Lista03a(1)

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Resolução de Problemas
Lista 03
1. De quantas maneiras podemos escolher três números distintos do conjunto
I50 = {1, 2, 3, . . . , 49, 50} de modo que sua soma seja
a) um múltiplo de 3?
b) um número par?
2. Considere o conjunto In = {1, 2, 3, . . . , n−1, n}. Diga de quantos modos é
posśıvel formar subconjuntos de k elementos nos quais não haja números
consecutivos?
3. Considere as letras da palavra PERMUTA. Quantos anagramas de 4 letras
podem ser formados, onde:
a) não há restrições quanto ao número de consoantes ou vogais?
b) o anagrama começa e termina por vogal?
c) a letra R aparece?
d) a letra T aparece e o anagrama termina por vogal?
4. Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados
com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9.
5. Quantos números podem ser formados pela multiplicação de alguns ou de
todos os números 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 8, 9, 9?
6. Quantos são os números naturais de sete d́ıgitos nos quais o d́ıgito 4 figura
exatamente 3 vezes e o d́ıgito 8 figura exatamente 2 vezes?
7. De quantas maneiras uma comissão de 4 pessoas pode ser formada, de um
grupo de 6 homens e 6 mulheres, se a mesma é composta de um número
maior de homens do que de mulheres?
8. O comprimento de uma palavra é a quantidade de caracteres que ela pos-
sui. Encontre a quantidade de palavras de comprimento 5 que podemos
formar fazendo uso de 10 caracteres distintos, de forma que não existam
três caracteres consecutivos idênticos em cada palavra.
9. De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular
de tal forma que marido e mulher não fiquem juntos?
10. Quantas são as permutações das letras da palavra PROFMAT em que o
P ocupa o primeiro lugar, ou o T ocupa o segundo lugar, ou o A o sexto
lugar?
11. De quantas formas podemos representar o número 15 como soma de vários
números naturais?
12. Quantos quadrados perfeitos existem entre 40.000 e 640.000 que são múltiplos
simultaneamente de 3, 4 e 5?
13. Oito amigos vão ao cinema assistir a um filme que custa um real. Quatro
deles possuem uma nota de um real e quatro possuem uma nota de dois
reais. Sabendo-se que o caixa do cinema não possui nenhum dinheiro, de
quantas formas eles podem organizar uma fila para pagar o filme permi-
tindo o troco pelo caixa?
14. Encontre o número de zeros que termina o número 2010!.
15. A função φ de Euler associa a cada número natural n o valor φ(n) igual ao
número de inteiros positivos menores ou iguais a n relativamente primos
com n. Ou seja,
φ(n) =
∣∣{1 ≤ m ≤ n; (m,n) = 1}∣∣.
Usando os prinćıpios estudados, mostre que se n se decompõe em fatores
primos como n = pα11 p
α2
2 . . . p
αk
k , então
φ(n) = n
(
1− 1
p1
)(
1− 1
p2
)
. . .
(
1− 1
pk
)
.