolução de triângulos, ou seja,
conhecidos três de seus elementos sendo um deles um lado, obter os outros três.
Só mais tarde, com a criação do Cálculo infinitesimal é que surgiu a necessidade
de atribuir as noções de seno, cosseno e suas associadas tangente, cotangente,
secante e cossecante o status de função real de variável real (ver figura 5).
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Algumas identidades trigonométricas
sen t
E(0) = 1
E(t)
t
cos t sec t
tan t
cotan t cosec t1
−1
−1
Figura 5: Identificação das funções trigonométricas.
1. cos2 α + sen2α = 1;
2. cos(α + β) = cosα cos β − senαsenβ;
3. cos(α − β) = cosα cos β + senαsenβ
4. sen(α + β) = senα cos β − senβ cosα;
5.
1 − tan2 α
1 + tan2 α
= cos 2α;
6.
2 tanα
1 + tan2 α
= sen2α.
7. lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â
e demais correspondências;
8. lei dos senos:
a
senÂ
=
b
senB̂
=
c
senĈ
.
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