Equações Diferenciais Ordinárias - Aula 03

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
ORDINÁRIAS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Janieyre Scabio Cadamuro 
 
 
 
 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Depois dos conceitos para equações diferenciais e das técnicas para 
resolução de equações ordinárias de primeira ordem, veremos agora soluções 
para equações de ordem dois. 
O primeiro assunto a ser analisado hoje é a teoria subjacente às equações 
diferenciais lineares e as condições para obter a solução desse tipo de equação. 
Em seguida, veremos métodos para resolução de equações lineares com 
coeficientes constantes. Finalizaremos vendo aplicações práticas para esse tipo 
de equação. 
TEMA 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR 
Trabalharemos agora, especificamente com as equações lineares de 
segunda ordem, ressaltando sua importância para as equações diferenciais por 
sua estrutura rica e também por que são essenciais para diversas áreas da 
ciência. Veremos agora alguns conceitos e teoremas para a resolução dessas 
equações, além das condições necessárias para que haja uma solução para 
elas. 
O primeiro passo é identificar se a equação é ou não linear. Lembre-se 
que na primeira aula vimos que as equações lineares têm o seguinte formato: 
𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ a𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥), 
Note que todas as variáveis estão em função da mesma variável 
independente e, os coeficientes dessas derivadas são funções de uma mesma 
variável, assim como a função que se encontra ao lado direito da igualdade. 
Sendo essa equação de ordem n um Problema de Valor Inicial (PVI), ele 
está sujeito a certas condições que são: 
𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦´(𝑥0) = 𝑦0´, … , 𝑦
(𝑛−1)(𝑥0) = 𝑦0
(𝑛−1)
 
Como vamos trabalhar com equações de segunda ordem, usaremos 
apenas os três últimos termos da equação que são: 
𝑎(𝑥)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
 
 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
3 
1.1 Teorema da Existência e Unicidade 
Esse é o primeiro teorema a ser visto e ele é muito importante porque dá 
garantias na hora de resolver essas equações. Ele afirma que se as funções 
𝑎1(𝑥), ⋯ , 𝑎𝑛(𝑥) e 𝒈(𝒙) são contínuas em um intervalo 𝐼, com o termo de maior 
ordem 𝑎𝑛(𝑥) ≠ 0 e se 𝑥 = 𝑥0 ∈𝑰, então, existe exatamente uma única solução 
𝑦(𝒙) para o problema de valor inicial (PVI) em 𝐼. 
É importante lembrar o conceito de continuidade que diz que as funções 
polinomiais são contínuas. 
1.2 Problema do valor de contorno 
Em um problema como 𝑎2(𝑥)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥), que esta 
sujeito às condições 𝑦(𝑎) = 𝑦0, 𝑦(𝑏) = 𝑦1, ou seja, com pontos em que 𝑥 = 𝑎 e 
𝑥 = b. 
Observe o exemplo a seguir na equação linear de segunda ordem: 
𝑥2𝑦´´ − 2𝑥𝑦´ + 2𝑦 = 6, 𝑦(1) = 0, 𝑦(2) = 3. 
Se as condições do teorema anterior forem satisfeitas, então a equação 
linear de segunda ordem pode ter: 
 Várias soluções; 
 Uma única solução; 
 Nenhuma solução. 
1.3 Equações homogêneas 
Uma EDO linear é homogênea se 𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ ⋯ +
𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0, ou seja, quando 𝑔(𝑥) = 0. 
Como exemplo deste conceito muito simples, temos a equação 𝑥2𝑦´´ −
2𝑥𝑦´ + 2𝑦 = 0. 
1.4 Condição de dependência e independência linear 
Dizemos que um conjunto de funções 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) é linearmente 
dependente (LD) em um intervalo 𝑰 se existem constantes 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 não 
todas nulas, tais que c1𝑓1(𝑥) + 𝑐2 𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼. 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
4 
Se uma das constantes 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 forem iguais a zero, dizemos que 
elas são linearmente independentes (LI). 
1.5 Princípio da superposição 
Se um conjunto de funções 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) são soluções da 
equação diferencial linear homogênea de ordem n, então a combinação linear 
𝑓(𝑥) = c1𝑓1(𝑥) + 𝑐2 𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑥) também é solução para todo 𝒄_𝟏, 𝒄_𝟐, 
…, 𝒄_𝒏∈ℝ. 
1.6 Critério para independência linear de funções 
Aqui temos a forma de verificar se as funções são linearmente 
dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI). Suponha que 
𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) sejam diferenciáveis pelo menos 𝒏−𝟏 vezes. 
Se o determinante 𝑤(𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)) = 
||
𝑓1 𝑓2 …
𝑓1
´ 𝑓2
´ …
… … …
𝑓1
(𝑛−1)
𝑓2
(𝑛−1)
…
 
𝑓𝑛
𝑓𝑛
´
…
𝑓𝑛
(𝑛−1)
|| ≠ 0 
Perceba que no determinante, a primeira linha apresenta as funções, na 
segunda linha a primeira derivada dessas funções, já na terceira linha a segunda 
derivada e assim sucessivamente, então: 
 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) tem um determinante ≠ 0 então as funções são LI 
no intervalo 𝐼; 
 O Determinante 𝑤(𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)) é chamado wronskiano das 
funções; 
Vejamos um exemplo para tornar mais claro o entendimento com as 
funções 𝑓1(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛
2𝑥 e 𝑓2(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠
22𝑥 que são LD, então seu determinante 
deve ser igual à zero (𝑤 = 0). 
𝑊(𝑠𝑒𝑛2𝑥, 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) = 
| 𝑠𝑒𝑛
2𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑒𝑛2𝑥
| 
Multiplicando na diagonal os valores dentro do determinante e diminuindo 
a diagonal primária da secundária, temos: 
 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
5 
2𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 2𝑥(𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1) = 0 
Outro exemplo com as funções 𝑓1(𝑥) = 𝑒
2𝑥e 𝑓2(𝑥) = 𝑒
3𝑥 que são 
linearmente independentes (LI), ou seja, o determinante (𝑤 ≠ 0), temos: 
𝑊(𝑒2𝑥 , 𝑒3𝑥) = 
| 𝑒
2𝑥 𝑒3𝑥
2𝑒2𝑥 3𝑒3𝑥
| = 
𝑒5𝑥 ≠ 0 
Concluímos assim alguns conceitos importantes para as equações 
diferenciais lineares. 
TEMA 2 – EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES 
Vejamos agora o primeiro método de resolução de equações diferenciais, 
o método para equações de segunda ordem homogêneas, embora esse método 
seja utilizado também em equações não homogêneas, como veremos adiante. 
Tal como acontece com as equações diferenciais de segunda ordem, não 
podemos resolver uma equação diferencial não homogênea, a menos que 
possamos primeiro resolver a equação diferencial homogênea. Também 
precisamos nos restringir a equações diferenciais de coeficientes constantes, já 
que resolver as de coeficientes não constantes é muito difícil e, por isso, não 
vamos discuti-las aqui. Da mesma forma, estaremos olhando apenas para 
equações diferenciais lineares. 
Seja a equação da forma 𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0, em que a, b e c são 
constantes. Consideremos a equação auxiliar ou característica da função 
anterior: 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0, na qual as derivadas são substituídas por m, 
transformando-a em uma equação simples, de segundo grau, aquelas mesmas 
estudadas no ensino fundamental. 
Para resolver essa equação usa-se a forma resolutiva ou a fórmula de 
bhaskara. Lembre-se que por bhaskara, você pode ter três situações: duas 
raízes distintas, duas raízes iguais e quando a raiz é negativa e não existe 
solução real e sim complexa. 
Lembrando que ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Raízes da equação auxiliar: 
1. Raízes reais distintas 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑒
𝑚2𝑥 com 𝑚1 ≠ 𝑚2 e ∆≠ 0; 
2. Raízes reais iguais y = c1e
m1x + c2xe
m1x com 𝑚1 = 𝑚2 e ∆= 0; 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
6 
3. Raízes complexas conjugadas quando ∆< 0 e como 𝑚1 𝑒 𝑚2 são 
complexas, 𝑚1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 𝑒 𝑚2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 tendo a solução com o seguinte 
formato 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + c2𝑒
𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛𝛽x sendo o 𝛽 o coeficiente de i (o 
imaginário) e o 𝛼 a parte real do numero complexo. 
Vejamos um exemplo prático resolvendo as seguintes equações 
diferenciais:
a) 2𝑦´´ − 5𝑦´ − 3𝑦 = 0, uma equação linear com coeficientes constantes. 
Passa-se a equação para a forma auxiliar 2𝑚2 − 5𝑚 − 3 = 0. Resolvendo 
essa equação pela forma resolutiva temos 𝑚 = 
5±√(−5)2−4𝑥2𝑥−3
2𝑥2
, chegando 
aos valores 𝑚1 = −
1
2
 𝑚2 = 3. Pelas raízes reais distintas temos o modelo 
𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑒
𝑚2𝑥, que resulta n solução 𝑦 = 𝑐1𝑒
−
𝑥
2 + 𝑐2𝑒
3𝑥; 
b) Um segundo exemplo com a função 𝑦´´ − 10𝑦´ + 25𝑦 = 0, uma equação 
linear de coeficientes constantes, que seguindo o modelo de resolução 
anterior temos a forma auxiliar 𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0, na qual por soma e 
produto (em que a soma S= –b e o produto P=c, quando a =1) temos 𝑚1 =
𝑚2 = 5, ou seja, raízes iguais. Nesse caso, a solução é o modelo de 
função y = c1e
m1x + c2xe
m1x que leva a solução y = c1e
5x + c2xe
5x; 
c) No terceiro exemplo, a equação linear homogênea 𝑦´´ + 𝑦´ + 𝑦 = 0 de 
coeficientes constantes que se passa para a forma auxiliar 𝑚2 + 𝑚 + 1 =
0 que leva a um ∆= 12 − 4𝑥1𝑥1 = −3, ou seja, raízes complexas e não 
reais. Se √−3 = 3𝑖 então, 𝑚1 = −
1
2
+
√3
2
𝑖, 𝑚2 = −
1
2
+
√3
2
𝑖. Pelo formato 
𝑦 = 𝑐1𝑒
𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + c2𝑒
𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛𝛽x , temos a solução 𝑦 = 𝑐1𝑒
−
1
2
𝑥𝑐𝑜𝑠 (
√3
2
) 𝑥 +
𝑐2𝑒
−
1
2
𝑥𝑠𝑒𝑛(
√3
2
)𝑥. 
Mais um exemplo é na resolução do Problema de Valor Inicial (PVI) a 
equação 𝑦´´ − 4𝑦´ + 13𝑦 = 0. Uma equação homogênea, com coeficientes 
constantes e dois valores iniciais conhecidos 𝑦(0) = −1, 𝑦´(0) = 2. Usando a 
equação auxiliar temos 𝑚2 − 4𝑚 + 13 = 0 que apresenta as raízes complexas 
𝑚1 = 2 + 3𝑖 𝑚2 = 2 − 3𝑖, em que 𝑦 = 𝑒
2𝑥(𝑐1𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛3𝑥). 
Por ser um problema do PVI, determinam-se as constantes: 
 𝑦(0) = −1 ⇒ −1 = 𝑒2.0(𝑐1𝑐𝑜𝑠(3.0) +𝑐2𝑠𝑒𝑛(3.0)) = 𝑐1 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
7 
 𝑦´(0) = 2 ⇒ 𝑦 = 𝑒2𝑥(−1. 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) +𝑐2𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) 𝑦´ = 𝑒
2𝑥(3𝑠𝑒𝑛(3𝑥) +
3𝑐2𝑐𝑜𝑠(3𝑥)) + 2𝑒
2𝑥(−1. 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) +𝑐2𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) em que 𝑐2 =
4
3
. 
Essa é a primeira forma de resolução de equações diferenciais de 
segunda ordem homogêneas. 
TEMA 3 – EUQAÇÕES DE SEGUNDA ORDEM NÃO HOMOGÊNEAS 
Agora é hora ver como se resolvem as equações diferenciais não 
homogêneas de segunda ordem. Você vai notar que não é tão complicado 
quanto se imagina. 
Consideremos a equação diferencial não homogênea linear na forma 
𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 𝑔(𝑥), em que 𝒂, 𝒃 "e" 𝒄 são constantes e 𝑔(𝑥) ≠ 0. Para 
resolver essas equações utilizaremos o método dos coeficientes a determinar ou 
método dos coeficientes indeterminados. 
Esse método consiste em determinar duas soluções, uma particular 𝑦𝑝 e 
uma complementar 𝑦𝑐, assim, a solução geral da equação diferencial não 
homogênea pode ser escrita como 𝑦(𝑥) = 𝑦𝑝(𝑥) + 𝑦𝑐(𝑥). Lembrando que a 
solução complementar já foi estudada. 
Vejamos um exemplo prático com a equação 𝑦´´ + 4𝑦´ − 2𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 +
6. 
1º Passo: Verificar que ela é uma equação linear não homogênea, pois 
𝑔(𝑥) ≠ 0; 
2º Passo: Resolver a equação como homogênea para encontrar a solução 
complementar 𝑦𝑐, ou seja, 𝑦´´ + 4𝑦´ − 2𝑦 = 0 que passando para a forma 
auxiliar temos 𝑚2 + 4𝑚 − 2 = 0 e resolvendo por bhaskara chega-se aos 
resultados 𝑚1 = −2 − √6 e 𝑚2 = −2 + √6 que leva a solução 𝑦𝑐 =
𝑐1𝑒
(−2−√6)𝑥 + 𝑐2𝑒
(−2+√6)𝑥; 
3º Passo: Encontrar a solução particular de 𝑔(𝑥). É preciso reescrever a 
equação no mesmo formato que ela é apresentada, que neste exemplo, 
é uma função do segundo grau 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥
2 + 𝐵𝑥 + 𝐶. Deriva-se duas vezes 
a função em 𝑦´𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵 e 𝑦´´𝑝 = 2𝐴. 
Substituindo na equação os valores encontrados temos (2𝐴) + 4(2𝐴𝑥 + 𝐵) 
⇒ −2(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 que desenvolvido algebricamente 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
8 
leva ao sistema de equações −2𝐴𝑥2 + (8𝐴 − 2𝐵)𝑥 + (2𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶) =
2𝑥2 − 3𝑥 + 6 que por comparação 
{
−2𝐴 = 2 ⇒ 𝐴 = −1
8𝐴 − 2𝐵 = −3 ⇒
2𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶 = 6 ⇒ 𝐶 = −9
𝐵 = −
5
2
 
Trocando os valores encontrados na solução particular 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥
2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 
temos 𝑦𝑝 = −𝑥
2 −
5
2
𝑥 − 9; 
4º Passo: A solução geral para as equações não homogêneas é a soma das 
soluções particular e complementar, ou seja, 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦𝑐 ⇒ −𝑥
2 −
5
2
𝑥 − 9 
+c1e
(−2−√6)x + c2e
(−2+√6)x. 
Conhecemos aqui o método dos coeficientes a determinar ou método dos 
coeficientes indeterminados para resolver as equações de segunda ordem não 
homogêneas. 
TEMA 4 – VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS 
Vamos conhecer agora mais um método de resolução de equações de 
segunda ordem conhecido como variação de parâmetros. Esse é um método 
geral, que pode ser usado em muitos outros casos, sendo um pouco mais 
elaborado do que o que vimos anteriormente. O procedimento básico consiste 
em encontrar duas funções 𝑢´1 e 𝑢´2 tais que sejam uma solução particular para 
a equação 𝑎2𝑦´´ + 𝑎1𝑦´ + 𝑎0𝑦 = 𝑔(𝑥). 
Apresentamos um resumo desse método: 
1. Aplica-se a fórmula 𝑢´1 =
𝑊1
𝑊
 𝑒 𝑢´2 =
𝑊2
𝑊
, em que 𝑊 = |
𝑦1 𝑦2
𝑦´1 𝑦´2
| , 𝑊1 =
|
0 𝑦2
𝑓(𝑥) 𝑦´2
| 𝑒 𝑊2 = |
𝑦1 0
𝑦´1 𝑓(𝑥)
| para resolver a equação no modelo 
apresentado, ou seja, linear não homogênea; 
2. Encontrar a função complementar 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑦1 + c2𝑦2; 
3. Dividir a equação dada para chegar ao formato 𝑎2 𝑦´´ + 𝑃𝑦´ + 𝑄𝑦 = 𝑓(𝑥); 
4. Encontrar 𝑢1 e 𝑢2 e posteriormente integrar 𝑢´1 =
𝑊1
𝑊
 𝑒 𝑢´2 =
𝑊2
𝑊
; 
5. Calcular a solução particular yp = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2; 
6. Encontrar a solução final por 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝. 
Vejamos um exemplo resolvendo a equação 𝑦´´ − 4𝑦´ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
9 
Encontramos a função complementar passando para a forma auxiliar 
 𝑚2 − 4𝑚 + 4 = 0 ⇒ 𝑚1 = 𝑚2 = 2. Como as raízes são iguais temos 𝑦𝑐 =
𝑐1𝑒
2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
2𝑥 ⇒ y1 = e
2x e y2 = xe
2x. 
Aplicando as fórmulas e lembrando as regras de derivada em que a 
derivada do exponencial é 𝑦 = 𝑒u ⇒ 𝑦′ = 𝑢′𝑒u e a regra do produto nas 
derivadas é 𝑦 = 𝑢𝑣 ⇒ 𝑦′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′. É preciso lembrar também que no cálculo 
do determinante multiplicam-se os valores nas diagonais e subtrai-se a diagonal 
principal da diagonal secundária. 
 𝑊 = |
𝑦1 𝑦2
𝑦´1 𝑦´2
| ⇒ | 𝑒
2𝑥 𝑥𝑒2𝑥
2𝑒2𝑥 2𝑥𝑒2𝑥 + 𝑒2𝑥
| = 𝑒4𝑥 
𝑊1 = |
0 𝑦2
𝑓(𝑥) 𝑦´2
| ⇒ |
0 𝑥𝑒2𝑥
(𝑥 + 1)𝑒2𝑥 2𝑥e2𝑥 + 𝑒2𝑥
| = −(𝑥 + 1)𝑥𝑒4𝑥 
𝑊2 = |
𝑦1 0
𝑦´1 𝑓(𝑥)
| ⇒ |
e2x 0
2e2x (x + 1)e2x
| = (x + 1)e4x 
O próximo passo é calcular 𝑢´1 =
𝑊1
𝑊
= −
(𝑥+1)𝑥𝑒4𝑥
𝑒4𝑥
= −𝑥2 − 𝑥, depois 
integrar o valor encontrado 𝑢1 = ∫ 𝑢´1 = −
𝑥3
3
−
𝑥2
2
 
Calculamos, então, 𝑢´2 =
𝑊2
𝑊
−
(𝑥+1)𝑥𝑒4𝑥
𝑒4𝑥
= 𝑥 + 1 ⇒ ∫ 𝑢´2 =
𝑥2
2
+ 𝑥 
O próximo passo é encontrar a solução particular yp = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 =
(−
x3
3
−
x2
2
) e2x + (
x2
2
+ x) xe2x. 
A solução final é dada por 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝, 
y = 𝑐1𝑒
2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
2𝑥 + (−
𝑥3
3
−
𝑥2
2
) 𝑒2𝑥 + (
𝑥2
2
+ 𝑥) 𝑥𝑒2𝑥 
E assim finalizamos o segundo método de resolução de equações de 
segunda ordem. 
TEMA 5 – MODELOS VIBRATÓRIOS 
Veremos agora uma das aplicações das equações diferenciais de 
segunda ordem, com uma introdução ao assunto de vibrações. 
A modelagem matemática dos problemas de movimento livre sem 
amortecimento leva a uma equação diferencial. Esse tipo de movimento é dado 
por uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear homogênea de 
coeficientes constantes que tem o modelo 
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+ 𝝎𝟐𝒙 = 𝟎, em que 𝝎𝟐 = 𝒌/𝒎 (k 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
10 
é uma constante de proporcionalidade, e m é a massa atada a uma mola). Esse 
movimento é chamado de harmônico simples. 
São definidas as raízes da função de 𝑚1 = 𝜔𝑖 𝑒 𝑚2 = −𝜔𝑖, dessa forma, 
já é conhecida
a solução da equação homogênea. 
O formato da solução geral do problema é 𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡. 
O período de vibrações livres é dado pela expressão 𝑇 =
2𝜋
𝜔
 e a frequência 
é dada pelo parâmetro 𝑓 =
𝜔
2𝜋
 . 
Vejamos um exemplo resolvendo e interpretando a equação 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 16𝑥 =
0, na qual o valor inicial dado é 𝑥(0) = 10 e sua derivada nesse ponto é 𝑥´(0) =
0. 
Outra forma de escrever essa equação é 𝑥′′ + 16x = 0, que na forma 
auxiliar é escrita por 𝑚2 + 16𝑚 = 0 e as raízes são 𝑚1 = 4𝑖 𝑒 𝑚2 = −4𝑖, uma 
solução complexa. 
Passando para a solução no formato geral 𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 
temos 𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛4𝑡 e 𝑥´(𝑡) = −4𝑐1𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 4𝑐2𝑐𝑜𝑠4𝑡. 
Para determinar as constantes substituem-se na equação os pontos 
dados e temos 10 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠4.0 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛4.0 ⇒ 𝑐1 = 10 e 0 = −4.10. 𝑠𝑒𝑛4.0 +
4𝑐2𝑐𝑜𝑠4.0 ⇒ 𝑐2 = 0 
A solução para o problema do valor inicial é 𝑥(𝑡) = 10𝑐𝑜𝑠4𝑡. 
Esse foi um exemplo de aplicação das equações diferenciais de segunda 
ordem, observando que não existe a constante nessa equação. 
NA PRÁTICA 
Vejamos agora mais uma aplicação de equações diferenciais de segunda 
ordem no assunto vibrações mecânicas. Em particular, vamos trabalhar com a 
equação do movimento superamortecido de uma massa presa em uma mola. 
Vamos resolver a equação homogênea 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡
+
5𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 4𝑥 = 0 que tem o valor 
inicial, 𝑥(0) = 1 e 𝑥´(0). A equação pode ser reescrita na forma auxiliar 1𝑚2 +
5𝑚 + 4 = 0, em que se encontram as raízes 𝑚1 = −1 e 𝑚2 = −4, raízes distintas 
que vão levar ao formato 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑒
𝑚2𝑥. 
A solução geral é 𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒
−𝑡 + 𝑐2𝑒
−4𝑡 e para determinar a solução dessa 
equação substitui-se 𝑥 = 1 e 𝑡 = 0 : 1 = 𝑐1𝑒
0 + 𝑐2𝑒
0 ⇒ 1 = 𝑐1 + 𝑐2. 
A derivada da função é 𝑥´(𝑡) = −𝑐1𝑒
−𝑡 − 4𝑐2𝑒
−4𝑡 ⇒ 1 = −𝑐1 − 4𝑐2. 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
11 
Montando o sistema de equações 𝑐1 + 𝑐2 = −𝑐1 − 4𝑐2 se chega as 
constantes 𝑐1 =
5
3
 e 𝑐2 = −
2
3
. 
A solução na forma geral é 𝑥(𝑡) =
5
3
𝑒−𝑡 −
2
3
𝑒−4𝑡. 
Essa foi mais uma demonstração da aplicação prática das equações 
diferenciais de segunda ordem. 
FINALIZANDO 
Para finalizar, vamos relembrar que nesta aula conceituamos a estrutura 
de soluções das equações diferenciais lineares homogêneas com alguns 
teoremas acerca desse assunto, seus conceitos fundamentais. 
Estudamos também, conceitos teóricos de equações diferenciais lineares. 
Em seguida, trabalhamos os métodos para determinar a solução desse tipo de 
equação, primeiro para as homogêneas e depois para não homogêneas, e ainda 
o método de variação dos parâmetros. 
Concluímos com uma breve explicação acerca de vibrações, ou seja, 
aplicações práticas das equações de segunda ordem. 
 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com
 
 
12 
REFERÊNCIAS 
BOYCE, W. E; DI PRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e 
problemas de valores de contorno. 10. ed. São Paulo: LTC, 2017. 
FIGUEIREDO, D. G. Equações diferenciais aplicadas. Projeto Euclides. Rio 
de Janeiro: IMPA, 2002. 
NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8. ed. São 
Paulo: Pearson, 2012. 
OLIVEIRA, R. L. Equações diferenciais ordinárias. Curitiba: InterSaberes, 
2018. 
ZILL, D. G.; MICHAEL, R. Equações diferenciais. v. 1. São Paulo: Pearson, 
2001. 
 
A
luno: V
inicius M
erlin Lim
a e S
ilva
E
m
ail: vinybra@
gm
ail.com