Cinética do crescimento microbiano

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Cinética do crescimento microbiano 
ICS-C33 
Prof: Fabio A. Chinalia 
 
 
 
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1. Cultura em batelada 
Todo cultivo de microrganismo em 
um frasco sem variação de volume é conhecido 
como cultura em batelada. 
Quando um meio liquido é 
inoculado com microrganismos este 
geralmente cresce obedecendo um padrão 
geral descrito na Figura 2.1, conhecido como 
curva de crescimento. Essa curva é dividida em 
fases que possuem características próprias: 
i. Fase lag: as células estão se adaptando 
as condições do meio de cultura 
seja através da ativação de vias 
metabólicas, indução genica e 
outras atividades que auxiliam a transformação do substrato orgânico em 
energia e biomassa microbiana. 
ii. Fase exponencial: nessa fase as células estão adaptadas ao meio de cultura e 
estão se dividindo no máximo de sua capacidade e todas dividem-se em 
sincronicidade, isto é que define essa fase. 
iii. Fase estacionaria: nessa fase a divisão celular não mais acontece com 
sincronicidade mas existe reposições de células, ou seja, o número de células 
que aparecem iguala-se ao número de células que morrem. 
A fase exponencial é descrita pela 
equação derivada: 
 dx/dt = .x 
(ou seja, a relação entre a variação de x sobre t é de “.x “) 
x – biomassa microbiana 
t – tempo de cultura 
 – é a constante que define a “velocidade” do 
acumulo de biomassa. 
Em outras palavras: 
 
v – que pode ser associada a “velocidade” de 
crescimento, nesse caso é a taxa de produção de 
biomassa (TxP). 
 
OBS: 
A derivada é o coeficiente angular da reta tangente a 
curva. A derivada pode ser usada, também, para 
determinar a taxa de variação. Em outras palavras, a 
derivada de uma função representa o quão rápido, ou 
o quão devagar esta função cresce, decresce 
A integral dessa equação derivada é: 
 
 Xt = X0 e
t 
 
Xt – é biomassa esperada depois de 
um intervalo fixo 
X0 – é a biomassa no tempo 0 
e – é a base natural logarítmica (LN) 
 
 
 
 
 
OBS: 
A integral de uma função determina a 
área sob uma curva no plano 
cartesiano, e é usada, por exemplo na 
determinação da posição em todos os 
instantes de um objeto. Portanto, a 
função integral descreve toda a fase 
exponencial da curva da Figura 2.1. 
 
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Como relacionar uma função derivada com uma integral: 
Caso você se encontre dentro de um carro em movimento, a função derivada dessa velocidade 
corresponde a aceleração (o quanto a velocidade aumenta ou diminui durante o tempo de viagem). 
A função integral da velocidade, por sua vez, mostra a distância que o carro percorreu durante um 
certo tempo (o valor dessa distância é calculado como a área abaixo da curva, ou do gráfico da 
velocidade no tempo). 
 
Taxa de Produtividade: 
Baseado na explicação acima se conclui que 
dx/dt = .x corresponde ao coeficiente angular 
(ou inclinação da reta) que passa pelos pontos 
x2-x1 dividido por t2-t1 (Figura ao lado). 
Portanto, o valor encontrado para “.x” de uma 
curva de crescimento microbiano onde 
“x=biomassa” e “t=hora”, esse valor corresponde 
a taxa de produção de biomassa por hora. 
Isto é, se o “x” for mg/L, o “.x” será um valor 
cuja unidade é mg/L/h (dx/dt). 
x2
x1
t2t1
Coeficiente 
angular 
 
 
Coeficiente de crescimento “”: 
Para calcular o valor de ““ é necessário tirar 
o efeito da biomassa “x” (mg/L) dessa 
relação “.x”. 
Para resolver a equação (dx/dt)/x)) basta 
usar um recurso matemático que é 
transformar os valores de biomassa em LN 
(logaritmo Neperiano), veja figura ao lado. 
Observe que quando os valores de “x” 
(biomassa, mg/L) são transformados por LN 
(valor sem unidade), gera um numero cuja 
unidade é apenas o tempo (h-1). Esse 
valor corresponde ao coeficiente de 
crescimento especifico do microrganismo. 
Observe que a curva exponencial assume a 
forma de uma reta quando os valores de 
biomassa são transformados por LN. 
LN x2
LN x1
t2t1
Coeficiente 
angular 
d(LNx)/dt = 
 
 
O valor do logaritmo normal (LN) da variação da biomassa microbiana for plotado 
em um gráfico contra o tempo, a fase exponencial vai aparecer como uma reta. O ângulo 
ou inclinação dessa reta é chamado de coeficiente de crescimento (), e este é especifico 
para cada situação de cultivo. 
 
 
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2. Facilitando os cálculos (REGRESSAO LINEAR) 
 
LN x2
LN x1
t2t1
Coeficiente 
angular 
d(LNx)/dt = 
 
Taxa de crescimento “”: 
O coeficiente de crescimento corresponde ao coeficiente 
angular ou inclinação da reta formada na fase 
exponencial de LN do crescimento microbiano contra o 
tempo. 
Portanto, se for feita uma regressão linear na porção 
correspondente a fase exponencial do LN de biomassa 
contra o tempo a equação da reta “y = ax ± b” vai 
mostrar que a constante “a” corresponde ao ângulo de 
inclinação dessa reta. Portanto, o valor de “a” irá 
corresponder a Taxa de Crescimento (“”). 
 
Taxa de Produção: 
Por outro lado, se uma reta for ajustada nos 
valores de biomassa (mg/L) contra o tempo, a 
constante “a” da reta irá corresponder a Taxa de 
Produção de biomassa, cuja unidade, nesse 
caso, é mg/L/h. 
 
 
 
O fato do coeficiente de crescimento microbiano ser especifico para cada situação 
de cultivo é muito importante. Isso explica o motivo pelo qual uma bactéria cresce melhor 
em um meio do que em outro, veja a Tabela 1 e Tabela 2.1. 
 
 
 
 
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 O coeficiente de crescimento mede a “velocidade” de crescimento, por isso 
é importante calcula-lo. 
Mesmo os microrganismos miceliais (fungos filamentosos) crescem 
exponencialmente e geram um coeficiente ou “unidade de crescimento” especifico para a 
espécie e condição de cultivo. 
 O crescimento de biofilme também pode seguir um padrão exponencial até 
que o tamanho do biofilme comece a limitar a difusão de fonte de carbono. Nesse caso o 
coeficiente de crescimento é então afetado. 
 Indiferente ao fato se o organismo ser unicelular ou micelial a equação que 
modela o crescimento microbiano é usada para prever o crescimento. O crescimento, no 
entanto, não ocorre indefinidamente e diminui com o desaparecimento do substrato do 
meio de cultura em batelada. Portanto, depois de um tempo de cultura o coeficiente de 
crescimento diminui ate ser nulo. Visto dessa forma a parada do crescimento está 
associada a ausência de um nutriente ou fonte de carbono. 
 
 
3. O coeficiente de crescimento varia com as condições de cultivo 
 
 
 A natureza da limitação do 
crescimento pode ser entendida analisando o 
coeficiente de crescimento do microrganismo em 
um intervalo crescente de substrato. Ao plotar a 
biomassa total obtida em cada concentração 
inicial de substrato mostrado na Figura 2.2 
observa-se que a partir de uma determinada 
concentração de substrato não ocorre mais 
aumento de biomassa final. Essa situação é 
modelada matematicamente da seguinte forma: 
 
 X= Y(SR – S) 
 
X – concentração de biomassa final 
Y – fator de produção (g de biomassa produzida por g de substrato consumido) 
SR – concentração inicial do substrato 
S – concentração residual de substrato no meio 
 
 Essa equação pode ser usada para prever a quantidade de biomassa de 
microrganismo pode ser produzida com uma certa quantidade de substrato. Portanto, essa 
equação é importante para modelar a produção em escala industrial. 
 O fator de produção “Y” é uma medida da eficiência da conversão do 
substrato em biomassa. Esse cálculo é importantepara identificar os microrganismos e 
processos mais produtivos. No entanto, deve-se salientar que o fator Y não é constante, 
mas, dependente de vários fatores como a variação do coeficiente de crescimento () e 
 
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outros como o pH, temperatura, etc. Por isso, o 
coeficiente Y deve ser calculado para cada 
situação especifica de produção. 
 O coeficiente de crescimento ou 
taxa de crescimento microbiano pode variar de 
acordo com a concentração de substrato. Em 
concentrações muito pequenas o coeficiente 
de crescimento é pequeno, em concentrações 
altas essa taxa de crescimento é máxima. A 
Figura 2.3 ilustra esse fenômeno. É importante 
notar que entre a concentração baixa e a alta 
existe uma variação desse coeficiente de 
crescimento, representada na Figura pela fase 
C. 
A Figura 2.3 mostra, portanto, que existe uma concentração de substrato em 
um meio de cultura onde o coeficiente de crescimento é máximo e, a partir dessa 
concentração, não existe aumento na taxa de crescimento. Adicionar substrato ao meio 
não vai aumentar a velocidade de reprodução do microrganismo. 
Esse fenômeno é descrito matematicamente pelo modelo de Monod: 
 
  = max S/(Ks + S) 
 
s – concentração de substrato residual no meio 
Ks – o valor da concentração de substrato onde o coeficiente de crescimento é a metade 
do coeficiente máximo de crescimento. 
m – coeficiente de crescimento especifico para cada concentração de substrato 
mmax – coeficiente de crescimento máximo 
 
 A constante de Monod (Ks) é a 
concentração do nutriente limitante para 
a qual a taxa de crescimento é metade 
da taxa de crescimento máxima (Figura 
2.3). Representa a afinidade do 
organismo para o substrato. Os valores 
Ks dependem do organismo do 
substrato. Valores típicos de Ks são 
mostrados na Tabela 2.2, que ilustram 
valores comumente baixos. Caso um organismo tenha uma alta afinidade pelo substrato, 
ou seja, o seu Ks ocorre em concentrações de substrato bem baixas, o coeficiente de 
crescimento não se altera muito com o desaparecimento do substrato do meio. No entanto, 
se o microrganismo possui um Ks em concentrações mais altas de substrato, o coeficiente 
de crescimento diminui significativamente com o desaparecimento do substrato. 
 
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 A cultura em batelada é utilizada para produzir biomassa microbiana e metabolitos 
primários e secundários. Os produtos primários são biomoléculas produzidas durante o 
crescimento dos microrganismos e os secundários são biomoléculas que ocorrem de forma 
induzida, seja por um estado fisiológico ou fase de crescimento. Alguns pesquisadores 
preferem o termo produção de biomoléculas ligadas ao crescimento microbiano e produção 
de biomoléculas não ligadas ao crescimento microbiano para definir metabolitos primários 
e secundários, respectivamente. 
 
 
4. Testando os fundamentos de cinética de crescimento em batelada 
 
Foi discutido até aqui que o coeficiente de crescimento ou taxa de crescimento de um 
microrganismo pode estar diretamente ligado a disponibilidade de substrato. 
Vamos fazer um experimento onde a mesma quantidade de inoculo seja introduzida no 
mesmo volume de meio, mas, cada frasco ao abaixo vai ter uma concentração 
diferente de substrato. 
 
 
 
 
 
Curva de crescimento com diferentes concentrações iniciais de substrato (S). 
Cada uma dessa batelada S1, S2,... 
gera um especifico. 
 
 
A Figura A abaixo mostra o monitoramento do número de células microbianas ao longo do 
tempo de cultivo nas diferentes concentrações de substrato S1 a S5. Note que na Figura 
A é possível identificar as fases lag, exponencial e estacionaria do crescimento 
microbiano. 
A Figura B abaixo mostra o mesmo valor de dados agora transformado em logaritmo 
Neperiano (LN). Observe que o formato da curva muda e passa a lembrar uma reta. 
 
A inclinação ou ângulo de cada uma dessas retas de LN de biomassa contra o tempo 
corresponde ao coeficiente de crescimento ou taxa de crescimento microbiano especifico 
para cada concentração usada de S1 a S5. 
 
Portanto, cada concentração de substrato pode ser associada a um coeficiente de 
crescimento especifico. 
 
 
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A 
 
B 
 
 
A Figura C abaixo ilustra como fica um gráfico que relacione os diferentes valores de 
coeficiente de crescimento especifico calculado a partir dos dados da Figura B contra as 
concentrações de substrato que as originaram (S1 a S5). Observe que a taxa de crescimento 
aumenta gradativamente até alcançar um máximo. 
A Figura D didaticamente mostra em que concentração de substrato acontece o coeficiente de 
crescimento máximo (max) e em que concentração de substrato a taxa de crescimento é igual 
a máxima dividida por 2 (Ks). 
C 

es
p
ec
if
ic
o
Concentracao de substrato
 
D 
 
Dessa analise conclui-se que: 
- existe uma concentração de substrato a partir da qual nenhum aumento resulta em 
aumento do coeficiente de crescimento. 
- existe uma concentração de substrato abaixo da qual a taxa de crescimento é menor que 
a metade do valor máximo, portanto, nessas concentrações de substrato o crescimento do 
microrganismo fica muito debilitado. 
- para achar a concentração ideal de substrato é preciso investigar o intervalo de 
concentração que produz o Ks e o max. 
 
 
 
 
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5. Como calcular em que concentração de substrato acontece o Ks e o max? 
 
A equação de Monod é um 
modelo matemático prático e 
útil para calcular em que 
concentração de substrato 
acontece o Ks e o max. 
Basta colocar essa 
equação em um programa 
de computador para obter 
essa resposta. 
 
 
No entanto, Lineweaver e Burk descobriram que 
não precisa de computador para fazer esse 
cálculo. Em uma transformação “matemagica” 
esses cientistas inverteram o modelo de Monod 
(isso é, dividiram o numero 1 pela equação) e 
descobriram que essa equação inversa se 
assemelha muito a formula de uma reta (y=ax±b), 
veja ao lado, onde: 
Y = 1/especificos 
X = 1/s 
b = 1/max 
 
Portanto, quando se coloca em um gráfico os 
valores do inverso do coeficiente de crescimento 
especifico (1/especificos) contra o valor 
correspondente do inverso da concentração de 
substrato (1/S), a reta que se forma vai ajudar a 
calcular o max e o Ks. 
Isto é, onde essa reta toca no eixo Y (ou seja, y=±b 
porque x é zero) o valor corresponderá ao inverso 
do coeficiente de crescimento Maximo (1/max). 
Onde essa reta tocar no eixo x (ou seja, ax±b=0, 
porque y é zero) o valor corresponderá ao inverso 
da concentração de substrato onde o crescimento 
começa a “acelerar”, a concentração de substrato a 
partir da qual o microrganismo vai crescer cada vez 
mais rápido (1/Ks). 
 
 
 
 
 
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6. Crescimento Diauxico 
 
A curva de crescimento gerada 
quando um microrganismo cresce sob a 
influência de duas fontes de carbono é 
chamado de comportamento “diauxico”. A E 
coli e a Aerobacter aerogenes mostra tais 
padrões quando são inoculadas em meio de 
cultura contendo glicose e lactose ou glicose e 
citrato, respectivamente. Esse fenômeno 
acontece por causa da preferência metabólica 
para a utilização de glicose primeiro antes da 
lactose ou citrato. Portanto, a curva de 
crescimentoprimeiro reflete o coeficiente de 
crescimento da bactéria com a glicose e, 
depois de um breve interalo (patamar), a 
bactéria retoma o crescimento com um 
coeficiente diferente e correspondente ao uso da lactose ou do citrato, respectivamente. 
Existem vários fenômenos fisiológicos que geram o comportamento diauxico. 
Primeiro a via glicólica pode agir como agente inibidor de outras vias metabólicas. 
Segundo, para iniciar uma nova via metabólica a célula precisa de um curto espaço de 
tempo para expressar as enzimas dessa segunda via. Portanto, a Figura 2.9 exemplifica 
esse efeito. 
 
7. Consumo de substrato 
O mesmo princípio usado para calcular a Taxa de 
Produção e a Taxa de crescimento, ou seja, a regressão 
linear, pode também ser utilizada para calcular a taxa de 
consumo de substrato. 
Veja que na figura ao lado uma regressão linear foi 
utilizada para calcular a Taxa de Produção que possui 
inclinação ascendente (reta que modela os valores de 
O.D). 
Caso uma regressão linear seja ajustada na fase de 
decaimento logarítmico da concentração de substrato (no 
caso a glicose), a constante “a” da formula da reta irá 
corresponder diretamente a Taxa de consumo de 
substrato.