2-Bioestatística - Corelação e Regressão Linear Simples

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14/11/2022
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ASSOCIAÇÃO DE VARIÁVEIS
QUANTITATIVAS
CORRELAÇÃO LINEAR (r) SIMPLES
 A associação é a clara associação de uma variável 
em relação a outra.
 Podem ser definidas como: variáveis 
DEPENDENTE e INDEPENDENTE;
 Variação de uma variável (INDEPENDENTE) 
causa ou exerce uma variação na outra 
(DEPENDENTE)
CORRELAÇÃO LINEAR (r) SIMPLES
COEFICIENTE (rxy) DE CORRELAÇÃO
LINEAR
 Pode variar de -1 a 1
–1 0 1
Se r está 
próximo de 1, 
há uma forte 
correlação 
positiva.
Se r está 
próximo a –1, 
há uma forte 
correlação 
negativa.
Se r está 
próximo de 
0, não há 
correlação 
linear.
COEFICIENTE (rxy) DE CORRELAÇÃO
LINEAR
 Observe que o coeficiente de correlação mede as 
variações dos dados da amostra y com relação aos 
valores projetados da reta, sempre na direção de y.
1.17
1.32
1.49
1.51
1.61
1.76
1.8
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
8 10 12 14 16 18 20
altura Linear (altura)
COEFICIENTE (rxy) DE CORRELAÇÃO
LINEAR
 Pode-se calcular para verificar se a variação de 
uma das variáveis acompanha proporcional ou 
inversamente a outra;
 Será que existe uma dependência da nota no final 
do semestre com o número de aulas assistidas?
 Mas como medir o grau de correlação?
 Através do COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
LINEAR
)().(
),(
YVarXVar
YXCov
r
xy
=
1 2 3
4 5 6
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2
COEFICIENTE (rxy) DE CORRELAÇÃO
LINEAR
 Covariância
1
)).((
),( 1
−
−−
=

=
n
YYXX
YXCov
n
i
ii
1
)(
1
2
2
−
−
=

=
n
XX
n
i
i
x

1
)(
1
2
2
−
−
=

=
n
YY
n
i
i
y

COEFICIENTE (rxy) DE CORRELAÇÃO
LINEAR
 Exemplo: Notas Finais. Verificar se 
existe alguma relação entre as notas 
finais e o número de faltas.
 Valor limite (tab.) para coeficiente com
7-2 (GL) = 5 GL; a α=5%, é de 0,75.
x y
8 78
2 92
5 90
12 58
15 43
9 74
6 81
Faltas
Nota
final
95
90
85
80
75
70
65
60
55
45
40
50
0 2 4 6 8 10 12 14 16
N
o
ta
 f
in
a
l
X
Faltas
COEFICIENTE (rxy) DE CORRELAÇÃO
LINEAR com base no número de obs.
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
 O objetivo da análise de regressão é construir e 
avaliar modelos matemáticos que descrevam a 
relação ou dependência existente entre variáveis 
quantitativas;
 Geralmente uma em função da(s) outra(s);
8.34
8.59
9.26
9.50
y = 0.1123x + 8.2209
R² = 0.9655
8.20
8.40
8.60
8.80
9.00
9.20
9.40
9.60
9.80
0 2 4 6 8 10 12 14
resp (y)
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
LINEAR (r2 OU R2)
 Mostra quanto da variação de Y (variável resposta 
DEPENDENTE) é explicada pela variação de X 
(variável INDEPENDENTE).
 Dado em %;
 Calculado por: 222 )(
xy
rrR ==
9929,0=
xy
r %5,9898585,0)9929,0()(
22 ===
xy
r
58,0=
xy
r %4,333364,0)58,0()(
22 ===
xy
r
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
LINEAR (r2 OU R2)
 Varia de 0 a 1;
 Sempre positivo; 222 )(
xy
rrR ==
0 0,5 1
X explica 
tudo da 
variação de Y
X não explica 
nada da 
variação de Y
7 9 10
11 12 13
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ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Regressão – Termo empregado para descrever a 
influência de uma ou mais variáveis independentes 
(x, preditoras, prognosticadoras) sobre uma ou 
mais variáveis dependentes (y, resultado, 
consequência).
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 No modelo de Regressão Linear Simples usa-se 
apenas uma variável progsnosticadora;
 Logo assume-se que a relação para a variável de 
resultado seja significativamente linear ou não;
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Equação de Regressão;
 Em que:
 yi = observação na unidade experimental;
 b0 = intercepto;
 b1 = coeficiente de regressão associado à x1, x2, x3,..;
 e1 = erro associado a cada observação.
ii
exbby ++=
110
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
 A equação algébrica que nos possibilita predizer um 
valor para Y, conhecido um valor para X é dada por:
01
10
ˆ
ˆ
bXbY
ou
XbbY
+=
+=
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
 Como se calcula b1:
 E o b0:
( ) 2
1
1
2
1
1
22
1
1
1
)(
)).((
)(
.
2
XX
YYXX
X
XY
XnX
YXnXY
b
i
n
i
ii
n
i
n
X
n
i
n
YX
n
i
n
i
n
i
−
−−
=
−
−
=
−
−
=






=
=
=
=
=
=

 
XbYXbY
n
b
i
n
i
n
i
o
..
1
1
1
1
1
−=




 −= 
==
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
 Como se calcula b1:
 E o b0:
𝑏1 =
𝑛 ∗ ȭ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑌 − σ𝑋σ𝑌
𝑛 ∗ ȭ𝑖=1
𝑛 𝑋2 − σ𝑋 2
=
ȭ𝑖=1
𝑛 (𝑋𝑖 − ሜ𝑋). (𝑌𝑖 − ሜ𝑌)
ȭ𝑖=1
𝑛 (𝑋𝑖 − ሜ𝑋)2
XbYXbY
n
b
i
n
i
n
i
o
..
1
1
1
1
1
−=




 −= 
==
14 15 16
17 18 19
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REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
b1
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
 Dados de aumento no volume de chuva vs altura do 
milho avaliado em 90 dias de cultivo:
Nível (x) mm resp (y) cm
20 44
40 92
80 116
140 156
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
44
92
116
156
Alt. = b0 + b1*X
Alt.(cm) = 42,67 + 0,8476(Chuva)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Alt. (cm)
VAMOS CALCULAR......
01
10
ˆ
ˆ
bXbY
ou
XbbY
+=
+=
( ) 2
1
1
2
1
1
22
1
1
1
)(
)).((
)(
.
2
XX
YYXX
X
XY
XnX
YXnXY
b
i
n
i
ii
n
i
n
X
n
i
n
YX
n
i
n
i
n
i
−
−−
=
−
−
=
−
−
=






=
=
=
=
=
=

 
𝑏1 =
{ 20∗44 + 40∗92 +⋯+(140∗156)}−{4∗70∗102}
(202+402+⋯+1402)−{4∗ 702 }
=
35680 −28560
28000−19600
𝑏1 =
7120
8400
= 0,8476
VAMOS CALCULAR......
𝑏1 =
7120
8400
= 0,8476
XbYXbY
n
b
i
n
i
n
i
o
..
1
1
1
1
1
−=




 −= 
==
𝑏𝑜 = ሜ𝑌 − 𝑏1. ሜ𝑋 = 102 − 0,8476 ∗ 70 = 102 − 59,332
𝑏𝑜 = 42,668
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 = 42,668+ 0,8476 ∗ 𝑋
Em que X, corresponde ao volume pluviométrico.
෠𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
44
92
116
156
Alt. = b0 + b1*X
Alt. = 42,67 + 0,8476(Chuva)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Alt. (cm)
20 21 22
23 24 25
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EXEMPLOS... 
CONSIDERANDO OS DESEMPENHO (KG) DE BOVINOS
E AS RESPECTIVAS IDADES. CALCULE UMA EQUAÇÃO
DE REGRESSÃO PARA CADA SÉRIE DE PESOS. 
Idade 
(dias)
Peso ao 
desmama
Idade 
(dias)
Peso ao 
ano
Idade 
(dias)
Peso ao 
abate
229 190 427 250 671 550
250 240 458 290 824 660
247 210 366 245 732 595
275 254 336 200 763 612
256 260 427 270 702 548
204 199 336 202 732 555
210 220 305 190 793 603
198 192 458 270 763 570
214 197 366 225 824 608
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
Observe que o coeficiente de 
correlação mede as variações dos 
dados da amostra y com relação 
aos valores projetados da reta, 
sempre na direção de y. 
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
 O coeficiente de correlação é mais indicado para 
medir a força da relação linear entre as variáveis, 
e o coeficiente de determinação é mais apropriado 
para medir a explicação da reta de regressão. 
Dessa maneira, para apreciar o ajuste de uma 
reta é melhor utilizar o coeficiente de 
determinação que mede o sucesso da regressão 
em explicar y;
 O coeficiente de correlação também pode ser 
calculado a partir do coeficiente de determinação. 
Entretanto, como o coeficiente de determinação é 
sempre positivo, o sinal de r será o mesmo que o 
sinal do coeficiente b da reta de regressão. 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES –
LIMITAÇÕES
1- Um valor de Y não poderá ser 
legitimamente estimado, se o valor de X 
estiver fora do intervalo de valores que 
serviam de base para a equação de 
regressão;
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES –
LIMITAÇÕES
 2 – Um coeficiente de correlação significante não 
indica, necessariamente, causação, mas pode 
indicar, isto sim, uma ligação comum a outros 
eventos;
 3 – Uma correlação significante não é 
necessariamente uma correlação importante. Dada 
uma grande amostra, uma correlação de, digamos, 
R = +0,10 pode ser significantemente diferente de 0 
a α= 0,05.
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Na análise de regressão a variação total é dividida 
em duas partes:
1. Uma devido a regressão (Quadrado médio da 
Regressão), e:
2. Outra devida ao acaso (Quadrado médio do 
Resíduo);
 Logo precisa-se verificar se a variação (devido a 
regressão) é SIGNIFICATIVA ou NÃO.
 ANOVA –análise de variância.
26 27 28
29 30 31
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ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Anova da Análise de Regressão.
Fonte de 
variação
GL SQ QM Valor de F
Devido a 
Regressão
p SQRegr
SQRegr/GLRegr QMRegr/QMRes
Resíduo n-p-1 SQTotal-SQRegr SQRes/GLRes -
Total n-1 SQTotal -
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Somas de Quadadros.
 SQtotal
n
y
ySQ
n
i
in
i
iTotal
2
1
1
2






−=


=
=
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Somas de Quadadros.
 SQRegressão;
n
y
ySQ
n
i
in
i
igressão
2
1
1
2
Re
ˆ
ˆ






−=


=
=
i
xbby
10
ˆ +=
Logo...
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 SQRegressão, pode ser dada por:



 −= 
=
yxnyxbSQ
n
i
iigressão
..
1
1Re


=
=
−
−
=
n
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
b
1
22
1
1
).(
..
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Vamos imaginar um exemplo:
 Em experimento que avalia o número de 
mastigadas que o animal faz, conforme a 
porcentagem de fibra do alimento;
Mastigadas 5 10 15 25 30
Fibra (%) 20 25 35 46 54
 Para acelerar o processo Calcule:
 Soma de x2=7.282, x=180 e y=85; média de x e y; 
soma do produto x*y=3.645;
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Vamos imaginar um exemplo:
 Em experimento que avalia a altura da planta de 
milho em função da precipitação pluviométrica;
Precipitação (mm) x 10 30 50 70 90
Altura em (m) y 0,20 0,80 1,30 1,60 1,56
 Para acelerar o processo Calcule:
 Soma de x2, x e y; média de x e y; soma do 
produto x*y;
32 33 34
35 36 37
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ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Cálculo das SQ’s;
 SQtotal?;
 SQRegressão?;
 F5% probabilidade, e ??;
 F1% probabilidade ??.
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Resultado da Anova.
Fonte de 
variação
GL SQ QM Valor de F
Devido a 
Regressão
1 1,23904 1,23904 22,91
Resíduo 3 0,16224 0,05408
Total 4 1,40128 -
TABELA F5%
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR
 Exemplo: Em experimento avaliando a resposta 
imunológica em milhares de células somáticas.
Princípio ativo (mL) x 0,3 0,6 0,8 0,9 1,1 1,4 1,7
C.S. (mil) y 2100 1220 825 425 280 190 120
 Para acelerar o processo Calcule:
 Soma de x2, x e y; média de x e y; soma do 
produto x*y;
 Encontre os níveis nos pontos de 0,3 até 1,7 de 0,1 
em 0,1mL.
REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR
SIMPLES
 Qdo avalia-se várias respostas simultaneamente 
em mesmo animal
 Altura cernelha;
 Perímetro torácico;
 Circunferência escrotal;
 Largura da garupa;
 Peso ao desmame, etc.;
 Ao reunir diversas amostras, percebe-se que 
existe uma certa relação entre elas.
 Exemplo: animais mais altos, geralmente mais 
pesados; 
 Animais com maiores perímetros toráxicos tem maior 
largura da garupa, etc.;
38 39 40
41 42